第七讲 等式性质与不等式性质 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第七讲 等式性质与不等式性质 知识点梳理： 1．等式的基本性质 （1）如果a＝b，那么b＝a． （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c． （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c． （4）如果a＝b，那么ac＝bc． （5）如果a＝b，c≠0，那么＝． 2．不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2） 同正 重难点解析： 1．等式与不等式的性质类比 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a 性质1：a>b⇔b<a a＝b，b＝c⇒a＝c 性质2：a>b，b>c⇒a>c a＝b⇔a＋c＝b＋c 性质3：a>b⇔a＋c>b＋c a＝b⇒ac＝bc 性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋d 性质5：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d a＝b，c＝d⇒ac＝bd 性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd a＝b≥0⇒an＝bn 性质7：a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2） 【注意】（1）在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． （2）要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立． 【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． 2．比较大小的两种方法 作商比较法 乘方比较法 依据 a>0，b>0，且>1⇒a>b； a>0，b>0，且<1⇒a<b a2>b2且a>0，b>0⇒a>b 应用范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数（式）中有根号 步骤 ①作商 ②变形 ③判断商值与1的大小 ④下结论 ①乘方 ②用作差比较法或作商比较法 3．同向不等式是有可加性与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 例题讲解： 题型1 等式的性质 【例1】下列变形中，不正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】下列运用等式的性质变形错误的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例3】下列变形正确的是　　 A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型2 不等式的性质 【例4】设，，为实数，则下列命题为真命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例5】若，，且，则　　 A． B． C． D． 【例6】下列命题中，正确的是　　 A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型3 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【例7】设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+2b，a﹣b的取值范围． 【例8】已知﹣＜a＜b＜，求a﹣b的取值范围； 【例9】已知实数x，y满足﹣4≤x﹣y≤﹣1，﹣1≤4x﹣y≤5． （1）若9x﹣y＝m（x﹣y）+n（4x﹣y），求实数m，n的值； （2）求9x﹣y的取值范围． 题型4 利用不等式的性质证明不等式 【例10】已知a，b∈R，试比较a3﹣b3与ab2﹣a2b的大小，并证明． 【例11】已知，，，求证：． 【例12】已知，求证：． 题型5 用作差比较法比较大小 【例13】比较数式与的大小． 【例14】比较A＝a2+b2+14和B＝2a+4b的大小． 【例15】已知，均为正实数，试利用作差法比较与的大小． 题型6 用作商比较法比较大小 【例16】已知，用作商法比较与的大小． 【例17】用求商比较法证明：当，时，． 【例18】已知a∈R，p＝a2﹣a+1，q＝，试比较p与q的大小． 解题梳理： 1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 （1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 2．利用不等式的性质求取值范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 3．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了． a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 4．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0（不确定的要分情况讨论）； 第四步：得结论． 这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 变式练习： 1．下列命题中，正确的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞b C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若＜，则a＜b 2．设t＝a+2b，s＝a+b2+1，则t与s的大小关系是（　　） A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t 3．设M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M 与 N 的大小关系与 x 有关 4．下列说法中，正确的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若，则a＜b C．若ac＞bc，则a＞b D．a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d 5．若y1＝2x2﹣2x+1，y2＝x2﹣4x﹣1，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．随x值变化而变化 6．已知﹣1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是（　　） A．b＜ab＜a2b B．a2b＜ab＜b C．a2b＜b＜ab D．b＜a2b＜ab 7．b克糖水中含a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（　　） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式中不正确的是（　　） A．a+b＜ab B． C．ab＞b2 D．a2＜b2 9．若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（　　） A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4 10．已知﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4，则的取值范围为（　　） A．（1，3） B．（，） C．（，） D．（，1） 11．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为　 　． 12．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d＞c；②a+b＝c+d；③a+d＜b+c，则a，b，c，d按照从小到大的次序排列为　 　． 13．设x＞5，P＝﹣，Q＝﹣，则P与Q的大小关系是P 　 　Q． 14．若a∈R，且a2﹣a＜0，则a，a2，﹣a，﹣a2从小到大的排列顺序是　 　． 15．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M、N的大小关系为　 　． 16．若实数a＞b，则a2﹣ab　 　ba﹣b2．（填“＞”或“＜”） 17．若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，则α﹣|β|的取值范围是　 　． 18．若﹣2＜m＜n＜2，则m+n的范围是 　 　；m﹣n的范围是 　 　． 19．比较大小． （1）比较x2+y2+1与2（x+y﹣1）的大小； （2）a＞b＞0，m＞0，比较与的大小． 20．已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围． （1）|a|； （2）a+b； （3）a﹣b； （4）2a﹣3b． 答案与解析 例题讲解： 题型1 等式的性质 【例1】下列变形中，不正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 【解答】解：．正确，不符合题意； ．如果，不一定成立，不正确，符合题意； ．正确，不符合题意； ．正确，不符合题意； 故选：． 【例2】下列运用等式的性质变形错误的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】利用等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若，当时，两边同除以得，则符合题意； 若，两边同乘得，则不符合题意； 若，两边同除以得，则符合题意； 若，两边同乘后再同时加上5得，则符合题意； 故选：． 【例3】下列变形正确的是　　 A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】 【分析】等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），所得结果仍是等式；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．据此逐项判断即可求解 【解答】解：．由，得，原变形错误，不符合题意； ．由，得，原变形错误，不符合题意； ．由，得，原变形正确，符合题意； ．由，得，原变形错误，不符合题意； 故选：． 题型2 不等式的性质 【例4】设，，为实数，则下列命题为真命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】结合不等式性质检验选项，举出反例检验选项，，即可判断． 【解答】解：由不等式的性质可知，当时，成立，正确； 当时，显然错误； 当，时，，显然错误． 故选：． 【例5】若，，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】举出反例检验选项，，，结合不等式性质检验选项． 【解答】解：当，时，，显然错误； 当，时，显然错误； 由可得， 即，正确． 故选：． 【例6】下列命题中，正确的是　　 A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】 【分析】举出反例检验选项，，，结合不等式性质检验选项． 【解答】解：当，时，显然错误； 当，时，显然错误； 当，，，时，显然错误； 若，则，正确． 故选：． 题型3 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【例7】设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+2b，a﹣b的取值范围． 【答案】（1）﹣6＜a+2b＜﹣3；（2）5＜a﹣b＜7． 【分析】利用不等式的基本性质求解． 【解答】解∵﹣4＜b＜﹣3，∴﹣8＜2b＜﹣6， 又∵2＜a＜3，∴﹣6＜a+2b＜﹣3， ∵﹣4＜b＜﹣3，∴3＜﹣b＜4； 又∵2＜a＜3，∴5＜a﹣b＜7． 【例8】已知﹣＜a＜b＜，求a﹣b的取值范围； 【答案】（﹣1，0）； 【分析】直接利用a和b的范围求出a﹣b的范围； 【解答】解（1）由题意，﹣＜b＜，则﹣＜﹣b＜， 因为﹣＜a＜，所以﹣1＜a﹣b＜1， 又a＜b，即a﹣b＜0，则﹣1＜a﹣b＜0． 故a﹣b的取值范围是（﹣1，0）． 【例9】已知实数x，y满足﹣4≤x﹣y≤﹣1，﹣1≤4x﹣y≤5． （1）若9x﹣y＝m（x﹣y）+n（4x﹣y），求实数m，n的值； （2）求9x﹣y的取值范围． 【答案】（1）； （2）[﹣1，20]． 【分析】（1）利用待定系数法运算求解； （2）根据（1）中结果，结合不等式性质运算求解． 【解答】解：（1）因为9x﹣y＝m（x﹣y）+n（4x﹣y）＝（m+4n）x﹣（m+n）y， 则，解得． （2）由（1）知， 且﹣4≤x﹣y≤﹣1，﹣1≤4x﹣y≤5， 可知，， 所以﹣1≤9x﹣y≤20，即9x﹣y的取值范围是[﹣1，20]． 题型4 利用不等式的性质证明不等式 【例10】已知a，b∈R，试比较a3﹣b3与ab2﹣a2b的大小，并证明． 【答案】答案详见解析． 【分析】利用作差法比较代数式的大小，注意分类讨论． 【解答】解：当a≥b时a3﹣b3≥ab2﹣a2b；当a＜b时a3﹣b3≤ab2﹣a2b，证明如下： a3﹣b3﹣（ab2﹣a2b）＝a3﹣b3﹣ab2+a2b＝a2（a+b）﹣b2（a+b）＝（a2﹣b2）（a+b）＝（a﹣b）（a+b）2， 当a≥b时，a﹣b≥0，（a+b）2≥0，故a3﹣b3≥ab2﹣a2b； 当a＜b时，a﹣b＜0，（a+b）2≥0，故a3﹣b3≤ab2﹣a2b． 【例11】已知，，，求证：． 【分析】通过可知，从而，求倒数可知，两边同时乘以负数即得结论． 【解答】证明：， ， 又， ， ， 又， ． 【例12】已知，求证：． 【分析】利用分析法即可证明结论 【解答】解：要证， 只要证， 只要证， 只要证， 只要证明，显然成立， 故求证：． 题型5 用作差比较法比较大小 【例13】比较数式与的大小． 【答案】． 【分析】利用作差法，配方法，可判断大小． 【解答】解： ， 即，则． 【例14】比较A＝a2+b2+14和B＝2a+4b的大小． 【答案】A＞B． 【分析】利用作差法比较两个数的大小关系即可． 【解答】解：因为A＝a2+b2+14，B＝2a+4b， 所以A﹣B＝a2+b2+14﹣2a﹣4b＝（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）＝（a﹣1）2+（b﹣2）2+9， 由（a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，可得：A﹣B＞0， 故A与B的大小关系为A＞B． 【例15】已知，均为正实数，试利用作差法比较与的大小． 【答案】． 【分析】依题意，利用作差法，，结合不等式性质即可比较大小． 【解答】解：因为 ， 当时，，； 当时，，，． 综上所述，． 题型6 用作商比较法比较大小 【例16】已知，用作商法比较与的大小． 【分析】利用作商法结果和1进行比较即可 【解答】解：， 【例17】用求商比较法证明：当，时，． 【分析】，，可得，，通过作商即可得出． 【解答】证明：，，，，，． ， ． 【例18】已知a∈R，p＝a2﹣a+1，q＝，试比较p与q的大小． 【答案】p≥q． 【分析】作差可得p，q的大小关系． 【解答】解：因为p＝a2﹣a+1，q＝， 则p﹣q＝a2﹣a+1﹣＝＝≥0，a＝0时取等号， 所以p≥q． 变式练习： 1．下列命题中，正确的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞b C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若＜，则a＜b 【答案】D 【分析】A，要满足a＞b，c＞d，才能得到ac＞bd； B，c＜0时，由ac＞bc，得a＜b； C，若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d或a﹣c＜b﹣d或a﹣c＝b﹣d； D，若＜，则，则a＜b； 【解答】解：对于A，要满足a＞b，c＞d，才能得到ac＞bd，故错； 对于B，c＜0时，由ac＞bc，得a＜b，故错； 对于C，若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d或a﹣c＜b﹣d或a﹣c＝b﹣d，故错； 对于D，若＜，则，则a＜b，故正确； 故选：D． 2．设t＝a+2b，s＝a+b2+1，则t与s的大小关系是（　　） A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t 【答案】A 【分析】作差即可得出s﹣t＝（b﹣1）2≥0，从而可得出s，t的大小关系． 【解答】解：∵s﹣t＝a+b2+1﹣a﹣2b＝b2﹣2b+1＝（b﹣1）2≥0， ∴s≥t． 故选：A． 3．设M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M 与 N 的大小关系与 x 有关 【答案】A 【分析】作差，配方，即可比较大小． 【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣（x2+x﹣1） ＝2x2﹣2x+2 ＝2（x﹣）2+＞0， 故M＞N． 故选：A． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若，则a＜b C．若ac＞bc，则a＞b D．a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d 【答案】B 【分析】根据个选项的条件，结合不等式的基本性质分别判断即可． 【解答】解：A．不一定成立，如5＞1，﹣1＞﹣2，则﹣5＜﹣2，∴A不正确； B．∵，∴，即a＜b，∴B正确； C．若ac＞bc，当c＜0时，则a＜b，∴C不正确； D．两个同向不等式相减，差不一定同向，如2＞1，2＞﹣1，两式相减0＜2，∴D不正确． 故选：B． 5．若y1＝2x2﹣2x+1，y2＝x2﹣4x﹣1，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．随x值变化而变化 【答案】A 【分析】根据题意，利用作差法可得y1﹣y2＝（2x2﹣2x+1）﹣（x2﹣4x﹣1）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1＞0，由此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，若y1＝2x2﹣2x+1，y2＝x2﹣4x﹣1， 则y1﹣y2＝（2x2﹣2x+1）﹣（x2﹣4x﹣1）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1＞0， 故y1＞y2， 故选：A． 6．已知﹣1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是（　　） A．b＜ab＜a2b B．a2b＜ab＜b C．a2b＜b＜ab D．b＜a2b＜ab 【答案】D 【分析】因为该题为选择题，故可以用特值法，取符合条件的a，b代入进行比较即可． 【解答】解：取特殊值：a＝，b＝﹣1，则ab＝，a2b＝﹣， 故b＜a2b＜ab， 故选：D． 7．b克糖水中含a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得． 【解答】解：∵b g糖水中有a g糖， 糖水的浓度为：； b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0）， 则糖水的浓度为：； 又糖水变甜了，说明浓度变大了， ∴ 故选：A． 8．若，则下列不等式中不正确的是（　　） A．a+b＜ab B． C．ab＞b2 D．a2＜b2 【答案】C 【分析】根据时，b＜a＜0，再判断选项中的命题是否正确． 【解答】解：当时，b＜a＜0，所以a+b＜0＜ab，选项A正确； 由b＜a＜0知，＞0，＞0，所以+≥2当且仅当a＝b时取等号， 又a≠b，所以+＞2，选项B正确； 由b＜a＜0，b＜0，所以b2＞ab＞0，即ab＜b2，所以选项C错误； 由b＜a＜0，所以﹣b＞﹣a＞0，所以（﹣b）2＞（﹣a）2＞0， 即b2＞a2，即a2＜b2，选项D正确． 故选：C． 9．若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（　　） A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4 【答案】C 【分析】由不等式的性质及绝对值的定义求a﹣|b|的范围即可． 【解答】解：∵﹣4＜b＜2， ∴0≤|b|＜4， ∴﹣4＜﹣|b|≤0， 又∵1＜a＜3， ∴﹣3＜a﹣|b|＜3． 故选：C． 10．已知﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4，则的取值范围为（　　） A．（1，3） B．（，） C．（，） D．（，1） 【答案】A 【分析】由已知中：﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4可得：4＜a2＜9，＜＜，结合不等式的同号可乘性，可得的取值范围． 【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，3＜b＜4， ∴4＜a2＜9，＜＜， ∴1＜＜3， 故选：A． 11．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为　|x﹣500|≤1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由已知可得商品的重量x满足：﹣1≤x﹣500≤1，即|x﹣500|≤1． 【解答】解：∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x表示商品的重量， 则﹣1≤x﹣500≤1， 即|x﹣500|≤1， 故答案为：|x﹣500|≤1 12．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d＞c；②a+b＝c+d；③a+d＜b+c，则a，b，c，d按照从小到大的次序排列为　a＜c＜d＜b　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据不等式的性质分别判断即可． 【解答】解：∵a+b＝c+d， ∴a＝c+d﹣b， ∵a+d＜b+c， ∴c+d﹣b+d＜b+c， ∴2d＜2b，即d＜b， ∵d＞c，a+d＜b+c， ∴a＜b， ∵a+b＝c+d，b＞d， ∴a＜c， ∴a＜c＜d＜b， 故答案为：a＜c＜d＜b． 13．设x＞5，P＝﹣，Q＝﹣，则P与Q的大小关系是P 　＞　Q． 【答案】见试题解答内容 【分析】先判断其倒数，再比较其大小即可． 【解答】解：∵P＝﹣，Q＝﹣， ∴P＝，Q＝， ∵x＞5， ∴+＜+， ∴P＞Q， 故答案为：P＞Q 14．若a∈R，且a2﹣a＜0，则a，a2，﹣a，﹣a2从小到大的排列顺序是　﹣a＜﹣a2＜a2＜a　． 【答案】见试题解答内容 【分析】作差比较可得． 【解答】解：∵a2﹣a＜0，∴0＜a＜1， ﹣a2﹣（﹣a）＝﹣（a2﹣a）＞0，∴﹣a2＞﹣a， ∴﹣a＜﹣a2＜0＜a2＜a． 故答案为：﹣a＜﹣a2＜a2＜a． 15．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M、N的大小关系为　M＞N　． 【答案】M＞N． 【分析】利用作差法，判断出M﹣N的符号即可获解． 【解答】解：M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3） ＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2＞0， 故M＞N． 故答案为：M＞N． 16．若实数a＞b，则a2﹣ab　＞　ba﹣b2．（填“＞”或“＜”） 【答案】见试题解答内容 【分析】利用“作差法”、完全平方公式即可得出． 【解答】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0． ∴a2﹣ab﹣（ba﹣b2）＝（a﹣b）2＞0， ∴a2﹣ab＞ba﹣b2． 故答案为：＞． 17．若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，则α﹣|β|的取值范围是　（﹣3，3）　． 【答案】（﹣3，3） 【分析】由﹣4＜β＜2，可得|β|＜4，故 0﹣4＜﹣|β|≤0 ①，再由1＜α＜3 ②，把①②相加可得 α﹣|β|的取值范围． 【解答】解：∵﹣4＜β＜2，∴|β|＜4，故 0﹣4＜﹣|β|≤0 ①， 再由1＜α＜3 ②， 把①②相加可得﹣4+1＜α﹣|β|＜0+3，即﹣3＜α﹣|β|＜3， 故答案为：（﹣3，3）． 18．若﹣2＜m＜n＜2，则m+n的范围是 　（﹣4，4）　；m﹣n的范围是 　（﹣4，0）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用不等式的基本性质即可得出范围． 【解答】解：∵﹣2＜m＜n＜2， ∴﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2， ∴﹣4＜m+n＜4， 则m+n的范围是 （﹣4，4）． ∵﹣2＜m＜n＜2， ∴﹣2＜m＜2，﹣2＜﹣n＜2，m﹣n＜0， ∴﹣4＜m﹣n＜0， 则m﹣n的范围是（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，4），（﹣4，0）． 19．比较大小． （1）比较x2+y2+1与2（x+y﹣1）的大小； （2）a＞b＞0，m＞0，比较与的大小． 【答案】（1）x2+y2+1＞2（x+y﹣1）；（2）＞． 【分析】（1）（2）利用作差法比较不等式大小即可． 【解答】解：（1）x2+y2+1﹣2（x+y﹣1）＝x2﹣2x+1+y2﹣2y+2＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+1＞0， ∴x2+y2+1＞2（x+y﹣1）． （2）﹣＝＝， ∵a＞b＞0，m＞0， ∴m（a﹣b）＞0，b（b+m）＞0，即＞． 20．已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围． （1）|a|； （2）a+b； （3）a﹣b； （4）2a﹣3b． 【答案】（1）0≤|a|≤3； （2）﹣1＜a+b＜5； （3）依题意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2； （4）﹣10＜2a﹣3b≤3． 【分析】根据绝对值运算可解决（1）； 根据不等式性质可解决（2）（3）（4）． 【解答】解：（1）0≤|a|≤3； （2）﹣1＜a+b＜5； （3）依题意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2； （4）由﹣2＜a≤3得﹣4＜2a≤6①， 由1≤b＜2得﹣6＜﹣3b≤﹣3②， ①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$