第六讲 全称量词与存在量词 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第六讲 全称量词与存在量词 知识点梳理： 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为∀x∈M，p（x）． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”． 3．含有一个量词的命题的否定﹁ 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p（x），它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p（x）； 存在量词命题p：∃x∈M，p（x），它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p（x）． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 重难点解析： 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）” 思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． 答：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”． 3．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题． 4．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p（x）成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反． 5．全称量词命题和存在量词命题的否定 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然． p ﹁p 结论 全称量词命题 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，﹁p（x） 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题 ∃x∈M，p（x） ∀x∈M，﹁p（x） 存在量词命题的否定是全称量词命题 6．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定． 例题讲解： 题型1 全称量词命题和存在量词命题的判断 【例1】下列语句不是全称量词命题的是　　 A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一（1）班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 【例2】下列命题中，不是全称量词命题的是　　 A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 【例3】下列命题中 （1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除； （4）对于任意x∈R，总有． 存在量词命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型2 命题的真假 【例4】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是　　 A．， B．，使能同时被2和3 C．有些自然数是偶数 D．所有菱形的四条边都相等 【例5】设非空集合，满足且，则下列命题是假命题的是　　 A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 【例6】判断下列全称（存在量词）命题的真假： （1）∀x∈R，x3+2≤5； （2）有些偶数能被3整除； （3）所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； （4）有些三角形是锐角三角形． 题型3 由命题的真假求参数的范围 【例7】若命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|﹣2≤a≤2} B．{a|a≤﹣2或a≥2} C．{a|﹣2＜a＜2} D．{a|a＜﹣2或a＞2} 【例8】若命题“∀x∈（﹣1，3），x2﹣2x﹣a＞0”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 【例9】已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是　 　． 题型4 命题的否定 【例10】命题“∀x＞0，”的否定是（　　） A．∃x0≤0， B．∃x0＞0， C．∃x0≤0， D．∃x0＞0， 【例11】设p：∃n＞1，n2＞2n﹣1，则¬p是 　 　． 【例12】命题：所有的质数都是奇数，则命题的否定是 　　． 解题梳理： 1．判断全称量词命题及存在量词命题时应关注以下几点： （1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词为“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． （2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． （3）存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词为“有的”等． 2．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【提醒】全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可． （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． 4．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）要否定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”，只需在M中找到一个x，使得p（x）不成立，也就是命题“∃x∈M，﹁p（x）”成立． （2）要否定存在量词命题“∃x∈M，p（x）”，需要验证对M中的每一个x，均有p（x）不成立，也就是命题“∀x∈M，﹁p（x）”成立． （3）全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定． （4）一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定，是在否定结论p（x）的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词． 5．全称量词命题与存在量词命题的否定的思路 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论． （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定。 变式练习： 1．命题“∃x0＞0，x02﹣2x0﹣7＞0”的否定是（　　） A．∃x0≤0，x02﹣2x0﹣7≤0 B．∃x0＞0，x02﹣2x0﹣7≤0 C．∀x＞0，x2﹣2x﹣7＞0 D．∀x＞0，x2﹣2x﹣7≤0 2．下列命题为真命题的是（　　） A．∀x∈R，x2+3＜0 B．∀x∈N，x2≥1 C．∃x∈Z，x5＜1 D．∃x∈Q，x2＝5 3．已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1，命题q：∃x＞0，x2﹣x+1＝0，则（　　） A．命题p、命题q都是真命题 B．命题p的否定、命题q都是真命题 C．命题p、命题q的否定都是真命题 D．命题p的否定、命题q的否定都是真命题 4．设命题p：∀x∈R，x2+4x+2m≥0（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“m＞”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题p：∀x＞1，|x|＞1，则命题p的否定为（　　） A．∃x＞1，|x|≤1 B．∃x≤1，|x|≤1 C．∀x＞1，|x|＜1 D．∀x≤1，|x|＞1 6．命题p：∀x∈R，x2+1≥1，则￢p是（　　） A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∀x∈R，x2+1≥1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1 7．设m∈R，命题“存在m≥0，使x2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（　　） A．任意m≥0，使2﹣mx﹣1＝0无实根 B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 8．若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） （多选）9．下列四个命题为真命题的是（　　） A．p：所有平面四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2+2x+2≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|＞0 （多选）10．下列命题中正确的是（　　） A．∃x∈R，x⩽0 B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数 D．存在x∈R，使得x2+1＜2x 11．已知命题p：∃x∈[﹣2024，211]，x2＞985，则¬p为 　 　． 12．若“∃x∈[1，3]，使得x2﹣mx+4≥0成立”为假命题，则实数m的取值范围是 　 　． 13．若“∃x∈R，x2+2ax+3a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 　 　． 14．命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是 　 　． 15．命题“∀x＞0，2x+1＞0”的否定是 　 　． 16．若命题“∃x∈R，x2﹣mx+9＜0”为假命题，则m的取值范围是 　 　． 17．若命题∃x∈R，﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0”为真命题，则m的取值范围为 　 　． 18．命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣3＞0“的否定是 　 　． 19．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x﹣2＞0． （1）写出命题p的否定； （2）判断命题p的真假，并说明理由． 20．已知命题：“∃x∈[0，2]，使得不等式x2﹣2x+m2﹣3＜0成立”是真命题，设实数m取值的集合为A． （1）求集合A； （2）设不等式（x﹣3a）（x+a﹣2）≤0的解集为B，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围． 答案与解析 例题讲解： 题型1 全称量词命题和存在量词命题的判断 【例1】下列语句不是全称量词命题的是　　 A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一（1）班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 【答案】 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的定义，直接判断即可． 【解答】解：，，都是全称命题，不是命题， 故选：． 【例2】下列命题中，不是全称量词命题的是　　 A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】 【分析】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案． 【解答】解：中量词任何是全称量词； 中省略了量词所有，是全称量词； 中省略了量词所有，是全称量词； 中量词存在是存在量词． 故选：． 【例3】下列命题中 （1）有些自然数是偶数； （2）正方形是菱形； （3）能被6整除的数也能被3整除； （4）对于任意x∈R，总有． 存在量词命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，判断即可． 【解答】解：对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题； 对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题； 对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题； 对于（4），对于任意x∈R，总有，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题． 所以存在量词命题的序号是（1），有1个． 故选：B． 题型2 命题的真假 【例4】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是　　 A．， B．，使能同时被2和3 C．有些自然数是偶数 D．所有菱形的四条边都相等 【答案】 【分析】根据题意，依次分析选项中命题的形式和真假，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，命题，是全称量词命题，当不是真命题，不符合题意； 对于，该命题是存在量词命题，不符合题意； 对于，该命题是存在量词命题，不符合题意； 对于，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题并且是真命题，符合题意； 故选：． 【例5】设非空集合，满足且，则下列命题是假命题的是　　 A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 【答案】 【分析】直接利用命题真假的判定，集合间的关系判断真假． 【解答】解：非空集合，满足且，则根据集合间的关系：，正确； 故选：． 【例6】判断下列全称（存在量词）命题的真假： （1）∀x∈R，x3+2≤5； （2）有些偶数能被3整除； （3）所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； （4）有些三角形是锐角三角形． 【答案】（1）假命题； （2）真命题； （3）假命题； （4）真命题． 【分析】根据全称量词命题，存在量词命题定义逐项求解判断． 【解答】解：（1）由题知∀x∈R，x3+2≤5为全称量词命题，当x＝2时，23+2＞5，故此命题为假命题． （2）由有些偶数能被3整除为存在量词命题，如6为偶数也能被3整除，故此命题为真命题． （3）所有的对角线互相垂直的四边形是菱形为全称量词命题，但存在四边形边长不相等但对角线垂直的四边形，故此命题为假命题． （4）有些三角形是锐角三角形为存在量词命题，三角形分为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，故此命题为真命题． 题型3 由命题的真假求参数的范围 【例7】若命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|﹣2≤a≤2} B．{a|a≤﹣2或a≥2} C．{a|﹣2＜a＜2} D．{a|a＜﹣2或a＞2} 【答案】B 【分析】由命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是真命题，可知命题“∀x∈R，x2﹣ax+1＞0”是假命题，从而得到Δ＝a2﹣4＜0，再求出a的取值范围． 【解答】解：∵命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是真命题， ∴命题“∀x∈R，x2﹣ax+1＞0”是假命题， ∴Δ＝a2﹣4＜0，整理得﹣2＜a＜2， ∴a的取值范围为{a|a≥2或a≤﹣2}． 故选：B． 【例8】若命题“∀x∈（﹣1，3），x2﹣2x﹣a＞0”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，分析可得命题∃x0∈（﹣1，3），x02﹣2x0﹣a≤0，即（x0﹣1）2≤1+a为真；结合二次函数的性质分析a的取值范围，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，若命题“∀x∈（﹣1，3），x2﹣2x﹣a＞0”为假命题， 则其否定：∃x0∈（﹣1，3），x02﹣2x0﹣a≤0，即（x0﹣1）2≤1+a为真； 又由x0∈（﹣1，3），则0≤（x0﹣1）2≤4，必有1+a≥0，解可得a≥﹣1， 故实数a可取的最小整数值是﹣1； 故选：A． 【例9】已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是　　． 【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论． 【解答】解：命题“，使”是假命题， 命题“，使”是真命题， 即判别式△， 即△， 则，即， 故答案为：． 题型4 命题的否定 【例10】命题“∀x＞0，”的否定是（　　） A．∃x0≤0， B．∃x0＞0， C．∃x0≤0， D．∃x0＞0， 【答案】D 【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解． 【解答】解：“∀x＞0，”的否定是：∃x0＞0，． 故选：D． 【例11】设p：∃n＞1，n2＞2n﹣1，则¬p是 　∀n＞1，n2≤2n﹣1　． 【答案】∀n＞1，n2≤2n﹣1． 【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解． 【解答】解：命题p：∃n＞1，n2＞2n﹣1，则¬p是∀n＞1，n2≤2n﹣1． 故答案为：∀n＞1，n2≤2n﹣1． 【例12】命题：所有的质数都是奇数，则命题的否定是 　　． 【答案】存在某个质数不是奇数． 【分析】结合命题否定的定义，即可求解． 【解答】解：命题：所有的质数都是奇数， 则命题的否定是：存在某个质数不是奇数． 故答案为：存在某个质数不是奇数． 变式练习： 1．命题“∃x0＞0，x02﹣2x0﹣7＞0”的否定是（　　） A．∃x0≤0，x02﹣2x0﹣7≤0 B．∃x0＞0，x02﹣2x0﹣7≤0 C．∀x＞0，x2﹣2x﹣7＞0 D．∀x＞0，x2﹣2x﹣7≤0 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出该命题的否定命题即可． 【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题“∃x0＞0，x02﹣2x0﹣7＞0”的否定是“∀x＞0，x2﹣2x﹣7≤0”． 故选：D． 2．下列命题为真命题的是（　　） A．∀x∈R，x2+3＜0 B．∀x∈N，x2≥1 C．∃x∈Z，x5＜1 D．∃x∈Q，x2＝5 【答案】C 【分析】由已知结合含有量词的命题真假关系检验各选项即可判断． 【解答】解：因为x2+3≥3，A显然错误； 当x＝0时，B显然错误； 当x＝0时，x5＜1显然成立，C正确； 因为x2＝5时，x＝±∉Q，D显然错误． 故选：C． 3．已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1，命题q：∃x＞0，x2﹣x+1＝0，则（　　） A．命题p、命题q都是真命题 B．命题p的否定、命题q都是真命题 C．命题p、命题q的否定都是真命题 D．命题p的否定、命题q的否定都是真命题 【答案】D 【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解． 【解答】解：对于命题p，当x＝﹣1时，|x+1|＝0＜1，故p是假命题，则p的否定为真命题， 对于命题q，x2﹣x+1＝0， 则Δ＜0，故q是假命题，q的否定是真命题，综上可得， p的否定和q的否定都是真命题． 故选：D． 4．设命题p：∀x∈R，x2+4x+2m≥0（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“m＞”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，由二次不等式的性质分析“命题p为真命题”时，m的取值范围，由此结合充分必要条件的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，命题p：∀x∈R，x2+4x+2m≥0（其中m为常数）， 若命题p为真命题，则Δ＝16﹣8m≤0，解可得m≥2，即m＞一定成立， 反之，若m＞，x2+4x+2m≥0不一定成立，如m＝1， 故“命题p为真命题”是“m＞”的充分不必要条件． 故选：A． 5．已知命题p：∀x＞1，|x|＞1，则命题p的否定为（　　） A．∃x＞1，|x|≤1 B．∃x≤1，|x|≤1 C．∀x＞1，|x|＜1 D．∀x≤1，|x|＞1 【答案】A 【分析】根据命题的否定的定义求解． 【解答】解：命题p：∀x＞1，|x|＞1，则命题p的否定为：∃x＞1，|x|≤1． 故选：A． 6．命题p：∀x∈R，x2+1≥1，则￢p是（　　） A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∀x∈R，x2+1≥1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定定义可解． 【解答】解：因为命题p：∀x∈R，x2+1≥1， 则￢p：∃x∈R，x2+1＜1． 故选：C． 7．设m∈R，命题“存在m≥0，使x2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（　　） A．任意m≥0，使2﹣mx﹣1＝0无实根 B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 【答案】A 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“存在m≥0，使x2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是：“任意m≥0，使2﹣mx﹣1＝0无实根”． 故选：A． 8．若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】A 【分析】根据题意可得Δ＞0，即可求出a的取值范围． 【解答】解：∵∀x∈R，x2+ax+1≥0是假命题， ∴Δ＝a2﹣4＞0 ∴a＞2或a＜﹣2， ∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：A． （多选）9．下列四个命题为真命题的是（　　） A．p：所有平面四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2+2x+2≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|＞0 【答案】AC 【分析】结合特殊值法，平面四边形的性质，以及配方法，即可求解． 【解答】解：所有平面四边形的内角和都是360°，故A正确； x2+2x+2＝（x+1）2+1≥1，故B错误； 令x＝，满足x为无理数， 但x2还是无理数，故C正确； 当a＝0时，|a|＝0，故D错误． 故选：AC． （多选）10．下列命题中正确的是（　　） A．∃x∈R，x⩽0 B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数 D．存在x∈R，使得x2+1＜2x 【答案】ABC 【分析】结合特殊值法，即数的概念，作差法，即可求解． 【解答】解：当x＝﹣1时，∃x∈R，x⩽0，故A为真命题； 当整数为1时，它既不是合数也不是质数，故B为真命题； 当x＝时，x为无理数， 则+5也为无理数，故它既不是合数也不是质数，故C为真命题； x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，故D为假命题． 故选：ABC． 11．已知命题p：∃x∈[﹣2024，211]，x2＞985，则¬p为 　∀∈[﹣2024，211]，x2≤985　． 【答案】∀∈[﹣2024，211]，x2≤985． 【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解． 【解答】解：命题p：∃x∈[﹣2024，211]，x2＞985， 则¬p为：∀∈[﹣2024，211]，x2≤985． 故答案为：∀∈[﹣2024，211]，x2≤985． 12．若“∃x∈[1，3]，使得x2﹣mx+4≥0成立”为假命题，则实数m的取值范围是 　（5，+∞）　． 【答案】（5，+∞）． 【分析】先判断出∀x∈[1，3]，使得x2﹣mx+4＜0成立”为真命题，再结合分离参法，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：“∃x∈[1，3]，使得x2﹣mx+4≥0成立”为假命题， 则∀x∈[1，3]，使得x2﹣mx+4＜0成立”为真命题， x2﹣mx+4＜0， 由题意可知，m＞5， 故m的取值范围为（5，+∞）． 故答案为：（5，+∞）． 13．若“∃x∈R，x2+2ax+3a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 　[0，3]　． 【答案】[0，3]． 【分析】由已知是假命题可得，“∀x∈R，x2+2ax+3a≥0”为真命题，列不等式解出实数a的取值范围即可． 【解答】解：已知“∃x∈R，x2+2ax+3a＜0”是假命题， 所以“∀x∈R，x2+2ax+3a≥0”为真命题，即Δ＝4a2﹣12a≤0，解得0≤a≤3． 故答案为：[0，3]． 14．命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是 　∀x∈R，x≠1且x≠﹣1　． 【答案】∀x∈R，x≠1且x≠﹣1． 【分析】结合命题否定的定义，即可求解． 【解答】解：命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是：∀x∈R，x≠1且x≠﹣1． 故答案为：∀x∈R，x≠1且x≠﹣1． 15．命题“∀x＞0，2x+1＞0”的否定是 　∃x＞0，2x+1≤0　． 【答案】∃x＞0，2x+1≤0． 【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解． 【解答】解：命题“∀x＞0，2x+1＞0”的否定是：∃x＞0，2x+1≤0． 故答案为：∃x＞0，2x+1≤0． 16．若命题“∃x∈R，x2﹣mx+9＜0”为假命题，则m的取值范围是 　[﹣6，6]　． 【答案】[﹣6，6]． 【分析】由题意可得，∀x∈R，x2﹣mx+9≥0恒成立，然后结合二次函数的性质即可求解． 【解答】解：若命题“∃x∈R，x2﹣mx+9＜0”为假命题， 则∀x∈R，x2﹣mx+9≥0恒成立， 所以Δ＝m2﹣36≤0， 解得，﹣6≤m≤6． 故答案为：[﹣6，6]． 17．若命题∃x∈R，﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0”为真命题，则m的取值范围为 　{m|m≤﹣3或m≥1}　． 【答案】{m|m≤﹣3或m≥1}． 【分析】由题意，不等式﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0有解，即不等式x2+2mx﹣2m+3≤0有解，然后结合二次函数的性质可求． 【解答】解：由题意，不等式﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0有解，即不等式x2+2mx﹣2m+3≤0有解， 设y＝x2+2mx﹣2m+3，则函数图象开口向上，要使不等式y≤0有解， 则函数f（x）图象与x轴有交点，则Δ＝4m2﹣4（﹣2m+3）≥0， 化简得m2+2m﹣3≥0，解得m≤﹣3或m≥1． 故答案为：{m|m≤﹣3或m≥1}． 18．命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣3＞0“的否定是 　∃x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣3≤0　． 【答案】∃x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣3≤0． 【分析】结合含有量词的命题的否定即可求解． 【解答】解：命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣3＞0“的否定是为∃x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣3≤0． 故答案为：∃x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣3≤0． 四．解答题（共2小题） 19．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x﹣2＞0． （1）写出命题p的否定； （2）判断命题p的真假，并说明理由． 【答案】（1）∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0； （2）命题p为假命题，理由详见解析． 【分析】（1）结合命题否定的定义，即可求解； （2）结合特殊值法，即可求解． 【解答】解：（1）命题p：∀x∈R，x2﹣x﹣2＞0， 则命题p的否定为∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0； （2）命题p为假命题，理由如下： 当x＝0时，x2﹣x﹣2＜0，故命题p为假命题． 20．已知命题：“∃x∈[0，2]，使得不等式x2﹣2x+m2﹣3＜0成立”是真命题，设实数m取值的集合为A． （1）求集合A； （2）设不等式（x﹣3a）（x+a﹣2）≤0的解集为B，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A＝{x|﹣2＜x＜2}； （2）． 【分析】（1）将命题为真命题转化成一元二次不等式在区间[0，2]上恒成立问题，即可求得实数m取值范围得集合A；（2）由题可知，A是B的子集，根据集合间的基本关系即可求得实数a的取值范围． 【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x+m2﹣3＝（x﹣1）2+m2﹣4， 因为函数y在x＝1时取最小值f（1）＝m2﹣4， 所以“∃x∈[0，2]，使得不等式x2﹣2x+m2﹣3＜0成立”是真命题， 需满足m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2， 即A＝{x|﹣2＜x＜2}； （2）因为不等式（x﹣3a）（x+a﹣2）＜0的解集为B， 且“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A是B的子集； ①当3a＞2﹣a，即时，解集B＝[2﹣a，3a]， 所以，解得a≥4 综合得a≥4； ②当3a＝2﹣a，即a＝1时，不满足题设条件； ③当3a＜2﹣a，即时，解集B＝[3a，2﹣a]， 所以，解得， 综合可得， 综上所述，实数a的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$