2.2 不等式的求解（第1课时）（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

2.2不等式的求解（第1课时） 题型1：一元一次不等式组的求解 1．不等式组的解集为 . 2．解关于的一元一次不等式组. 题型2：根据一元一次不等式组的解集求参数 3．若不等式组有解，求实数的取值范围． 4．已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为 . 5．已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 题型3：一元二次不等式的概念 6．一元二次不等式：形如 的不等式统称为一元二次不等式，其中、、为实数，且． 7．给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 8．已知写出解集为的一个一元二次不等式 . 题型4：解一元二次不等式 9．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3)； (4)； 11．解不等式：； 题型5：解含参数的一元二次不等式 12．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 13．解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 14．已知，解不等式：． 题型6：根据一元二次不等式的解集求参数 15．若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 16．已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 17．已知关于的不等式的解集是． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 18．若不等式有唯一解，则的值是 ． 19．已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 20．已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 题型7：二次函数与一元二次方程、不等式的关系 21．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 22．不等式的解集为，则函数y的图象为（    ） A． B． C． D． 23．设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是 ； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 24．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 25．已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 26．不等式 的解集为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 27．已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知函数，其中. （1）若不等式的解集是，求与的值； （2）若，对任意，都有，且存在实数，使得，求实数的取值范围. 题型8：一元二次方程根的分布 29．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 30．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 31．若下列两个方程：，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 . 32．若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 题型9：解答综合题 33．解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 34．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 35．设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 36．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和3，且方程的两根相等． (1)求二次函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 37．已知关于x的不等式的解集为A，其中. (1)若，求实数k的取值范围. (2)求不等式的解集A． (3)是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由. 一、填空题 1．已知均为实数，若存在使得关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 . 2．已知，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则所有符合条件的的值之和是 ． 3．已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是 ． 4．已知关于的不等式组的解集为，则实数的值为 . 5．若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组. 6．定义几类集合的长度：（1）集合的长度为；（2）集合(其中)的长度为；（3）空集的长度为0.设，则不等式的解集的长度的最大值为 . 二、单选题 7．已知关于的不等式的解集为A，关于的不等式的解集为，其中、都是非零常数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 8．若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 三、解答题 9．设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 10．已知、、，关于不等式的解集为． (1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围； (2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 11．已知关于的一元二次方程， (1)若，求证：； (2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围. 12．定义区间，，，的长度均为，其中. (1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值； (2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和； (3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2不等式的求解（第1课时） 题型1：一元一次不等式组的求解 1．不等式组的解集为 . 【答案】 【分析】分别求得两个不等式的解，然后取它们的交集，由此求得不等式组的解集. 【解析】记原不等式组为 解不等式①，得x≤1. 解不等式②，得x≥－4. 故原不等式组的解集为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题. 2．解关于的一元一次不等式组. 【答案】当时，方程组无解；当时，方程组的解集为． 【分析】先对每个不等式进行变形化简，再对参数进行分类讨论，解得不等式组的解集； 【解析】由①得；由②得． 当，即时，方程组无解； 当，即时，方程组的解集为． 综上所述，当时，方程组无解；当时，方程组的解集为． 题型2：根据一元一次不等式组的解集求参数 3．若不等式组有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，根据不等式组有解可得. 【解析】解不等式，得． 解不等式，得． 因为不等式组有解，所以，即． 所以实数的取值范围为. 4．已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】先由不等式的解集求出与之间关系，进而代入所求不等式，即可得出结果. 【解析】因为不等式的解集为， 所以，即， 因此不等式可化为，则，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 5．已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 【答案】 【分析】解不等式组，再与解集对照，得到方程组，求出答案. 【解析】记原不等式组为 解不等式①，得； 解不等式②，得． 因为原不等式组的解集为，所以 解得 题型3：一元二次不等式的概念 6．一元二次不等式：形如 的不等式统称为一元二次不等式，其中、、为实数，且． 【答案】（，或） 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的定义，即可求解. 【解析】略： 7．给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 【答案】⑥⑦ 【分析】根据一元二次不等式的定义逐一分析每个选项即可. 【解析】①不是，是二元一次不等式； ②不一定是，当时是一元二次不等式，当时不是一元二次不等式； ③不是，未知数的最高次数是； ④不是，是二元二次不等式； ⑤不一定是，原因同②； ⑥是，因为，二次项系数非零，也符合一元二次不等式的定义； ⑦是，因为符合一元二次不等式的定义． 故答案为：⑥⑦ 8．已知写出解集为的一个一元二次不等式 . 【答案】x2-2x-2<0（答案不唯一） 【分析】由二次不等式的解与二次方程根的关系即可得解. 【解析】对于不等式 而言，若解集为 则一元二次方程的两个根为和， 那么， 设a=1，则b=-2，c=-2，所以不等式为x2-2x-2<0. 故答案为：x2-2x-2<0（答案不唯一） 题型4：解一元二次不等式 9．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【解析】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 10．求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据一元二次不等式的解法计算可得. 【解析】（1）不等式，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式，即，配方得， 又，所以，解得，所以原不等式的解集为. （3）不等式，即，即，又，∴原不等式的解集是. （4）不等式，∵， 又∵的两个实数根为，， ∴原不等式的解集是 11．解不等式：； 【答案】或 【分析】转化为不等式组，根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【解析】原不等式可转化为不等式组即， ，得或 所以不等式的解集为或. 题型5：解含参数的一元二次不等式 12．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【解析】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 13．解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）因式分解，比较两根大小，分别求出不等式解集； （2）根据系数进行分类讨论，分别解出不等式解集； （3）用根的判别式进行分类讨论，分别求出不等式解集． 【解析】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （3）对方程 ， 当时，即时不等式的解集为； 当时，即或时的根为，， 不等式的解集为； 综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为. 14．已知，解不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【解析】解：原不等式为． ①若时，即时，则原不等式的解集为； ②若时，即时，则原不等式的解集为； ③若时，即时，则原不等式的解集为． 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为；当时，则原不等式的解集为． 题型6：根据一元二次不等式的解集求参数 15．若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 【答案】 【分析】就参数分类考虑，利用二次函数的图象数形结合即可求得参数范围. 【解析】因关于的不等式的解集为空集， 即的解集为． 当时，原不等式为，即，不符合题意，舍去． 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即解得． 综上，的取值范围为． 16．已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【解析】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 17．已知关于的不等式的解集是． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）直接将代入不等式即可解出； （2）使用二次函数知识将二次不等式化为两根式，然后比较系数得到方程组，再解出方程组即可. 【解析】（1）等价于原不等式对成立，即. 解得，所以的取值范围是. （2）意味着，且. 展开并比较系数可知，故. 而，故，从而，解得，进而得到. 经验证当，时条件满足，所以，. 18．若不等式有唯一解，则的值是 ． 【答案】2或 【分析】根据二次函数的性质与不等式的解之间的关系即可求解. 【解析】由于为开口向上的二次函数， 不等式的解可看作是在之间的图象对应的横坐标， 故不等式有唯一解，则有唯一解． 即，解得或． 故答案为：2或 19．已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出一元二次不等式组的解集，再由题意利用二次函数的性质求得实数的取值范围． 【解析】解：不等式组解得，所以不等式组的解集是， 关于的不等式解集包含，令， ，解得， 故选：． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 20．已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为. 【解析】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为： 题型7：二次函数与一元二次方程、不等式的关系 21．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 【答案】 或 【分析】观察图象，利用大于取两边，小于取中间的原则，即可得答案； 【解析】观察图象，利用大于取两边，小于取中间的原则， 故答案为：或；； 22．不等式的解集为，则函数y的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据不等式的解集为，可得，且和是一元二次方程的两个实根，结合图象可知答案. 【解析】因为不等式的解集为， 所以，且和是一元二次方程的两个实根， 所以函数y的图象开后向下，函数y的两个零点为和， 结合图象可知，选项正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据不等式的解集得到，且和是一元二次方程的两个实根是解题关键. 23．设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是 ； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或. 【分析】根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果. 【解析】对于（1），因为方程有实根，故，解得或. 对于（2），因为不等式的解集为，故，解得. 对于（3），不等式的解集为R，故，故. 24．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【解析】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 25．已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分和，结合二次函数的图象分析得解. 【解析】① 若,则恒成立，满足题意； ② ,则， , ∴. 综上所述. 故选：D 26．不等式 的解集为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论和两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【解析】当时，原不等式为满足解集为R； 当时，根据题意得，且，解得． 综上，的取值范围为． 故选：B． 27．已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答. 【解析】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得，则； 综上所述：a的取值范围是. 故选：A. 28．已知函数，其中. （1）若不等式的解集是，求与的值； （2）若，对任意，都有，且存在实数，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）由不等式的解集是，得到和是方程两个根，结合韦达定理，即可求解； （2）由，得到，根据题意，得到不等式组，即可求解. 【解析】（1）由题意，函数，其中， 因为不等式的解集是，可得和是方程两个根， 所以，解得. （2）由，则函数， 因为对任意，都有，且存在实数，使得， 可得，解得或. 【点睛】本题主要考查了不等式的解集与方程根之间的关系求参数，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记应用不等式的解集和方程根的关系，以及熟练应用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 题型8：一元二次方程根的分布 29．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【解析】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 30．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得. 【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 31．若下列两个方程：，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 . 【答案】或. 【分析】求出两个方程有实根时a的取值范围，求并集即可得到答案. 【解析】有实根，则， 解得或， 有实根，则， 解得或， 故实数a的取值范围是或或或. 故答案为：或. 32．若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【解析】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是,， 故答案为：,． 题型9：解答综合题 33．解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解析】（1）解：方法一：由方程， 因为， 方程的两个实数根为，． 函数的简图，如图所示， 所以不等式的解集是． 方法二：因为原不等式， 结合一元二次不等式的解法，可得原不等式的解集是． （2）解：方法一：因为方程，可得， 所以方程有两个相等的实根， 函数的简图，如图所示， 所以原不等式的解集是． 方法二：因为不等式原不等式等价于， 所以原不等式的解集是． （3）解：方法一：由方程，可得，此时方程无实数解， 函数的简图，如图所示，所以原不等式的解集为． 方法二：由不等式，所以原不等式的解集为． 34．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）分，和讨论即可； （2）计算得，分和或讨论即可； （3）因式分解得，分 ，和讨论即可； （4）分，两大类讨论即可. 【解析】（1）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； （2）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （3）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （4）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 35．设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【解析】（1）由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. （2）当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 36．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和3，且方程的两根相等． (1)求二次函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用二次函数的两根式设解析式，再借助判别式求出二次项系数即可. （2）利用（1）的结论，分类解含参不等式即得. 【解析】（1）依题意，设二次函数解析式为：，则， 方程，即的两根相等， 因此，即，而，解得， 所以二次函数的解析式为. （2）不等式，即， 整理得：，于是， 当时，不等式无解；当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式解集为空集； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 37．已知关于x的不等式的解集为A，其中. (1)若，求实数k的取值范围. (2)求不等式的解集A． (3)是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在， 【分析】（1）代入,解一元二次不等式即可; （2）设原不等式的解集为A，分类讨论，结合一元二次不等式分析运算；   (3) 根据（1）中求出的不等式的解集A，得到当k小于0时，A中的整数解个数有限个，利用基本不等式求出的最大值，进而求出此时k的值． 【解析】（1）由题意可得，解得，所以k的取值范围是. （2）设不等式的解集A， （ⅰ）当时，则不等式为，解得， 所以不等式的解集为； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当且时，原不等式化为， 因为，解得或， 所以不等式的解集为； ②当时，原不等式化为，解得， 所以不等式的解集为； ③当时，原不等式化为， 因为，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当且时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）存在，理由如下： 由（2）知：当时，A中整数的个数为无限个； 当时，A中整数的个数为有限个， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以当时，A中整数的个数最少； 综上所述：当时，A中整数的个数为有限个， 当时，A中整数的个数最少． 一、填空题 1．已知均为实数，若存在使得关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分，和三种情况，结合二次不等式与二次函数之间的关系分析求解. 【解析】当时，例如，则不等式的解集为，符合题意； 当时，由题意可知：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以时，，时，，时，， 联立解得：； 当时，由题意可知：二次函数的对称轴为，开口向下， 所以时，，时，，时，， 联立解得：； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 2．已知，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则所有符合条件的的值之和是 ． 【答案】 【分析】设关于的不等式的解集为，分析可知集合中的个整数依次为、、、、，由此可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，即可得解. 【解析】设关于的不等式的解集为， 因为二次函数的对称轴为直线， 所以，集合中的个整数依次为、、、、， 所以，，解得， 又因为，所以，整数的取值集合为， 因此，所有符合条件的的值之和是. 故答案为：. 3．已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为的图象在上有公共点．作出的图象，取，，点在线段上，这样的图象是过线段和抛物线弧上各一点的直线，表示 直线的斜率，由图象可得其范围． 【解析】问题等价于在上有公共点． ， 设，，点在线段上， 的图象是过线段和抛物线弧上各一点的直线如图，其中． 故答案为：．    4．已知关于的不等式组的解集为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】结合解集区间为闭区间可知，是方程的解，且，然后结合方程的根与系数关系可求． 【解析】因为关于的不等式组的解集为，， 结合解集区间为闭区间可知，是方程的解，且， 所以， 解可得或或（舍， 当，时，不等式组为，解得且不合题意； 当，时，不等式组，解得，此时符合题意． 故， 故答案为：． 5．若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组. 【答案】14 【分析】涉及整数的不等式问题，先使用常见的不等式缩小范围，进一步求解即可. 【解析】由 （1）或2时,,此时共有6组; （2）或2时,,此时共有4组; （3）或2时,,此时共有4组. 综上,满足题意的有序整数组共有14组. 故答案为：14. 6．定义几类集合的长度：（1）集合的长度为；（2）集合(其中)的长度为；（3）空集的长度为0.设，则不等式的解集的长度的最大值为 . 【答案】 【分析】分、、和四种情况讨论不等式解集的长度，即可得到最大值. 【解析】不等式的解集可以看成函数在函数下方部分的图象上点的横坐标的范围， 当时，，此时图象如下所示： 所以解集为空集，解集的长度为0； 当时，图象如下所示： 设交点横坐坐标分别为，，且，令，则，，不等式解集为，解集的长度为； 当时，图象如下所示： 此时令，则，，不等式解集为，解集的长度为； 当时，图象如下所示： 如图所示，设交点坐标分别为，，，，令，则，，令，则，，， ， 所以不等式的解集为或，长度为； 综上所述，当时，不等式解集的长度最大，为. 故答案为：. 二、单选题 7．已知关于的不等式的解集为A，关于的不等式的解集为，其中、都是非零常数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】对、的符号分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系. 【解析】因为、都是非零常数，且， 若，，则，， 可知，可得； 若，，则，， 可知，可得； 若，，则，，此时； 若，时，则，，此时； 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】通过两个一元二次不等式解集的关系，结合充分、必要条件判断即可. 【解析】若一元二次不等式，的解集分别为、， 、、、、、均不为0，、既不是也不是，若，则， 反之，若，则，例如， 不等式的解集与不等式即的解集不一样， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 三、解答题 9．设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式，明确集合的元素，结合集合之间关系，建立不等式组，可得答案； （2）利用分类讨论的思想，根据集合之间的关系，分情况建立不等式组，可得答案. 【解析】（1）， 由，可得， 当时，得，解得. 综上，得实数的取值范围是. （2）， ①当时，得，解得. ②当时，或，解得或. 综上，得实数的取值范围是. 10．已知、、，关于不等式的解集为． (1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围； (2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集判断，得到，结合题意可得，即可求得答案； （2）利用反证法，假设三个方程都没有实数解，可得它们的判别式都小于0，求得a的范围，出现矛盾，即可证明原结论. 【解析】（1）因为关于不等式的解集为， 即的解集为， 故，且1，3为的两根， 则，即， 又方程一根小于，另一根大于， 设，而，则， 即， 结合，可得的取值范围为. （2）证明：假设，，都没有实数解， 则它们的判别式都小于0， 即，即，解得， 这与的取值范围为矛盾， 故，，中至少有一个方程有实数解． 11．已知关于的一元二次方程， (1)若，求证：； (2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求证． （2）关于的方程有两个不相等的正实数根，则，且，即可求解的取值范围. 【解析】（1），， ，，． （2）关于的方程有两个不相等的正实数根， 则，且， ，， 解得：． 12．定义区间，，，的长度均为，其中. (1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值； (2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和； (3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据韦达定理，结合条件可得，从而求得的值. （2）将不等式转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得构成的区间的长度和. （3）先解出不等式的解集为A，不等式的解集为B，根据的长度为6，列不等式组，求出的取值范围. 【解析】（1）当时，不符合题意. 当时，设方程的两根为，则 由题意可知 解得或 因为当时，不等式的解集为两根两边范围，故舍 所以 （2）原不等式可转化为①，对于，其判别式，故其必有两不相等的实数根，设为，由求根公式得，. 下证： 构造函数，其两个零点为，且.而，所以，由于，且，由二次函数的性质可知. 故不等式①的解集为，其长度之和为. （3）因为，记， 设不等式的解集为， 不等式组的解集为 设不等式等价于， 所以，， 由于不等式组的解集的个区间长度和为， 所以不等式组，当是恒成立. 当时，不等式恒成立，得 当时，不等式恒成立，分离常数得恒成立. 当时，为单调递增函数， 所以，所以， 所以实数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$