2.5.2 圆与圆的位置关系（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．5.2　圆与圆的位置关系 [学习任务] 1．理解圆与圆的位置关系．(重点、易错点) 2．掌握判断圆与圆的位置关系的代数方法与几何方法，并能进行两圆位置关系的判断. (重点、难点) [对应学生用书第63页] 知识点　圆与圆位置关系的判定方法 1．几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆外离 0 d＞r1＋r2 两圆内含 d＜|r1－r2| 两圆相交 2 |r1－r2|＜d ＜r1＋r2 两圆内切 1 d＝|r1－r2| 两圆外切 d＝r1＋r2 2.代数法 通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行判断． 一元二次方程 [对应学生用书第63页] 探究一　圆与圆位置关系的判断 [例1]　已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系． [解]　法一　(几何法)把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径r1＝. 把圆C2的方程化为标准方程，得 (x－1)2＋(y－4)2＝25. 圆C2的圆心坐标为(1，4)，半径r2＝5. 圆C1和圆C2的圆心距 d＝＝3， 又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋， 两半径长之差是r2－r1＝5－. 而5－＜3＜5＋， 即r2－r1＜d＜r1＋r2， 所以两圆的位置关系是相交． 法二　(代数法)将两圆的方程联立得到方程组 由①－②得x＋2y＋1＝0，　　　　　　　　　　 ③ 由③得x＝－2y－1，把此式代入①， 并整理得y2－1＝0， 所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1. 所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3，1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交． 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法； (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 1．已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当a＝1时，试判断两圆的位置关系． 解　将两圆的方程写成标准方程为 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 所以两圆的圆心和半径分别为 C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2. 设两圆的圆心距为d， 则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切， 此时a＝－5或a＝2. (2)当a＝1时，d＝＝，r1＝3，r2＝2， 因为|r2－r1|＜d＜r2＋r1， 所以两圆相交． 探究二　两圆相切问题 [例2]　已知圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点A(3，－)，求圆C的方程． [解]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 因为圆C与圆C1：(x－1)2＋y2＝1相外切， 所以＝r＋1.① 又因为圆C与直线x＋y＝0相切于A(3，－)， 所以＝r，② ＝.③ 由①②③解得或 故圆C的方程为 (x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论； (2)转化思路，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 2．(1)(贵阳一中期末)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m＝(　　) A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定 (2)(山东四市联考)我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫作“串圆”．在如图所示的“串圆”中，圆A的方程为x2＋(y－1)2＝2，圆C的方程为(x－6)2＋(y－7)2＝2，则圆B的方程为________. 解析　(1)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.故选C. (2)依题意可得A(0，1)，C(6，7)，且B为线段AC的中点，所以B(3，4).又|AC|＝6 ，圆A，圆C的半径都是，所以圆B的半径r＝2 . 故圆B的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝8. 答案　(1)C　(2)(x－3)2＋(y－4)2＝8 探究三　两圆相交问题 [例3]　求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长. [解]　设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B的坐标是方程组的解， 两式相减得x＋y－1＝0. 因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0， 所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0， 即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0， 圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d＝， 由条件知r2－d2＝－＝， 所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝. 1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解． 1．(变结论)本例条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？ 解　由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0， 对于圆C1：x2＋y2＝1，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝， 由条件知r2－d2＝1－＝， 所以公共弦长为2×＝. 2．(变条件)本例中若将圆C3的方程“(x－1)2＋(y－1)2＝”改为“(x－1)2＋(y－1)2＝4”，其他条件不变，又如何求解呢？ 解　由题意将圆C1与圆C2的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l为x＋y－1＝0. 圆C3的圆心为(1，1)， 其到直线l的距离d＝＝， 由条件知，r2－d2＝4－＝， 所以弦长为2×＝. (链接教科书第99页习题14题)如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1，2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路： 首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确．如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题做出反面回答． 1．请解答上述问题． 解　(1)∵直线AB的斜率为k＝tan 135°＝－1， ∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0. ∵圆心O(0，0)到直线AB的距离 d＝＝， ∴弦长|AB|＝2＝2 ＝. (2)假设存在弦AB被点P0平分， ∴P0为弦AB的中点，又|OA|＝|OB|＝r， ∴OP0⊥AB. 又kOP0＝＝－2，∴kAB＝. ∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0. 由以上求解可知，存在被P0点平分的弦AB，此弦所在直线方程为x－2y＋5＝0. 2．已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13. (1)求圆C的标准方程； (2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由． 解　(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，由题意知解得或 又因为S＝πr2＜13，所以a＝1，r＝2， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4. (2)不存在这样的直线l. 理由如下：当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意． 当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0， 因为l与圆C相交于不同的两点， 所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0， 解得k＜1－或k＞1＋. x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝， ＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3). 假设∥，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2， 所以3×＝， 解得k＝，∉∪， 所以假设不成立．不存在这样的直线l. 学科网（北京）股份有限公司 $$