2.2.2 直线的两点式方程（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．2.2　直线的两点式方程 [学习任务] 1．掌握直线方程两点式和截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 2．能选择适当的形式求直线方程．(难点、易错点) [对应学生用书第45页] 知识点　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 经过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b 图形 方程 ＝ ＋＝1 适用 范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 [对应学生用书第46页] 探究一　直线的两点式方程 [例1]　△ABC的三个顶点分别为A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形的三边及AB边上的中线所在直线的方程． [解]　直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点， 由两点式得＝， 整理得3x＋8y＋15＝0，这就是AB边所在直线的方程． 直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点， 由两点式得＝， 整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程． 直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点， 斜率k＝＝－，由点斜式得y－2＝－(x－0)， 整理得5x＋3y－6＝0，这就是BC边所在直线的方程． 因为A(－5，0)，B(3，－3)，所以AB边的中点M的坐标为，即M，于是AB边上的中线所在直线的方程即为MC所在直线的方程． 由直线的两点式方程得＝，即＝， 所以y－2＝x，即7x－2y＋4＝0. 求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程； (2)由于减法的顺序性，在使用两点式求直线方程时易将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 1．(1)(吉安一中月考)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为边AB的中点，N为边AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 (2)(西宁一中月考)已知两点A(－1，2)，B(m，3)，则直线AB的方程为_________． 解析　(1)由题意结合中点坐标公式，得M(2，4)，N(3，2). 由两点式可得直线方程为＝，化简得2x＋y－8＝0. (2)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线AB的方程为＝， 化简得y＝x＋＋2. 答案　(1)A　(2)x＝－1(m＝－1)或y＝x＋＋2(m≠－1) 探究二　直线的截距式方程 [例2]　(1)在x，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(　　) A．4x＋3y－12＝0 B．4x－3y＋12＝0 C．4x＋3y－1＝0 D．4x－3y＋1＝0 (2)经过点A(4，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程为________________. [解析]　(1)根据直线的截距式方程得直线方程为＋＝1，化简得4x－3y＋12＝0.故选B. (2)若直线l经过原点，则l的方程为y＝x， 即x－2y＝0. 若直线l不经过原点，设l的方程为＋＝1， 把(4，2)代入方程可解得a＝， ∴直线l的方程为＋＝1，即x＋3y－10＝0. ∴直线l的方程为x＋3y－10＝0或x－2y＝0. [答案]　(1)B　(2)x＋3y－10＝0或x－2y＝0 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可； (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 2．已知直线l经过点P(4，3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 解　法一　当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0. 设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，又因为l过点P(4，3)， 所以3＝4k，故k＝，所以直线l的方程为y＝x. 当直线l不过原点时， 设直线的截距式方程为＋＝1(a≠0)， 又因为直线过点P(4，3)，所以＋＝1，所以a＝7， 所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y＝7. 综上，直线l的方程为3x－4y＝0或x＋y－7＝0. 法二　由题意可知，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的斜率为k(k≠0)，则有y－3＝k(x－4). 令x＝0，得y＝3－4k；令y＝0，得x＝4－. 由直线l在两坐标轴上的截距相等，得3－4k＝4－， 解得k＝－1或k＝， 所以直线l的方程为y－3＝－(x－4)或y－3＝(x－4)， 即直线l的方程为x＋y－7＝0或3x－4y＝0. 探究三　直线方程的应用 [例3]　直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6. [解]　(1)设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意可知，a＋b＋＝12.① 又因为直线过点P， 所以＋＝1，② 由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得或 所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意可知解得或 所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝|a||b|，周长c＝|a|＋|b|＋. 3．A是直线l：y＝3x上位于第一象限内的一点，B(3，2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标． 解　如图，设点A的坐标为(m，3m)(m＞0). (1)当直线AB不垂直于x轴时，由两点式得直线AB的方程为＝.令y＝0，得xC＝.因为点C在x轴的正半轴上， 所以＞0，即m＞. 所以△AOC的面积S＝××3m＝＝×＝×≥×＝×8＝. 当且仅当m＝时等号成立，此时点A的坐标为. (2)当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3，9)，此时S△AOC＝×3×9＝＞. 综上所述，△AOC的面积的最小值为，此时点A的坐标为. 忽略直线截距可正、可负、可为0的情况而致误 [典例]　直线l过点P(－6，3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程． [错解]　设直线l的方程为＋＝1，又直线l过点P(－6，3)， ∴＋＝1，解得b＝1，∴直线l的方程为＋y＝1，即x＋3y－3＝0. [错解分析]　忽略横、纵截距都为0的情况． [正解]　当直线l在y轴上的截距不为零时，由题意可设直线l的方程为＋＝1(b≠0)，又直线l过点P(－6，3)， ∴＋＝1(b≠0)，解得b＝1， ∴直线l的方程为＋y＝1，即x＋3y－3＝0. 当直线在y轴上的截距为零时，直线l过原点， 设其方程为y＝kx(k≠0)， ∵直线l过点P(－6，3)， ∴3＝－6k，解得k＝－， ∴直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0. 综上所述，所求直线l的方程为x＋3y－3＝0或x＋2y＝0. 当题中给出x轴上的截距与y轴上的截距之间的关系是相等或者是互为相反数或者是一个截距是另一个截距的多少倍时，要分截距为零和截距不为零两种情况讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$