2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习任务] 1．理解并掌握两条直线平行或垂直的条件．(重点) 2．会利用斜率判断两直线平行或垂直．(重点、难点) 3．能应用两条直线的平行或垂直条件解决有关问题．(易错点) [对应学生用书第40页] 知识点　两条直线平行与垂直 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2.两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 [对应学生用书第40页] 探究一　直线平行的判定 [例1]　(多选)下列各组直线中l1与l2一定平行的是(　　) A．l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B．l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3) C．l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2) D．l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5) [解析]　A．由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.B.由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，而kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．C.由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．D.由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. [答案]　AD 判断两条不重合直线是否平行的步骤 [提醒]　若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 1．(1)已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(－1，－)，B(0，0)，则直线l1，l2的位置关系是(　　) A．平行或重合　　　　 B．平行 C．垂直 D．重合 (2)已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标． 解　(1)由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝，所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合． 答案　A (2)设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC， 则有kAB＝kDC，kAD＝kBC， 所以解得 所以点D的坐标为(3，4). 探究二　两直线垂直的判定及应用 [例2]　判断下列直线l1与l2是否垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40). [解]　(1)∵k1＝＝2，k2＝＝， k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． (2)∵k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2. (3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°， 则l1⊥x轴． k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等：若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步； (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式； (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 2．(1)若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)，且与经过点(－2，1)且斜率为－的直线垂直，则实数a的值为(　　) A．－　　 B．－　 C．　　 D． (2)以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的直角三角形，其直角顶点为________． 解析　(1)易知a＝0不符合题意．当a≠0时，直线l的斜率k＝＝－，由－×＝－1，得a＝－，故选A.(2)因为A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)，所以kAB＝＝－，kAC＝＝.所以kABkAC＝－1，所以AB⊥AC，所以∠A为直角． 答案　(1)A　(2)A 探究三　两直线平行与垂直的综合应用 [例3]　如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状． [解]　由斜率公式得kOP＝＝t， kRQ＝＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－. 所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOPkOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形． 1.利用两直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 2．判定几何图形形状的注意点 (1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标； (2)证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况； (3)判断四边形形状时，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．Ｋ 3．已知A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求使四边形ABCD为直角梯形的D点坐标．(A，B，C，D按逆时针方向排列) 解　设所求D点坐标为(x，y).因为kAB＝3，kBC＝0， 所以AB与BC不垂直，故AB与BC都不可能为与底边垂直的腰． ①若CD是直角梯形与底边垂直的腰， 则BC⊥CD，AD⊥CD， 因为kBC＝0，所以CD斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC，所以y＝3，此时AB与CD不平行． 所以D点坐标为(3，3). ②若AD是与底边垂直的腰，则AD⊥AB，AD⊥CD， 因为kAD＝，kCD＝， 又AD⊥AB，所以·3＝－1.① AB∥CD，所以＝3.② 由①②得此时AD与BC不平行， 所以D点坐标是. 综上可知，D点坐标为(3，3)或. [典例]　已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2).若直线AB⊥CD，求m的值． [错解]　由斜率公式知， kAB＝＝， kCD＝＝. 因为AB⊥CD，所以kABkCD＝－1， 即×＝－1， 解得m＝1. [错解分析]　漏掉了直线AB的斜率不存在的情况． [正解]　因为A，B两点纵坐标不相等，所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，所以－m≠3，即m≠－3.当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1，则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意． 当AB与x轴不垂直时，由斜率公式知， kAB＝＝， kCD＝＝. 因为AB⊥CD，所以kABkCD＝－1， 即×＝－1，解得m＝1. 综上，m的值为1或－1. 对于过含有参数的点的直线垂直问题，要分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，避免漏解． 学科网（北京）股份有限公司 $$