7.数学·2023年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)-【名校强基卷】2020-2024年5年高考数学真题汇编

绝密★启用前 2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷） 数学 使用地区：山东、广东、福建、湖南、湖北、河北、江苏、浙江 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 尔 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 郑 题目要求的， 1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},V={xx2-x-6≥0}，则M∩V= A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2 C.{-2} D.{2 2.已知之= 十2则一= A.-i B.i C.0 D.1 非 3.已知向量a=(1,1),b=(1,一1).若(a+b)⊥(a+b),则 A.1+u=1 B.入十4=-1 C.λ4=1 D.4=-1 4.设函数f(x)=2-在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是 A.(-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+o∞) 5设铺圆C:号+了=1a>1.C:千+y=1的离心率分别为44若=5则a=( 0 号 B.V② C.3 D.6 6.过点(0，一2)与圆x2十y2一4x一1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina= A.1 B①⑤ 4 C.0 4 n 7记S为数列a,的前a项和，设甲：a,为等差数列：乙：倍 为等差数列，则 蜜 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.已知sin(e-B)=3 osin=名，则cos(2a+2g)= A号 C.-g 9 2023·新课标I卷第1页（共8页） 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分， 9.有一组样本数据x1,x2,·,x6,其中x1是最小值，x6是最大值，则 A.2,xx,x的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x,xx的中位数等于x,x2,…,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x的标准差不小于x1,x2,·,x6的标准差 D.x2,3,x,x的极差不大于x1x2,·,x6的极差 10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L,=20×1g是，其 中常数p,(p,>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 6090 混合动 10 50~60 力汽车 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 A.p1≥p B.p2>10p C.p3=100p D.p1≤100pg 11.已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=yf(x)+x2f(y),则 A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m)的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有 A.直径为0.99m的球体 B.所有棱长均为1.4m的四面体 C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门 课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）. 14.在正四棱台ABCD-A,B,C,D中，AB=2,AB,=1,AA=√2，则该棱台的体积为 15.已知函数f(x)=cosw.x一1(w>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则u的取值范围是 16,已知双曲线C:-若=1(u>0,>0)的左、右焦点分别为F,F点A在C上，点B在y轴 上，FA1E店，F=-号F店，则C的离心率为 2023·新课标I卷第2页（共8页） 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 17.(10分)已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB. (1)求sinA: (2)设AB=5,求AB边上的高. 2023·新课标I卷第3页（共8页） 18.(12分)如图，在正四棱柱ABCD-AB,C,D1中，AB=2,AA1=4,点A2,B2, B C,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. C2- (1)证明：B2C2∥A2D2: B (2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150时，求B2P. D 2023·新课标I卷第4页（共8页） 19.(12分)已知函数f(.x)=a(e+a)一x, (1)讨论f(x)的单调性： (2)证明：当。>0时，x)>2na+是 2023·新课标I卷第5页（共8页） 20.(12分)设等差数列{a,的公差为d,且dD1,令6，=+”，记S,T,分别为数列{a,},{6,的 前n项和. (1)若3a2=3a1十ag,S十T3=21,求{a,}的通项公式： (2)若{b.}为等差数列，且S一Tm=99,求d. 2023·新课标I卷第6页（共8页） 21.(12分)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中 则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中 率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率： (3)已知：若随机变量X:服从两点分布，且P(X:=1)=1一P(X:=0)=9:,i=1,2,…,,则E (宫X)=三g,记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲授篮的次数为Y,求EY). 2023·新课标I卷第7页（共8页） 22.(12分)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的 轨迹为W. (1)求W的方程： (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3V3. 2023·新课标I卷第8页（共8页）第2步:作差比较大小,得出结论 过7.C *(2a?+2b?)-(a+b)=2(a+b)?②-4ab-(a+b)→(a十 ##(#)一)# b)-(a+)-(a+b)(a+b-1), 由a+6>3得(a+b)(a+b-1)>0 .2a?+2?>a+b. 解法二(不等式的传递性) 第1步:证明2a{十2^{}二( 十b)2 “(2a?+2?})-(a+b)2}-(a-b)?0. '2a{}+2{}一(a+b){},当且仅当a-时等号成立; $S -dn.易知a-S.当n2时,a-S-S-1-2d 第2步:证明(a十b){}→a十b +S.-2dt,n-l时也符合,故a.-2dn+S-2d(易错: :a十3. 需验证n-1),所以an+1-an-2dì,所以{an)为等差数列, .(a+b)②a十b, 故甲是乙的必要条件,故选C. 第3步:利用不等式的传递性得出结论 .2a2+2?>a+b. (2)第1步:利用绝对值三角不等式去绝对值 $-2 6}|+ 6-2^{} >a-2^{}+b-2a{|-a+b-(2^} +26)|-2a+26?-(a+b). 第2步:利用a十b二3得出结论 解法二:由 sin(a-B)-sin acos -cos asin )-3且 cos 由(1)中解法一知(2a?+2?)-(a十b)→(a+b)(a十b-1). :a+b>3.'.(a+b)(a+b-1)>3x2-6. asin- .-26|+|b-2a^}|>6. 2023年普通高等学校招生全国统一考试 +cos asin3- 3,所以cos(2a+23)-1-2sin{}(a+③)- (新课标I卷) #.故选B. 1.C 由x2-r-6>0,解得x→3或x<-2,即N=(-.$$ 过9. BD 选项A.41+r+x+1+r+3+r+rs+ 一2]U[3,+oo),故MON=一2,故选C. 4 $.A-4(1))-- 6 则6(x+xr+x+x)-4(x1+x+x+x+xs+x) 2(r2+xa+x4+x)=4(xi+x)x+x+x4+x= 2(x十工),所以选项A不一定成立,故A错误;选项B. 3.D 解法-:a+xb-(1+,1-),a+b=(1+,1-). X.13.X4,xs的中位数为4个数据从小到大排列后最中 因为(a十xb) (a十b),所以(a十xb)·(a十b)一0,即 间2个数的平均数,x·r?....x的中位数为6个数据从 (1+a,1-x)·(1+,1-n)=(1+)(1+)+(1-) 小到大排列后最中间2个数的平均数,二者相等,故B正 (1-)-2十2-0,故--1,故选D. 确;选项C,标准差反映数据的集中程度,数据越离散,标 解法二:由题意知,a^{}-b|^{②}-2,且a·b-0.因为(a十$ 准差越大,因此工和工。加上之后标准差会不变或变大, xb)l(a十b),所以(a十b)·(a十b)-o,即|a 故C错误;选项D,极差为样本数据的最大值减去最小值, (十)(a·b)+lb|}-0,则2+2x=0,故=-1,故 所以x2.x3.x.x的极差不大于x1.r,...,re的极差,故 选D. D正确,故选BD. 快解:取x1.x...,x为1,2,2,2,2,9.选项A,x2,3.x. 4.D 由复合函数单调性法则知,f(x)-2r(r-*)在(-, r的平均数等于2,x1,x....,x。的平均数等于3,故A错 )上单调递减,在(,十)上单调递增,因为/()在 (0,1)上单调递减,所以号二1,即a2,故选D. .1的标准差为0.X1,x2,...,x的标准差为 5.A 由题意得,--1 1 6 Xt.x的极差为0.x1,x,...,x。的极差为8,故D正确,故 6.B 将圆x^2+-4x-1-0化为标准方程(x-2)②+}- 选BD. 5.可知圈心坐标为(2,0),半径为v5.设圆心为O,过点 10.ACD设燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车的声压级分 P(0,一2)作圆O的两条切线分别交圆O于点A和点B 别为L.L2,L,L.-L=20×lg 1-20xlg2=20 7o 则OP-2②,OA-OB-5,PA-PB-③,故sin OPA 1g0,所以=1,即p1二P2,所以选项A正确;L2一 - ③ # co OPA /12 P2 320xlg10且L-L= OPA-OPB,故sina=sin 2OPA=2sin OPA· ,0 201t2<20,所以11g{ 222v2 3 数学答案一23 1$0 2 10,所以选项B错误;L3-20xlg 解法二:选课方案可以分成两类;第一类,选修2门,每一 力0 类各选1门,有C ·C一16(种):第二类,选修3门,一类 3-2,即3-100,所以p-100o,所以选 40,所以lg 选1门另一类选2门,有2·C·C}-48(种).综上,不同 0 的选课方案共有16十48-64(种). 1<90-50-40,所以1g K14.#7#6 C正确;L-L2-20×lg 解法一:记上底面、下 )2 p2 2.即<100.所以)<1002,所以选项D正确,综上, 底面的中心分别为O,0. P2 则四边形AOOA:为直角 梯形,由题意可知AO一 D 故选ACD 11.ABC 选A,令x=y=0,则f(0)=0②xf(0)+o}$$ 2A.O=②,则校台的高h f(0)-0,A选项正确;选项B,令x=y-1,则f(1) ×(4+1+ *$ f(1)+1×f(1)=2/(1),所以f(1)=0,B选项正 确;选项C,令x=y=-1,则0=f(1)-(-1)②xf(-1 4XT)-7 十(-1)2x/(-1)-2f(-1),所以f(-1)-0.令y= 解法二:将正四校台ABCD 0 -1,则f(-)=(-1)2xf(x)+x2 (-1)=/f(x)+0 A.BC:D:补形,得到正四梭锥 f(x),所以f(x)为偶函数,C选项正确;选项D.对式子两 OABCD.由AB=2A:B 可得 r2② OA-2/2所以正四校锥OABCD f()-lnlxl(r0),故可得/(c)- [x*lnlxl,xzo, 10.1-0 V64v D选项不正确,故选ABC 13.同理,可得正四夜锥O 12.ABD 对于A,校长为1m的正方体,其内切球直径为 1m,直径为0.99m的球体可以放入该正方体内,所以A 选项符合题意;连接正方体的6条对角线作出正四面体. 该楼台的体积V=V-V7 其校长为v2m 1.4m,所以B选项符合题意;因为该正 15.[2,3)因为0,所以当x[0,2]时,r0,2] 方体的体对角线长为3m1.8m,所以不能装入高为 令 (x)=cosax-1=0,解得ar=2k(k乙).由f() 1.8m的圆柱体,所以C选项不符合题意;对于D,因为 有且仅有三个零点可知,一0,1,2且不能取到3,作出 1.2m1m,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆,如 y=cosar的大致图象,结合图象可知,4π 2ur 6x,解 图为正方体的对角面,过AC的中点O作OEAC1,设 得23. T”,且 由FA-- 过16.3v5 #可得A,Fa,B三点共线,且 (45)第--0.6-,即→0.6,故以ACc为知 IFAl -3.设|FA -2m.|FB|-3n,由双曲线的定义 可以对称放置底面直径为1.2m的圆柱,若底面直径为 1F.B 1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切,设园柱的底面 可知AF 一2a+2m.因为点B在y轴上,所以由对称性 圆心为O,与正方体的下底面的切点为M,可知AC1l 可知|F:B-3m.因为FA1F.B,所以在Rt△AFB中, CC OM 1FA O. M.OM-0.6,则tan CAC= sin F,AB- ACAO' 2 1AB 5n AF|=2m-2a,易知|FF]-2c,在△AFF中,cos ③-2×0.6②~1732-1.2×1.414-0.03520.01. 所以D选项符合题意,故选ABD. 16{2} # -3v5 13.64 解法一:选课方案可以分成两类:第一类,选修2门 总的方案减去不符合要求的,有C{}一-2C一16(种);第二 类,选修3门,有C一2C}一48(种).综上,不同的选课方 案共有16十48-64(种). 数学答案-24 17.解;(I)解法一:*.A+B-3C,且A+B+C=; 由正四校柱的结构特征易得FB;EC,则四边形 .C一 EFBC。为平行四边形,则EF/BC。. 同理可得EF/AD..'.BC//AD. .2sin(A-C)-sinB. 证法二:在正四校柱ABCDA;BC1D;中,以C为坐标原 .2sin(A-吾)=sin(A+吾)(提示:求出角C后用 点,CD.CB,CC;所在直线分别为x.y.:轴,建立如图所 示的空间直角坐标系, sinB=sin(A十C)转化为A). 化简得tanA-3. :Ae(o.).- sin A-3T0 ## 10. D 解法二:.2sin(A-C)-sinB, &.2sin(A一C)一sin(A十C)(方法:求出角A与角C的关 #B 系). '.2sin Acos C-2cos AsinC D =sin Acos C+cos Asin C. 则sin Acos C-3cos Asin C,即 tan A-3tanC. ·.A+B-3C,且A+B+C-π. .C-吾.. tanA-3tanC-3. :Ae(o.).:sinA-3T0 则A。(2.2.1).D.(2.0.2).B(0.2,2).C(0,0.3) $AD-(0,-2,1),BC-(0.-2,1). .ADB二C. (II)解法一:在△ABC中,由正弦定理ABBC sinCsinA' 又ADOBC-.BC/AD 得BC-3v5. 证法三:连接AB,易知AB -BC -CD -DA +10 则四边形ABCD。是菱形,故B。C。/AD. . AB边上的高h-BC·sin B-3×26. (II)设P(0,2,a),由(I)得AD=(0.-2,1). AP-(-2.0.a-1),AC-(-2.-2.2). 解法二:在△ABC中,过点B作BH AC于点H, 设平面PAC。的法向量为n=(x,y,1). [AP十n-0, 即 -2x+(a-1)z1=0. 则 AC十n-0. 1-2x-2y1+21-0. 令-1,得x-a-1. 13- .-(“-13--1). 15 设AH=m,则BH-CH-3m(提示:利用tanA-3以及 设平面ACD的法向量为n-(x2,y,x). C-吾表示出各边长), [AD2·n=0, -2y+x2-0. 即 AC·n-0. {-2x2-2y2+22-0. 2 令y-1,得x-1,z-2. 设AB边上的高为h,由等面积法得AB·h-AC· .n-(1.1.2). '.cos 150=cosn.n)或 cos 15o{}--cos n.n)(提 $H,即5·h-4rn·3n=30,解得h-6 示:二面角等于两平面的法向量的夹角或其补角), 18.解:(I)证法一:取CC 的中点E,取BB的中点F,连接 . cos 150}- cos(n,n)nn D.E,EF,FA,则EC.-1, n·n2 13 C ③ D. (“)#}+(3-“){}1v ,B 化简得a?-4a十3-0,解得a-1或a-3, *BP-a-2-1. D. 19.解:(I)因为/(x)=ae-1. 当a<0时,/(x)<0对任意xER恒成立,故f(x)在R -B 上单调递减; 当a0时,令f(x)=ae-1-0,解得x=-lna,且 /(x)在R上单调递增, 所以当x(-,-lna)时,f(x)<0. 数学答案一25 当xE(-lna,十oo)时,f(x)>0. 则d-1或d-- 故f(x)在(一,-lna)上单调递减,在(-lna,十oo)上 单调递增. “a1”这一条件). 综上所述,当a0时,f(x)在R上单调递减; 当a0时,f(x)在(-oo,-lna)上单调递减,在(-lna; 十c)上单调递增(注意:最后要有总结性语句). 21.解:(I)记第i次投篮的人是甲的概率是力,则第2次投 篮的人是乙的概率为1一力,根据投篮规则,要分两种情 (II)证明:由(I)知,当a>0时,f(x)在x=一lna处取 况讨论: 得最小值,且f(x)mn=f(-lna)-lna十a?+1. ①第1次甲投篮的概率为0.5,没有投中的概率为0.4,则 第2次是乙投篮;②第1次乙投篮的概率为0.5,投中的 概率为0.8,则第2次乙继续投篮(易错;没有分清投中与 没有投中的概率),所以1-p2-0.5×0.4+0.5×0.8 0.6. (IlI)记第i次投篮的人是甲的概率是力;,则第i次乙投篮 令g(a)-a②-lna(a>0). 则g(a)-2-12a-1. 接下来分析第i十1次投篮的人是甲的概率,分两种情况; ①第i次为甲投篮的概率为),投中的概率为0.6,则第 令g‘(a)-0.解得a-(舍负), i计1次还是甲投篮; ②第i次为乙投篮的概率为1一,没有投中的概率为 又g(a)在(0,十oo)上单调递增, 0.2,则第i十1次是甲投篮(提示:这里的分类讨论是第 所以g(a)在(0,^})上单调减,在(^},+#)上单调递 (I)小题的一般化,找出递推关系是本题的突破口,从而 将概率问题变成数列问题), 所以 +1=×0.6+(1-)$0.2-0.2+0.4 变形得_ #1-(#). 且g(a)mn-8(^)-+ln>,命题得证 ###-#,以数列#}是首为士,公比为 20.解:(I)由3a-3a:+a,得3(aì+d)-3aì+(aì+2d). 即a-d. nd (关键:观察出b。为等差数列,为后面的T。一3b。作铺 垫), 又S+T。-21,得3a+3b,-21,即a+b-7. 成等比数列)(易错:递推数列的首项易出错). 所以2+3-7,即2d-7+3-0. (III)随机变量Y,服从两点分布, / 且P(Y =1)=1-P(Y=0)=p,i=1,2..,n. 解得d-3或d-(舍去),所以a.-3a(neN”). 则E(Y)-p, (II)设a.-dn十b,b.-n十t. 所以当n二1时, 则(dn十b)(kn十)-n2十n. ##-#}()一# 即dkn?十(dt+kb)n十bt-n2十n. d-1. ##.#(# 所以dt十-1, ###。_# 1bt-0. 又S-T。-99,即aso-bo-1. -.[1一()”]+neN(提示:利用分组求和法 ①当b-0时, [d-1, 求数列的和,一组为常数列,一组为等比数列) 则dt-1. 所以E()#-。1-()]+N”. 50d-(50+t)-1. 22.解:(I)解法一(直译法):设P(x,y),由题意可得lyl= 得50d?-(50kd+td)-d. ##$2}(y)#},花可得2}一# 即50d?-51-d,解得d- ②当-0时, 所以动点P的轨这W的方程为x^{}=y-. [d-1, 物线,此时焦准距力一项点为(0)焦点落在y轴 解法二(定义法):由抛物线的定义可知,点P的轨迹为抛 则-1, (50d+b)-50-1. 得(50dh+bh)-50h^{}-k. 的正半轴上, 所以动点P的轨迹W的方程为:^②}-y-. 即51-50^}-b,解得 -1或k- 50 数学答案-26 (II)证法一(设点法):因为矩形ABCD有三个项点在W 记-min{ ,则有1AB|+BCl 1+m^{}k-20 上,由对称性不妨设为A,B.C三点在W上,且AB BC 设点A(a,a+),B(,6{+),c(c.+),显然 + 1+ -2ro1+· +1一 直线AB,BC的斜率均存在,且不为零, #1+{·(n).# 不妨设直线AB的斜率kA-a十b0. 同理n-b十c. 下同证法一. 则有kA·knc-(a十b)(b十c)--1. 2023年普通高等学校招生全国统一考试 记b=a+b-k>0,则knc-b+c=- (新课标II卷) 则有a-c=(a+b)-(6+c)=+士→0, 1.A 因为(1十3i)(3-i)一6十8i,所以在复平面内其对应的 从而|AB|+|BCl=1+(a+){②}a-bl+1+(+c )^$} 点坐标为(6,8),位于第一象限,故选A. 2.B若-a-1,则a=-1,此时A-0,1),B-1,-3, -4,不满足题意;若-a=a-2,则a-1,此时A-(0. 记m-min{ ,,刻有|ABl+1BCl 1+m^{}la-bl -1,B-(1,-1,0),ACB,满足题意;若-a-2a-2,即a ##此时 $A- {0#,),B-(1-#},不满足是题# +V1+m^{}|6-cl-1+m^{}|1a-b+b-cl- 1+m{} #-61_·() 意,故选B. 高中部抽取20人,则不同的抽样结果共有C1。·C2。种; 则广(n)2(m+){}+(1+m2)·,2(1+)· 故选D. 4.B 解法一;因为/(x)的定义域为(-.-)U(. (1-)-2(+)(1+})(2-), 十。),且f(x)为偶函数,所以/(一1)=f(1)(方法:通过 所以f(m)在(o,^})上单调减,在(^{},+)上单调递 得a-0,故选B. 增, 解法二:由题可知Vx(-,-)U(,+),都有 所以f(m)min-()-(1+)(2+v2)#-27. f(一x)一f(x)(方法:通过偶函数的定义列出等式,通过对 所以矩形ABCD的周长为2(|AB +|BC|) #()→#({})一#一、< 一1用10-10-0以-- 两个不等式取等条件不同,所以矩形ABCD的周长大于 33. a,所以a-0,故选B. 证法二(设线法):因为矩形ABCD有三个顶点在W上, 5.C 解法一:设F,F。到直线y=x+m的距离分别为d. 由对称性不妨设A,B.C三点在W上,且AB|BC. 显然直线AB,BC的斜率均存在,且不为零,不妨设直线 2 -#2m.,因为S△r =2$△r An,所以}ABl·d= AB的斜率为kAB-k0,则&=- 设B(7o,+). $x AB l·d2,即d=2d2,所以|-v②+ml= 则直线AB的方程为y-(2+)-k(x-xo). 23y2-3.消 21v2+m,所以m-- 代入y-2}十消去y整理可得x{}-kx十xo(-xo)- -x十m. y得4r?+6mx+3m}-3-0,则A=36m-16(3n}-3)> 0.(*) 0.解得n{}{4(方法:根据直线与圆相交,确定n的取值 由题意可知x与xA为方程(*)的两个根, 所以xA-k-xo,同理可得xc=- 解法二:设直线y-x十m与x轴的交点为M,所以S△FA 所以|AB|+|B[C|-1+^{②}1-2xo|+ #1-#20 # 为S FAB=2S FAB,所以 MF |=2|MFl.又|FF = 数学答案-27