2.2.3因式分解法（4大题型提分练）数学湘教版九年级上册

2.2.3 因式分解法 题型一 利用提取公因式的因式分解法解一元二次方程 1、一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 2、一元二次方程的解完全正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴， 故选：B． 3、解一元二次方程的过程中，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先移项，然后提取公因式分解因式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4、解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 所以，. 5、解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用因式分解法解方程． 【详解】解：， 提公因式得：， 即或， 所以． 题型二 利用套用公式的因式分解法解一元二次方程 6、下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程． 由偶次方非负性以及因式分解求一元二次方程的根，即可找出各选项中方程根的情况，即可得到答案． 【详解】解：A、化为：，即，有两个相等实数根，故符合题意； B、 化为：，解得：，故不符合题意； C、 化为，故方程无实根，故不符合题意； D、由，得，故不符合题意 故选A． 7、解方程： 【答案】． 【详解】解：∵． ∴， ∴或 ∴． 8、解方程． 【答案】 【详解】， ， ， 或， 题型三 用适当的方法解一元二次方程 9、解方程． (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）根据公式法直接求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解； （3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ∵， ∴， ∴； （2）解： 两边都除以2，得． 移项，得． 配方，得， 即， 开平方，得， 即，， ∴，． （3）解：原方程可变形为． ∴． ∴，， ∴，． 10、解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)无解 (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法是解题的关键； （1）直接利用因式分解法即可求解； （2）左边先展开，再利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解； （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 所以； （2）解：； 展开，得：，    配方，得， 即， 两边开平方根，得：， 所以，； （3）解：， ∵， ∴， 所以原方程无实数根； （4）解：， 即， 或， 所以． 题型四 用因式分解法解一元二次方程错解复原 11、小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，根据因式分解的步骤解方程后再判断即可． 【详解】， ， ∴或， ∴或； 故小李解方程的过程错误，A选项不符合题意； 也是该方程的一个解，B选项符合题意； 小李解方程的方法不是配方法，是因式分解法，C选项错误； 解方程的过程是从第③步到第④步时出现错误，D选项错误． 故选：B． 12、关于y的方程，下面解法完全正确的是（    ） 甲 乙 解得：整理得： 两边同时除以 得到 丙 丁 移项得： ∴ ∴或 ∴或 整理得： 配方得 ∴ ∴ ∴ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键，利用一元二次方程的解法进行判断即可． 【详解】解：A、方程整理得：，故选项整理错误，计算错误； B、要讨论是否等于零，漏解，故计算错误； C、移项时，没有变号，故计算错误； D、解答正确； 故选D． 13、下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 14、解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解．以上两种方法体现了一种重要的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 【答案】A 【分析】本题考查了数学方法，熟练掌握转化的思想是解答本题的关键．根据二元一次方程组和一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解，可知以上两种方法体现了一种重要的数学思想是转化思想． 故选A． 15、下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键．根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为：，故③能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有4个， 故选：D． 16、已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案. 【详解】解：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：D. 17、小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【答案】(1)1，2 (2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； （2）解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， 注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解． 18、用适当的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)， (3) (4)， 【分析】此题考查多种方法解一元二次方程，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）常数项移到右边，用配方法，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解； （3）方程左边利用完全平方公式分解后，开方即可求出解； （4）直接开方即可求出解． 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 19、阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 20、如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”； (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值． 【答案】(1)该方程不是“邻2根方程” (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻2根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵， 故该方程不是“邻2根方程”． （2）解：∵ ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 因式分解法 题型一 利用提取公因式的因式分解法解一元二次方程 1、一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2、一元二次方程的解完全正确的是（    ） A． B． C． D． 3、解一元二次方程的过程中，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4、解方程：． 5、解方程：． 题型二 利用套用公式的因式分解法解一元二次方程 6、下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 7、解方程： 8、解方程． 题型三 用适当的方法解一元二次方程 9、解方程． (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 10、解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 用因式分解法解一元二次方程错解复原 11、小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误 12、关于y的方程，下面解法完全正确的是（    ） 甲 乙 解得：整理得： 两边同时除以 得到 丙 丁 移项得： ∴ ∴或 ∴或 整理得： 配方得 ∴ ∴ ∴ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 13、下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 14、解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解．以上两种方法体现了一种重要的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 15、下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16、已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 17、小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 18、用适当的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 19、阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 20、如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”； (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$