专题1.2 有理数的运算全章知识典例详解（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版2024）

专题1.2 有理数的运算全章知识典例详解 【浙教版2024】 知识点1 有理数的加法运算法则 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 【典例1】根据有理数加法法则填空： （1）若a＞0，b＞0，则a+b 　 　0；若a＜0，b＜0，则a+b 　 　0． （2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b 　 　0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b 　 　． （3）若a，b互为相反数，则a+b 　 　0；若a+b＝0，则a与b 　 　． 【典例2】下列说法中，正确的在题后打“√”．错误的在题后打“×”． （1）两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数；　 　（判断对错） （2）若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数；　 　（判断对错） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数；　 　（判断对错） （4）如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3；　 　（判断对错） （5）绝对值相等的两个数相加，和为0；　 　（判断对错） （6）绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍．　 　（判断对错） 【典例3】计算： （1）3+（﹣6）＝　 　 （2）（﹣4）+（﹣9）＝　 　（3）（﹣4）+（+6）＝　 　 （4）2（﹣2）＝　 　（5）（）+0＝　 　 （6）（）＝　 　． 【典例4】（2024秋•定远县校级月考）计算： （1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）． （2）． （3）． （4）． 【典例5】（2024秋•萍乡月考）若有理数m，n满足|m|＝3，|n|＝2，且m+n＜|m|+|n|． （1）分别求m，n的值； （2）求m+n的值． 知识点2 有理数的减法运算法则 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：． 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【典例1】用“＞”或“＜”号填空： （1）如果a＞0，b＜0，那么a﹣b　 　0； （2）如果a＜0，b＞0，那么a﹣b　 　0； （3）如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|，那么a﹣b　 　0； （4）如果a＜0，b＜0，那么a﹣（﹣b）　 　0． 【典例2】（2024秋•宛城区校级月考）下列说法中：①减去一个负数等于加上这个数的相反数；②正数减负数，差为正数；③零减去一个数，仍得这个数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两个数相减，差不一定小于被减数；⑥互为相反数的两数相减得零，正确的有（　　）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例3】计算： （1）（﹣7）﹣（+3）＝　 　； （2）（﹣30）﹣（﹣32）＝　 　； （3）0﹣（+9）＝　 　； （4）2﹣（）＝　 　； （5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝　 　； （6）27﹣（+10）＝　 　． 【典例4】（2024秋•邹城市校级月考）36℃比24℃高　 　℃，19℃比﹣5℃高　 　℃．A、B、C三点相对于海平面分别是﹣13米、﹣7米、﹣20米，那么最高的地方比最低的地方高　 　米． 【典例5】（1）若|m|＝5，|n|＝2，且m，n异号，则|m﹣n|的值为 　 　． （2）已知|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为 　 　． 【典例6】（2024秋•太康县月考）计算： （1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）； （2）3； （3）； （4）2（﹣3）﹣|（﹣3）﹣（+0.25）|． 【典例7】（2024秋•衡阳期末）若|1|＝1，||，||，…，照此规律试求： （1）||＝　　； （2）计算|1|+||+||+||； （3）计算|1|+||+||+…+||． 【典例8】（2024秋•重庆期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 知识点3 有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积仍为0． 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 【典例1】用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab　 　0，若a＞0，b＜0，则ab　 　0 （2）若a＜0，b＞0，则ab　 　0，若a＜0，b＜0，则ab　 　0 （3）若a＞0，b＝0，则ab　 　0． 【典例2】（1）若a＞b＞0，则ab　 　0，b（a﹣b）　 　0； （2）若b＜0＜a，则ab　 　0，b（a﹣b）　 　0； （3）若ab＞0，a+b＞0，则a　 　0，b　 　0； （4）若ab＜0，a+b＞0，且a﹣b＜0，则a　 　0，b　 　0，|a|　 　|b| 【典例3】下列判断正确的是　 　 ①若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数； ②若abc＜0，则a、b、c中至少有一个负数； ③若a+b+C＝0，则a、b、c中至少有一个负数； ④几个数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数； ⑤绝对值不超过20的所有有理数的和为0． 【典例4】（2024秋•十堰期中）有理数a、b在数轴上表示如图所示，则下列结论中正确的有：　 　 ①ab＞0②a+b＜0③a﹣b＜0 ④a＜|b|⑤﹣a＞﹣b⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0 【典例5】（2024秋•兴化市月考）用简便方法计算： ①； ②． 【典例6】（2024秋•沙坪坝区校级月考）计算 （1） （2）． 【典例7】（2024•西城区校级一模）若a、b、c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＞0，bc＜0，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 知识点4 有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． 2．有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 【典例1】阅读理解： （1）若a+b＜0，且0，试确定a、b的正负性． （2）依照（1）的解法解答下题： ①若a+b＞0，且0，则a为 　 　，b为 　 　（填“正数”或“负数”）； ②若a+b＜0，且0，a＞b，则|a|　 　|b|（填“＞”或“＜”）； ③若a+b＞0，且0，a＞b，则|a|　 　|b|（填“＞”或“＜”）． 【典例2】（2024秋•东西湖区校级月考）计算： （1）； （2）． 【典例3】（2024秋•官渡区校级期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3． 根据已知条件请回答： （1）ab＝　 　，c+d＝　 　，m＝　 　，　 　． （2）求：ab的值． 【典例4】（2024秋•金牛区校级期中）设a，b，c都是非零有理数，试求的值． 知识点5 有理数的乘方 1．乘方： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【注】表示有n个a连续相乘； 当n为奇数时，；当n为偶数时，． 2．有理数混合运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 3．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【典例1】（2024春•宁津县校级月考）计算的结果是（　　） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 【典例2】（2024秋•临沭县校级月考）的底数是 　　，指数是 　 　． 【典例3】（2024秋•皇姑区校级月考）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多 　 　条． 【典例4】（2024秋•丰城市校级月考）若有理数a，b满足|a|＝3，b2＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣2b的值为 　 　． 【典例5】（2024秋•定远县校级月考）计算： （1）﹣（）2×（﹣42）÷（）2； （2）（﹣3）3×（﹣1）÷（﹣42）×（﹣1）25． 【典例6】（2024秋•江宁区校级月考）阅读材料：根据乘方的意义可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4 通过观察上面的计算过程，完成以下问题： （1）计算：22022×32022＝　 　；猜想：an•5n＝　 ； （2）根据上述提供的信息，计算：（﹣0.125）2021×82022． 【典例7】（2024秋•通州区校级月考）（1）已知有理数x，y满足（x+y）2+|3﹣y|＝0，求xy的值； （2）已知有理数x，y，则式子2023﹣（x+y）2有最 　 　值为 　 　；此时x与y的关系为 　 　． 知识点6 科学记数法与近似数 1.科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法； 【注】用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数. 2.近似数的精确位 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【典例1】（2024•济源模拟）国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为83.77%；城市院线观影人次为12.99亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（　　） A．46.005×109 B．0.46005×1011 C．4.6005×1011 D．4.6005×1010 【典例2】（2024•威县校级模拟）若一个整数20240…0用科学记数法表示为2.024×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【典例3】（2024•连州市二模）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达为8.016×109元，创造了新的春节档票房纪录，8.016×109的原数为（　　） A．80160000 B．801600000 C．8016000000 D．80160000000 【典例4】（2024春•新华区期末）我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为2.53×10n，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．﹣5 【典例5】（2023秋•溧阳市期末）由四舍五入得到的近似数8.01×104，精确到（　　） A．10 000 B．100 C．0.01 D．0.000 1 【典例6】（2023秋•高阳县期末）一个数a精确到十分位的结果是3.6，那么这个数a的范围满足（　　） A．3.55≤a≤3.65 B．3.55＜a≤3.65 C．3.55＜a＜3.65 D．3.55≤a＜3.65 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 有理数的运算全章知识典例详解 【浙教版2024】 知识点1 有理数的加法运算法则 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 【典例1】根据有理数加法法则填空： （1）若a＞0，b＞0，则a+b 　 　0；若a＜0，b＜0，则a+b 　 　0． （2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b 　 　0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b 　 　． （3）若a，b互为相反数，则a+b 　 　0；若a+b＝0，则a与b 　 　． 【分析】根据有理数加法法则求解即可求得答案． 【解答】解：（1）若a＞0，b＞0，则a+b＞0；若a＜0，b＜0，则a+b＜0． （2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b＞0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b＜0． （3）若a，b互为相反数，则a+b＝0；若a+b＝0，则a与b互为相反数． 故答案为：（1）＞，＜；（2）＞，＜0；（3）＝，互为相反数． 【典例2】下列说法中，正确的在题后打“√”．错误的在题后打“×”． （1）两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数；　 　（判断对错） （2）若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数；　 　（判断对错） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数；　 　（判断对错） （4）如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3；　 　（判断对错） （5）绝对值相等的两个数相加，和为0；　 　（判断对错） （6）绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍．　 　（判断对错） 【分析】可用举特殊例子法解决本题．可以举个例子． （1）（﹣3）+（﹣1）＝﹣4，得出（1）是错误的； （2）3+（﹣1）＝2，得出（2）是错误的； （3）由加法法则可以得出（3）是正确的； （4）先根据加法的意义求出比﹣5大2的数，再根据绝对值的性质可以得出（4）是正确的； （5）由绝对值的意义得出这两个数可能相等，也可能互为相反数，从而可以得出（5）是错误的； （6）由加法法则可以得出（6）是错误的． 【解答】解：（1）如（﹣3）+（﹣1）＝﹣4，故两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数是错误的；×（判断对错） （2）如3+（﹣1）＝2，故若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数是错误的；×（判断对错） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数是正确的；√（判断对错） （4）|﹣5+2|＝3． 故如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3是正确的；√（判断对错） （5）如|2|＝|2|，但是2+2＝4≠0，所以绝对值相等的两个数相加，和为0是错误的；×（判断对错） （6）如﹣3+3＝0． 故绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍是错误的．×（判断对错） 故答案为：×，×，√，√，×，×． 【典例3】计算： （1）3+（﹣6）＝　 　 （2）（﹣4）+（﹣9）＝　 　（3）（﹣4）+（+6）＝　 　 （4）2（﹣2）＝　 　（5）（）+0＝　 　 （6）（）＝　 　． 【分析】根据有理数的加法，即可解答． 【解答】解：（1）3+（﹣6）＝﹣（6﹣3）＝﹣3； （2）（﹣4）+（﹣9）＝﹣（4+9）＝﹣13； （3）（﹣4）+（+6）＝6﹣4＝2； （4）2（﹣2）＝0； （5）（）+0； （6）（）＝﹣（）． 故答案为：（1）﹣2；（﹣2）﹣13；（﹣3）2；（4）0；（5）；（6）． 【典例4】（2024秋•定远县校级月考）计算： （1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）． （2）． （3）． （4）． 【分析】（1）利用加法结合律及交换律计算即可； （2）利用加法的运算法则，把分母相同的结合到一起解答即可； （3）利用加法结合律及交换律计算即可； （4）利用加法结合律及交换律计算即可． 【解答】解：（1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15） ＝（7+23）+[﹣19+（﹣15）] ＝30+（﹣34） ＝﹣4； （2） ＝3+0 ＝3； （3） ； （4） ＝﹣5﹣6+6 ＝﹣5． 【典例5】（2024秋•萍乡月考）若有理数m，n满足|m|＝3，|n|＝2，且m+n＜|m|+|n|． （1）分别求m，n的值； （2）求m+n的值． 【分析】（1）利用绝对值的意义有理数的加法法则解答即可； （2）将（1）中的结论代入运算即可． 【解答】解：（1）∵|m|＝3，|n|＝2， ∴m＝±3，n＝±2． ∵m+n＜|m|+|n|， ∴m＝3，n＝﹣2或m＝﹣3，n＝2或m＝﹣3，n＝﹣2． （2）当m＝3，n＝﹣2时， m+n＝3+（﹣2）＝1； 当m＝﹣3，n＝2时， m+n＝﹣3+2＝﹣1； 当m＝﹣3，n＝﹣2时， m+n＝﹣3﹣2＝﹣5， 综上，m+n的值为﹣1或1或﹣5． 知识点2 有理数的减法运算法则 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：． 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【典例1】用“＞”或“＜”号填空： （1）如果a＞0，b＜0，那么a﹣b　 　0； （2）如果a＜0，b＞0，那么a﹣b　 　0； （3）如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|，那么a﹣b　 　0； （4）如果a＜0，b＜0，那么a﹣（﹣b）　 　0． 【分析】先根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．（1）（2）（4）再根据有理数加法法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．（3）再根据有理数加法法则：绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值作答． 【解答】解：（1）∵a＞0，b＜0， ∴﹣b＞0， ∴a﹣b＝a+（﹣b）＞0； （2）∵a＜0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0； （3）∵a＜0，b＜0，|a|＞|b|， ∴﹣b＞0， ∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0； （4）∵a＜0，b＜0， ∴a﹣（﹣b）＝a+b＜0． 故答案为：＞，＜，＜，＜． 【典例2】（2024秋•宛城区校级月考）下列说法中：①减去一个负数等于加上这个数的相反数；②正数减负数，差为正数；③零减去一个数，仍得这个数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两个数相减，差不一定小于被减数；⑥互为相反数的两数相减得零，正确的有（　　）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】依次判断各个说法，得出结论即可． 【解答】解：①减去一个负数等于加上这个数的相反数，说法正确； ②正数减负数，差为正数，说法正确； ③零减去一个数，仍得这个数，说法错误，应得这个数的相反数； ④两数相减，差一定小于被减数，说法错误，应该是不一定小于被减数； ⑤两个数相减，差不一定小于被减数，说法正确； ⑥互为相反数的两数相减得零，说法错误，应该是相加得零； 故选：B． 【典例3】计算： （1）（﹣7）﹣（+3）＝　 　； （2）（﹣30）﹣（﹣32）＝　 　； （3）0﹣（+9）＝　 　； （4）2﹣（）＝　 　； （5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝　 　； （6）27﹣（+10）＝　 　． 【分析】各项中利用减法法则变形，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）（﹣7）﹣（+3）＝﹣7﹣3＝﹣10； （2）（﹣30）﹣（﹣32）＝﹣30+32＝2； （3）0﹣（+9）＝0﹣9＝﹣9； （4）2﹣（﹣3）＝2+35； （5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝1.73+2.27＝4； （6）27﹣（+10）＝27﹣10＝17． 故答案为：（1）﹣10；（2）2；（3）﹣9；（4）5；（5）4；（6）17 【典例4】（2024秋•邹城市校级月考）36℃比24℃高　 　℃，19℃比﹣5℃高　 　℃．A、B、C三点相对于海平面分别是﹣13米、﹣7米、﹣20米，那么最高的地方比最低的地方高　 　米． 【分析】首先根据题意分别列出式子，再根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，进行计算即可． 【解答】解：36﹣24＝12（℃）， 19﹣（﹣5）＝24（℃）， ﹣7﹣（﹣20）＝﹣7+20＝13（米）． 故答案为：12，24，13． 【典例5】（1）若|m|＝5，|n|＝2，且m，n异号，则|m﹣n|的值为 　 　． （2）已知|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为 　 　． 【分析】（1）先根据绝对值的性质得出m＝±5，n＝±2，再结合m、n异号知m＝5、n＝﹣2或m＝﹣5、n＝2，继而分别代入计算可得答案； （2）根据绝对值的意义及a+b＜0，可得a，b的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【解答】解：（1）∵|m|＝5，|n|＝2， ∴m＝±5，n＝±2， 又∵m、n异号， ∴m＝5、n＝﹣2或m＝﹣5、n＝2， 当m＝5、n＝﹣2时，|m﹣n|＝|5﹣（﹣2）|＝7； 当m＝﹣5、n＝2时，|m﹣n|＝|﹣5﹣2|＝7； 综上|m﹣n|的值为7， 故答案为：7； （2）由|a|＝5，|b|＝3，且满足a+b＜0，得 a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3． 当a＝﹣5，b＝3时，a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8， 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2， ∴a+b的值为﹣8或﹣2， 故答案为：﹣8或﹣2． 【典例6】（2024秋•太康县月考）计算： （1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）； （2）3； （3）； （4）2（﹣3）﹣|（﹣3）﹣（+0.25）|． 【分析】（1）（2）运用有理数的加法交换结合律进行计算即可． （3）先去括号，按照有理数的加减混合运算法则计算，再将同分母的先计算，最后进行异分母的减法运算． （4）先去括号，同时对绝对值进行化简，再按照有理数的加减混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）； ＝﹣12﹣5﹣14+25 ＝﹣31+25 ＝﹣6； （2）3（）+（）+（+2） ＝32 ＝3+2 ＝5； （3） ； （4） ＝233 ＝﹣4． 【典例7】（2024秋•衡阳期末）若|1|＝1，||，||，…，照此规律试求： （1）||＝　　； （2）计算|1|+||+||+||； （3）计算|1|+||+||+…+||． 【分析】根据有理数的减法法则以及绝对值的定义计算即可． 【解答】解：（1）． 故答案为：； （2）原式 ； （3）原式＝1... ＝1 ． 【典例8】（2024秋•重庆期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量． 【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20， ∴B地在A地的东边20千米； （2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；14﹣9＝5千米； 14﹣9+8＝13千米； 14﹣9+8﹣7＝6千米； 14﹣9+8﹣7+13＝19千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20千米． ∴最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米， 应耗油74×0.5＝37（升）， 故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）． 知识点3 有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积仍为0． 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 【典例1】用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab　 　0，若a＞0，b＜0，则ab　 　0 （2）若a＜0，b＞0，则ab　 　0，若a＜0，b＜0，则ab　 　0 （3）若a＞0，b＝0，则ab　 　0． 【分析】根据乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘得0． 【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴ab＞0， ∵a＞0，b＜0，则ab＜0； （2）∵a＜0，b＞0，∴ab＜0， ∵a＜0，b＜0，∴ab＞0； （3）∵a＞0，b＝0，∴ab＝0； 故答案为＞，＜，＜，＞，＝． 【典例2】（1）若a＞b＞0，则ab　 　0，b（a﹣b）　 　0； （2）若b＜0＜a，则ab　 　0，b（a﹣b）　 　0； （3）若ab＞0，a+b＞0，则a　 　0，b　 　0； （4）若ab＜0，a+b＞0，且a﹣b＜0，则a　 　0，b　 　0，|a|　 　|b| 【分析】（1）根据两数相乘同号得正可得； （2）根据两数相乘异号得负可得； （3）由ab＞0知a、b同号，结合a+b＞0知a＞0，b＞0； （4）由ab＜0知a、b异号，结合a﹣b＜0得a＜0＜b，根据a+b＞0得|a|＜|b|． 【解答】解：（1）∵a＞b＞0， ∴ab＞0，b（a﹣b）＞0， 故答案为：＞，＞； （2）∵b＜0＜a， ∴ab＜0，b（a﹣b）＜0， 故答案为：＜，＜； （3）∵ab＞0， ∴a、b同号， 又∵a+b＞0， ∴a＞0，b＞0， 故答案为：＞，＞； （4）∵ab＜0， ∴a、b异号， ∵a﹣b＜0， ∴a＜0＜b， ∵a+b＞0， ∴|a|＜|b|， 故答案为：＜，＞，＜． 【典例3】下列判断正确的是　 　 ①若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数； ②若abc＜0，则a、b、c中至少有一个负数； ③若a+b+C＝0，则a、b、c中至少有一个负数； ④几个数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数； ⑤绝对值不超过20的所有有理数的和为0． 【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则、相反数、绝对值逐个判断即可． 【解答】解：若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数或两个正数、一个负数，故①错误； 若abc＜0，则a、b、c中都是负数或有一个数是负数，即可a、b、c中至少有一个负数，故②正确； 若a+b+C＝0，则a、b、c中可以两个数是负数或一个数是负数，即a、b、c中至少有一个负数，故③正确； 几个不等于0的数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数，故④错误； 绝对值不超过20的所有有理数的和为0，故⑤正确； 即正确的有3个， 故答案为：3． 【典例4】（2024秋•十堰期中）有理数a、b在数轴上表示如图所示，则下列结论中正确的有：　 　 ①ab＞0②a+b＜0③a﹣b＜0 ④a＜|b|⑤﹣a＞﹣b⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0 【分析】根据数轴知b＜﹣1＜0＜a＜1，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得． 【解答】解：由数轴知b＜﹣1＜0＜a＜1， 则①ab＜0，此结论错误； ②a+b＜0，此结论正确； ③a﹣b＞0，此结论错误； ④a＜|b|，此结论正确； ⑤﹣a＜﹣b，此结论错误； ⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0，此结论正确． 故正确的有：②④⑥ 故答案为：②④⑥ 【典例5】（2024秋•兴化市月考）用简便方法计算： ①； ②． 【分析】①利用乘法分配律计算即可； ②利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：①原式＝（）×（﹣36）（﹣36）（﹣36） ＝3+1﹣6 ＝﹣2． ②原式＝（﹣100）×24 ＝﹣100×2424 ＝﹣2400+2 ＝﹣2398． 【典例6】（2024秋•沙坪坝区校级月考）计算 （1） （2）． 【分析】（1）先把括号里面的利用乘法分配律进行计算，然后再次利用乘法分配律进行计算即可得解； （2）先把第三项整理，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：（1）[1（）×24]×（）， ＝[1（242424）]×（）， ＝[（9+4﹣18）]×（）， ＝（5）×（）， （）+5×（）， 1， ； （2）﹣5×（）+11×（）﹣3×（）， ＝﹣5×（）+11×（）﹣6×（）， ＝（﹣5+11﹣6）×（）， ＝0． 【典例7】（2024•西城区校级一模）若a、b、c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＞0，bc＜0，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 【分析】根据绝对值的性质得到a＝±4，b＝±9，c＝±6，分a＝4和a＝﹣4两种情况，根据有理数的乘法法则，减法法则计算． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6， ∴a＝±4，b＝±9，c＝±6， 当a＝4时，b＝9，c＝﹣6， a﹣b﹣（﹣c）＝4﹣9﹣6＝﹣11； 当a＝﹣4时，b＝﹣9，c＝6， a﹣b﹣（﹣c）＝﹣4﹣（﹣9）+6＝11， 综上所述，a﹣b﹣（﹣c）的值为﹣11或11． 知识点4 有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． 2．有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 【典例1】阅读理解： （1）若a+b＜0，且0，试确定a、b的正负性． （2）依照（1）的解法解答下题： ①若a+b＞0，且0，则a为 　 　，b为 　 　（填“正数”或“负数”）； ②若a+b＜0，且0，a＞b，则|a|　 　|b|（填“＞”或“＜”）； ③若a+b＞0，且0，a＞b，则|a|　 　|b|（填“＞”或“＜”）． 【分析】对于（1），由有理数除法中，同号相除为正数可以得到a、b同号，然后结合a+b＜0解答； 对于（2）①，同（1）得到a、b同号，然后结合有理数加法法则判断a、b的正负； 对于（2）②，由有理数除法中，异号相除为负数可以得到a、b异号，至此不难解答题目，同理解答③． 【解答】解：（1）因为0， 所以a、b同号． 因为a+b＜0， 所以a、b同负． （2）①因为0， 所以a、b同号． 因为a+b＞0， 所以a、b都为正数， 故答案为：正数，正数． ②因为0， 所以a、b异号． 因为a+b＜0，a＞b， 所以|a|＜|b|， 故答案为：＜． ③因为0， 所以a、b异号． 因为a+b＞0，a＞b， 所以|a|＞|b|． 故答案为：＞． 【典例2】（2024秋•东西湖区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣2； （2） ． 【典例3】（2024秋•官渡区校级期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3． 根据已知条件请回答： （1）ab＝　 　，c+d＝　 　，m＝　 　，　 　． （2）求：ab的值． 【分析】（1）根据倒数，相反数，绝对值的意义可得结论； （2）将（1）所得式子代入可得结论． 【解答】解：（1）∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∵c，d互为相反数， ∴c+d＝0，1， ∵|m|＝3， ∴m＝±3， 故答案为：1，0，±3，﹣1； （2）当m＝3时，原式1+0﹣（﹣1）＝3， 当m＝﹣3时，原式1+0﹣（﹣1）＝1． 【典例4】（2024秋•金牛区校级期中）设a，b，c都是非零有理数，试求的值． 【分析】根据a、b、c是非零实数，分两正一负或两负一正两种情况分别讨论求值即可． 【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正． ①当a，b，c为两正一负时：0； ②当a，b，c为两负一正时：0； ③当a，b，c都为正数时：4； ④当a，b，c都为负数时：4； 综上所述值为0或4或﹣4． 知识点5 有理数的乘方 1．乘方： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【注】表示有n个a连续相乘； 当n为奇数时，；当n为偶数时，． 2．有理数混合运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 3．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【典例1】（2024春•宁津县校级月考）计算的结果是（　　） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，由此求解即可． 【解答】解：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n， 故的结果是3m+4n． 故选：A． 【典例2】（2024秋•临沭县校级月考）的底数是 　　，指数是 　 　． 【分析】根据乘方的定义解决此题． 【解答】解：的底数是，指数是7． 故答案为：，7． 【典例3】（2024秋•皇姑区校级月考）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多 　 　条． 【分析】由题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条，据此可得． 【解答】解：∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1＝2条， 对折3次比对折2次折痕多7﹣3＝4＝22条， 对折4次比对折3次折痕多15﹣7＝8＝23条， …… ∴对折6次比对折5次折痕多25＝32条，对折7次比对折6次折痕多26＝64条， ∴对折7次比对折5次折痕多64+32＝96条， 故答案为：96． 【典例4】（2024秋•丰城市校级月考）若有理数a，b满足|a|＝3，b2＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣2b的值为 　 　． 【分析】根据绝对值、平方根、有理数的加法法则解决此题． 【解答】解：∵|a|＝3，b2＝9， ∴a＝±3，b＝±3． ∵|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b≤0． ∴当a＝3时，则b＝﹣3，此时a﹣2b＝3﹣（﹣6）＝9； 当a＝﹣3时，则b＝﹣3，此时a﹣2b＝﹣3﹣（﹣6）＝3． 当a＝﹣3时，则b＝3，此时a﹣2b＝﹣3﹣6＝﹣9． 综上：a﹣2b＝9或3或﹣9． 故答案为：9或3或﹣9． 【典例5】（2024秋•定远县校级月考）计算： （1）﹣（）2×（﹣42）÷（）2； （2）（﹣3）3×（﹣1）÷（﹣42）×（﹣1）25． 【分析】利用有理数的乘法法则、除法法则以及有理数的乘方运算法则即可进行计算，注意符号的变换． 【解答】解：（1）原式（﹣16） ＝1×64 ＝64； （2）原式＝﹣27×（）÷（﹣16）×（﹣1） ＝﹣27×（）×（）×（﹣1） ． 【典例6】（2024秋•江宁区校级月考）阅读材料：根据乘方的意义可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4 通过观察上面的计算过程，完成以下问题： （1）计算：22022×32022＝　 　；猜想：an•5n＝　 ； （2）根据上述提供的信息，计算：（﹣0.125）2021×82022． 【分析】（1）根据积的乘方解决此题． （2）根据积的乘方解决此题． 【解答】解：（1）22022×32022＝（2×3）2022＝62022； an•5n＝（5a）n． 故答案为：62022；（5a）n． （2）（﹣0.125）2021×82022 ＝（﹣1）2021×8 ＝﹣1×8 ＝﹣8． 【典例7】（2024秋•通州区校级月考）（1）已知有理数x，y满足（x+y）2+|3﹣y|＝0，求xy的值； （2）已知有理数x，y，则式子2023﹣（x+y）2有最 　 　值为 　 　；此时x与y的关系为 　 　． 【分析】（1）先根据非负数的性质求出x、y的值，再求出xy的值即可； （2）根据偶次方的非负数性质解答即可． 【解答】解：（1）∵（x+y）2+|3﹣y|＝0， ∴， 解得， ∴xy＝（﹣3）×3＝﹣9； （2）∵（x+y）2≥0， ∴当x+y＝0时，式子2023﹣（x+y）2有最大值为2023，此时x与y的关系为互为相反数． 故答案为：大，2023，互为相反数． 知识点6 科学记数法与近似数 1.科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法； 【注】用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数. 2.近似数的精确位 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【典例1】（2024•济源模拟）国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为83.77%；城市院线观影人次为12.99亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（　　） A．46.005×109 B．0.46005×1011 C．4.6005×1011 D．4.6005×1010 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：460.05亿＝46005000000＝4.6005×1010． 故选：D． 【典例2】（2024•威县校级模拟）若一个整数20240…0用科学记数法表示为2.024×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此将科学记数法表示的数还原成原来的数即可得到答案． 【解答】解：∵2.024×1010＝20240000000， ∴原数中“0”的个数为8． 故选：B． 【典例3】（2024•连州市二模）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达为8.016×109元，创造了新的春节档票房纪录，8.016×109的原数为（　　） A．80160000 B．801600000 C．8016000000 D．80160000000 【分析】将8.016×109化成原数即可． 【解答】解：8.016×109＝8016000000， 故选：C． 【典例4】（2024春•新华区期末）我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为2.53×10n，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．﹣5 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【解答】解：将253000用科学记数法表示为2.53×105， ∴n＝5， 故选：B． 【典例5】（2023秋•溧阳市期末）由四舍五入得到的近似数8.01×104，精确到（　　） A．10 000 B．100 C．0.01 D．0.000 1 【分析】根据近似数的精确度求解． 【解答】解：近似数8.01×104精确到百位． 故选：B． 【典例6】（2023秋•高阳县期末）一个数a精确到十分位的结果是3.6，那么这个数a的范围满足（　　） A．3.55≤a≤3.65 B．3.55＜a≤3.65 C．3.55＜a＜3.65 D．3.55≤a＜3.65 【分析】利用近似数的精确度，一个数a精确到十分位的结果是3.6，则这个数最小为3.55，最大小于3.65． 【解答】解：根据题意，这个数a的范围满足3.55≤a＜3.65． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$