精品解析：山东省枣庄市薛城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

学业综合素养监测 八年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获，请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分． 1. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，则点坐标是( ) A. B. C. D. 4. 已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示，每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正五边形和正方形的边重合，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 9. 在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ） A. 速度比原计划增加，结果提前到达 B. 速度比原计划增加，结果晚到达 C. 速度比原计划减少，结果提前到达 D. 速度比原计划减少，结果晚到达 10. 若互为倒数，且，则分式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则_______． 12. 公园有一片平行四边形绿地，绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，，则的长为______． 13. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为_________. 14. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 15. 锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放．若，则的大小为_________度． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，三点，现以，，，为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标是___________ 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 小丽学完分式方程之后解一道分式方程过程如下： 第一步：整理 第二步：去分母……． （1）请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______； （2）请把以上解分式方程的过程补充完整． 19. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，点E、F分别在边和上，且． （1）求证：． （2）求证：四边形是平行四边形． 22. 为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？ 23. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ． （2）根据图2：若，，求的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解： (5)应用：已知，，求出的值． 24. 如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． （1）求证：为等腰三角形； （2）如图1，连接，且． ①求证：：②若，，求长． （3）如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学业综合素养监测 八年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获，请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分． 1. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案． 【详解】解：A，，变形错误； B，，变形错误； C，，变形正确； D，的分子和分母不能约分，，变形错误； 故选C． 3. 在平面直角坐标系中，将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查坐标的平移，利用点平移的坐标规律，把点的横坐标加，纵坐标减即可得到点的坐标． 【详解】解：将点向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是，即． 故选：C． 4. 已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 5. 某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示，每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义．由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：B． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案． 【详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 7. 如图，正五边形和正方形的边重合，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的内角和，等腰三角形的性质，先分别求解正五边形与正方形的每一个内角的大小，再证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得，问题随之得解． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∵正五边形和正方形的边重合， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，在数轴上表示不等式的解集，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示出来即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴自变量的取值范围在数轴上可表示为， 故选：． 9. 在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ） A. 速度比原计划增加，结果提前到达 B. 速度比原计划增加，结果晚到达 C. 速度比原计划减少，结果提前到达 D. 速度比原计划减少，结果晚到达 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划需行驶，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设汽车原计划需行驶，则表示原计划的速度， ∴表示的是在原计划的速度上提高， ∴表示实际的速度， ∴A符合题意， 故选：． 10. 若互为倒数，且，则分式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，根据互为倒数，得到，再由分式减法运算、约分得到最简结果，代值即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简是解决问题的关键． 【详解】解：互为倒数， ， 将代入即可得到的值为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则_______． 【答案】30 【解析】 【分析】此题考查整式的乘法法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再将所得的积相加，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴． 故答案为：30． 12. 公园有一片平行四边形的绿地，绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题关键． 利用平行四边形的性质对边相等以及勾股定理即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，平分， ， ， 是的中位线， ． 故答案为：． 14. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 当时，， 因此k的取值范围为且， 故答案为：且． 15. 锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放．若，则的大小为_________度． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，多边形的内角和公式．根据平行四边形的性质结合五边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放， ，， ，， ， ， 故答案为：25． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，三点，现以，，，为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标是___________ 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，据此作图，运用数形结合思想，快速解题，即可作答． 【详解】解：当为平行四边形的对边时， ∴， 如图： 此时的坐标是； 或 此时的坐标是； 当为平行四边形的对边时， ∴， 如图： 此时的坐标是； 综上所述：的坐标是或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 小丽学完分式方程之后解一道分式方程过程如下： 第一步：整理 第二步：去分母……． （1）请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______； （2）请把以上解分式方程的过程补充完整． 【答案】（1）分式的基本性质，等式的性质 （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，尤其不要丢了检验． （1）根据分式的基本性质、等式的性质判断即可； （2）将分式方程化为整式方程求解即可． 【小问1详解】 解：第一步变化过程的依据是分式的基本性质，第二步变化过程的依据是等式的性质， 故答案为：分式基本性质，等式的性质； 【小问2详解】 ， 整理得， 去分母，得， 解得， 检验：当时，，所以不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 19. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 21. 如图，在中，点E、F分别在边和上，且． （1）求证：． （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出是证此题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）根据平行四边形的判定方法进行证明即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 22. 为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？ 【答案】这个学校九年级学生有300人． 【解析】 【分析】设零售价为x元，批发价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600除以零售价即可解答． 【详解】解：设零售价为x元，批发价为y元， 根据题意可得： ，解得：， 经检验是原方程组的解 则学校九年级学生人． 答：这个学校九年级学生有300人． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的关键． 23. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ． （2）根据图2：若，，求的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解： (5)应用：已知，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；；；（4）；(5) 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的应用，列代数式和几何体，根据题目中给出的信息进行列式计算是解题的关键． （1）结合图1，可得； （2）由图2得：，代入计算即可； （3）结合图5，可知长方体②的体积，长方体③的体积，则； （4）由（3）可知：； (5)将变形为，再代入计算即可． 详解】解：（1）由图1得：， 故答案为：； （2）由图2得：， 即， ，， ， ，，， ， ； （3）根据图4可知：长方体②的体积， 长方体③的体积， 则 ， 故答案为：；；； （4）由（3）可知： ； (5) ， ，， ． 24. 如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． （1）求证：为等腰三角形； （2）如图1，连接，且． ①求证：：②若，，求的长． （3）如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② （3）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再根据角平分线得，进而得，，即可得证； （2）①由角平分线性质得，进而证明，即可得证；②先证明，得，由①得，即，求解即可； （3）连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出，利用“边角边”证明和全等，得到，，然后求出，再求出，根据等边三角形的判定方法判断即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 ①证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵，，四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 由①得， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：是等边三角形，理由如下：连接， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，作辅助线构造等边三角形及利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$