专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式乘除法中的新定义问题 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 2．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是 ． 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）计算：． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（23-24八年级下·广东广州·期末）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·河北沧州·期中）计算，则□中的数为（    ） A． B． C．3 D．6 2．（22-23八年级·河南焦作·期末）计算的结果为 ． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 1．（22-23八年级·福建厦门·阶段练习）若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·安徽安庆·阶段练习）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·四川南充·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24八年级下·福建莆田·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级·内蒙古通辽·期中）下列二次根式，，，，中，最简二次根式有 个． 3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（22-23八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级·全国·假期作业）已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（22-23八年级上·贵州毕节·期中）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（    ） A． B．-1 C．1 D．2 1．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）若最简二次根式2与是同类二次根式，则a的值为（　　） A． B．2 C．﹣3 D． 2．（22-23八年级下·湖北襄阳·期中）化简后与最简二次根式的被开方数相等，则 . 3．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： = = = =﹣1． 请任用其中一种方法化简： ①；②； 1．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 3．（22-23八年级·山东青岛·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ，即． ，， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)若，求的值． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：______． 1．（22-23八年级·全国·课后作业）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级·福建福州·阶段练习）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 3．（22-23八年级·江西南昌·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算：___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为，某一登山者从海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km． 3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【经典例题十 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例10】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 1．（2022下·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 2．（2022上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 3．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 1．（22-23八年级下·江西南昌·期末）已知，则的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江西宜春·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 4．（22-23九年级上·重庆万州·阶段练习）观察下面分母有理化的过程：，从计算过程中体会方法，并利用这一方法计算：的值是（    ） A． B． C．2021 D．2022 5．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）计算： ． 7．（22-23八年级上·四川成都·期末）分母有理化后的值为 . 8．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 10．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ． 11．（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 13．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一矩形的面积为，它其中的一边长为，又知一平行四边形的一组邻边长分别为、．若矩形的周长为，平行四边形的周长为，且．求的值． 14．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并给出证明过程． 15．（22-23八年级下·云南临沧·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一) (二) (三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： (四) (1)直接写出化简结果①=　 　，②=　 　． (2)请选择适当的方法化简． (3)化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式乘除法中的新定义问题 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法运算和二次根式的化简进行运算排除选项． 【详解】、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算正确，此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 1．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法运算，正确得出无理数接近的有理数是解题关键． 先计算，估算出，即，进而完成解答． 【详解】解：∵，， ∵， ∴，即． 故选：B． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可求解． 【详解】解：， ∴这个二次根式可以是， 故答案为：(答案为不唯一)． 【点睛】此题考查了二次根式，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的化简，乘除混合运算法则计算即可，本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 =． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（23-24八年级下·广东广州·期末）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简和除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的性质和除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 1．（23-24九年级下·河北沧州·期中）计算，则□中的数为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，根据除数等于被除数除商成为解题的关键. 根据除数等于被除数除商列式计算即可. 【详解】解：∵， ∴□中的数为. 故选A. 2．（22-23八年级·河南焦作·期末）计算的结果为 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式除法法则：两个二次根式相除，将他们被开方数相除的商，作为商的被开方数，即：，然后根据化简最简根式方法：被开方数是整数时，先进行因数分解，利用积的算术平方根的性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算法则及最简根式化解方法，难点在于对法则、方法的熟练运用． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】根据分式的先进行括号内的分式加法，再进行分式除法运算，最后把x的值代入计算即可； 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的除法运算，掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】是整数，则27n一定是一个完全平方数，把27分解因数即可确定． 【详解】是整数，则一定是一个完全平方数，把27分解因数即可确定． ∵， ∴的最小值是3． 故选B． 【点睛】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则．除法法则．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 1．（22-23八年级·福建厦门·阶段练习）若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将乘以 可化简为关于b的式子, 从而得到和的关系, 继而能得出 的值 【详解】解： 故选：. 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式． 2．（22-23八年级下·安徽安庆·阶段练习）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】15 【分析】把135分解因数即可确定． 【详解】∵135=32×3×5=32×15， ∴n的最小值是15． 故答案是：15． 【点睛】此题考查乘除法法则和二次根式有意义的条件．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 3．（23-24八年级下·四川南充·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简绝对值，计算二次根式的乘法，再化简二次根式，进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24八年级下·福建莆田·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是理解和掌握最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．据此对各选项逐一分析即可作出判断 【详解】解：A．中的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．是最简二次根式，故此选项符合题意； C．中的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D． 中的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 1．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】A．∵是最简二次根式， ∴符合题意； B．∵，不是最简二次根式， ∴不符合题意； C．∵，不是最简二次根式， ∴不符合题意； D．∵=2，不是最简二次根式， ∴不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式即被开方数中不含有开方不尽的因数，熟练掌握定义是解题的关键． 2．（22-23八年级·内蒙古通辽·期中）下列二次根式，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可. 【详解】＝a,， 在，，，，中最简二次根式为； 故答案为2. 【点睛】本题考查的是二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键. 3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可； 本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（22-23八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把每一项都化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可推出不能与合并的二次根式． 【详解】解：A、与被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项错误； B、与被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项正确； C、与被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项错误； D、与被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，同类二次根式的定义，关键在于熟练掌握同类二次根式的定义，正确的对每一选项中的二次根式进行化简． 1．（22-23八年级·全国·假期作业）已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组． 【详解】解：∵＝10，x，y为正整数， ∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况： ． ∴，，，共有三组正整数解． 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ． 【答案】3 【分析】首先化简二次根式，再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3，再解即可． 【详解】， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴2a﹣3＝3， 解得：a＝3， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据最简二次根式的定义及二次根式的乘除法则化简即可； （2）根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可； （3）先把小数化为分数，再根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可； （4）根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（22-23八年级上·贵州毕节·期中）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（    ） A． B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解． 【详解】解：∵， 根据题意，得：， 解得：； 故选：D. 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 1．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）若最简二次根式2与是同类二次根式，则a的值为（　　） A． B．2 C．﹣3 D． 【答案】B 【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】∵最简二次根式2与是同类二次根式， ∴3a﹣1＝a+3，解得a＝2， 故选：B． 【点睛】此题考查同类二次根式的定义，最简二次根式的特点，正确理解题意列出方程是解题的关键. 2．（22-23八年级下·湖北襄阳·期中）化简后与最简二次根式的被开方数相等，则 . 【答案】5 【分析】本题先将化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解． 【详解】，其中被开方数为6；的被开方数为 ， 故有：，则． 故答案为：5． 【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式． 3．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： = = = =﹣1． 请任用其中一种方法化简： ①；②； 【答案】① ； ②. 【分析】（1）根据题意分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）根据题意分子分母同时乘以进行分母有理化即可. 【详解】解：① = =； ② = = . 【点睛】分母有理化是本题的考点，能够运用平方差公式把分母中的根号去掉是解题的关键. 1．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简，再利用因式分解和完全平方公式把转化为，把化简后的值代入计算得到的值，即可求出的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴ ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 2．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（22-23八年级·山东青岛·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ，即． ，， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算； （2）先对字母的值进行二次根式的分母有理化计算，然后代入求值． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）当时， 原式 ． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：______． 【答案】＞ 【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较． 【详解】∵ 而， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小． 1．（22-23八年级·全国·课后作业）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．（22-23八年级·福建福州·阶段练习）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．（22-23八年级·江西南昌·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算：___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、无理数的大小比较， （1）①根据平方差公式，分子分母同乘以； ②根据平方差公式，分子分母同乘以； （2）根据平方差公式，分子分母同乘以； （3）根据分母有理化将化简，再与相乘即可； （4）根据分母有理化将，分别转化为，，再进行比较即可； 掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：①； ②； （2）， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4）∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 【答案】160 【分析】把h=2000代入公式进行即可. 【详解】解：把h=2000代入公式得 所以答案是：160. 【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键. 1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为，某一登山者从海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 【答案】 【分析】由题意知d和h的关系式，则由海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到． 【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为，现在的水平线的距离为，，即他看到的水平线的距离是原来的倍． 2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km． 【答案】 【分析】根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． 3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 【经典例题十 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例10】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选D． 1．（2022下·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握． 2．（2022上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵与是关于C的共轭二次根式， ∴， ∴， ∵C是有理数， ∴， ∴解得． 【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算． 3．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；． 【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； 先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； （）根据积的乘方和平方根的定义即可； 根据二次根式乘法法则进行即可计算． 【详解】（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方；平方根的定义； 原式． 【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算． 1．（22-23八年级下·江西南昌·期末）已知，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a和b的值去计算各式是否正确即可． 【详解】A. ，错误； B. ，错误； C. ，错误； D. ，正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了实数的运算问题，掌握实数运算法则是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江西宜春·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接化简每一个选项，化简不了的即为最简二次根式． 【详解】A. ，故不是最简二次根式； B. ，故不是最简二次根式； C. ，故是最简二次根式； D. ，故不是最简二次根式； 故选：C． 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键是最简二次根式即被开方数不含分母，或被开方数不含能开的尽方的因数或因数的二次根式． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 4．（22-23九年级上·重庆万州·阶段练习）观察下面分母有理化的过程：，从计算过程中体会方法，并利用这一方法计算：的值是（    ） A． B． C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】首先利用已知化简二次根式，进而结合平方差公式计算得出答案． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分母有理化，平方差公式，正确化简二次根式是解题的关键． 5．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据题意把，，代入求得的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ， ∴b边上的高为， 故选：A． 6．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）计算： ． 【答案】8 【分析】根据二次根式的除法法则求出即可． 【详解】解： ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，能正确进行化简是解此题的关键． 7．（22-23八年级上·四川成都·期末）分母有理化后的值为 . 【答案】. 【分析】分子、分母同时乘以进行化简即可. 【详解】=. 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式是进行分母有理化的知识基础. 8．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同是同类二次根式，先化简，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：． 当时，与是同类二次根式． 故答案为：4． 10．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等可得，求出、、的值即可求解． 【详解】解：各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等， ， 解得：，，， ， 故答案为：． 11．（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 13．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一矩形的面积为，它其中的一边长为，又知一平行四边形的一组邻边长分别为、．若矩形的周长为，平行四边形的周长为，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算的应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 先由矩形的面积与一边长，求出另一边的长，从而计算出矩形的周长的值，根据平行四边形的周长公式计算出的值，代入，求出a值，再代入，计算即可． 【详解】解：∵矩形的面积为，它其中的一边长为， ∴矩形的另一边长为：， ∴， ∵平行四边形的一组邻边长分别为、． ∴ ∴ ∴ ． 14．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并给出证明过程． 【答案】(1)第5个等式： (2)第n个等式为：（n为正整数），证明见解析； 【分析】（1）由前面4个等式可得被开方数为1与一个分数的和，这个分数的分母是序号加1的平方，分子是一列从5开始的奇数，右边是分数，分母为序号加1，分子比分母大1，从而可得第5个等式； （2）由（1）归纳出第n个等式，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． （2）由（1）可得：第n个等式为：（n为正整数） 证明如下： 左边 右边． 【点睛】本题考查的是二次根式的规律探究，掌握探究方法并总结规律是解本题的关键． 15．（22-23八年级下·云南临沧·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一) (二) (三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： (四) (1)直接写出化简结果①=　 　，②=　 　． (2)请选择适当的方法化简． (3)化简：． 【答案】(1) ①；②；(2) ；(3) 【分析】（1）①分子分母同时乘以即可化简；②分子分母同时乘以即可化简； （2）分子分母同时乘以即可化简； （3）根据例题即可化简． 【详解】解：（1）①原式=； ②原式=； 故答案为﹣1；； （2）原式=； （3）原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，读懂题意，正确运算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$