第二章 不等式（A卷·考点梳理卷）-【中职专用】2024-2025学年高一数学同步单元测试AB卷（人教版2021·基础模块上册）

第二章 不等式 考点一 不等式的基本性质 1 考点二 不等式性质的应用 1 考点三 作差比较法 2 考点四 一元一次不等式（组）的解法 2 考点五 含有绝对值的不等式的解法 2 考点六 一元二次不等式的解法 2 考点七 不等式中含参问题 3 考点八 不等式恒成立问题 3 考点九 不等式的应用 3 考点一 不等式的基本性质 1．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2. 已知，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 考点二 不等式性质的应用 3．已知，，求，的取值范围. 4. 已知，，求，的取值范围. 考点三 作差比较法 5. 求证：． 6. 比较代数式和的大小. 考点四 一元一次不等式（组）的解法 7. 已知点在第一象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点五 含有绝对值的不等式的解法 9. 不等式 ||的解集是（ ） A． B． C． D． 10. 不等式 ||的解集是（ ） A．B． C． D． 11. 设集合A，，求. 考点六 一元二次不等式的解法 12. 解下列一元二次不等式： 考点七 不等式中含参问题 13. 已知 的解集是，求，的值. 14. 已知不等式的解集是，求实数 的值. 考点八 不等式恒成立问题 15. 若 的解集为，求实数的取值范围. 16. 若 对于一切实数恒成立，求实数的取值范围. 考点九 不等式的应用 17. 有一条河，平日的河水流速为月10日，由于下雨河水流速变大为，李老师每天都从上游的甲地坐船去下游的乙地，然后同船原路返回，假设该船在静水中的航行速度为，用作差比较法证明李老师9月10日往返一次所用的时间比平日所用的时间长. 18. 某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动(从购买之日起，可供持票者使用一年).年票分A，B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无须再购买门票；B 类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算? 19. 某袋装食盐出售包装标注 500 g，按照国家标准，其实际质量与所标数值的差别不超过5g .求该食盐的实际质量的变化范围. 20. 某种商品的销售量与它的销售单价(元)之间的关系式是，与总成本(元)之间的关系式是.若每月获利不低于5 500 元，求该商品的月销量. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 不等式 考点一 不等式的基本性质 1 考点二 不等式性质的应用 2 考点三 作差比较法 2 考点四 一元一次不等式（组）的解法 3 考点五 含有绝对值的不等式的解法 3 考点六 一元二次不等式的解法 4 考点七 不等式中含参问题 5 考点八 不等式恒成立问题 6 考点九 不等式的应用 6 考点一 不等式的基本性质 1．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以(或除以)一个负数，不等号的方向改变． 【详解】因为，所以 解得，所以不等式的解集是 故选：A． 2. 已知，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的基本性质. 【详解】因为，当时，选项A不成立； 当时，，选项B不成立； 由不等式的加法法则可知，选项C成立； 当时，成立，选项D不成立. 故选：C 考点二 不等式性质的应用 3．已知，，求，的取值范围. 【答案】； 【分析】(1)同向不等式具有可加性和同向不等式具有可乘性，但是同向不等式不能相减，具体应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求取值范围，同时要注意不等式变形的等价性. (2)不等式的两边同乘一个正数,不等号的方向不变；不等式的两边同乘一个负数，不等号的方向改变. 【详解】，， ，，， ，， 的取值范围为，的取值范围为. 故答案为：； 4. 已知，，求，的取值范围. 【答案】； 【解析】，， ，， ，， 的取值范围为，的取值范围为 故答案为：； 考点三 作差比较法 5. 求证：． 【答案】见解析 【分析】运用“作差比较法”判断两个代数式的大小时，首先是“作差”：将两个代数式分别写在括号内作为独立的整体进行求差运算；然后是“变形”：运用配方、因式分解、通分等方法对差值进行适当的变形，以便判断差值的符号. 【解析】证明：因为 ， 所以． 6. 比较代数式和的大小. 【答案】 【解析】因为， 所以 考点四 一元一次不等式（组）的解法 7. 已知点在第一象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，需先根据第一象限的点的坐标所满足的条件，列出相应的不等式组，然后化简求解. 【解析】由题意得，，即，解得. 故选：A 8. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意得，，即，解得. 故选：D 考点五 含有绝对值的不等式的解法 9. 不等式 ||的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含绝对值不等式的解法：||. 【解析】由题意得，||. 故选B. 10. 不等式 ||的解集是（ ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】解含绝对值的不等式时，首先将一次项系数转化为正数(注意：不等号方向不变). 【解析】由题意得，||， 故选D. 11. 设集合A，，求. 【答案】 【分析】本题主要考查含有绝对值的不等式与集合运算相结合，先对集合进行化简，再进行集合的交集运算. 【解析】由得，，解得， 故，如图所示， 则 考点六 一元二次不等式的解法 12. 解下列一元二次不等式： 【答案】； 【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，可采用配方法、图像法或因式分解法. 【解析】(1)(解法一：配方法) 原不等式可化为 移项得 ， 配方得 即 等价于即 或 解得 或 . 所以原不等式的解集为 (解法二：图像法) 原不等式可化为 因为 ， 所以其对应的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 解得 ， 即二次函数 的图像与轴有两个不同的交点：，， 所以由图像可知，原不等式的解集为 (解法三：因式分解法) 原不等式可化为， 因式分解得， 解得或 . 所以原不等式的解集为 (2)(解法一：配方法) 原不等式可化为 因为 ， 所以当时，， 所以原不等式的解集为, (解法二：图像法) 因为 ， 所以其对应的一元二次方程 有两个相等的实数根， 解得 ， 即二次函数的图像与 轴只有一个交点 所以由图像可知，原不等式的解集为, 考点七 不等式中含参问题 13. 已知 的解集是，求，的值. 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系以及韦达定理： 【解析】因为 的解集是， 所以 是一元二次方程 的两个实数根. 所以由韦达定理得 解得 所以 14. 已知不等式的解集是，求实数 的值. 【答案】 【解析】不等式等价于即 ， ∵不等式的解集是， ，解得 考点八 不等式恒成立问题 15. 若 的解集为，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】关于“不等式恒成立”问题应注意两点：一要注意讨论二次项系数是否为零； 二要注意结合二次函数 的图像，采用数形结合的解题方法更容易理解. 【解析】若，解得， 原不等式可化为，解得，不符合条件，故可知 若，则由题意可知应满足且 由得， 又由0得，， 解得或 由①②得， 综上所述，实数a 的取值范围为 . 16. 若 对于一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】若，则原不等式可化为对于一切实数恒成立，符合题意； 若，则由题意可知，需满足且 ， 由不等式组， 解得 ， 所以， 综上所述， 考点九 不等式的应用 17. 有一条河，平日的河水流速为月10日，由于下雨河水流速变大为，李老师每天都从上游的甲地坐船去下游的乙地，然后同船原路返回，假设该船在静水中的航行速度为，用作差比较法证明李老师9月10日往返一次所用的时间比平日所用的时间长. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作差比较法的应用，需先构建不等式的数学模型，然后再作差比较. 在对差值进行化简讨论时，要注意挖掘题目中的隐含条件：. 【解析】证明：设从上游的甲地到下游的乙地距离为，李老师在9月10日往返一次所用的时间为，平日往返一次所用的时间为，由题意可知，，则 又易知，所以，所以 所以，即 所以李老师9月10日往返一次所用的时间比平日长. 18. 某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动(从购买之日起，可供持票者使用一年).年票分A，B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无须再购买门票；B 类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算? 【答案】见解析 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，要分清已知量、未知量及其关系，找出题目中的不等关系.“合算”是指“A类年票价格小于B类年票价格”，此外“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等也是判断大小关系的关键性词语. 【解析】设某游客一年中进入该公园次，则由题意得 , 解得，即， 所以不等式组的解集是， 因此，该游客一年进入该公园超过25次时，购买A类年票最合算. 19. 某袋装食盐出售包装标注 500 g，按照国家标准，其实际质量与所标数值的差别不超过5g .求该食盐的实际质量的变化范围. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查含绝对值不等式的应用，应根据该食盐的“实际质量与所标数值的差别不超过5g”建立绝对值不等式的数学模型. 【解析】设该食盐的实际质量为 g，则由题意得 ， 即 解得 . 因此，该食盐的实际质量的变化范围是495 g至505 g. 20. 某种商品的销售量与它的销售单价(元)之间的关系式是，与总成本(元)之间的关系式是.若每月获利不低于5 500 元，求该商品的月销量. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查一元二次不等式的应用，应根据“利润= 销售收入- 成本= 销量× 销售价格- 成本”建立一元二次不等式的数学模型. 【解析】设月销量为件，由题意得， 销售单价为元，生产件商品所需成本为元. 工厂每月的获利为，即 化简得，解得 所以该商品的月销量为时，才能保证每月获利不低于5 500元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$