21.4 二次函数应用中的其他问题（第3课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第三课时 二次函数应用中的其他问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.掌握如何将实际问题转化为数学问题；(重点) 2.进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用； (难点) 3.进一步体会数形结合的数学思想方法.（难点） 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，在此运动中存在着许多与数学知识有关的实际问题.那么何时急刹车，才能避免追尾呢？ 情景导入 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表： 1.建立二次函数模型解决实际问题 制动时车速/km•h-1 0 10 20 30 40 50 制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110km/m）行驶导致了交通事故？ 新知探究 例 1 【分析】 要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速.题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数表达式时解答本题的关键. 解： 以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图. 10 O 3 6 9 x y 50 40 30 20 观察图中描出的这些点的整体分步，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y与x之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设 y=ax²+bx+c 10 O 3 6 9 x y 50 40 30 20 任选三组数据，代入函数表达式，得 解得 即所求二次函数表达式为 y=0.002x²+0.01x（x≥0）. 把 y=46.5m 代入上式，得 答：制动时车速为150km/h(＞110km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶. 解得 46.5=0.002x²+0.01x x1=150（km/h）, x2=-155（km/h）(舍去）. 对于二次函数不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式. 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. 典例剖析 例 2 何时橙子总产量最大? 果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量 你能根据表格中的数据作出猜测吗？ y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,增种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个 2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. 1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. 3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上? (x为正整数） 何时橙子总产量最大 解函数应用题的步骤: 设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等); 求自变量取值范围； 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； 写出结论. 总结归纳 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 2.营销问题 新知探究 数量关系 14 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 典例剖析 例 3 15 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 16 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+18x y=(20-x)(300+18x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 6000 例 3 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？ 当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6050元. 即：y=-18x2+60x+6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 例 4 ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 10+x 180-10x y=(10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x), 即 y=-10x2+80x+1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 概念归纳 22 y=(160+10x)(120-6x) 1.某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，则 =－60(x－2)2+19440. ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x＜20. 练一练 y=(160+10x)(120-6x) 当x=2时，y有最大值，且y最大=19440. 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440. =－60(x－2)2+19440. ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x＜20. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元). 2.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 练一练 w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352. 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352. 答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大， 最大利润为1352. 课本练习 1.炮弹以一定的初速度和发射角射出后，上升的高度m 与对应的水平距离m 之间的函数关系可表示为 试求： （1）炮弹能达到的最大高度； （2）炮弹最远射程. 2.心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受能力y与学习知识所用的连续时间x（单位：min）之间满足下列经验关系式 y 的值越大，表示接受能力越强. （1）当x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）在第 10 min时，学生的接受能力是多少？ （3）在第几分时，学生的接受能力最强？ 解：（1）当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步下降. （2）当x=10时，y=-0.1×100+2.6×10+43=59. 即当第10 min时，学生的接受能力是59. （3）第13 min 时，学生的接受能力最强. 3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，西红柿的种植成本Q元/kg与上市时间t天的关系用如图的抛物线表示. （1）写出图中表示的种植成本Q元/kg与时间t天之间的函数表达式； （2）西红柿上市多少天其种植成本最低？最低成本是多少？ 解：（1）由题意，知抛物线顶点坐标为（150，1）. 设其函数的关系式为 又抛物线过点（250，1.5）， 函数关系式为. （2）西红柿上市 150 天其种植成本最低，最低成本是 1 元/千克. 求下列各函数的最大值或最小值，并求出相应的x值. (1) 1. 解：(1)由题意得 ∴当x= 时，y最小值= . (2) 解：(2)由题意得 ∴当x= 时，y最大值= . 习题21.4 某商场今年一月份营业额为60万元，二月份营业额下降10%，后加强经营管理，月营业额大幅回升.设四月份营业额为y，三、四月份平均月增长率都是x. (1) 写出y与x之间的函数表达式； 2. 解：(1) y=54(1+x)2. (2) 如果y=81万元，那么三、四月份平均月增 长率应是多少？(精确到0.1%) 解：(2) 由题意得54(1+x)2=81， 解得 ∴ ≈0.225=22.5%. 因此三、四月份平均月增长率应是22.5%. 一种商品售价为每件10元，一周可卖出50件.市场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件；每件降价1元，每周可多卖5件.已知该商品进价每件为8元，问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？ 3. 解：设每件商品涨价x元，每周得到的利润为y元，根据题意得y=(10+x－8)(50－5x)=－5x2+40x+100，当x= =4时，y取得最大值，所以每件商品涨价4元，才能使利润最多. 如图，某学生推铅球，铅球出手(点A处)的高度是 m，出手后铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高点时， 运行高度y=3 m， 水平距离x=4 m. 4. (1) 试求铅球运行高度y与水平距离x之间的函 数表达式； 解：设函数表达式为y=a(x－4)2+3，由题意知函数图象过点 ，代入得a= ， 故函数表达式为 (0≤x≤10). (2) 设铅球落地点为C，求铅球被推出的距离 OC. (2)令y=0，即 ， 解得x1=－2(舍去)，x2=10， 所以此次铅球被推出的距离OC为10 m. 如图，在平面直角坐标系中画出一抛物线形的公路桥拱示意图，它的跨度为40 m，最大高度为16 m.如果在距离跨度中心点M的5 m处竖立铁柱支撑拱顶，那 么该铁柱的长度应是多少？ 5. B M 解：根据题意得抛物线的顶点坐标为(20，16)，且B(40，0)，O(0，0)， 设抛物线的解析式为y=a(x－20)2+16(a≠0)，代入点B(40，0)得a(40－20)2+16=0，解得a= . 所以y= (x－20)2+16. 当x=20－5=15时，y= ×(15－20)2+16=15， 当x=20+5=25时，y= ×(25－20)2+16=15，所以在距离跨度中心点M的5m处竖的铁柱的长度为15 m. 平面直角坐标系 二次函数 C 分层练习-基础 D 分层练习-基础 C 会 分层练习-基础 10 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-巩固 A 分层练习-巩固 600 12 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 实际问题 数学模型 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 实际数据分析问题 营销中的抛物线问题 （营销问题，运动学问题） 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 课堂小结 知识点：利用二次函数解决运动中的抛物线问题 利用二次函数解决运动中的抛物线问题的关键：根据已知条件选择合理的位置建立　 ，结合运动中的速度、距离、时间建立　 　 模型． 1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列关系式h＝－5(t－1)2＋6.则小球距离地面的最大高度是(　　) A．1米　　　　 B．5米　　　　 C．6米　　　　 D．7米 2．如图所示，小明在今年校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度h随时间t的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间大约是(　　) A．0.71s B．0.70s C．0.63s D．0.36s 3．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若此炮弹在第7秒与14秒时的高度相等，则下列时间炮弹所在高度最高的是(　　) A．第8秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第12秒 4．汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s＝eq \f(1,100)v2，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停放一辆故障车，此时刹车 有危险(填“会”或“不会”)． 5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－eq \f(1,12)(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是 m. 6．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看作一点)的路线是抛物线y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1的一部分，如图． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中人梯到起点A的水平距离为4m，问这次表演是否成功？请说明理由． 解：(1)∵y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1＝－eq \f(3,5)(x－eq \f(5,2))2＋eq \f(19,4)，∴该演员弹跳高度的最大值为eq \f(19,4)m；　 (2)当x＝4时，y＝－eq \f(3,5)×42＋3×4＋1＝3.4，∴这次表演是成功的． 7．(连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是(　　) A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B．点火后24s火箭落于地面 C．点火后10s的升空高度为139m D．火箭升空的最大高度为145m 8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(　　) A．6s　　 B．1s　　 C．3s　　 D．2s 9．某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的函数关系式是y＝60t－1.5t2，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来． 10．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系式为s＝10t＋t2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为 米． 11．某种爆竹点燃后，其上升的高度h(米)与时间t(秒)符合关系式h＝v0t－eq \f(1,2)gt2(0＜t≤2)，其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升． (1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多长时间离地面15米？ (2)爆竹点燃后在1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由． 解：(1)由已知得：20t－eq \f(1,2)×10t2＝15，∴t1＝3(舍去)，t2＝1，∴爆竹点燃后1秒离地面15米； (2)h＝－5t2＋20t，顶点的横坐标t＝2，∵a＜0，∴在爆竹点燃后1.5秒至1.8秒内爆竹在上升． 12．如图，小明的父亲在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下的O点打出一球向球洞A点飞去，球飞行的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度为12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向的夹角为30°，O、A两点相距8eq \r(3)米． (1)求点A的坐标及直线OA的解析式； (2)求球的飞行路线所在抛物线的解析式； (3)判断小明的父亲这一杆能否将高尔夫球从O点直接打入球洞A点． 解：(1)A(12,4eq \r(3))，OA的解析式为y＝eq \f(\r(3),3)x；　 (2)y＝－eq \f(4,27)(x－9)2＋12或y＝－eq \f(4,27)x2＋eq \f(8,3)x；　 (3)当x＝12时，y＝eq \f(32,3)≠4eq \r(3)，∴小明父亲这一杆不能把高尔夫球打入球洞A点． 13．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h(a≠0)．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m. (1)当h＝2.6时，求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h，即2＝a(0－6)2＋2.6，∴a＝－eq \f(1,60)，∴y＝－eq \f(1,60)(x－6)2＋2.6；　 (2)当h＝2.6时，y＝－eq \f(1,60)(x－6)2＋2.6，当x＝9时，y＝2.45＞2.43，∴球能越过球网．当x＝18时，y＝0.2＞0，∴球会出界；　 (3)将x＝0，y＝2代入到y＝a(x－6)2＋h，得a＝eq \f(2－h,36).当x＝9时，y＝eq \f(2＋3h,4)＞2.43①；当x＝18时，y＝8－3h＜0②.由①②得h＞eq \f(8,3). 利用二次函数的知识解决运动中的抛物线形问题 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取4eq \r(3)≈7) (3)运动员乙在C处要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？(取2eq \r(6)≈5) 【思路分析】　(1)依题意代入x的值可得抛物线的表达式；(2)令y＝0可求出x的两个值，再按实际情况筛选；(3)本题有多种解法，如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AMC向下平移了2个单位可得2＝－eq \f(1,12)(x－6)2解得x的值，即可知道CD、BD. 【规范解答】　(1)y＝－eq \f(1,12)(x－6)2＋4； (2)y＝0，x＝6＋4eq \r(3)≈13，点C距守门员13米； (3)设y＝－eq \f(1,12)(x－m)2＋2，把(13,0)代入得，－eq \f(1,12)(13－m)2＋2＝0，∴m＝13＋2eq \r(6)≈18，∴y＝－eq \f(1,12)(x－18)2＋2.当y＝0时，x＝18＋2eq \r(6)≈23，x＝18－2eq \r(6)(舍去)，23－6＝17，∴再向前跑17米. $$