高中数学常用公式及知识点总结

高中数学常用公式及知识点总结 1、 集合与逻辑连接词 1. 集合N_____________Q_____________R_____________Z_____________N+_____________ 2. 集合A中有n个元素，则集合A有__________个子集，有_________个真子集，有_________个非空真子集。 3. _________________,_________________ 4. 1 13 学科网（北京）股份有限公司 5. 真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 真 假 假 真 假 假 6. 常见结论的否定形式 原结论 否定 原结论 否定 是 不是 至少有一个 大于 至少有个 对所有，成立 或 6. 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“____________” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“____________” 否定形式 7. 条件语句 推出形式 集合形式 命题形式 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要 ( 逆命题： ) ( 原命题： )8. 四种命题及关系： ( 逆否命题： ) ( 否命题： ) 9. 互为逆否命题的两个命题具有____________的真假性，互逆或互否的两个命题真假性_________ 二、复数 1、= = = （） 2、复数，a为 ，b为 ； （1）、当 时，z是实数； （2）、当 时，z是虚数； （3）、当 时，z是纯虚数； （4）、当 时，z是非纯虚数； 3、复数相等的条件及应用 （1）、 ； （2）、 ； 4复数的模：，则= ；几何意义： 5、复数代数形式的四则运算 （1）、复数的加法：（a+bi）+（c+di）= ； （2）、复数的减法：（a+bi）-（c+di）= ； （3）、复数的乘法：（a+bi）（c+di）= ； （4）、复数的除法：（a+bi）（c+di）= ； 6、共轭复数：复数的共轭复数为= ； 三、基本初等函数 1、指数幂的运算法则 = = = = = = ____________ 2、对数与指数互化： 3、对数运算法则及换底公式（） 对数恒等式：1.___________________2.___________________3._______________4.______________ 对数的运算性质：1.___________________2.___________________3._______________ 换底公式：1.___________________2.___________________ 特殊对数： ⑴通常以10为底的对数叫做常用对数，并把记为_________； ⑵通常以为底的对数叫做自然对数，并把记为_________. 4、 二次函数一般式： 顶点： 对称轴： 单调性： 零点： 二次函数顶点式： 顶点： 对称轴： 二次函数两根式： 对称轴： 零点： 5.恒成立的充要条件是_________________; 恒成立的充要条件是_____________________; 恒成立的充要条件是_________________; 恒成立的充要条件是_________________; 10. 对勾函数的表达式：___________________________图像：___________________________ 11. 反比例型函数的图像： 8. 基本初等函数图像 （1）指数函数 （2）对数函数 （当时，y= ；当时，y= ） a>1时的图像 0<a<1时的图像 a>1时的图像 0<a<1时的图像 图像恒过点 ，且不与 轴相交。 图像恒过点 ，且不与 轴相交。 （3）幂函数的图像和性质 解析式 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 9、函数的性质 1、单调性：单调增：①____________________________;②_______________________;（即） 单调减：①_____________________________;②_________________;（即） 2. 复合函数的单调性： ______________________________________________________ 3. 单调性性质：(1)、增函数+增函数= ；（2）、减函数+减函数= (3)、增函数-减函数= (4)、减函数-增函数= 4、奇偶性 (1)前提： (2)奇函数：______________________________________;其图像_______________________; 偶函数：______________________________________;其图像_______________________; (3)若函数是奇函数，且在处有定义，则_____________; (4)多项式函数的奇偶性： 多项式函数是奇函数______________________________________;. 多项式函数是偶函数______________________________________;. (5)奇+奇= 偶+偶= 奇偶= 奇奇= 偶偶= 5、周期性 (1)对于定义域内任意的x，都有，则的周期为 ； (2)若，则_______________;若，则_______________; (3)若，则_______________;若 ，则_______________; (4)若， 则_______________;若 ，则_______________; 6、对称轴：_____________________________________; 对称中心：_____________________________________; 7、图像变化 (1)奇函数在对称区间内有 的单调性；偶函数在对称区间内有 的单调性。 (2)平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)y=f(x+h); y=f(x)y=f(xh); y=f(x)y=f(x)+h; y=f(x)y=f(x)h. (3)对称变换：y=f(x) y= f(x); y=f(x) y=f(x); y=f(x) y= f(x). y=f(x) y=f(2ax); y=f(x) y=f1(x); (4)翻折变换： 函数的图像可以将函数的图像_______________________________ 函数的图像可以将函数的图像_______________________________ (5)伸缩变换 y=f(x)y=f(); y=f(x)y=ωf(x). 8、恒成立与有解 a恒成立 a有解 9、方程的根，函数的零点以及图像与x轴交点的关系：____________________________________ 函数零点的存在性定理：___________________________________________________ 四、函数的导数及其应用 1、函数在点处的导数的几何意义 函数在点处的导数是曲线在点（，）处的切线的斜率 ， 相应的切线方程式是 ； 2、用导数判别单调性、单调区间、极值和最值； （1）设函数在某个区间内可导，若 >0，则为 函数，若 <0,则为 函数; （2）设函数在某个区间内可导，若在(a,b)内为增函数，则 ： 若在(a,b)内为减函数，则 ：; （3）求函数的极值的方法：解方程,当时， ①如果在附近的左侧 >0，右侧 <0，那么是极 值； ②如果在附近的左侧 <0，右侧 >0，那么是极 值； （4）求函数的最值的方法 ： 3、集中常见函数的导数 = (C为常数) = = = = = = = 4、导数的运算法则 = = = （cf(x)）’ = 5、 复合函数求导法则： 五、三角函数、三角恒等变换和解三角形 1、三角函数 （1）终边相同的角的集合：　　　　　　　　　　　 　　　　　　 （2）扇形的弧长及面积公式：　　　　　　　　　　　 　　　　　　 （3） 弧度制和角度制的互化： 　　　　 　 　 　　　　　1rad=　　　 　　　 （4） 任意角三角函数的定义：若点，则sin =_____，cos =_____，tan =____。　　　　　 　　　　　　　　　　 （5）三角函数值在各象限的符号 （记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦） （6）同三角函数的基本关系（及所解决的问题）： 平方关系： = 商数关系：= （7），，知一求二问题：（符号由角所处的象限确定） （8）特殊角的三角函数值表 a的角度 a的弧度 sina cosa tana （9）三角函数的诱导公式（）诱导公式可用十个字概括为：_____________________________; 公式一： = = = 公式二： = = = 公式三： = = = 公式四： = = = 公式五： = = 公式六： = = （记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇偶指的奇偶数倍，变与不变指三角函数名称的变化，若变则是正弦变余弦，正切变余切；符号是根据角的范围以及三角函数在四个象限的正负来判断新三角函数的符号（无论a是多大的角，都将a看成锐角）） （10）三角函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 递增区间 递减区间 奇偶性 最小正周期 对称性 最值 （11）函数 ①五点作图法 0 ②的性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性 ③由的图像得到的图像的过程 方法途径一： 图像上各点向左或向右平移个单位，得到 ，图像各点横坐标伸长或缩短到原来的，纵坐标不变，得到 ，图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，横坐标不变，得到 ； 方法途径二： 图像各点横坐标伸长或缩短到原来的，纵坐标不变，得到 ，图像上各点向左或向右平移个单位，得到 ，图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，横坐标不变，得到 ； （12）两角和与差的正弦、余弦和正切 （异名同号） = = （同名异号） = = = = （13）二倍角公式：tan2 =______________。 sin2 =_____________;cos2 =______________=_______________=_______________; （14）降幂公式是：_______________;_______________;_______________. （15）辅助角公式：=____________________________ 辅助角公式推导过程： 2、解三角形 （1）正弦定理： = = =2R (R为三角形的外接圆半径) 用角表示边：a= ，b= ，c= 。 适用情况：___________________________________ （2）余弦定理：= ，= ，= 求角：= ,= ,= 适用情况：___________________________________ (3)三角形面积公式：= = = (4)△ABC 中： 六、平面向量 1、平面向量的坐标运算 （1）、设,则= ； （2）、设，则= ，= ，= ； = ，= ， = ； 2、定义：， ;; 3、两向量的夹角公式 设，则= = ； 4.重要定理、公式: （1）平面向量的基本定理：如果 和 是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对该平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ,使 （2）两个向量平行的充要条件 （3）两个非零向量垂直的充要条件 （4）零向量与任一向量_________ 什么是单位向量？__________与同向的单位向量为_____ 与 共线的单位向量为_______ （5）若 P 为 A,B 的中点，O 为直线 AB 外一点，则：________________ （6）三点共线的向量表示形式：________________________________ （7）模长不等式：________________________________________________________________________ （8）数量积不等式：_______________________________________________________________________ 七、数列 1、数列的通项与前n项和的关系： 2、等差数列 （1）、定义：若数列称等差数列； （2）、等差数列通项公式： ，其中首项是 ，公差是 ； （3）、等差数列前n项和公式：= = ； （4）、等差中项： A是a、b的等差中项，则有等式 ； （5）、首尾项性质：若是等差数列，则 ； （6）、若是等差数列，p、q、r、s为正整数，且，则 ； 3、等比数列 （1）、定义若数列（常数），则称等比数列； （2）、等比数列通项公式： (nN+)，其中首项是 ，公比是 ； （3）、等比数列前n项和公式： ； （4）、等比中项： G称a、b的等比中项，则有等式 ； （5）、首尾项性质：若是等比数列，则 ； （6）、若是等比数列，p、q、r、s为正整数，且，则 ； 4.常用的裂项： 八、不等式 已知a，b都是正数，则有，当a=b时，等号成立； （1）、若积ab是定值m，则当a=b时，和a+b有最小值 ； （2）、若和a+b是定值n，则当a=b时，积ab有最大值 ； 九、统计概率 1、抽样有哪些？需要注意什么？_______________________________________________________ 2、数字特征有哪些？ 平均数：= ；样本方差：= ；样本标准差： = ； 已知数据，，，的平均数，方差，则数据，，，的平均数为           ，方差为           ． 如何利用频率分布直方图求平均数，中位数，众数？_______________________________ 3、回归分析： 1．相关系数r 它主要用于衡量_________________________________；范围_____________当r＞0时表示____________________，当r＜0时表示两个变量_____________．当|r|越接近1时，表明两个变量______________；当|r|越接近0时，表明两个变量__________．通常|r|时，认为这两个变量________________． 2．回归分析： （1）散点图：若这些散点分布在从左下角到右上角的区域，则称两个变量______； 若这些散点分布在从左上角到右下角的区域，则称两个变量______． （2）如果散点图中点的分布从整体上看____________________，就称这两个变量之间具有线性相关关系. （3）回归方程____________________，其中 ＝__________， ＝__________回归方程必然过点______________， （4）回归方程主要用来______________，从而获得对这两个变量之间整体关系的了解． 3.相关指数 它主要用于刻画______________；的范围_______________的值越接近1时，表明______________ 残差公式是_____________________ 残差图：_____________________ 4.独立性检验 (1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，则这类变量称为___________． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为___________． (3)利用K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验． K2＝__________________(n＝a＋b＋c＋d)． 注意：(1)卡方越小，独立性越强，相关性越弱；卡方越大，独立性越弱，相关性越强． (2)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论． 4、排列组合 计数原理：加法原理：_____________________;乘法原理：_____________________。 排列数公式：=_____________________=_____________________； 排列数与组合数的关系：_____________________; 组合数公式：=_____________________=_____________________； 组合数性质：（1）=______________， +=_______________， （2） 5、二项式定理：（1） （2）二项展开式的通项公式： （3）二项展开式项数： （4）二项式系数: （5）展开式的特点①a的指数 ②b的指数 ③a和b的指数和为 ： （6）二项式系数的性质： 对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 ： 增减性与最值： 二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当是偶数时，中间一项取得最大值 ： 当是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值 ： 二项式系数的和为： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 ： （7）系数的和 ： 6、概率及分布列 （1）若事件A、B为互斥事件,则P（A+B）=__________________ （2）若事件A、B为相互独立事件,则P（A·B）=_____________________. （3）若事件A、B为对立事件,则P（A）+P（B）=___。一般地, （4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率 称二项分布列 （5）在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则P(X=k)_______________称超几何分布列. （6）离散型隋机变量的分布列的性质:①②. （7）若离散型惰机变量ξ的分布列为 ξ X1 X2 … xn … p P1 P2 … pn … 则ξ的数学期望 Eξ=___________________________________方差为Dξ=_______________________. 期望的性质：设a、b为常数，则E（aξ+b）=_________________若ξ～B（n，p），则Eξ=_________________ 方差的性质：设a、b为常数，则D（aξ+b）=_____________若ξ～B（n，p），则 Dξ=________________________ 7. 正态曲线及其性质 (1)正态总体函数，，其中表示总体平均值，表示标准差，其分布叫做正态分布，记作N（____，_____），函数的图象叫正态曲线.当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从____________ (2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ . (3)正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的 ． (2)定值性：曲线与x轴之间的面积为 . (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称． (4)最大值：曲线在 处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴． (6)当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当μ一定时，曲线的形状由 确定， 时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中； 时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. (8)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． (9)利用正态分布的性质求概率 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ . (10)正态分布的应用：解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 十、解析几何 1、直线与方程 （1）、直线的斜率为k=_________=____________.（为直线的倾斜角）； （2）、直线的五种方程： ①斜截式： （b为直线L在y轴上的截距）； ②点斜式： （直线L过点，且斜率为k）； ③两点式： （）； ④截距式： （a，b分别为直线L的横、纵截距，）； ⑤一般式： （其中A,B不同时为0）。 （3）、两条直线的平行与垂直 直线；①若平行 ；②若垂直 。 （4）、距离计算 ①点到点的距离公式： （两点为） ②点到直线的距离公式： （点，直线） ③平行直线间距离公式： （直线和直线） 2、圆与方程 （1）圆的定义： ①圆的一般方程： 圆心为 ，半径为 ； ②圆的标准方程： 圆心为 ，半径为 ； （2）点与圆的位置关系：____________________________________； ____________________________________； ____________________________________； （3）直线与圆的位置关系： 位置关系 图形表示 交点个数（） d,r的关系 涉及到弦长问题要想垂径定理. 弦长= 在圆上某点（x0，y0）处的切线方程： 圆上的点到直线距离的最大值与最小值 （4）过圆内一点与圆相交的最长弦与最短弦： ①过圆上一点做圆的切线有几条？ 过圆外一点做圆的切线有几条？ ②两个圆的方程相减得到的是： （5）求圆与圆的位置关系： 位置关系 图形表示 公切线条数 d,r1,r2的关系 3、椭圆 定义 （定义指出了椭圆上的点具有的特点） 标准 方程 ( 注意谁大在谁上（a>b>0） ) 图形 中心 顶点 焦点 对称轴 范围 离心率 (e越大，图像越 ，e越大，图像越 ) 长轴短轴 其它性质 1. 当a=b时，椭圆变为 2. 椭圆焦点三角形面积公式： 3.通径的定义是： 椭圆的通径长为 4.在椭圆某点（x0，y0）处的切线方程： 5.椭圆的焦点永远在长轴上。 4、双曲线 定义 （定义指出了双曲线上的点具有的特点） 标准方程 ( 注意谁正在谁上（a>0，b>0） ) 图形 中心 顶点 焦点 对称轴 范围 离心率 ( 离心率与渐进线相互决定 ) ( e越大，图像张口越 ，e越大，图像张口越 ) 渐近线 实轴虚轴 其它性质 1.当a=b时，双曲线叫做 此时离心率为 渐进线 2. 双曲线焦点三角形面积公式： 3.通径的定义是： 双曲线的通径长为 4.焦点到渐近线的距离为 5.双曲线的焦点永远在实轴上。 6.若直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切或与渐近线平行。 5、抛物线 定义： （定义指出了抛物线上的点具有的特点） 标准方程 简图 焦点 顶点 准线方程 对称轴 范围 焦半径 通径端点 及通径长 离心率 其它性质 1. p的几何意义是： p越大，抛物线的开口越大。 2.若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切或与抛物线对称轴平行或重合。 3.关于抛物线焦点弦的几个结论： 设AB为过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦，A(x1,y1)B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为，则 （1）   ⑵ ⑶以AB为直径的圆与准线相切； ⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为 ⑸  6. 求曲线轨迹方程的方法有： 7. 遇到中点弦的问题可用： 8.若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为___________=________ _____； 十二、立体几何 （5） 正视图：从前往后             侧视图：从左往右                俯视图：从上往下 （6） 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （7） 柱体的体积公式： 锥体的体积公式： 球体的体积公式： 球体的表面积公式： （8） 外接球有哪些模型？该如何解决？内切球该如何解决？ （9） 圆柱的表面积： 圆锥的表面积公式： （10） 确定一个平面的条件：i ii III IV （11） 公理化体系： 1、常见几何体的三视图 几何体 直观图形 正视图 侧视图 俯视图 正方体 长方体 圆柱 圆锥 圆台 球 2、空间几何体的表面积与体积 名称 图形 侧面积 表面积 体积 圆柱 圆锥 球 3、直线、平面位置关系（立体几何常用定理和方法） 一、直线与平面平行的判定定理： 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言： 符号语言： 作用：线线平行线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 图形语言： 符号语言： 作用：线面平行线线平行 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言： 作用：线线平行 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言: 作用: 面面平行线线平行 五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： 作用：线线垂直线面垂直 六、直线与平面垂直的性质定理： 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： 作用：线面垂直线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 符号表示： 注：线面垂直面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面 图形语言： 符号语言： 作用：面面垂直线面垂直 十三、极坐标与参数方程 1.极坐标系（极点、正方向、极轴、单位长度、极角） 2.极坐标的表示 极坐标中的几何意义：______________________________ 3.极坐标与直角坐标的关系及其互化（4个） 4.极坐标常见类型 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为_________________ 圆心在（r,0），半径为r的圆的极坐标方程为________________ 圆心在，半径为r的圆的极坐标方程为________________ 5、参数方程 （1）、直线的参数方程： （为定点，为倾斜角）其中参数的几何意义为_____________ （2）、圆的参数方程： （（a,b）为圆心，r为半径）其中参数的几何意义为______________ （3）、椭圆的参数方程： （a为长半轴，b为短半轴）（一般会有哪些题型？） $$