2.3.1一元二次不等式及其解法（教学课件）数学湘教版2019必修第一册

2.3 一元二次不等式 2.3.1 一元二次不等式及其解法 第2章 一元二次函数、方程和不等式 问题引入 许多实际问题都可以转化为不等式问题，例如： 问题 某杂志每本的成本为3元，现定价为5元，发行量为10万本.杂志社为了扩大发行量，准备略降低单价，据市场调查知，若单价每降低0.1元，发行量就相应增加1万本.要使总利润不会减少，则杂志的定价应在什么范围？ 分析 设杂志的单本定价为元()，单价每降低0.1元发行量就相应增加本，即单价每降低1元，发行量就相应增加本，据此可列表如下： 项目 降价前 降价后 成本/（元/本） 3 3 定价/（元/本） 5 发行量/本 总利润/元 项目 降价前 降价后 成本/（元/本） 3 3 定价/（元/本） 5 发行量/本 总利润/元 新知探索 要使总利润不低于降价前的总利润，就有 ， 整理得 只要求得以上不等式的解集，就得到了问题的答案. 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 怎么求上面一元二次不等式的解集呢？ 新知探索 从2.2节我们知道，一元二次方程与相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是对应二次函数的零点.那么，一元二次不等式和相应的二次函数是否也有类似的联系呢？ 解一元二次方程，得两个实数根，. 然后画出二次函数的图象，如图所示. 新知探索 所以，当杂志的定价在元/本的范围内时，总利润不会减少. 观察图象可知，当或时，函数图象位于轴上方，此时，即；当时，函数图象位于轴下方，此时，即.所以，一元二次不等式的解集是. 新知探索 由于二次函数的图象可根据零点个数分为,,三种情况，因此，我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式 与的解集. 其实，上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式或的解集.我们可由二次函数的零点与一元二次方程根的关系，先求出对应一元二次方程的根，再根据二次函数的图象与轴的位置关系确定一元二次不等式的解集. 计算判别式. 新知探索 1.当时，先求出方程的两根和(不妨设)，二次函数的图象如图(1)所示，因此，不等式的解集为，不等式的解集为. 新知探索 2.当时，二次函数的图象其顶点在轴上，其余部分都在轴的上方，如图(2)所示，因此，不等式的解集为，不等式的解集为. 新知探索 3.当时，二次函数的图象全部位于轴的上方，如图(3)所示，因此，不等式的解集为，不等式的解集为. 新知探索 因此，解形如或(其中)的一元二次不等式，一般可分为三步： (1)确定对应一元二次方程的根； (2)画出对应二次函数的大致图象； (3)由图象得出不等式的解集. 对于二次项系数是负数(即)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解. 新知探索 借助二次函数图象的直观性，得到求解一元二次不等式的通法，这体现了数形结合，亦反映了函数、方程与不等式之间的关联. 一元二次函数与轴交点的横坐标 一元二次方程的解 一元二次不等式的解 例析 解 方程有两个不相等的实数根，. 例 1 解不等式. 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，，由图象得不等式的解集为. 例析 解 方程有两个不相等的实数根. 例 2 解不等式. 函数的图象如图所示，与轴仅有一个交点，由图象得不等式的解集为. 例析 解 (方法一)在不等式两端同时乘以，可得. 例 3 解不等式. 由于，所以方程没有实数根，于是函数的图象与轴没有交点，如图所示，由图象得不等式得解集为. (方法二)方程没有实数根，于是函数的图象与轴没有交点，如图所示，由图象得不等式的解集为. 新知探索 由求解一元二次不等式的方法与过程可知，一元二次不等式与相应一元二次方程和二次函数有紧密的联系，具体地，我们可用如下一张表格予以说明： 判别式 的图象 的根 有两个不相等的实数根() 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 或 的解集 新知探索 不难发现，一元二次方程和一元二次不等式分别是二次函数函数值等于零和不等于零时的“局部”情形，而相应一元二次方程和一元二次不等式的解都可由二次函数的图象得出. 例如，根据二次函数的图象，可得一元二次方程的两实数根分别为，则一元二次不等式的解集为，一元二次不等式的解集为. 例析 解 原不等式等价于，即， 所以. 例 4 解不等式. 故原不等式的解集为. 例析 解 由题意知，一元二次不等式的解集为，于是对应二次函数的图象开口向上，且恒在轴上方， 所以，即， 求解该一元二次不等式得. 例 5 若对任意的实数，一元二次不等式解不等式恒成立，求实数的取值范围. 例析 解 由一元二次不等式解集的结构知，和是一元二次方程的两个实数根， 所以 解得 例 6 已知不等式的解集为，求实数的值. 练习 题型一：不含参一元二次不等式的解法 例1.解下列不等式： (1)(2) 解：(1)∵ ∴方程有两个不等实根. 又二次函数的图象开口向上， ∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为：∵ ∴方程无实根. 又二次函数的图象开口向上， ∴原不等式的解集为 求出一元二次方程的根 根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 练习 方法技巧： 解不含参一元二次不等式的步骤： 练习 变1.(多选)若不等式的解集是，则下列选项正确的是(　). 且 不等式的解集是 答案： 解：由题意，不等式的解集是， 可得－1，2是方程的两个根，且＜0，正确. ∴有，.解得，∴正确. 当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确； 把代入，可得， 因为，所以，即， 此不等式的解集为，不正确. 练习 题型二：含参一元二次不等式的解法 例2.解关于的不等式 解：情形一：若时，则原不等式可化为，即. 情形一：若，原不等式可化为. 若，原不等式可化为 ∵，∴或 若，原不等式可化为 若，即则 若，即则 若，即则 练习 题型二：含参一元二次不等式的解法 例2.解关于的不等式 综上所述，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 练习 方法技巧： 解含参一元二次不等式的步骤： 练习 变2.解下列不等式的解集： (1)当时，求关于的不等式的解集； 解：(1)当时，原不等式化为： 即， ∴不等式的解集为. 练习 变2.解下列不等式的解集： (2)若，求关于的不等式的解集. 解：(2)∵ 当时，有 ∴不等式的解集为. 当时，有 ∴不等式的解集为. 当时，有 ∴不等式的解集为. 练习 题型三：三个“二次”之间对应关系的应用 例3.已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 解：∵关于的不等式的解集为， ∴，且是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴不等式化为， 即，解得 因此不等式的解集为 练习 方法技巧： 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 练习 变3.不等式的解集为，则（ ）. A. B. C. D. 答案：B. 解：∵，开口向上， 而解集为，∴ 由韦达定理可得， 解得 ∴ 故选B. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)一元二次不等式的解法； (2)一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的联系. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P52的练习题和课本P54的练习1、2、3、4题； (3)课本P57的习题2.3的1、2、3、4、5、7、8、11、12题. 谢谢学习 Thank you for learning $$