小升初典型奥数：最值问题（讲义）-2023-2024学年六年级上册数学苏教版

最值问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 一、最大和最小 任意一个多位数，在某一位数字后面插入一个同样的数字时，在从左往右遇到的第一个最大的数字后面填写相同的数字，得到新的数字最大；如果是在从左往右遇到的第一个最小的数字后面填写相同的数字，得到的数字最小。 二、和同近积大 如果两个数的和一定，那么这两个数越接近，两者的乘积越大，当它们相等的时候，乘积最大。例如和固定是12，则6×6＞5×7＞4×8＞3×9＞2×10＞1×11。 第二部分 典型例题 例题1：一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少? 【答案】15 【详解】设这个两位数为=l0a+b，它们的数字和为a+b,因为l0a+b=(a+b)+9a，所以l0a+b≡9a(mod a+b)， 设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)． 特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9； 所以当除数a+b不为18，即最大为17时， 第一种情况：余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足； 第二种情况：余数其次为15，除数a+b只能是17或16， 除数a+b=17时，有9a=15+17m,有,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足； 除数a+b=16时，有9a=15+16m,有(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足； 所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15． 例题2：如图，一个边长为10厘米的正方形ABCD，在两边AB和AD上分别有点E和点F，AE=5厘米，AF=6厘米，请你在BC或CD边上选一点，并与原有的两点连成一个三角形，使三角形的面积尽可能地大，求这个三角形面积的最大值． 【答案】40平方厘米 【分析】先假设所求的点G在BC边上，并设BG=x厘米，直接求△EFG的面积比较困难，因此可由已知条件可用正方形的面积减去△AEF、△BEG与梯形FGCD的面积之和． △EFG的面积= 类似地可以讨论G在CD上的情况 【详解】解：假设所求的点在BC边上，设BG=x厘米 △EFG的面积 =100-15-2.5x-(70-5x)=15+2.5x 要使△EFG的面积最大，只要x取最大值就行了．因此G点应取在C点，此时BG=BC=10厘米．△EFG（即△EFC）的面积最大，为15+2.5×10=40（平方厘米） 再考虑CD边，假设CD边上有这样的点K，使得△EFK的面积最大．设DK=y厘米，则 △EFK的面积=100-15-2y-（75-5y）=10+3y 要使△EFK的面积最大，应使y的值最大，y最大为10，此时K点就是C点． 综上所述，所求的点即为C点，△CEF的面积最大，最大值是40平方厘米． 【点睛】最值点往往在特殊位置取得，或由极端情形出发，逐步调整到最值状态． 例题3：用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少? 【答案】784 【详解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下： 得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下： 但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为： 再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式： ，所以差最大为784． 例题4：用0、1、2这三个数，分别能组成多少个不同的三位数？其中最小的三位数和最大的三位数分别是多少？ 【答案】102,210 【详解】列出所有这样的三位数，因为0不能在首位，所以共有102，120，201，210，一共4个，其中最大的是210，最小的是102． 例题5：一次一把钥匙开一把锁，现有三把钥匙、三把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试多少次才知道哪把钥匙开哪把锁？ 【答案】3次 【详解】最多试3次． 第一次，3把锁，拿一把钥匙，最多2次即可确定一把相应的锁． 第二次，2把锁，拿一把钥匙，最多1次即可确定一把相应的锁． 第三次，1把锁，不用试，即可确定． 总共，2+1=3次，3把锁即可全部确定． 第三部分 高频真题 1．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少? 2．由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为K，如果K为整数，那么K的最大值是多少？ 3．在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分。小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序。那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？ 4．科学考察队的一辆越野车需要穿越一片全程大于千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点，越野车装满油从起点出发，到储油点时从车中取出部分油放进储油点，然后返回出发点，加满油后再开往，到储油点时取出储存的油放在车上，从出发点到达终点．用队长想出的方法，越野车不用其他车帮助就完成了任务，那么，这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是多少千米？ 5．（慈溪市）编号为1至10的十个果盘中，每盘都盛有水果，共盛放100个．其中第一盘里有16个，并且编号相邻的三个果盘中水果数的和都相等，求第8盘中水果最多可能有几个． 6．一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，在这样的自然数中，最小的一个是多少？ 7．四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分。比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？ 8．在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？ 9．用1、2、3、4、5、6六个数码组成两个三位数，这两个三位数相乘，最大的乘积是多少？最小的乘积又是多少？ 10．有一人有240公斤水，他想运往干旱地区赚钱．他每次最多携带60公斤，并且每前进一公里须耗水1公斤（均匀耗水）．假设水的价格在出发地为0，以后，与运输路程成正比，（即在10公里处为10元/公斤，在20公里处为20元/公斤......），又假设他必须安全返回，请问，他最多可赚多少钱？ 11．如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么最大的人的年龄可能是多少？ 12．有一个位数,在它的两头各添上一个1以后就变成一个位的数.若是的99倍,求当最小时,的值. 13．4个人的年龄和是100岁，其中最小的17岁，且四人的年龄都不相同，那么年龄最大的最多是几岁？ 14．已知在乘积1×2×3×…×n的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值． 15．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少? 16．有一种电子游戏，从第一关开始打，打通一关进入下一关，共有很多关，每关最多可得800分，另外每获得1000分就可获得一次奖励（即在得到1000分、2000分、3000分……以后各得一次奖励），每一次奖励最多为500分，打到第四关，最多可得多少分？要得到12000分，至少要打到第几关？ 17．4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少? 18．如图，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库．A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐．现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨．已知每吨盐运l千米需要运费2元．试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费？（图16﹣2中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米） 19．六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？ 20．有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？ 21．已知两个四位数的差是8921（如图1所示），那么这两个四位数的和的最大值是多少？ 图1 22．（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？ （2）从1至9中选取四个不同的数字填人算式+中，使算式的结果小于1．这个结果最大是多少？ 23．有若干学生参加数学竞赛，每个学生的得分都是整数．已知参赛学生所得的总分是4729分，并且前三名的分数分别是88分、85分、80分，最低分是30分；又知道没有与前三名得分相同的学生，其他同学得分相同的人数都不超过3人．那么在这次竞赛中得分不低于60分的学生至少有多少人？ 24．1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数。现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积。那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？ 25．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数． 26．某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少? 27．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块? 28．在4×4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少个方格染成黑色？ 29．某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品．在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？ 30．有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？ 31．甲、乙、丙三同学移动7张桌子，由于桌子的远近关系，移动桌子所花的时间分别为4分钟、5分钟、6分钟、7分钟、8分钟、9分钟和10分钟．现三人同时开始，至少要花多少时间全部移完？ 32．要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米的钢管，那么只有当锯得的38毫米的钢管和90毫米的钢管各多少段时，所损耗的钢管才能最少？ 33．60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 34．用3个不同数字（不包括0）组成六个不同的三位数，这六个三位数的和是1776，则其中最小的那个三位数是多少？ 35．在一条笔直的公路上，每隔100公里有一个仓库，共有五个．一号仓库有10吨存货，二号仓库存有20吨货物，五号仓库有40吨存货，三号和四号仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里．如果每吨货物运输1公里要1元运输费，那么最少多少运输费？ 参考答案： 1．312 【详解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我 们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7． 然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算． 8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312; 9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313． 所以，最小值为312． 2．79 【详解】解：设这个三位数的各位数字之和为a，由三个数字均不为零，知3≤a≤27． 当a≤9时，对每一个确定的a，要使K最大，应使这个三位数最大，即十位数字和个位数字都取1，百位数字取（a-2），当a=3，4，5，6，7，8，9时，K=37，52.75，62.2，68.5，73，101.83，79，因此当a≤9时，最大的整数K=711÷（7+1+1）=79．下面证明K=79是最大的． 若a=10，则aK的个位数字是0，即这个三位数的个位数字是0，与题意不符． 若a=11，则三位数最大是911，911÷11=82.8，商不是整数．而81×11=891，82×11=902，80×11=880均不合要求． 若a=12，最大的三位数是921，而921÷12<79 若a≥13，由于a×79≥13×79=1027＞1000，这与题意不符． 综上所述，K的最大值是79． 3．7分；有可能出线 【分析】四个队进行单循环比赛，总的比赛场次是6场，总分在12~18分之间，根据各队之间的胜负关系进行分析。 【详解】（场） （分） 总分最高是18分； 如果某队积分，则剩下分，可能另两个队也各得分，这样就要按进一步规则排序，因此该队有可能不出线； 如果某队积分，则剩下分，这样另外三个队中不可能再有两个队积分等于或超过分，这样该队必然出线； 因此一个队为了晋级下一轮，至少要积分才能保证必然出线。 若有一个队总积分是分，则其它三个队共积（分），这个队可能排名前两名，所以有可能出线。 答：至少要积7分才能保证本队必然出线；积 5分有可能出线。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题与最值问题，也可以结合实际情况进行探究。 4．800千米 【详解】汽车从起点行驶到点时，首先要消耗掉往返间路程的油，留下的油要保证再次到点时油箱还是满的，所以这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是（千米） 5．第8盘中水果最多可能有11个． 【详解】试题分析：根据第一盘里有16个，并且编号相邻的三个水果盘中 水果数的和相等，可以推出1盘数+2盘数+3盘数=2盘数+3盘数+4盘数，因为2盘数和3盘数不变，所以1盘数=4盘数，如此类推1盘数=4盘数=7盘数=10盘数=16，2盘数=5盘数=8盘数，3盘数=6盘数=9盘数；8盘数+9盘数=（100﹣16×4）÷3，9盘最少是1个，那么8盘数就可求． 解答：解：第1、4、7盘的数量相等，第2、5、8盘数量相等，第3、6、9盘数量相等， 故第8、9盘的和是：（100﹣16×4）÷3=12（个）； 由于每个盘子都有水果，所以9盘中最多可以有1个，8盘中最多11个． 答：第8盘中水果最多可能有11个． 点评：先找到各盘数量之间的关系，再根据这个关系求解． 6．27 【详解】解：与3的和是5的倍数的自然数从小到大依次为：2、7、12、17、22、27、32……与3的差是6的倍数的自然数从小到大依次为：9、15、21、27、33、39、45……27是第一个同时符合两个条件的自然数，故满足条件的最小的自然数是27． 【点睛】将符合某条件的自然数一一列举，逐一比较，从中找出最值，这种方法叫枚举法． 7．局 【分析】四名棋手进行单循环比赛，一共比6局，总分是12分，因为没有人全胜，所以得分最高的选手最多是两胜一平得5分，然后分析他们的胜负关系。 【详解】（局） （分） 1.如果全部是平局，则个人的分数只能分别为，，，，就会出现分数相同的情况，如图所示（图中箭头表示有胜负，箭头指向输者，虚线表示平局） 2.如果有局是平局，则可以出现满足条件的情况：人分数分别为，，，，如图所示 所以至少有局是平局； 答：至少有3局平局。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，求解问题时，可以需要考虑到每一种情况。 8．48枚 【分析】8×8的正方形网格，总共有64个位置，要使得每行、每列及每条斜线上都有偶数个棋子，那么先假设把6个位置全部放满，然后减少，但减少的时候每行、每列要减少偶数个，同时还要兼顾剩下的棋子最多。 【详解】因为8×8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶数格。而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格。由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格。其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意。此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示。 答：最多可以放48枚棋子。 【点睛】国际象棋的棋子是放在格子中的，而不是放在格点上，这一点与中国象棋不同，不能搞错了。 9．最大乘积是342002，最小乘积是33210 【详解】要使乘积最大，不仅百位上的数一定是5和6，十位上的数一定是3和4，个位上的数只能是1和2，而且要使组成的三位数的差尽可能小．由于631-542=89，632-541=91，因此最大的乘积是631×542=342002． 同理，要使乘积最小，必须百位上为1和2，十位上为3和4，个位数上为5和6，并且这两个数的差尽可能大，这两个数为135和246，此时最小乘积为33210． 10．450×4 【详解】f(x)=(60-2x)*x,当x=15时，有最大值450． 450×4 11．30岁 【分析】三个人的平均年龄是22岁，那么三个人的年龄和是66岁，没有小于18岁的，可以令年龄最小的人刚好是18岁，当有两个人都是18岁时，另一人的年龄最大。 【详解】（岁） （岁） 答：最大的人的年龄可能是30岁。 【点睛】当总数一定时，一个量增加，另一个量必然减少，当其中一个取最小值的时候，另一个取最大值。 12．112359550561797752809 【详解】由已知,有,且有:. 故,. 用1000…除以89直到首次余88为止,不难求出: 112359550561797752809. 13．46岁 【详解】要让年龄最大的人年龄最大，那么其他的人的年龄的和就要最小；最小的人17岁，那么其他2人最小是18岁和19岁； 100-17-18-19=46(岁) 14．434 【详解】略 15．1989 【详解】设原四位数为，其反序数是新四位数，依题意有： 显然通过千位和d大于a，于是可由个位得10+a－d＝2，即d－a＝8，故d＝9，a＝1． 由十位得b－c＝1，从而可以为1109，1219，1329，1439，1549，1659，1769，1879，1989共9个数，其中最大的为1989． 16．5700分   第9关 【详解】解：打通第一关得到800分，打通第二关得到1600分，其间得到奖励分500分，共2100分，在得到2000分时又获得奖励500分，共得2600分，第三关得到2600+800=3400分，其间得到奖励分500分，共得3900分，第四关得到3900+800=4700分，其间在4000分时获得奖励500分，共计5200分，其间在5000分时获得奖励500分，所以在打通第四关时得分是5700分． 假定打到某一关时得分超过12000分，那么由于满整千分就可以得到奖励分，因此在得到12000分以前，已经获得了11次奖励，共得奖励分最多为500×11=5500分，所以各层打的分至少有12000-5500=6500分，每关得分800，6500÷8=8……100，因此至少要打到第9关． 17．16 【详解】设这四个分数为上、、、(其中m、n、a、b均为非零自然数) 有+=+，则有-=-， 我们从m=1,b=1开始试验： =+=+，=+=+， =+=+，=+=+， =+=+，﹍ 我们发现，和分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件： +=+，所以最小的两个偶数和为6+10=16． 18．700元. 【详解】试题分析：就近输送，把A仓库多出的20吨盐向下行10千米存到D仓库，把C仓库多出的15吨盐向上行10千米存到B仓库，需要的运费最少，是20×10×2+15×10×2，即可得解． 解：就近输送，把A仓库多出的20吨盐向下行10千米存到D仓库， 把C仓库多出的15吨盐向上行10千米存到B仓库， 需要的运费最少，是： 20×10×2+15×10×2 =400+300 =700（元） 答：完成上述调运计划，最少需要700元运费． 点评：就近输送，尽量减少路程，是解决此题的关键． 19．95分 【分析】六位同学的总分为92.5×6=555分，要使第三名同学得分尽可能少，第二名应仅次于第一名的得分99分，因此第二名同学得98分，同时应使第四、第五名同学的得分尽可能与第三名同学的得分接近． 【详解】解：第三、四、五名同学的总分是：92.5×6-99-98-76=282（分） 由于282÷3=94分，因此要使这三名同学得分接近，应为95、94、93分．所以按分数从高到低排列居第三名的同学至少得95分． 20．103块． 【分析】根据任意3袋的总块数都超过60，其中必有2袋最少为20块，另3袋最少为21块，这5袋糖块总共最少有20+20+21+21+21=103（块）． 此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是：分别求出每袋糖块的最少块数，进而求出这5袋糖块总共最少有多少块即可． 【详解】根据任意3袋的总块数都超过60， 其中必有2袋最少为20块，另3袋最少为21块， 这5袋糖块总共最少有：20+20+21+21+21=103（块）． 答：这5袋糖块总共最少有103块． 21．11077 【分析】由数字可知减数的千位上不能为零，而其对应的差为8，所以被减数与减数的千位数必定分别为9与1．同样百位上的数分别是9与0．要求两个四位数的和的最大值，在千位与百位已确定的情况下，十位，个位上的数字差一定，只需其和最大即可． 【详解】据以上分析知，被减数与减数十位上的数字分别为9和7，个位上的数字为9和8，所以这两个数为9999与1078． 因为9999+1078=11077 所以，这两个四位数的和的最大值是11077． 22．；． 【详解】试题分析：（1）要相差最小，必须分子最小，分母最大，那么分母最大就是8和9，分子最小就是1 （2）组成的最小的一个分数是，剩余数组成的最大的分数是，据此解答即可．结果最大是+= 解：（1）﹣= （2）+= 答：两个不相等的分数最小相差；结果最大是． 点评：此题主要考查两个数的和与差，一定要综合分析题目中的条件． 23．9人 【详解】本题是求“至少”的问题，找到满足“至少”的条件是本题的关键． 要求得分不低于60分的学生至少有多少人，那么不及格的人数应尽量多，即30分到59分每个分数都有3个学生，则他们的总分是：（30＋31＋32＋……＋57＋58＋59）×3＝4005（分）．总分减去不及格的总分和前三名学生的得分，还有4729－4005－（88＋85＋80）＝471（分），即这471分是除了前三名外其他得分不低于60分的学生的总分，为了使得分不低于60分的人数尽量少，则应使及格学生的分数尽量高，但又低于第三名80分，所以我们可以假设得分是79分的有三个人，此时剩下的分数还有471－79×3＝234（分），正好是3个78分．故得分不低于60分的学生至少有：前三名3人＋3个79分的＋3个78分的，即至少有9人． 24．43人 【分析】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处？ 【详解】考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式。因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数。 但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢？构造2×97，3×96，4×95，…，44×45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求。 答：选为仪仗队的运动员最少有43人。 【点睛】在求解构造论证的题目时，可以使用反证法，先进行假设，如果有矛盾，则假设错误。 25．最大的是10112358，最小的是156 【详解】要得到最大的自然数，应使得这个自然数的位数尽可能地多．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的位数越少，所以若想按规则构造最大的自然数，前两个数字应取10，这类数中，最小的应是三位数，先考虑百位为1的自然数，若十位数字为a，则个位数字为（a+1），只有当a+（a+1）>9时，即a≥5时，才能保证按规则构造的数是三位数，取a=5． 答：这类数中最大的是10112358，最小的是156． 【点睛】在自然数中求满足条件的某个量的最值问题（常称离散最值问题）往往解法比较灵活，要仔细分析条件，进行深入细致的推理． 26．原数最小是102564． 【详解】设原数的十位数字为A，百位数字为B，千位数字C… 那么A是新数的个位数字，由4×4＝16，知A＝6．又由6×4+1＝25，推得B＝5． 依次类推，可以得到C＝2，D＝0，E＝1． 这时竖式变为102564×4＝410256，成为一个完整的算式． 因此原数最小是102564． 27．82 【详解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖． 则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少． 这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块． 方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖， 有，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82． 不能把不等式列为，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81. 28．4个 【详解】试题分析：可以分两种情况讨论，即：先确定第一行分含有一个或两个黑格，依次到第四行画图表示即可． 解：第一行可染黑1格或2格， 染1格时，相邻行只能染1格， 染2格时，相邻行只能染0格， 可见，相邻两行最多共染2个，则在4×4的方格表中最多可以将4个方格染成黑色；下图为例： 点评：本题关键是要理解第一行可染黑1格或2格这两种情况分类研究． 29．应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵． 【分析】想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束： A种：由20朵花组成的花束价值4元 B种：由35朵花组成的花束价值6元 C种：由50朵花组成的花束每束价值9元 平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束 【详解】解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买．由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵． 因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵． 解法二：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数．可以先缩小字母的取值范围．例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束．同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16 30．74 【详解】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来． 在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有(个)，其中个用黑色． 这样，在表面的个的正方形中，有22个是黑色，(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米． 31．17分钟 【解析】略 32．当锯得38毫米的钢管7段，90毫米的钢管8段时，钢管的损耗最少． 【分析】要使损耗的钢管最少，应该使锯的次数最少，而且1米长的钢管不要有剩余． 【详解】解：设38毫米、90毫米的钢管分别锯了x段、y段，一共需要锯（x+y-1）次，由题意得： 38x+90y+（x+y-1）=1000，并且要使x+y最小，化简方程得 y=11-，由于x、y都是正整数，得： 要使锯的次数最少，应取x=7，y=8 即当锯得38毫米的钢管7段，90毫米的钢管8段时，钢管的损耗最少． 33．人 【分析】先分别求出会打乒乓球、会打羽毛球、会打排球的人数，然后根据容斥原理求解问题。 【详解】解：设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有人，只会打乒乓球和排球两项的有人，只会打羽毛球和排球两项的有人。由于只会三项运动中的一项的不可能小于，所以、、有如下关系： 会打乒乓球的人数：（人） 会打羽毛球的人数：（人） 会打排球的人数：（人） 将三条关系式相加，得到，而60人当中会至少一项运动的人数有 人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当、、分别取、、时，不等式组成立）。 答：这三项运动都不会的最多有4人。 【点睛】本题考查的是容斥原理与最值问题，可以画韦恩图表示各个量的关系，假设极端情况进行分析求解。 34．125 【详解】设这三个数字为a、b、c，那么由这三个数组成的六个不同的三位数分别是； 这六个数的和是： 若这六个数的和是1776．则a+b+c=1776÷222=8 因为8=1+2+5=1+3+4，因此其中最小的那个数是125． 35．10000元 【分析】将所有货物集中存放在某一仓库的情形列出来，共有五种情况，通过枚举比较，确定要选择的仓库，再求出最少运输费，这是比较容易想到的办法．除此以外，也可以用“小往大处靠”原则求解，即如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半，那么，把货物往此处集中所花的运费最少． 【详解】解法一：我们设依次计算以一、二、……、五号仓库为集中点所需要的运输费： 1×（20×100+40×400）=2000+16000=18000（元） 1×（10×100+40×300）=1000+12000=13000（元） 1×（10×200+20×100+40×200）=2000+2000+8000=12000（元） 1×（10×300+20×200+40×100）=3000+4000+4000=11000（元） 1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元） 因此，把所有货物集中到五号仓库所需的运输费最少，为10000元． 解法二：由于，所以可以用“小往大处靠”原则解题．所以五号仓库为最佳集中仓库，此时运费最少，为 1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元） 【点睛】要注意“小往大处靠”原则成立的前提是“某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半”，失去这个前提条件，结论便不成立．例如将一、二、五号仓库的存货分别变为30吨、10吨、30吨，那么容易算出集中到二号仓库运输费最少． 学科网（北京）股份有限公司 $$