小升初典型奥数：最优化问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

最优化问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析． 最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． 第二部分 典型例题 例题1：少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发，跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B点．接着从B点再次跑到墙边用手触摸墙壁后，跑回C点，问如何选择最短路线以节省时间，请在图中标出来． 【答案】见详解． 【详解】解法一：如图所示： 作点B关于墙线的对称点，连接交墙线于点D，连接交墙线于点E，连接DB，BE，则最短路线即为AD+DB+BE+EC． 解法二：分别作点A、C关于墙线的对称点，连接，分别交墙于点D、E连接，AD、EC．则最短路线即为AD+DB+BE+EC． 例题2：冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水．用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟．用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟．冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶．请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟？ 【答案】25分钟． 【详解】试题分析：因为只有一个煤气炉，所以可以先洗水壶，需要2分钟，然后烧水需要15分钟，在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15﹣4=11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4+4=8分钟；水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟，同时烧热锅节约2分钟，再烧热油，需要2分钟，最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好，据此设计所用的时间最少． 解：根据题干分析可得先洗水壶，需要2分钟→烧水需要15分钟（在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15﹣4=11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4+4=8分钟）→水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟（同时烧热锅节约2分钟）→再烧热油，需要2分钟→最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好， 2+15+2+2+4=25（分钟） 答：最少需要25分钟． 点评：本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用． 例题3：芯片测试：有2k块芯片，已知好芯片比坏芯片多．请设计算法从其中找出一片 好芯片，说明你所用的比较次数上限． 其中：好芯片和其它芯片比较时，能正确给出另一块芯片是好还是坏． 坏芯片和其它芯片比较时，会随机的给出好或是坏． 【答案】把第一块芯片与其它逐一对比，看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出是好的过半，那么说明这是好芯片，完毕．如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的，那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯片中，重复上述步骤，直到找到好的芯片为止． 【详解】把第一块芯片与其它逐一对比，看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出是好的过半，那么说明这是好芯片，完毕．如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的，那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯片中，重复上述步骤，直到找到好的芯片为止． 例题4：国庆节期间，华夏旅行社推出以下两种优惠方案． A方案：团体10人以上（含10人）每位100元． B方案：成人每位130元，儿童每位70元． （1）如果4个家长带6个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？ （2）如果8个家长带2个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？优惠多少钱？ 【答案】（1）选 B 方案合算   （2）选A方案合算，优惠180元 【详解】（1）A 方案：（4+6) ×100=1000 (元) B 方案：130×4+70×6=940 (元） 940＜1000 选 B 方案合算． (2) A 方案：（8+2）× 100=1000 (元） B方案：130×8+70×2=1180 (元） 1180-1000=180 (元） 1000＜1180 选A方案合算，优惠180元． 第三部分 高频真题 1．烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 2．有一家五口人要在夜晚过一座独木桥。他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟。当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指。所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥。但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？ 3．有3个人同时到一个水龙头前接水，甲要用7分钟，乙要用5分钟，丙要用3分钟，你怎样安排接水的先后顺序，才能使3人等待时间的总和最少． 4．车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟．每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失．如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？ 5．有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务．现有一辆中乘50人，时速为70千米的卡车．若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人全部到达目的地所用的时间最少（上下车时间忽略不计）． 6．有几位同学计划暑假期间结伴到武汉归元寺旅游．春蕾旅行社退出武汉归元寺一日游A、B两种方案． （1）有5位家长，带10名小朋友去旅游，按哪种方案买票优惠？优惠多少元？     （2）有12位家长，带3名小朋友去旅游，按哪种方案买票优惠，优惠多少元？ 7．理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟．怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发的等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？ 8．学校举行乒乓球团体比赛,每班派出了3名运动员参赛．规定三场比赛至少两场获胜方为最终胜者．四(1)班按运动员的成绩好坏派出前三名甲、乙、丙,四(2)班按成绩好坏派出前3名A、B、C．两个班同一层次的同学水平比较接近．四(2)班想赢下这次比赛,应该怎样排兵布阵呢? 9．韩信分油． 有两个合伙卖油的商人，要把剩下的十斤油平分，但当时没有带秤，只有十斤的一个油篓，七斤的一个油罐，三斤的一个油葫芦．两人把油倒来倒去，折腾了半天也没分开．这时韩信正从这里经过，他问明原因，再马上略一思索，就想出了分油的方法．两个商人用韩信的方法去分，果然把十斤油平分了．试问：韩信想出了怎样的分油办法？ 10．甲，乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后二人返回出发点）？ 11．在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费元，那么集中到哪个仓库运费最少？ 12．6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？ 13．成都青年旅行社“五一”推出甲、乙两种优惠方案：       甲：成都一日游，大人每位全票80元，小朋友四折       乙：成都一日游，团体5人以上（含5人）每位六折 （1）李老师带5名小朋友游览，选哪种方案省钱？ （2） 李老师和王老师带4名小朋友游览，选哪种方案省钱？ （3） 张三、王五两位小朋友及各自的父母6人游览，选哪种方案省钱？ 14．有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠．当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油（但不允许将汽油放在途中）．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？ 15．在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的．现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？ 16．如图，有一只轮船停在M点，现需要从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才能使路线最短？ 17．如下图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在想设立一个公交站，使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？ 18．某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如下图。试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数越小越好。） 19．贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？ 20．国王准备了1000桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后则正好第10日发作。有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？ 21．一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品。每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30.若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？ 22．六一儿童节，四一班44名同学和李老师到游乐园去欢庆节日．买票时他们看到游乐园对团体票有优惠，原来每人每张票2元，现在购买一张15元的团体票就可以让10人进去．如果请你去买票，那么你认为怎样买票最合算？ 23．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车． 24．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？ 25．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？ 26．将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)．问剩余部分的铝管至少是多少厘米? 27．小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥。已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要分钟。那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？ 28．A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米。从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如图所示：如何调运才能使运费最少？ 29．烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙2007块饼，至少需要多少分钟？ 30．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？ 31．下图是一个交通示意图，、、是产地（用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），、、是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），线段旁边有括号的数字表示两地每吨货物的运价，单位：百元（例如与两地，由到或由由到每吨货物运价元）。将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？ 32．在一个漆黑的晚上，有甲、乙、丙、丁四人要经过一座桥，而他们只有一只手电筒，一次同时最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候必须有手电，所以就要有人把手电筒带来带去，来回于桥的两端．手电筒不能用丢的方式来传递．四人步行的速度不同，若两人同行，则以较慢者的速度为准．已知甲、乙、丙、丁四人过桥的时间分别是2分钟，3分钟，7分钟，十分钟，你怎样安排他们在最短的时间内全部过桥？这个最短时间是多少分钟？ 33．（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米．求三人同时到达的最短时间为多少小时？ 34．小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 35．有大、中、小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克．现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水. 36．在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？ 37．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是多少？ 38．旅行社有甲、乙两种面包车．甲车可乘坐12人，每辆租金为120元；乙车可乘坐18人，每辆租金160元．旅行团有58人，怎样租车最便宜，需要多少钱？ 39．某天多多需要完成的作业：上网查资料（10分钟）、打印资料（5分钟）、读英语故事（4分钟）、练口算（3分钟），她应该如何合理安排完成各项作业呢？最少需要多长时间？ 40．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？ 41．一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？ 42．189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸，如何剪法最省材料？ 43．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？ 44．玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个面染黄色．厂里的机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要5分钟．现在有8个积木要加工，那么用这种机器至少需要多少分钟才能完成？ 45．唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度每分钟100米，唐老鸭手中掌握着一种使米老鼠倒退的电子遥控仪，通过这种电子遥控仪发出第几次指令，米老鼠就以原速度的几×10%倒退一分钟，然后按原来的速度前行，如果唐老鸭想获胜，那么他至少按几次遥控器？ 46．用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？ 47．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……。如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？ 48．某学校资金存款的年利息为10%，积压资金100元，相当于损失了10元．现在学校决定在初秋时购买冬季取暖用的煤．根据以往经验，在正常的冬季气温下要消耗煤15吨，但如果冬季比较暖和，只要用煤10吨；若冬季比较寒冷，就要用煤20吨．而煤的价格是根据天气的寒冷程度而变化的，在比较暖和、正常和寒冷的天气下，每吨煤的价钱分别是100元，150元，200元，而在初秋时每吨煤100元，在没有当年冬季气温的长期预测下，该校在初秋时应购进多少吨煤最好？ 49．有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥。此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌。过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空。只有一个手电筒。4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟。17分钟后桥就要倒塌了。请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 50．孙老师每天早晨到校后，要做这些事． 到班里整理桌椅 5分钟 在办公室做清洁 10分钟 批改昨日家庭作业 20分钟 做健美操 10分钟 听音乐 30分钟 与班干部交流 5分钟 如果8：00上课，那孙老师最迟几点到校才行？ 51．U2合唱团在17分钟 内得赶到演唱会场，途中必需跨过一座桥，四个人从桥的同一端出发，你得帮助他们到达另一端，天色很暗，而他们只有一只手电筒．一次同时最多可以有两人一起 过桥，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端．手电筒是不能用丢的方式来传递的．四个人的步行速度各不同，若两人同行则 以较慢者的速度为准．Bono需花1分钟过桥，Edge需花2分钟过桥，Adam需花5分钟过桥，Larry需花10分钟过桥．他们要如何在17分钟内过 桥呢？ 52．一个小型物流公司有6个货站A、B、C、D、E、F，每个货站需要的装卸工人数分别为6、4、8、5、3、4人．公司有4辆汽车在这6个货站间进行循环运输，为了节省人力，装卸工人可以随车到各货站去，也可以固定在各站．公司应如何安排工作，才能使装卸工最少？装卸工最少需多少人？ 53．有七个村庄A1、A2、…、A7分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？ 参考答案： 1．63分钟 【分析】前3分钟，第一块饼的正面，第二块饼的正面；4~6分钟，第一块饼的反面，第三块饼的正面；7~9分钟，第二块饼的反面，第三块饼的反面；也就是每9分钟可以烙3张饼。 【详解】每9分钟可以烙3张饼； 所以烙21块饼，至少用（分钟） 答：至少需要63分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，关于烙饼问题，关键是不能浪费时间。 2．最少需要29分钟；见详解 【分析】要保证30分钟内安全过桥，那么姐姐和弟弟就要来回跑，送油灯，并且安排所需时间较长的爷爷和爸爸一起过桥，这样节约时间。 【详解】首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟； 老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟； 弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟； 最后与姐姐一起过河，用时3分钟； 一共用时： 3＋3＋12＋1＋6＋1＋3＝29 （分钟），最后能够安全全部过河。 答：最少需要29分钟。 【点睛】对于此类“安全过桥”的问题，安排所需时间最少的两人送灯，且所需时间最少的一人往返的次数多，所需时间第二少的人只往返一次，并且要安排所需时间最多的两人一起过。 3．要使3人等待的时间最短，就要安排用时最短的先接水，所以先后顺序为：． 【详解】此类问题，一般用时最短的在最前面，本题中等待的时间总和最少为3×3+5×2+7=26(分钟)． 4．先修复修复时间短的．最少的经济损失为1560元 【分析】如果先修所需修复时间长的机器，而让修复时间短的机器等待无疑将造成较大的经济损失． 【详解】最佳方案是先修复修复时间短的，让其尽快投入生产，减少经济损失．这样总的修复时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29=35+32+30+30+29=156（分），而最少的经济损失为10×156=1560（元）． 5．步行30千米，乘车60千米所用时间最少，为小时 【分析】由于卡车只能运送50个人，若将这50个人从起点送到终点，其他人步行到终点，这和150个人步行到终点所用的时间相同（全部到达时间）汽车没有起到省时间的作用．因此汽车应该把50个人送至某一点后，返回去接另外50个人，如此往返．另外不乘车的人也应步行前进．总之：车要不停地开，人要不停地走，最大限度地利用人力和物力．为了省时间，应该同时出发同时到达．由于卡车车座的限制，应将150个人平均分成3组，每组50个人．同时为了保证同时到达，每组乘车走的路程必须相同，步行也必须相同．所以一题的关键是每组要乘车走多少路，步行走多少路． 【详解】将150个人平均分成三组，每组50个人，为了使这三组人数到达目的地所用的时间最少，必须使每一组人都步行相同的路程，乘车相同的路． 如图所示，设每组步行x千米，则乘车（90-x）千米．卡车送完第一组走完（90-x0）千米后返回来接第二组，与第二组相遇时第二组走了千米，此时汽车走了．由于他们所用的时间相等，根据时间=路程÷速度，可列方程得，解得x=30（千米），即最省时间的方案是步行30千米，乘车60千米．所用的时间为． 6．（1）按B方案买票优惠，优惠300元    （2）按A方案买票优惠，优惠120元 【详解】（1）A方案 100×（5+10）=1500（元） B方案 120×5+60×10=1200（元）      1500＞1200    1500-1200=300（元） 答：按B方案买票优惠，优惠300元． （2）A方案 100×（12+3）=1500（元）   B方案 120×12+60×3=1620（元）    1500＜1620    1620-1500=120（元） 答：按A方案买票优惠，优惠120元． 7．甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的．      128分 【详解】甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待．甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分．总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分） 8．A—乙,B—丙,C—甲 【详解】略 9．第一步，倒满油葫芦，油葫芦的油再倒入油篓，进行3次，容器中还剩1斤；10-3×3=1，3×3=9； 第二步，油篓里有9斤油，倒入油罐7斤，还剩2斤在油篓；9-7=2； 第三步，从油罐倒入油葫芦3斤，油罐里还剩4斤；7-3=4； 第四步，把油葫芦的3斤油倒入油篓，油篓中有5斤油；2+3=5； 第五步，把原来容器中的1斤倒入油篓；4+1=5． 【详解】利用油篓、油罐、油葫芦三者之间的数量解决． 第一步，倒满油葫芦，油葫芦的油再倒入油篓，进行3次，容器中还剩1斤；10-3×3=1，3×3=9； 第二步，油篓里有9斤油，倒入油罐7斤，还剩2斤在油篓；9-7=2； 第三步，从油罐倒入油葫芦3斤，油罐里还剩4斤；7-3=4； 第四步，把油葫芦的3斤油倒入油篓，油篓中有5斤油；2+3=5； 第五步，把原来容器中的1斤倒入油篓；4+1=5． 10．320千米 【分析】题目的要求是要其中一人走的更远，假设这个人是甲，他必须获得乙的帮助，也就是说乙的食物和水当中的一部分得分给甲，由此，我们可以设计出如下的一个方案： 由线段图可知，两人先从A走到C地，然后乙将自己的一部分水和食物给甲，将甲的补给加满，只留下够自己回去的食物和水就行，然后甲继续往前走到B地然后返回A． 现在问题的关键是C地究竟在什么位置？我们来分析一下乙的食物和水分成了几个部分，他自己用去了两个部分（A到C，C回A），还把甲给加满了，也就是甲从A到C耗费的那部分，总共三部分，而且还是相等的．24÷3=8，即从A到C用去了8天，那么甲总共用去了24+8=32天的水和食物，因为是往返，所以从A到B总共用去了32÷2=16天，每天走20千米，所以A，B两地相距20×16=320（千米）． 【详解】24÷3=8（天） 24+8=32（天） 32÷2=16（天） 20×16=320（千米） 答: 其中一人最远可以深入沙漠320千米 11．D点 【分析】按照“小往大处靠”的原则，E点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A往E那个方向集中，集中到B，B变成40吨，判断仍是E的势力最大，所以继续向E方向集中，B点集中到C点，C点变成60吨；此时C点和E点都是60吨，那么C、E谁看成大势力都可以，例如把E点集中到D点，D点是70吨，所以C点也要集中到D点。 【详解】确定D点为集中地点，运费为： （10×30＋30×20＋20×10＋60×10） ×0.9 ＝1700×0.9 ＝1530（元） 答：以D点为集中地点，费用最少，运费最少为1530元。 【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，一般遵循“小往大处靠”，“往中间靠”的原则。 12．按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟 【分析】第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候； ……第6个人接水时，只有他1个人等候；可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水。 【详解】最短时间： ＝18＋20＋20＋18＋14＋10 ＝100（分钟） 答：按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化问题，对于此类问题，要把时间最少的排在最前面。 13．（1）甲方案省钱      （2）甲乙方案都可以       （3）乙方案省钱。 【分析】考查最优化问题，只要算出每种情况下，甲乙两方案各需要多少钱，进行比较就可以得出答案。 【详解】（1）李老师带5名小朋友游览，即1个大人和5个小朋友，共计6人 甲方案：1×80＋5×80×0.4 ＝80＋160 ＝240（元） 乙方案：（1＋5）×80×0.6 ＝6×80×0.6 ＝288（元） 240＜288， 答：甲方案省钱。 （2）李老师和王老师带4名小朋友游览，即2个大人和4个小朋友，共计6人 甲方案：2×80＋4×80×0.4 ＝160＋128 ＝288（元） 乙方案：（2＋4）×80×0.6 ＝6×80×0.6 ＝288（元） 答：甲乙方案都可以选。 （3）张三、王五两位小朋友及各自的父母6人游览，即4个大人和2个小朋友，共计6人 甲方案：4×80＋2×80×0.4 ＝320＋64 ＝384（元） 乙方案：（4＋2）×80×0.6 ＝6×80×0.6 ＝288（元） 384＞288， 答：乙方案省钱。 14．525千米 【详解】如下图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车．此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米． 5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油．AB长为：315÷6=52.5（千米）； 4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52.5千米． 同理，CD=DE=52.5（千米）． 所以第5辆车最远能行驶52.5×4+315=525（千米）． 15．5号 【详解】解：我们采用尝试比较的方法来解答． 集中到1号场总费用为：1×200×10＋1×400×40＝18000（元） 集中到2号场总费用为：1×100×10＋1×400×30＝13000（元） 集中到3号场总费用为：1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元） 集中到4号场总费用为：1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元） 集中到5号场总费用为：1×100×40＋1×200×30＝10000（元） 经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少． 答：集中到5号煤场费用最少． 16．沿M→D→C→N行走 【分析】点M关于OB的对称点M'，作点N关于OA的对称点N'，连接M'和N'，直线M'N'与OA交于点C，与OB交于点D，沿着M→D→C→N行走才能使路线最短． 本题考查了最短线路问题，轴对称的性质以及两点之间线段最短的性质． 【详解】根据分析画图如下： 所以，这只船应沿着M→D→C→N行走才能使路线最短． 17．可以建在C或D 【分析】分析：先看下面这道题，如下图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应设于何处？ 条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定．那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的那一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度，也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和；那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在BD之间．同理，只要是在BD之间，B、D到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD．最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了．那么当然也就是把邮筒放在C点了．这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”． 【详解】因为每栋楼的人数相同所以数量不影响选择，找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个．经过研究发现，建在这两个楼都一样，路程和最短，所以可以建在C或D．如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么CD之间及点C、D均可． 【点睛】有“奇数”个点时就选最中间的那个点，有“偶数”个点的时候就选择最中间的两个点之间的任意一点． 18．C点 【分析】依据“小往大靠”，“支往干靠”，可以先确定一条主线，然后考虑每块麦地应该如何靠拢。。 【详解】我们不妨以F－E－C－D为干； E、F往C靠，C变为6000千克； B往G靠，G为4000千克； D往C靠，C变为11000千克； 虽然A的重量大，但是A、G的总重量少于C的重量，还是要往C靠； 答：麦场设在C处最好。 【点睛】本题考查的是地点的统筹优化问题，“小往大靠”的原则进行逐步分析。 19．8分钟 【分析】在架子上同时放两个烧饼，烘3分钟后，把第一个翻过来，拿下第二个，再放上去第三个，过2分钟去下第一个，再过1分钟，把第三个翻过来，再把第二个放上去，过2分钟全部取下，把所用时间加起来即可。 【详解】3＋2＋1＋2＝8（分钟） 答：至少需要8分钟。 【点睛】根据“烙三张饼的最佳方法”解答。 20．10个人；见详解 【分析】可以将酒桶编号1~1000全部改为二进制，对应0000000001~1111101000，让一号犯人喝末位数字是1的毒酒，二号犯人喝倒数第二位数字是1的毒酒……十号犯人喝第一位编号是1的毒酒，然后根据犯人是否死亡进行判断。 【详解】如果某一号犯人死亡就说明相应的某一位数字是1，如果没有死亡那就说明相应位上的数字是零； 比如一号犯人死亡，二号到九号犯人存活……十号犯人死亡，那么毒酒的编号就是1000000001，再转化成十进制，也就是第513桶有毒。 答：至少需要10个死刑犯。 【点睛】本题考查的是最值问题，这里巧妙地应用了二进制来求解问题。 21．人 【分析】如果车上不跟人，各车间所需人数和即为总人数；可以求出每列车上跟1人、2人、3人等，所需要的总人数的变化规律，然后找出每列车上跟多少人时所需的总人数最少。 【详解】如果车上不跟人，各车间所需人数和为：（人） 如果每列车上跟1人，共多3人；每个车间可少1人，共少7人，多3少7，可减少4人； 每列车上跟10人，总人数可减少40人； 从11至15，列车上每增加1人，总人数可减少3人； 从16至18，列车上每增加1人，总人数可减少2人； 从19至20，列车上每增加1人，总人数可减少1人； 21增3减3无意义； 总人数为 （人）最少； 答：安排82名装卸工，所用总人数最合理，其中60人跟车。 【点睛】本题考查的调运中的统筹优化问题，可以用逐步调整的思想求解。 22．购买4张团体票和5张个人票最合算 【详解】方案一：购买团体票．（44+1）÷10=4（张）……5（人） 4+1=5（张）  15×5=75（元） 方案二：购买团体票和个人票． （44+1）÷10=4（张）……5（人） 4×15=60（元） 5×2=10（元）  10+60=70（元） 70＜75 购买4张团体票和5张个人票最合算． 23．可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升． 【详解】如果是10吨的重量，大卡车要耗油20升，而小卡车要耗油25升．所以应该尽量安排大卡车，对于最后剩下的6吨，可以有三种方案： （1）两辆大卡车，则耗油20升； （2）一辆大卡车和一辆小卡车，则耗油15升； （3）三辆小卡车，则耗油15升． 综上所述，可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升． 24．甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元． 【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有，解这个方程可得x=120（公斤），从而；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）． 25．C点 【分析】条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定。那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个车站放在AE之间的那一点，A到车站的距离加上E到车站的距离就是AE的长度，也就是说车站放在哪儿不会影响这两个点到车站的距离之和；然后再考虑B、C、D到车站的距离。 【详解】车站在AE之间的任何位置，AE到车站的距离之和是不变的，始终是AE的长度； 那么我们就使其他的3个点到车站的距离之和最短，再看为了使B、D两个到车站的距离之和小，应把车站放在BD之间； 同理，只要是在BD之间，B、D到车站的距离之和也是不变的，等于BD； 最后，只需要考虑C点到车站的距离最近就行了。那么当然也就是把车站放在C点了； 答：车站应立于C点 【点睛】本题考查的是位置统筹优化问题，这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”。 26．2厘米 【详解】设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y="374" 是否有解．由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解． 若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372 即 3x+2y=31    当x=1时，y=14． 因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米． 27．分钟 【分析】要想用最少的时间，4人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就能保证时间最短了。 【详解】第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：（分钟）； 第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了（分钟）； 第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了分钟； 所以，4个人都通过小木桥，最少用（分钟） 答：最少要8分钟。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，对于这种需要一个人往返接送的问题，这个人尽量选消耗时间短的一个人。 28．元 【分析】观察发现，A、B运往乙地的运费差距最大，所以A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨；然后是A、B运往丙地的运费差距大于运往甲地的运费差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙；此时A粮店的的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨。 【详解】A运往乙40吨，运往丙30吨，B运往丙20吨，运往甲 30吨； 运费： （元） 答：运费最少为560元。 【点睛】由于A运往甲、乙、丙三地的运费都要低于B，所以A的粮食肯定是运完的，那么B只需要50吨，然后再进行求解。 29．6021分钟 【分析】首先很容易想到这样一种烙饼的方法，每次烙两张饼，正反两面共用6分钟，2007÷2=1003余1最后那张饼只能再用6分钟烙好，这样总共就用了6×1003+6=6024分钟．但是可以看出烙最后一张饼的时候对锅的利用不够充分，所以很有可能浪费了一部分时间． 我们可以先将两块饼同时放入锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放入第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内两块饼均烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙2007块饼，至少用2007÷3×9＝6021（分钟）．这种方法保证了所有时间段都能充分的利用锅，不造成浪费． 因此这种方法是用时最短的． 【详解】2007÷3×9＝6021（分钟）． 答:至少需要6021分钟. 【点睛】如果是有2的倍数张饼，可以直接用第一种方式来操作，如果是一个3的倍数，可以直接用第二种方式，但是如果既不是2，又不是3的倍数（比如7张饼），我们可以把这样的数拆成一个2的倍数与一个3的倍数的和来操作，如7可以拆成4+3，4这一部分用第一种方式操作，3用第二种方式操作． 30．为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车．最节省的时间是29分钟． 【分析】由于这个加油站一次只能对一辆车进行加油，因此当三辆车一起来的时候，就会发生两辆车要等候的情况．由于各辆车加油的时间是固定的，因此要尽量节省时间，只有尽量减少等候的时间．如果安排大卡车先加油，那未其他两辆车都必须等候7分钟；而如果安排小汽车先加油，那未其他两辆车都只须等4分钟．显然，小汽车先加油可节省等候时间．同样道理，第二辆加油的应该是三轮卡车，最后才给大卡车加油． 【详解】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车，这是最佳的策略．当小汽车加油时，其他两辆车各等候4分钟，当三轮卡车加油时，大卡车等候5分钟；直到大卡车加完油，总共用时间为4+（4+5）+（4+5+7）=4+9+16=29（分钟）． 答：最节省的时间是29分钟． 31．按照如图方式调运，最小运价5900元 【分析】B地的5吨货物，必然要运往D，A处的8吨货物，运往D、F的运费相等，可以给D4吨，这样A还剩下4吨；现在的问题是C的6吨和A的4吨如何给F运5吨，然后剩下的运往E点。 【详解】C运往E的运费比运往F的运费要贵很多，所以把C处的货物尽可能运往F处，A处还能给F运1吨，剩下的3吨运往E处，这样运费最少； 如图所示： （元） 答：最小运价是5900元。 【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，这里不仅要考虑运费，还要考虑销售地的销量。 32．甲和乙先过桥，乙留下，甲回来；丙丁一起过桥，让乙把手电送回；甲乙一起过桥，这样最短时间是21分钟． 【详解】试题分析：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送手电筒会节省时间，进而分别分析得出即可． 解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省时间， 故：（1）2分钟的和3分钟的先过桥（此时耗时3分钟）． （2）2分钟的回来，（此时共耗时5分钟）． （3）7分钟的和10分钟的过桥（共耗时2+1+10=13分钟）． （4）3分钟的回来（共耗时3+2+10+3=18分钟）． （5）2分钟的和3分钟的过桥 共耗时： 3+2+10+3+3=21分钟）． 此时全部过桥，共耗时21分钟． 答：甲和乙先过桥，乙留下，甲回来；丙丁一起过桥，让乙把手电送回；甲乙一起过桥，这个最短时间是21分钟． 【点评】此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送灯会节省时间是解题关键． 33．三人同时到达的最短时间为小时 【详解】试题分析：若甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地：设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，甲乙，和丙相距：36x﹣4x=32x，甲丙相遇，需要：32x÷（36+4）=x小时，此时，乙和丙各自步行了：4×x=x千米；甲丙，与乙的距离还是32x，三人同时到达，即甲丙正好追上乙，据此即可解答问题． 解答：解：甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地． 设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x， 甲乙，和丙相距：36x﹣4x=32x， 那么甲丙相遇，需要：32x÷（36+4）=x（小时） 此时，乙和丙各自步行了：4×x=x（千米） 甲丙，与乙的距离还是32x 三人同时到达，即甲丙正好追上乙，需要： 32x÷（36﹣4）=x（小时） 乙或丙的行程，就等于全程，以乙为例，列方程如下： 36x+x+4x=36 x=36 x= 所以最短用时： x+x+x=x=×=（小时） 答：三人同时到达的最短时间为小时． 点评：此题较复杂，应抓住甲乙丙三人行驶的时间、路程以及他们各自间的距离关系这个关键，进而分析解答即可． 34．96分钟 【分析】如果不想浪费时间，那就需要充分利用时间，如果涂一张，等2分钟，再往墙上贴，再涂，再等待，再贴在墙上，这样肯定是浪费时间的；我们完全可以在涂完胶水后的2分钟时间里继续涂，但不能超过6分钟，注意可以等于6分钟。 【详解】先涂第一张然后涂，然后涂，这时候等待了4分钟马上贴上； 再涂一张马上贴上已经等待了5分钟的； 再涂一张贴上已经等待6分钟的； 这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的2分钟和贴的1分钟，也就是完成一张需要3分钟； 那么总时间是96分钟； 答：小明最快用96分钟能贴完所有的奖状。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，要使得所用时间最短，首先就要保证不能浪费时间。 35．6次 【详解】通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法．而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是： （1）大瓶往中瓶中倒满水． （2）中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水． （3）小瓶中水倒回大瓶． （4）中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记． （5）小瓶中水倒回大瓶． （6）中瓶中100水倒入小瓶，标记．所以最少要倒6次水． 36．5000元 【分析】把所有货物集中到一个仓库，有5个仓库，就有5个方案，从一号开始一直到五号仓库，逐个求出运费，然后比较大小，即可得解。 【详解】集中到一号仓库： 0.5×20×100＋0.5×40×400＝1000＋8000＝9000（元） 集中到二号仓库： 0.5×10×100＋0.5×40×300＝500＋6000＝6500（元） 集中到三号仓库： 0.5×10×200＋0.5×20×100＋0.5×40×200＝1000＋1000＋4000＝6000（元） 集中到四号仓库： 0.5×10×300＋0.5×20×200＋0.5×40×100＝1500＋2000＋2000＝5500（元） 集中到五号仓库： 0.5×10×400＋0.5×20×300＝2000＋3000＝5000（元） 5000＜5500＜6000＜6500 答：最少要花5000元运费。 【点睛】本题考查最优化问题，解题方法灵活，技巧性强，对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。 37．先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟． 【详解】试题分析：要顾客等待时间的总和最少，应先安排用时少的先理，即先给A理板寸用时7分钟的，再给B理光头用时10分钟的，最后给C烫卷发用时40分钟，则第一人用时7分钟，第二人等待7+10分钟，第三人等待7+10+40分钟由此计算出等待总时间即可． 解：要使这三位顾客等待时间的总和最少， 应先理用时7分钟的，再理用时10分钟的，最后理用时40分钟的； 等待的总时间为： 7+（7+10）+（7+10+40） =7+17+57 =81（分钟） 答：先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟． 点评：明确按用时由少到多的顺序做，顾客等待时间的总和最少是完成本题的关键． 38．解：根据题干分析，先尽量多租乙车，所有租车情况列入下表： 方案 乙车/辆 甲车/辆 租金/元 ① 4 0 640 ② 3 1 600 ③ 2 2 560 ④ 1 4 640 ⑤ 0 5 600 560＜600＜640 答：总合上述，租2辆乙车，2辆甲车费用最省钱． 【详解】最优化问题 甲车每人次成本为：120÷12=10（元），乙车每人次成本为160÷18=9（元），所以尽量租用乙车所花成本较低，假设全租乙车，需要：58÷18=3辆…4人，这里还要考虑座不满的情况，所以这里可以将租车情况进行列举，从中找出花费最少的方案即可解决问题． 39．在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算；最短需要17分钟． 【分析】由于打印资料（5分钟），读英语故事（4分钟），练口算（3分钟），所以在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算．所以最短需要10+5+（3﹣1）分钟． 【详解】5=4+1 在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算． 所以最短需要： 10+5+（3﹣1） =15+2 =17（分钟） 答：在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算；最短需要17分钟． 40．C点 【分析】如果不考虑楼里坐车的人数，应该把车站设在中间的位置，而现在每栋楼的人数相同，所以不影响，还是要把车站放在中间位置。 【详解】要使得居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在中间位置，也就是C点； 答：车站应该设在C点。 【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，如果每个居民楼的人数不一样，那么就要具体考虑人数的影响了。 41．150米 【分析】如图，画出示意图，按照“小往大处靠”的原则来解决，第5号楼的人数最多，大方向向第5号楼靠，把1号楼、2号楼的3个人集中到3号楼，一共6人，然后3号楼的6人和5号楼的5人都往4号楼靠。 【详解】如图所示： 车站应建在4号楼，此时职工到通勤车站所走的路程之和最小； 答：车站应建在距1号楼150米处。 【点睛】对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这类问题老师要强调“小往大处靠”的原则。 42．有七种剪法都是最省材料；见详解 【分析】显然无残料的剪法是最优方案，于是考虑二元一次不定方程的整数解问题。 【详解】解：设4米长的剪x根，7米长的剪y根； 依题意列方程4x＋7y＝189 189是能被7整除，7y一定能被7整除，那么就要求4x也能被7整除； 令x1＝0，则7y＝189，解出y1＝27； x2＝7， 则7y＝161，解出y2＝23； x3＝14， 则7y＝133，解出y3＝19； x4＝21， 则7y＝105，解出y4＝15； x5＝28， 则7y＝77，解出y5＝11； x6＝35， 则7y＝49，解出y6＝7； x7＝42， 则7y＝21，解出y7＝3； 所以有七种剪法都是最省材料的； 答：有七种剪法都是最省材料。 【点睛】本题考查的是不定方程问题，求解不定方程可以用奇偶分析法，余数分析法等。 43．煎三只饼至少要3分钟，煎n（n≥2）只饼至少要n分钟 【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略． 【详解】煎三只饼至少需要三分钟．因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只．又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。煎n只饼，需要n分钟．因为，当n是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了． 44．45分钟. 【详解】试题分析：为了便于说明问题，用1～8来标号表示8个正方体，第一次先染1～6号的一面用5分钟；第二次染1～4号的另一面和7、8号的一面用5分钟；然后再把5～8号换面染成红色，又用了5分钟；这样1～8的两面都有红色，共用5×3=15分钟；同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟，据此计算总时间即可． 解：用1～8来标号表示8个正方体，第一次先染1～6号的一面用5分钟； 第二次染1～4号的另一面和7、8号的一面用5分钟； 第三次再把5～8号换面染成红色，又用了5分钟； 这样1～8的两面都有红色，共用5×3=15（分钟）； 同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟， 共用：15×3=45（分钟） 答：用这种机器至少需要45分钟才能完成． 点评：本题考查了染色问题，关键是统筹安排第一次染色后剩下的两个正方体，与第一次染色后的六个交换两个染色． 45．13次 【详解】米老鼠跑完全程用的时间为：（分）， 唐老鸭跑完全程的时间为：（分）， 米老鼠早到（分），唐老鸭第n次发出指令浪费米老鼠的时间为：． 当n次取数为1、2、3、4、13时，米老鼠浪费时间为（分）大于20（分）． 所以唐老鸭想要获胜，必须使米老鼠浪费的时间超过20分钟，因此唐老鸭通过遥控器至少要发13次指令才能在比赛中获胜． 答：如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少应是13次． 【点睛】最大与最小 46．最少75根；见详解 【分析】要确保使用的竹竿最少，就要尽可能地利用原材料，10尺长的竹竿可以分成3尺、3尺、4尺，这样无剩余，也可以分成3尺、3尺、3尺，这样剩余1尺，也可以分成4尺、4尺，剩余2尺，然后合理进行组合，得到甲、乙两种短竹竿各100根。 【详解】分析不难想到有三种截法省料： 截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺； 截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺； 由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1，考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根； 于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料2×25＝50（尺） 50＋25＝75（根） 答：至少要用去原材料75根。 【点睛】本题考查的是最值问题，需要合理地进行统筹优化，进行对比分析，找出最优解。 47．最少时间125分钟；见详解 【分析】如果是1个水龙头，那么就按照所需时间多少进行排序即可，而两个水龙头，其实是一样的，也是按照各自所需时间的多少排序。 【详解】第一个水龙头先安排1号，同时第二个水龙头先安排2号； 那么1号先接完水，这样把3号安排给第一个水龙头，同理，哪个水龙头先空出来，就把时间较少的人排上去； 第一个水龙头依次是1、3、5、7、9打水； 第二个水龙头依次是2、4、6、8、10打水； 总时间： ＝3×5＋7×4＋11×3＋15×2＋19 ＝15＋28＋33＋30＋19 ＝125（分钟） 答：最少时间是125分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，始终遵循所需时间少的排在前面，所需时间多的排在后面。 48．花2000元购进20吨的煤最好． 【分析】注意到在初秋时若少买了煤在冬天要花更多的钱去买煤，而买多了煤，则烧不完有积压资金，会造成损失．因而买多少煤是一个策略问题．根据题意，学校现在有三个策略：购买10吨、15吨、20吨．我们比较这三具策略，选择出最佳策略． 【详解】（1）如果学校在初秋时购买了10吨煤，则当天天气正常时要再购进5吨煤，总共花费了100×10+150×5=1750（元）；当天气转寒时要再购进10吨煤，总共花费了100×10+200×10=3000（元）． （2）如果学校在初秋时购买了15吨煤，则当天天气转暖时，积压资金为5吨煤的钱100×5=500（元），而当天气转寒的时候，需要再购进5吨煤，共花费100×15+200×5=2500（元）． （3）如果学校在初秋时购买了20吨煤，则当天气正常时积压资金为100×5=500（元）；天气转暖时积压资金为：100×10=1000（元）． 比较上面三种策略，第一种策略的最大损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（200－100）×10=100×10=1000（元）．第二种策略最大的损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（150－100）×5=50×5=250（元）．第三种策略最大的损失是在天气转暖的时候，此时积压资金为1000元，而学校资金存款的年利息为10%，相当于损失了2年的利息，即损失了1000×10%×2=200（元）． 所以最佳策略是花2000元购进20吨的煤，此时可能的损失最小． 49．见详解 【分析】由于这4个人要尽快过桥，但是每次最多过2人，那么来回跑，送手电筒这个任务必须是小强和中强的，并且要让大强跟太强一起过桥，这样节约时间。 【详解】小强和中强先过桥，用2分钟； 再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟； 过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟； 他们一起用时间： 2＋1＋10＋2＋2＝17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河。 【点睛】时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过，这样保证总的时间是最短的。 50．7:10 【详解】孙老师可以先整理桌椅（5分钟），然后做办公室清洁（10分钟），听音乐（30分钟），在听音乐（30分钟）同时批改昨日的家庭作业（20分钟）和做健身操（10分钟），最后于班干部交流（5分钟），这样共用50分钟． 所以孙老师最迟7:10到校才行． 51．2＋1先过 然后1回来送手电筒   5＋10再过 2回来送手电筒 2＋1过去 总共2＋1＋10＋2＋2＝17分钟 【详解】2＋1先过，然后1回来送手电筒． 5＋10再过，2回来送手电筒， 2＋1过去． 总共2＋1＋10＋2＋2＝17分钟． 52．23是所需的最少装卸工人数．具体安排如下：在C、A、D站分别安排4、2、1个固定工人，每车再安排4个工人随车流动到各站. 【详解】当方案有限时，枚举是找到最优方案的有效途径．枚举也要进行必要的分析，在尽可能小的范围内枚举，少做无用功． 53．车站设在D点 【分析】本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人（见下图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”． 【详解】把人尽量靠拢，显然把人聚到D、E最合适，靠拢完的结果变成了D=4，E=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在D点． 学科网（北京）股份有限公司 $$