小升初典型奥数：牛吃草问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

牛吃草问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量． 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量． 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量． 基本公式： 生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量； 牛吃草问题常用到四个基本公式： 牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度． 这四个公式是解决消长问题的基础． 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式． 这类问题的基本数量关系是： 1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量． 2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草． 第二部分 典型例题 例题1：有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天．如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？ 【答案】8天 【分析】：这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，因此我们可以把4只羊换成1头牛，这样就只剩一种动物了．80只羊可以换成20头牛，60只羊可以换成15头牛． 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，那么16头牛20天一共吃了16×20=320份草，20头牛12天吃了240份草，每天长草量为（320-240）÷（20-12）=10份草，原有的草量为320-10×20=120份草，现在有10+15=25头牛，其中吃原有草的牛有25-10=15头，那么可以吃120÷15=8天． 【点睛】不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作． 例题2：一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入一些水，如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．现在要想在2小时内淘完，需要多少人？ 【答案】17人 【详解】设每人每小时淘水1份，根据“如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．”可以求出每小时漏水的份数，列式是：（5×10-5×8）÷（10-5）=2（份）；进而可以求出原来水的份数：8×5-2×5=30（份）；现在要想在2小时内淘完，需要的人数为：（30+2×2）÷2=17（人）． 解：设每人每小时淘水1份． （1×10－5×8）÷（10－5） =10÷5 =2（份） （30＋2×2）÷2 =34÷2 =17（人） 答：现在要想在2小时内淘完，需要17人． 例题3：东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？ 【答案】99头 【分析】设每头牛每天吃1份，这样18头牛吃16天共18×16＝288份，而27头牛吃8天共27×8＝216份，多出来288－216＝72份就是16－8＝8天多长出来的，所以每天草长9份，这样原来草总共是288－9×16＝144份，现在牧场有6000平方米，所以是原来的3倍，所以现在草有144×3＝432份，每天长9×3＝27份，这样每天新长的草要27头牛吃，而原来的草要吃6天，要432÷6＝72头牛，所以总共要：72＋27＝99头牛。 【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析： 18头牛    16天    18×16＝288：原有草量＋16天自然增加的草量 27头牛     8天    27× 8＝216：原有草量＋8天自然增加的草量 从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量是： 288－216＝72 所以1天生长草量是72÷8＝9； 那么2000平方米的牧场上原有草量： 288－16×9 ＝288－144 ＝144 或216－8×9 ＝216－72 ＝144 则6000平方米的牧场1天生长草量是： 9×（6000÷2000） ＝9×3 ＝27； 原有草量： 144×（6000÷2000） ＝144×3 ＝432 6天里，西侧草场共提供草： 432＋27×6 ＝432＋162 ＝594 可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。 答：可供99头牛吃6天。 【点睛】牛吃草问题关键是求出原来牧场中草的份数和草每天生长的份数。 例题4：2022年2月4日是北京冬奥会开幕的日子，很多观众在检票之前就已经排队等候。设每分钟来的观众一样多，从开始检票到等候检票的队伍全部入园，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟，为了使15分钟内检票队伍全部入园，至少需要开多少个检票口？ 【答案】14个 【分析】假设每分钟每个检票口检票1人。根据乘法的意义，用1×8×60即可求出60分钟检票的总人数，用1×10×30即可求出30分钟检查的总人数，根据除法的意义，用60分钟检票的总人数减去30分钟检查的总人数，除以（60－30）分钟，即可求出每分钟增加的人数，即6人，再用60分钟检票的总人数－60分钟×每分钟增加的人数即可求出开始检票前排队的人数；如果15分钟内要检查完，则15分钟×每分钟增加的人数＋开始检票前排队的人数即可求出总人数，已知每分钟每个检票口检票1人，则15分钟每个检票口检查15人，用总人数除以15，即可求出检票口的总个数。 【详解】假设每分钟每个检票口检票1人， 每分钟增加的人数：（1×8×60－1×10×30）÷（60－30） ＝（480－300）÷（60－30） ＝180÷30 ＝6（人） 开始检票前排队的人数：1×8×60－60×6 ＝480－360 ＝120（人） （15×6＋120）÷15 ＝（90＋120）÷15 ＝210÷15 ＝14（个） 答：至少需要开14个检票口。 【点睛】本题考查了牛吃草问题，可用假设法解决问题，求出每分钟增加量和开始检票前的数量是解答本题的关键。 第三部分 高频真题 1．建筑工地开工前已经运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派36个工人砌墙，24天可以把砖用完；如果派40个工人砌墙，20天可以把砖用完。现派工人若干名，砌8天后，有5名工人参加表彰大会，其余工人又工作两天，才把场上的砖用完，问原来派多少名工人？ 2．120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？ 3．某足球赛检票前几分钟就有观众排队，每分钟来的观众人数一样多，从开始检票到等候入场的队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口需30分钟。如果要使队伍25分钟消失，需要同时开几个入场口？ 4．一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？ 5．由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，现有牧场上的草可以供20头牛吃5天，或可以供16头牛吃6天．那么11头牛可以吃几天？ 6．早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站。这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客。现要求5分钟放完，需设立几个检票口？ 7．内蒙古草原的一个牧场有一片青草，这片青草每天都在匀速生长。这片牧草可供24头牛吃12天，可供30头牛吃8天，问可供多少头牛吃4天？ 8．日立造纸厂有一水池，装有一根进水管和若干根同样粗细的出水管。先打开进水管，水均匀的流入池中，当水注满全池的时，若同时打开6根出水管15分钟，可将池内的水放干，若同时打开7根出水管12分钟可将池内的水放干，若所有的出水管都同时打开，10分钟就可将池内的水放干，那么这个水池装有多少根出水管？ 9．由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料．假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页／天）．如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作．问：公司聘任了多少名打字员？ 10．一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完．问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？ 11．牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则多少头牛96天可以把草吃完？ 12．一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？ 13．画展8：30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。 14．一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽．如果有牛21头，几天能把草吃尽？ 15．一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？ 16．12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？ 17．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 18．22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完．17头牛吃28亩同样草地上的草，84天可以吃完．问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？ 19．一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量．如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天．这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？ 20．红旗农场有三块草地，面积分别是5、15、36公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供12头牛吃28天，第二块草地可供21头牛吃63天，第三块草地可供36头牛吃多少天？ 21．现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘．若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干．问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？ 22．经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？ 23．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？ 24．2006年夏天，我国某地区遭遇了严重干旱，政府为了解决某村饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严重，开动13台抽水机同时供水，请问几小时可以把这池水抽完？ 25．8头牛和3只羊每天共吃青草136千克，2头牛和2只羊每天共吃青草44千克，李大爷养了6头牛和1只羊每天要准备多少千克的青草？ 26．一牧场上的青草每天都匀速生长．这片青草可供27头牛吃6周，或可供23头牛吃9周．那么，可供21头牛吃几周？ 27．一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干．那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 28．有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？ 29．一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供多少头牛吃12周？ 30．某牧场长满了草，若用17人去割，30天可割尽；若用19人去割，只要24天便可割尽，假设草每天匀速生长，每人每天的割草量相同，问49人几天可割尽？ 31．有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？ 32．一片匀速生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 33．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？ 34．一片牧场，草每天生长的速度相同，现在这片牧场可供16头牛吃20天，或可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么 10头牛和60只羊一起可以吃多少天？ 35．一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天？ 36．牧场上长满牧草，每天都匀速生长．这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天．问可供21头牛吃几天？ 37．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？ 38．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？ 39．现在有牛、羊、马吃一块地的草，草均匀生长，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间？ 40．一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？ 41．画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间． 42．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？ 43．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而在匀速地在减少，已知某块地上的草可供21头牛吃10天，或可供30头牛吃8天，照此计算，可供45头牛吃多少天。 44．一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 45．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶． 46．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 47．有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷．每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．第三块草地可供19头牛吃多少天？ 48．有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？ 49．有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天，那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃1天？ 50．甲、乙、丙三车同时从地出发到地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度． 51．两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，井深多少米？ 52．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．求17人几小时可以淘完？ 53．甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12名工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28名工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少名工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉） 54．星星家有一片草场，原有一些草，草场每天长出的草一样多，如果用来养12匹马可以吃12天，如果用来养6匹马可以吃30天，如果养8匹马，可以吃多少天？ 参考答案： 1．65名 【分析】砖的总数量可以分为工地上原有的砖和新运进的砖两部分，工地上原有的砖是不变的，新运进的砖虽然在变化，但因为是匀速变化，所以工地上每天新运进的砖的数量是相同的，即每天新运进的砖的数量是不变的。可求出每天新运进的砖的数量，再求出工地上原有的砖的数量，最后求出问题。 【详解】解：假设每人每天砌砖的块数为单位“1”。 每天运进砖的数量是：（36×24-40×20）÷（24-20） =（864-800）÷4 =16（份） 原有砖的数量： 40×20-16×20=480（份） (3)原来派的工人数： [480+ 16×（8+2）+5×2]÷（8+2） =[480+ 16×10+5×2]÷（8+2） =[480+ 160+10]÷10 =650÷10 =65（名） 答：原来派65名工人砌墙。 【点睛】求出每天新运进的砖的数量和工地上原有的砖的数量是解答本题的关键。 2．360头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草． 120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草； 210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草； 每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份． 如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份， 126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天． 3．7个 【分析】设每个入场口每分钟进1份人，根据两种情况求出原有的人数和每分钟来的人数，然后考虑队伍25分钟消失需要开几个口。 【详解】 （人/分钟） （人） （个） 答：需要同时开7个入场口。 【点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，这里人相当于是草，入场口相当于是牛。 4．5天 【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，原有草量为，12头牛与88只羊一起吃可以吃：（天） 【详解】 ＝ ＝10 ＝ ＝ ＝ ＝5（天） 答：那么12头牛与88只羊一起吃可以吃5天。 【点睛】牛吃草问题得以解决的前提条件是每头牛单位时间内吃的草量是相同的。需要特别注意的是，若干头牛一定时间内的吃草量与草场同样时间内的草总量是相等的。解题时要先求出长草速度，然后解得原草量数，最后回答问题。 5．8天 【详解】解：假设每头牛每天吃青草1份， 青草的减少速度为： （20×5﹣16×6）÷（6﹣5） =4÷1 =4（份）； 草地原有的草的份数： 20×5+4×5 =100+20 =120（份）； 那么11头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以看作每天有11+4=15（头）牛吃草，草地原有的120份草，可吃： 120÷15=8（天） 答：可供11头牛吃8天． 6．11个 【详解】设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客。 ①1分钟新来多少个单位的旅客 ＝4÷8 ＝ ②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候， 4×15－×15 ＝60－ ＝52 ③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客 52＋×5 ＝52＋ ＝55 ④设立几个检票口 （个） 7．48头 【分析】这类题难在牧场上的草的数量每天都在变化，我们要想办法从变化中找出不变的量，总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。有两个用草量的差可知（12-8）天的生长量，即可求出每天新长出的草的量。再将某一组的草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。抓住这两个量，解决问题就容易多了。 【详解】解：设1头牛一天吃的草为1份。 ①24头牛12天吃草的总量：1×24×12﹦288（份） ②30头牛8天吃草的总量：1×30×8﹦240（份） ③每天新长出的草的量：（288－240）÷（12－8） ﹦48÷4 ﹦12（份） ④这片牧场原有的草量：288－12×12 ＝288-144 ＝144（份） 或240－12×8 =240-96 ＝144（份） ⑤可供多少头牛吃4天？ （144＋12×4）÷4 ＝（144+48）÷4 ＝192÷4 ＝48（头） 答：这片牧场可供48头牛吃4天。 【点睛】考查了牛吃草问题，解答这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量。 8．8根 【分析】根据已知条件“打开6根水管15分钟可将池内的水放干，若同时打开7根水管12分钟可将池内的水放干”可求出每分钟的进水量和池内原有的水量，然后求出问题的解。 【详解】解：设一根出水管每天放出的水量为1： ①6根出水管15分钟的出水量为： 6×15﹦90 ②7根出水管12分钟的出水量：7×12＝84 ③一根进水管每分钟的进水量： （90－84）÷（15－12） ＝6÷3 ＝2 ④池内原有水量： 90－2×15 ＝90-30 ＝60 或84－2×12 ＝84-24 ＝60 ⑤出水管的根数： （60＋2×10）÷10 ＝（60＋20）÷10 ＝80÷10 ＝8（根） 答：这个水池装有8根出水管。 【点睛】解答本题问题的关键是从变化中找到不变的量：每分钟的进水量和池内原有的水量。 9．3名 【分析】和解决牛吃草问题类似，需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量． 设每个打字员的打字速度为单位1／天（具体页数不知道，用单位1表示），比较“如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．”可以得到：由“5名打字员，24天就恰好打完所有材料”得材料总量为 5×24＝120． 由“9名打字员，12天就恰好打完所有材料”，得材料总量为9×12＝108 比较这两个总量，可以得到材料每天的增加情况：（120-108）÷（24-12）=l进一步，可以得到原有材料的情况：120-24×1＝96（单位1）或者108-12×1＝96．最后，看一下所求问题中的总量，“工作8天之后，每天新增的材料少了一半，这些打字员共用40天恰好完成．”计算材料总量96+l×8+（40-8）×l÷2＝120 聘任的打字员人数为120÷40=3（名） 【详解】解：设每个打字员的打字速度为单位1／天． 材料每天增加：（5×24-9×12）÷（24-12）=1 原有材料：120-24×1=96  （或者108-12×1=96） 实际材料总量：96+l×8+（40-8）×l÷2=120 打字员人数为：120÷40=3（名） 答：公司聘任了3名打字员． 10．没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头 【详解】解：设每头牛每天吃的草量为单位1， 由“17头牛30天可将草吃完”，得知总草量为：17×30＝510（1） 再由“19头牛24天可将草吃完”，求得总草量为19×24=456（2） 因为总草量（1）与总草量（2）的差510-456＝54（单位1） 所以总草量（1）比总草量（2）多长的时间为30一24=6（天） 牧场草每天生长的草量为54÷6=9 由此可知：牧场原有的草量为510-9×30＝240或者456－9×24＝240 由于牧场的草共生长的时间为6+2=8（天） 所以牧场生长的草量为9×8=72（单位1） 进而可知牧场在8天内的总草量为240+72=312（单位1） 假设没有卖牛，即让卖掉的4头牛也吃了8天，算得总草量为312+4×2＝320（单位1） 因此，这群牛的头数为320+8＝40（头） 答：没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头． 11．20头 【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为， 牧场原有草量为 ， 要吃96天，需要(头)牛． 12．20分钟 【详解】设1人1分钟淘出的水量是“1”，分钟的进水量为，所以每分钟的进水量为，那么原有水量为：．5人淘水需要(分钟)把水淘完． 13．7：30 【分析】设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。8：30到9：00共30分钟3个入口共进入。8：30到8：45共15分钟5个入口共进入，15分钟到来的人数，每分钟到来。8：30以前原有人。所以应排了（分钟），即第一个来人在7：30。 【详解】 ＝ ＝15 9：00－8：30＝30（分钟） 8：45－8：30＝15（分钟） 30－15＝15（分钟） 15÷15＝1 ＝90－30 ＝60 （分钟） 8：30－60分＝7：30 答：第一个观众到达的时间是7：30。 【点睛】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每分新来的人的数量，再求出原有观众的数量，进而解答题中所求的问题。 14．12天 【分析】摘录条件： 27头    6天    原有草+6天生长草 23头    9天    原有草+9天生长草 21头    ？天   原有草+？天生长草 解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化．设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45．为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15 现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？ 【详解】第一次吃草量27×6=162 第二次吃草量23×9=207 每天生长草量45÷3=15 原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72 21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天） 15．15天 【详解】设1头牛1天吃的草为1份． 则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份 原来的草量是（24-14）×6=60份． 可供18头牛吃60÷（18-14）=15天 16．36头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛 17．54分钟 【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 【详解】先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90， 其中 90分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）. 打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）. 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟. 18．35头 【详解】解：设每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份， 54×（22-33y）=33x，① 84×（17-28y）=28x，② 把方程①②联立，解得：y=0.5，x=9 那么：（40×9+0.5×40×24）÷24=360÷24+20=35（头）； 答：40亩草地可供35头牛食用24天． 【点睛】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量． 19．36天 【分析】这道题我们要借助三元一次方程的思想，最终的目的还是要转化为单一动物． 【详解】设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 牛和羊　　      45天　 45天牛和羊吃草量＝原有草量＋45天新长草量　（1） 牛和鹅　　     60天　 60天牛和鹅吃草量＝原有草量＋60天新长草量　（2） 鹅和羊（相当于1牛）　90天　 90天牛（鹅和羊）吃草量＝原有草量＋90天新长草量　（3） 由（1）×2－（3）可得：　90天羊吃草量＝原有草量　羊每天吃草量＝原有草量÷90； 由（3）分析知道：90天鹅吃草量＝90天新长草量，鹅每天吃草量＝每天新长草量； 将分析的结果带入（2）得：原有草量＝60，带入（3）得90天羊吃草量＝60    羊每天吃草量＝ 这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：60÷（1＋）＝36（天）． 20．126天 【分析】为解决这个问题，只需要将三块草地的面积统一起来，求5、15、36的最小公倍数180， 因为5公顷草地可供12头牛吃28天，180÷5=36，所以180公顷草地可供12×36=432头牛吃28天，因为15公顷草地可供21头牛吃63天，180÷15=12，所以180公顷草地可供21×12=252头牛吃63天，因为180÷36=5，所以180公顷草地可供5×36=180头牛吃多少天，因为草地面积相同，所以原题可变为：“一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？” 【详解】解：由分析知，本题可转化为：一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？ 设1头牛一天吃的草为1份 ①每天新长出的草量： （252×63-432×28）÷（63－28） =（15876-12096）÷（63－28） =3780÷35 =108（份） ②牧场原有草量： 252×63-108×63 =15876-6804 =9072（份） ③可供180头牛吃的天数： 9072÷（180－108） =9072÷72 ﹦126（天） 答：第三块草地可供36头牛吃126天。 【点睛】解答此题的关键是将三块草地的面积统一起来，将复杂的题变为简单的基本类型的题目进行解答即可。 21．12台 【详解】解：设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（6×20-8×10）÷（20-10）=4单位，池塘中原有水量：6×20-4×20=40单位．若要5天内抽干水，需要抽水机40÷5+4=12台． 22．70亿人 【分析】根据“100亿人生活100年，”知道一共有资源1万亿人每年，再根据“80亿人生活300年，”知道一共有资源2.4万亿人每年，即相差的1.4万亿人每年就是200年增长的，所以100年增长0.7万亿人每年，1年增长70亿人每年，当增长量等于消耗量时，可以永远生活，所以最多70亿人。 【详解】100×100＝10000（份）， 80×300＝24000（份）， 24000－10000＝14000（份）， 14000÷200＝70（亿人）， 答：地球最多能养活70亿人。 【点睛】解答此题的关键是，根据题意，知道当地球新生成的资源增长量等于消耗量时，地球生活的人最多，由此即可解决问题。 23．头 【分析】设1头牛1周吃草量为“1”。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周，相当于1公顷牧场可供2.5头牛吃8周。然后求出1公顷牧场1周新生长的草量及1公顷牧场原有草量，再考虑第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周。 【详解】1公顷牧场1周新生长的草量为： 1公顷牧场原有草量为： 24公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为； 若想维持18周，需要饲养：（头）牛。 答：需要饲养40头牛。 【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，求出1公顷牧场的草速及1公顷牧场原有草量是解题的关键。 24．小时 【分析】先求出一台抽水机一小时的抽水量，再计算原来有多少水，然后再计算13台抽水机同时供水几小时可以把这池水抽完。 【详解】一台抽水机一小时的抽水量为： 40×（2.5－1.5）÷（5×2.5－8×1.5） ＝40÷ 0.5 ＝80（立方米） 池水的总量为： 2.5×（80×5－40） ＝2.5×360 ＝900（立方米） 所以，使用13台抽水机，抽完池水需要的时间为： 900÷（80×13－40） ＝900÷1000 ＝0.9（小时） 答：0.9小时可以把这池水抽完。 【点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，这里给出了水的增长速度，那么直接计算原有的水量即可。 25．6头牛和1只羊每天要准备92千克的青草 【详解】试题分析：根据题意可以得出：8头牛+3只羊=136千克①，2头牛+2只羊=44千克②，用①﹣②即可求出6头牛和1只羊吃草的量． 解答：解：由题意可得： 8头牛+3只羊=136千克①， 2头牛+2只羊=44千克②， ①﹣②可得： 6头牛+1只羊=136﹣44=92千克 答：6头牛和1只羊每天要准备92千克的青草． 点评：解决这类问题的关键是利用牛吃的草量得出数量关系，可根据数量关系和要求的问题，适时的将条件进行转化． 26．12周 【详解】将1头牛1周吃的草看做1份，则27头牛6周吃162份，23头牛9周吃207份，这说明3周时间牧场长草207-162＝45（份），即每周长草15份，牧场原有草162－15×6＝72（份）．21头牛中的15头牛吃新长出的草，剩下的6头牛吃原有的草，吃完需72÷6＝12（周）． 27．5小时 【详解】设一台抽水机一小时抽水一份．则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时 28．40头 【详解】略 29．21头 【分析】设1头牛1周吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出草速和原草量，再考虑这片草地可供多少头牛吃12周。 【详解】 （份/周） （份） （头） 答：可供21头牛吃12周。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，牛吃草问题也可以通过方程组来求解。 30．6天 【分析】设每人每天割1份草，根据题中的两种情况求出原草量和草的增长速度，再考虑49人几天可割尽。 【详解】 （份/天） （份） （天） 答：49人6天可割尽。 【点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，找出与经典牛吃草问题的对应关系，然后再按照牛吃草问题求解。 31．40头 【分析】牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。 【详解】设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：份；原有草量：份。 我们可以假设这4头牛没卖，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4×2＝8份的草。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草。假设牛的数量保持不变，连续吃6＋2＝8天，共需要牧草240＋9×8＋4×2＝320份，因此有牛320÷8＝40头。 【点睛】先假设牛没有变化，进而草的总量也相应改变，就转变成常规的牛吃草问题来解决。 32．48只 【详解】试题分析：根据“一头牛一天的吃草量等于3只羊一天的吃草量，”那么36只羊的吃草量就等于（36÷3）12头牛的吃草量； 设每头牛每天吃草1份，根据“18头牛吃40天，或供12头牛与36只羊吃25天，即12+12=24头牛吃25天”可以求出草每天生长的份数：（18×40﹣24×25）÷（40﹣25）=8（份）；再根据“18头牛吃40天，”可以求出草地原有的草的份数：（18﹣8）×40=400（份）；由于草每天生长8份，可供16天吃完，需要牛的头数是（400+8×16）÷16=33（头），然后减去17头牛，得到的差转化成羊的只数即可；问题得解． 解：设每头牛每天吃草1份，把36只羊转化为牛的头数为： 36÷3=12（头） 草每天生长的份数： 18×40﹣24×25）÷（40﹣25） =120÷15 =8（份） 草地原有的草的份数： （18﹣8）×40=400（份） 16天吃完，需要牛的头数是： （400+8×16）÷16=33（头） （33﹣17）×3 =16×3 =48（只） 答：这片草地让17头牛与48只羊一起吃，刚好16天吃完． 点评：本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答． 33．42头 【详解】试题分析：这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5公顷面积原有草量+5公顷面积30天长的草=10×30=300份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15公顷面积原有草量+15公顷面积45天长的草=28×45=1260份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45﹣30=15天，每公顷面积长84﹣60=24份；则每公顷面积每天长24÷15=1.6份．所以，每公顷原有草量60﹣30×1.6=12份，第三块地面积是24公顷，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃． 解：设每头牛每天的吃草量为1，则每公顷30天的总草量为：10×30÷5=60； 每公顷45天的总草量为：28×45÷15=84； 那么每公顷每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）=1.6； 每公顷原有草量为：60﹣1.6×30=12； 那么24公顷原有草量为：12×24=288； 24公顷80天新长草量为24×1.6×80=3072； 24公顷80天共有草量3072+288=3360； 所以有3360÷80=42（头）． 答：第三块地可供42头牛吃80天． 点评：本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量=消耗原有草量”这个关系式认真分析解决． 34．8天 【分析】由已知条件“如果1头牛的吃草量相当于14只羊的吃草量”我们可以把80只羊转化成20头牛，把10头牛和60只羊转化成牛一共有25头，再根据牛吃草问题的解法求解。 【详解】解：设1头牛一天吃的草为1份 ①每天新长出的草量：（16×20-20×12）÷（20－12） =（320-240）÷8 =80÷8 =10（份） ②牧场原有草量： 16×20-20×10 =320-200 =120（份） ③10头牛和60只羊一起可以吃的天数： 120÷（25－10） ﹦120÷15 ﹦8（天） 答：可以吃8天。 【点睛】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答。 35．9天 【分析】设一头牛一天的吃草量为1份，则16头牛15天吃草16×15＝240份，包括原有的草以及15天新生长的新草；100只羊相当于100÷4＝25只牛，25只牛6天吃草25×6＝150份，包括原有的草以及6天新生长的草。则每天新生长的草为（240－150）÷（15－6）＝10份；则原有的草量为：240－10×15＝90份，8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天，据此分析解答。 【详解】每天新生长的草：（240－150）÷（15－6）＝10（份） 原有的草量为：240－10×15＝90（份） 100÷4＝25（头） 48÷4＝12（头） 90÷（8＋12－10） ＝90÷10 ＝9（天） 答：可以吃9天。 【点睛】此题考查牛吃草问题，解题的关键在于求出每天新生的草够几头牛吃。 36．12天 【详解】略 37．7头 【分析】先求出25头牛4天吃草的份数，以及16头牛6天吃草份数，用份数差除以天数差求出青草每天减少的份数；再求出牛吃草前牧场有草的份数，减去12天每天减少的份数，就是12天这些牛吃完的份数；再用12天这些牛吃完的份数除以吃的天数12天，就能得到这些草可供多少头牛吃12天。 【详解】青草每天减少： （25×4－16×6）÷（6－4）＝2（份） 牛吃草前牧场有草： 25×4＋2×4＝108（份） 12天吃完需要牛的数量为： （108－12×2）÷12＝7（头） 答：可供7头牛吃12天。 【点睛】此题属于牛吃草问题，解答的关键是求出青草每天减少的数量。 38．9天 【详解】略 39．解：设牛每天吃x，羊每天吃y，则马每天吃x+y，每天增长为z； 根据题意可得： ， ③﹣①得到y=z； 代入①②可得： ， ， 解得：； 牛马羊一起每天吃：（x+y+x+y）=（+++）=； 设牛马羊一起吃可以吃t天； 可得： ×t=1+t， ×t﹣t=1， t=1， t=36． 答：马、牛、羊一起吃，需36天． 【详解】牛吃草问题 根据题意，把原来的草看作单位“1”，设牛每天吃x，羊每天吃y，则马每天吃x+y，草每天增长为z；那么牛、马吃需要45天吃完， 即：45（2x+y）=1+45z；马、羊吃需要60天吃完，即60（x+2y）=1+60z；牛、羊吃需要90天吃完，即90（x+y）=1+90z； 然后列出方程组进行解答即可． 40．64头 【分析】设1头牛1天吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出原草量和草的增长速度，再考虑可供多少头牛吃6天。 【详解】设1头牛1天吃1份草； （份/天） （份） （头） 答：可供64头牛吃6天。 【点睛】本题考查的是基础的牛吃草问题，求出草速和原草量是解题的关键。 41．8点15分 【分析】从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质． 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题． 【详解】设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为，即1分钟来的人为，原有的人为：．这些人来到画展，所用时间为(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分． 42．9周 【分析】之前我们讲的所有的牛吃草问题都是在同一块草地上，草地的面积是固定不变的。然而这道题却有三块面积不同的草地，我们可以把它转化成相同的，方法是分别转化成1公顷然后再进行计算。 【详解】设1头牛1周吃1份牧草。24头牛6周吃掉24×6＝144份，说明每公顷草地6周提供144÷4＝36份牧草；36头牛12周吃掉36×12＝432份，说明每公顷草地12周提供432÷8＝54份牧草。每公顷草地12－6＝6周多提供54－36＝18份牧草，说明每公顷草地每周的牧草生长量是18÷6＝3份，原有草量是36－3×6＝18份。10公顷草地原有18×10＝180份牧草，每周新增3×10＝30份，可供50头牛吃180÷（50－30）＝9周。 【点睛】对于面积不同的情况，我们先把它转化成面积相同，通常的做法是将所有的面积都转化成单位面积然后进行计算。 43．6天 【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和每天减少的草两部分。牧场上原有的草是不变的，每天减少的草因为是匀速减少，所以每天这片草地每天减少的草数量是相同的，即每天减少的草量是不变的。由两个用草量的差可知（10-8）天的减少量，即可求出每天减少的草的量。抓住这两个量即可得解。 【详解】解：设1头牛1天吃草1份。 每天减少的草量：（30×8－21×10）÷（10－8） =（240－210）÷2 =30÷2 =15（份） 原有草量：210+15×10 =210+150 =360（份） 可供45头牛吃的天数：360÷（45×1+15） =360÷（45+15） =360÷60 =6（天） 答：可供45头牛吃6天。 【点睛】此题属于牛吃草问题，这类题目有一定难度。对于本题而言，关键的是要求出青草每天减少的数量和原有的草量。 44．5根 【分析】根据题意，设出1根出水管每小时的排水量为1份，先求出进水管每小时的进水量，在求出蓄水池原有水量，由此问题可以解决。 【详解】设根排水管小时排水为“”份， 进水速度为： （3×18－8×3）÷（18－3） ＝（54－24）÷15 ＝30÷15 ＝2（份） 原有水量为： （8－2）×3 ＝6×3 ＝18（份） 如果想要在小时内将池中的水全部排光，最少要打开： 18÷8＋2 ＝2.25＋2 ＝4.25（根） 根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。 答：最少要打开5根出水管。 【点睛】本题属于牛吃草问题，只要求出进水管每小时的进水量是解题的关键。 45．60级 【详解】本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为： “在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？” 采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：阶，电梯的速度为阶/秒，扶梯长度为（阶）． 46．17人 【详解】略 47．8天 【详解】略 48．10天 【详解】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。 49．10头 【分析】设1头牛1天吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出草的增长速度，每天新生的草量是几份，就可以供几头牛吃1天。 【详解】设1头牛1天吃1份草； （份/天） （头） 答：这片牧场每天新生的草量可供10头牛吃1天。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，这里考查的比较简单，只需要求出草的增长速度即可。 50．39千米/小时 【详解】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度．所以： 卡车速度为：（千米/时） 全程：（千米） 丙车速度为：（千米/时） 51．15米 【分析】一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬；20×5=100（分米）；另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底，白天爬：15×6=90（分米）．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．说明，每夜下滑：100﹣90=10（分米）．那么井深就是：（10+20）×5=150（分米）=15（米），或：（15+10）×6=150（分米）=15（米）． 【详解】（20×5﹣15×6+20）×5， =30×5， =150（分米） =15（米）． 答：井深15米． 52．2小时 【详解】解：这是一道变相的“牛吃草”问题．与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间．设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为：1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为：14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是：30÷（17－2）＝2（小时） 答：17人2小时可以淘完水． 53．36名 【分析】设1个工人1小时搬1份面粉。甲仓库中12个工人5小时搬了份，乙仓库中28个工人3小时搬了份，说明甲仓库的传送机5－3＝2小时多输送了84－60＝24份面粉，即每小时输送24÷2＝12份，仓库中共有面粉份。丙仓库中120份面粉需在2小时内搬完，每小时需搬份，因此需要工人名。 【详解】（份） （份） 5－3＝2（小时） 84－60＝24（份） 24÷2＝12（份） ＝ ＝120（份） （份） ＝ ＝（名） 答：同时还要36名工人。 【点睛】此题利用牛吃草问题的思路解答，解题时要先求出输送机每小时工效，然后解得仓库中共有面粉数，最后回答问题。 54．20天 【分析】牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。 其基本数量关系是： （牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）＝草地每天新长草量。 牛的头数×吃草天数－每天新长量×吃草天数＝草地原有的草。 设每匹马每天的吃草量假设为1份，则12匹马可以吃12天可以吃144份草，6匹马可以吃30天可以吃180份草，则两种吃草方式多了36份草，是18天多出来的，草场每天长的草量为2份。144份草里面分为原来的草和新长的草，12天每天新长草2分，一共长草24份，原来的草就是120份。设养8匹马可以吃x天，根据数量关系：原来的草＋新长的草＝8匹马吃的草。 【详解】设每匹马每天的吃草量假设为1份。 草场每天长的草量为： （30×6×1－12×12×1）÷（30－12） ＝（180－144）÷18 ＝36÷18 ＝2（份） 原来草场的草为： 12×12－2×12 ＝144－24 ＝120（份） 解：设养8匹马可以吃x天。 120＋2x＝8x 8x－2x＝120 6x＝120 x＝120÷6 x＝20 答：如果养8匹马，可以吃20天。 【点睛】牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——一定时间内新长出的草的数量。 学科网（北京）股份有限公司 $$