小升初典型奥数：比例问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

比例问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 一．比的应用 【知识点归纳】 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 二．正、反比例 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值一定，正比例关系可以用式子表示为：y＝kx． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积一定，反比例的关系可以表示为：xy＝k． 三．按比例分配 1．按比例分配定义： 在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配． 2．解题方法： （1）求总份数 （2）想各部分占总数量的几分之几 （3）用分数乘法求出各部分是多少． 四．按比例分配应用题 把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配． 解答这类题的方法是：把一个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少． 第二部分 典型例题 例题1：有两块地共90公亩，第一块地的和第二块地的种茄子，两块地余下的共45公亩种西红柿．求第一块地有多少公亩？ 【答案】36公亩 【详解】解：设第一块地有x公亩，则第二块地有（90-x）公亩，依题意可得： 答：第一块地有36公亩． 例题2：甲杯中有纯酒精克，乙杯中有水克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合．第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为，乙杯中纯酒精含量为．问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？ 【答案】14克 【详解】第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有：()(克)， 则甲杯中剩纯酒精(克)． 由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为，根据浓度倒三角，倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为， 所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是克． 例题3：参加植树的同学共有人，已知六年级与五年级人数的比是，六年级比四年级多人，三个年级参加植树的各有多少人? 【答案】300 200 220 【详解】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有人，四、五、六三个年级的人数比为，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数．六年级：人；五年级：人；四年级：人． 例题4：六年级数学兴趣小组男、女生人数的比是4∶5，转来2名女生后，兴趣小组男生人数恰好是女生人数的，现在兴趣小组一共有多少人？ 【答案】2名女生是男生人数的：－＝男生有：2÷＝24(人) 兴趣小组的总人数：24×(1＋)＝56(人)． 【详解】由题意可知，女生比原来增加了2人，男生人数没有变化．因此，可以把男生人数看作单位“1”，根据题意可知，原来女生人数是男生的，转来2名女生后，女生人数是男生人数的．由此可得出2名女生是男生人数的几分之几，因此就可以把男生的人数求出来，最后求出兴趣小组的总人数． 第三部分 高频真题 1．总路程是50千米，上坡、平路、下坡的路程比为1：2：3，行各段的时间比4：5：6，上坡速度是3km/h，求行完全程的时间． 2．A、B两地间有一座桥，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多行2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍旧在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇，则A、B两地相距多少千米？ 3．周长一定，甲的长与宽的比为3：2，乙的长与宽的比是7：5，求甲乙的面积比是多少？ 4．甲、乙两个工地上原来水泥袋数的比是2：1，甲地用去125袋后，甲、乙两工地水泥袋数的比为3：4，甲、乙两工地原有水泥多少袋？ 5．甲乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的等于乙班种的棵数的，且乙班比甲班多种树棵，甲、乙两个班各种树多少棵？ 6．一个平行四边形与一个三角形底边长的比是1：5，高的比是2：3．它们的面积比是多少？ 7．加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个．现在三人在同样的时间内一共加工个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 8．甲乙两人植树，单独植完这批树，甲比乙所需时间多，如果两人一起干，完成任务时乙比甲多植36棵，这批树一共多少棵？ 9．、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？ 10．兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长米．然后对折，拉长到米；再对折，拉长到米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费) 11．甲乙两人同时从A、B两地出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人在途中C点相遇．如果甲晚出发7分钟，两人将在途中D处相遇，且A、B中点E到C点的距离是到D点距离的2倍．求A、B两地间距离． 12．有一堆围棋棋子，其中黑子与白子个数的比是4∶3．从中取出91枚棋子，且黑子与白子个数的比是8∶5，而剩下的棋子中黑子与白子个数的比是3∶4．那么这堆围棋共有多少枚？ 13．某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？ 14．一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图数字所示，另两个小矩形的面积用A、B表示，求大矩形的面积．（单位：平方厘米） A 25 20 36 B 16 15．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？ 16．一个爱斯基摩人乘坐套有只狗的雪橇赶往朋友家，在途中第一天，雪橇以爱斯基摩人规定的速度全速行驶，一天后，有只狗扯断了缰绳和狼群一起逃走了，于是剩下的路程爱斯基摩人只好用只狗拖着雪橇，前进的速度是原来的，这使他到达目的地的时间比预计的时间迟到了天．事后，爱斯基摩人说：“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天．”请问，爱斯基摩人总共走了多少千米路程？ 17．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，结果返回时比去时的时间少48分钟．求甲乙两地之间的路程？ 18．、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满。求、、三个水桶容积各是多少公升？ 19．一个正方形的一边减少，另一边增加 米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形的边长是多少米？ 20．甲容器中有纯酒精11升，乙容器有水9升．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精和水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样，甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？ 21．有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满。因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满。 （1）如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ （2）如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果四舍五入到个位） 22．某洗衣机厂原计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25%，请问完成计划还需要多少天？ 23．大巴和轿车都从A地出发驶向B地，大巴与轿车的速度之比为5∶6。大巴比轿车早出发18分钟，但在AB的中点C处停留了8分钟，轿车则不停的驶向B地。如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地。 （1）轿车出发多少分钟后追上大巴？ （2）如果轿车追上大巴后，速度增加，且轿车到达B地后立即原路返回A地，当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几？ 24．甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有50米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 25．张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？ 26．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 27．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 28．甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A，B两地相距多少千米？ 29．师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 30．师徒两人一直加工200个零件，师傅加工一个零件要用3分钟，徒弟加工一个零件要用5分钟．试问，当完成任务时，两人各加工多少个零件？ 31．如图1所示，甲、乙、丙三个齿轮啮合，当甲轮转7圈时，乙轮恰好转8；圈；当乙轮转5圈时，丙轮恰好转14圈，求当甲轮转5圈时，丙轮转几圈？ 32．有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．表面积为，求这个长方体的体积. 33．某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？ 34．高中学生的人数是初中学生人数的，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人．问高、初中毕业生共有多少人？ 35．一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 36．某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是： 甲组12∶13，乙组5∶3，丙组2∶1，那么丙有多少名男会员？ 37．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲行到全程的 的地方与乙相遇．甲每小时行30千米，乙行完全程需7小时．求A、B两地之间的路程． 38．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级． 39．甲、乙两人同时分别从A、B两地出发相向而行，他俩相遇后经过5分钟，甲抵达B点，已知甲的速度是乙的速度的2倍，那么甲到达B后还要经过多长时间，乙才能到达A点？ 40．一次甲、乙、丙三位朋友乘一辆出租车出去办事，出发时三人商量好，车费由三人合理分摊．甲在行到6千米的地方下车，乙在行到12千米的地方下车，丙一直行到18千米的地方下车，共付了36元车费．请问：三人应该分别承担多少元？ 41．如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？ 42．一条路全长为30公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3公里．问此人走完全程共用了多少时间？ 43．A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进，A车停车修理半小时后以原速度的继续前进，B、C两车行至距离甲市200千米处B车出了事故，C车照常前进，B车停了半小时后也以原速度的继续前进，结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？ 44．某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是，中型车与小型车之比是，小型车的通行费总数比大型车多元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？ 45．甲、乙、丙三个数，已知，，求． 46．一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？ 47．甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比. 参考答案： 1． h 【详解】总路程等于50，上坡、平路、下坡路程的比为1：2：3，所以上坡路程为 千米．又因为上坡速度为3km/h，所以上坡时间 （h） 又因为各段时间比为4：5：6，所以总时间为 （h） 答：总时间为h 【点睛】行程问题、比例问题 2．72千米 【详解】三种方式相遇所行的路程都相等，典型的由时间比化速度比的题目，求出了速度再求总路程就简单了． 因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的． 在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5＝2.5（小时），两次相遇时间比为3：2.5，路程一样，所以甲的速度成反比为2.5：3=5：6，又速度增加2千米每小时，所以甲原速为2÷（6－5）×5=10（千米/小时）． 在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5＝3.5（小时），与第一种情况相比较，两种相遇时间比为3：3.5，路程一样，所以乙的速度成反比为3.5：3=7：6，又速度减少2千米每小时，所以乙原速为2÷（7－6）×7=14（千米/小时）． 这样就可以求出A 、B两地的距离为（10＋14）×3＝72（千米）． 3．864：875 【详解】甲的长与宽的比是3：2，可知甲的长和宽一共是5份；乙的长与宽的比是7：5，可知乙的长和宽一共是12份；根据“甲乙两个长方形的周长相等”，可得出它们的周长是5和12的最小公倍数，即：．分别求出甲乙各自的长和宽，就可以求出面积的比． 甲的长，宽= ；乙的长=宽= 甲的；乙的；它们面积的比是：864：875 【点睛】公倍数、周长、面积， 4．甲工地200袋；乙工地100袋 【详解】2:1=8:4 125÷（8-3）=25（袋） 甲工地：25×8=200（袋） 乙工地：25×4=100（袋） 5．96棵；120棵 【分析】根据乙班比甲班多种树24棵，设甲班种树x棵，乙班就是（x＋24）棵，然后根据甲班种的棵数的等于乙班种的棵数的，即可列方程解答。 【详解】解：设甲班种树x棵，乙班种树（x＋24）棵。 x＝（x＋24） x＝x＋ x－x＝ 0.25x－0.2x＝4.8 0.05x＝4.8 x＝96 乙：96＋24＝120（棵） 答：甲班种树96棵，乙班种树120棵。 【点睛】此题属于含有两个未知数的分数应用题，关键是找出题中的数量关系式，然后列方程解答。 6．4∶15 【详解】设平行四边形的底边长是1，高是2；那么三角形底边长是5，高是3 平行四边形与三角形的面积之比是： （1×2）：（5×3÷2）=864:875． 答：它们的面积比是4∶15． 7．1400个；1200个；1050个 【详解】根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是，所以甲加工了个零件，乙加工了个零件，丙加工了个零件。 8．252棵 【详解】时间与工效成反比，甲比乙所需时间多，即甲的时间是乙的倍． 设甲、乙的工作效率为x与y 因为同时合作，所以甲、乙植树的总量比也是3：4，即可以将整个数量分成7份，那么甲植了其中3份的树，而乙植了4份的树． 乙比甲多1份，而又知乙比甲多植36棵 所以总共的棵数（棵） 9．4∶6∶3 【分析】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－。丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－，于是有、、，解方程组即可。 【详解】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－，丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－。 由此可得： 从而可得：即： 进而得：，即 所以，4∶6∶3 答：甲、乙、丙队的工作效率的比是4∶6∶3。 【点睛】解答此题的关键是利用假设法，然后列方程组计算。 10．6553.6 【详解】最后拉出的面条直径是原先面棍的，则截面积是原先面棍的，细面条的总长为：(米)．注意运用比例思想． 11．2240米或6720米 【详解】甲晚出发7分钟，也就是乙先走了60×7=420米，两人共同行走的时间也减少了．对应的路程和也发生了变化． 前后两次二人的相遇路程和相差420千米，那么前后两次相遇时间相差为420÷（80＋60）=3（分钟）， 而本来这三分钟甲能多走80×3=240（米）， 这就说明C点与D点之间的距离为240米，由条件“A、B中点E到C点的距离是到D点距离的2倍”可以得到中点到C、D两点之间的距离．不过这里要分两种情况： （一）中点E在C、D之间，那么ED、EC的距离和为240米，EC的距离为：240÷（2+1）×2=160米 也就是说甲乙同时出发后的相遇点距离中点160米，即甲比乙多走了320米．两人相遇所花的时间为：320÷（80-60）=16（分）．A、B之间的距离为：（80+60）×16=2240（米）． （二）C、D在E点的同一侧，那么ED、EC的距离差为240米，EC的距离为：240÷（2-1）×2=480（米），也就是说甲乙同时出发后的相遇点距离中点480米，即甲比乙多走了960米，两人相遇所花的时间为`：960÷（80-60）=48（分）．A、B之间的距离为：（80+60）×48=6720（米）． 综上所述，A、B两地之间距离为2240米或6720米． 【点睛】如果只涉及到距离关系，没有提到位置关系，而且这些点在同一条直线上，那么就不只有一种位置关系． 12．119枚 【详解】设这堆围棋棋子中黑子4x枚，那么白子3x枚．而在取出的91枚中，黑子有，白子有91-56=35（枚），由题意可得： （4x-56）∶（3x-35）=3∶4 9x-105=16x-224 即x=17 7x=7×17=119（枚） 答：这堆围棋子共有119枚． 13．24% 【分析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖。由③知两校获二等奖的共有（人）；由⑤知甲校获二等奖的有（人）；由④知甲校获一等奖的有（人），那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为。 【详解】解：设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖。 两校获二等奖：（60＋50）×20% ＝110×0.2 ＝22（人） 甲校获二等奖：22÷（4.5＋1）×4.5 ＝22÷5.5×4.5 ＝4×4.5 ＝18（人） 甲校获一等奖：60－60×50%－18 ＝60－30－18 ＝12（人） 12÷50×100%＝24% 答：乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数是24%。 【点睛】此题主要运用了百分数的应用，学生认真仔细，逐一计算。 14．142平方厘米 【详解】由图和题意知：上下矩形的面积比是：20:16， 所以A:36=20:16，A=45 25：B=20:16， B=20 大矩形的面积：45+25+20+36+20+16=142（平方厘米） 15．4000米 【分析】乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，得到甲、乙速度之比2︰2.25，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速之后乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，甲乙速度比为3︰3.75，乙的速度是甲的速度的1.25倍，由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500÷（1.25－1.125），依此计算即可。 【详解】加速前甲乙的速度之比为2︰2.25＝8︰9，乙的速度是甲的速度的1.125倍； 加速后甲乙的速度比为3︰3.75＝4︰5，乙的速度是甲的速度的1.25倍， 甲的速度为500÷（1.25－1.125） ＝500÷0.125 ＝4000（米/时）， 答：甲每小时行4000米。 【点睛】先求出甲乙二人的速度比是解答此题的关键。 16．160 【详解】(法1)根据爱斯基摩人所说的话，“逃跑的狗如果能再拖雪橇走千米，那我就能比预计时间只迟到一天”，可知只狗拉雪橇走千米，比只狗拉雪橇走千米少用一天．设只狗的速度是千米/天，则根据题意有：，解得：再设原计划走天，由题意得：，解得：，所以爱斯基摩人总共走了：(千米)． (法2)由于所行总路程不变，依题意知只狗拉雪橇的速度与只狗拉雪橇的速度比为，所以时间比为，结果恰好晚了天，所以行完全程计划用天，实际用了天，再拖雪橇千米后所用时间比还是，所以再拖雪橇千米后计划用时天．实际用时天，所以只狗托雪橇的速度为(千米/天)，所以全称为千米 17．160千米 【分析】因为汽车从甲地开往乙地又从乙地返回甲地，所走距离相同，所以时间比=速度的反比．据此可得，去时所用时间：返回所用时间=50:40=5:4. 去时所用时间为5份，返回所用时间为4份．去时所用时间比返回所用时间进多一份是48分钟，进而可得去时的时间为：48×5=240分钟=4小时；甲乙两地之间的路程为：4×40=160千米 【详解】去时所用时间：返回所用时间=50:40=5:4 去时所用时间：48×5==240（分钟）=4（小时） 甲乙两地之间的路程：4×40=160（千米） 18．480公升；400公升；560公升 【分析】根据题意可知，桶水的全部加上桶水的等于桶水的全部加上桶水的，所以桶水的等于桶水的，那么桶水的全部等于桶水的，桶水为桶水的。据此确定三个水桶容积之比，根据按比例分配问题的解题方法进行计算。 【详解】、、三个水桶的容积之比是。 桶的容积：（公升） 桶的容积：（公升） 桶的容积：（公升） 答：A桶容积是480公升，B桶容积是400公升，C桶容积是560公升。 【点睛】关键是确定三个水桶容积之比，掌握按比例分配应用题的解题方法。 19．8米 【分析】将一个正方体一边减少20%，要使面积不变，另一边需要增加1÷（1－20%）－1＝25%，所以增加的2米是原边长的25%，用2÷25%即可求出原边长。 【详解】1÷（1－20%）－1 ＝1.25－1 ＝25% 2÷25%＝8（米） 答：原正方形的边长是8米。 【点睛】解答此题的关键是求出增加的2米占原来长度的几分之几，从而求出正方形的边长。 20．8升 【分析】本题的关键在乙容器．第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器中，并不改变乙容器中酒精纯度．这是问题解决的突破口．由题意，“乙容器中纯酒精的含量即为25%”． 由此可知：第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器，乙容器中酒精与水的比为25%∶（1-25%）=1∶3 原来乙容器有水9升，可以知道第一次甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3（升），因此甲容器中酒精与水的比为62.5%∶（1-62.5%）=5∶3． 把这时甲容器的液体看成两部分：一部分是原来的8升纯酒精；另一部分是从乙容器倒过来的混合液．由乙容器中酒精与水的比为1∶3，便可以求出混合液的体积． 【详解】解法一：由已知，第一次和第二次乙容器中酒精含量都为25%，故乙容器酒精与水的比为25%∶（1-25%）=1∶3，从而第一次从甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3（升）． 甲容器剩下的酒精为11-3=8（升）． 第二次倒后，甲容器中酒精与水的比为62.5%∶（1-62.5%）=5∶3． 设倒过来的这部分混合液中的酒精为1份，水看成3份，与混合后甲容器中纯酒精与水的比例5∶3比较知：8升酒精是5-1=4（份），混合液是1+3=4（份）或（3+5）-4=4（份）． 再由8升纯酒精是4份，反过来4份混合液是8升． 解法二：与解法一相同，可知乙容器中纯酒精与水的比是1∶3；甲容器中的纯酒精与溶液重量的比是5∶8．设第二次从乙容器中倒入甲容器中的混合液是x升，依题意，列出方程 答：第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是8升． 【点睛】找到乙容器酒精含量在第一次和第二次倒的过程中不变这一突破口；对于几分之几，要把它化成几份对几份．这种技巧类似于分数应用题和工程应用题中的假设单位1． 21．（1）144分钟；（2）257分钟 【分析】（1）设每只进水管的工效为“1”，根据原计划的情况，可以求出A、B池的容量，再结合实际的情况，可以求出漏水的效率，然后计算10根进水管给漏水的A水池注水的效率，进而计算时间. （2）增加4根同样的进水管，一共14根，可以先假设同时注满，根据A、B池的容量之比，求出各自所需要的进水管数量，但由于进水管数量是整数，所以只能取临近的整数进行分类讨论。 【详解】（1）设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5＝20，B池容量为6×5＝30； 当用5根进水管给B池灌水时需30÷5＝6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20＝10，因此漏水的工效为； （1）用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需要的时间是： （ 小时） 2.4小时＝144分钟 答：需要144分钟注满。 （2）设A池需根，那么B池需14根，有， 所以有，化简解得。所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为： ①当A池用7根进水管时： A：7根水管； 需时间小时＝225分钟； B：7根水管，需时间小时257分钟； 此时要把两个水池注满最少需要257分钟； ②当A池用6根进水管时： A：6根水管， 需时间小时277分钟； B：8根水管，需时间30÷8＝小时＝225分钟； 此时要把两个水池注满最少需要277分钟。 所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池。 答：最少需要257分钟。 【点睛】本题考查的是工程问题，当有多种情况时，需要进行分类讨论。 22．12天 【分析】在本题中，工作效率和工作时间是两个变量，而不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工作效率上看，有原来的工作效率1600÷20=80（台／天），又有提高后的效率80×（1+25%）=100（台／天）．从时间上看，有原来计划的天数，又有效率提高后还需要的天数．根据工作效率和工作时间成反比例的关系，得：提高后的效率×所需要天数=剩下的台数 【详解】解法一：设完成计划还需要x天，则 1600÷20×（1+25%）×x=1600-1600÷20×5 80×1.25×x=1600-80×5 100×x=1600-400 x=12 解法二：提高后的效率是原来效率的倍，把原来的效率看作“1”，则提高后效率与原来的效率之比是．因为工作效率和工作时间成反比例的关系，所以实际时间与计划时间之比是4∶5，如果设实际还需要量x天，而原来计划的时间是20-5=15（天），因此 4∶5=x∶15 5x=60 x=12 答：完成计划还需12天． 23．（1）50分钟；（2） 【分析】（1）通过题意可知，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，大巴车不停地驶向B地，已知如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地，则同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5，所以大巴车所花时间比轿车多花（6－5）份时间，据此根据比的应用，用（18－8＋2）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出6份和5份，也就是大巴与轿车分别行驶完全程需要的时间，轿车追上大巴时，大巴已离开C地，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，大巴与轿车的时间之比是6∶5，也就是两车的时间差是（6－5）份，根据比的应用，用（18－8）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出5份，也就是轿车追上大巴车需要的时间。 （2）把全程看作单位“1”，已知轿车出发追上大巴车时需要50分钟，而轿车行驶完全程需要60分钟，所以用50÷60即可求出轿车追上大巴车时行驶了全程的几分之几，也就是，剩下全程的（1－），也就是；如果轿车追上大巴后，速度增加，轿车现在的速度是原来的（1＋），据此可知大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]，也就是5∶7，根据时间相同，速度比＝路程比，可知大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程∶轿车开始增速到与大巴车相遇所行驶的路程＝5∶7，此时从增速到相遇时，两车的路程和占全程的2个，据此按比分配，用×2÷（5＋7）即可求出每份是多少，进而乘5即可求出大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的几分之几；再加上即可求出当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几。 【详解】（1）同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5， （18－8＋2）÷（6－5） ＝12÷1 ＝12（分钟） 大巴行驶完全程需要：12×6＝72（分钟） 轿车行驶完全程需要：12×5＝60（分钟） 轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟， （18－8）÷（6－5）×5 ＝10÷1×5 ＝50（分钟） 答：轿车出发50分钟后追上大巴。 （2）轿车追上大巴时，行驶了全程的50÷60＝ 剩下1－＝ 大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]， 5∶[6×（1＋）] ＝5∶[6×] ＝5∶7 时间相同，速度比＝路程比， 大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的： ×2÷（5＋7）×5 ＝×2÷12×5 ＝÷12×5 ＝××5 ＝ 当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的： ＋＝ 答：当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的。 【点睛】本题主要考查了较复杂的行程问题，明确路程相同，速度比等于时间的反比以及时间相同，速度比等于路程比是解答本题的关键。 24．12.5米 【分析】当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有50米，所用的时间相同．据此可知乙、丙的路程比、速度比． 【详解】甲跑完了200米时： 乙跑了：200-40=160（米）； 丙跑了：200-50=150（米）； 乙与丙的速度比：160：150=16：15 当乙跑200米时，丙跑了：200÷=200×=187.5（米） 丙离终点还有：200-187.5=12.5（米）； 答：当乙到达终点时，丙还有12.5米． 25．张家收入720元，李家收入450元 【详解】解一：我们采用“假设”方法求解. 他们开支的钱数之比也是8∶5，结余的钱数之比也是8∶5时，张家结余240元，李家应结余x元.有 240∶x=8∶5，x=150（元） 实际上李家结余270元，比150元多120元．这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60（元） 因此，张家开支：60×8=480（元）  收入：480+240=720（元） 李家开支：60×3=180（元）  收入：180+270=450（元） 答：张家收入720元，李家收入450元. 解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多. 我们画出一个示意图： 张家开支的3倍是（8份-240）×3. 李家开支的8倍是（5份-270）×8. 从图上可以看出，5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440（元）. 因此每份是1440÷16=90（元）. 张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）. 答：张家收入720元，李家收入450元. 26．30∶25∶26 【详解】略 27．27.5元 【详解】解法一：设每种糖果所花钱数为1． 平均价是：=27.5（元） 答：这些糖果每千克平均价是27.5元． 上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易．最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有： =27.5（元） 解法二：先求出这三种糖果所买数量之比. 不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10. 平均数是（15+11+10）÷3=12. 单价33元的可买10份，要买12份，单价是33×=27.5（元） 28．450千米 【分析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4.8＝5∶6。相遇时，甲、乙分别走了全程的和。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩1－＝没有走，所以A、B全长为450千米。 【详解】[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）] ＝[5×0.8]∶[4×1.2] ＝4∶4.8 ＝5∶6 1－＝ 10÷＝450（千米） 答：A，B两地相距450千米。 【点睛】关键是确定相遇后的速度比，综合运用所学知识。 29．400 【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了个零件 30．师傅：125个   徒弟：75个 【分析】由已知，师傅加工一个零件用3分钟，那么他每分钟可以加工个零件；徒弟加工一个零件要用5分钟，所以他每分钟可以加工个零件．从而师徒二人的工作效率之比为．在本题中，师徒二人的工作时间一样，是题中的不变量，由，所以工作量和工作效率成正比例关系． 【详解】解法一：由于师徒两人工作效率的比是．在本题中，所以他们的工作量之比也是．因此师傅加工的零件个数是，徒弟加工的零件个数是200-125=75（个）． 解法二：设师傅加工x个零件，则徒弟加工（200-x）个零件．当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例的关系，得 解法三：因为师傅每分钟加工个零件，徒弟每分钟加工个零件，所以每分钟师徒二人可加工个零件，因此当完成任务时，师徒二人所用的时间是． 师傅每分钟加工个零件，因此最终师傅加工的零件数是，徒弟加工的零件数是200-125=75（个）． 31．16圈 【分析】为方便叙述，我们用甲表示甲的齿轮齿数，类似地，用乙、丙分别表示乙、丙的齿轮齿数． 由已知甲∶乙=8∶7，乙∶丙=14∶5．这是由于两上互相啮合的齿轮，齿数与转数成反比例的关系，所以本题的关键是求出甲∶丙． 【详解】由已知甲∶乙=8∶7=16∶14，又乙∶丙=14∶5 所以甲∶乙∶丙=16∶14∶5，即甲∶丙=16∶5 因此当甲轮转5圈时，丙轮恰好转16圈 答：甲轮转5圈时，丙轮恰好转16圈． 32．36cm³ 【详解】由条件长方体的长、宽、高的比，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为，前面的面积为，左面的面积为，而，所以即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为． 33．820人 【分析】由于“第一车间比第二车间少80人”，而对应的份数是（12－8）份．可以列人数与对应数量的关系表如下： 人 数 80人 一共多少人？ 对应的份数 12－8 8＋12＋21 【详解】80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人） 答：三个车间一共820人． 34．1160人 【详解】先画出如下示意图： 6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是：520÷（30-17）= 40（人）. 因此，高、初中毕业生共有：40×（17＋12）＝ 1160（人）. 答：高、初中毕业生共1160人. 35．3∶4∶10 【分析】第一次溢出的水量的体积相当于是小球的体积；第二次溢出的水量的体积相当于是中球体积减去小球体积；第三次溢出的水量的体积相当于是大球体积减去中球体积。 【详解】设第二次溢出的水量是1份，那么第一次溢出的水量是3份，第三次溢出的水量是6份； 那么小球体积是3份，中球的体积为3＋1＝4份，大球体积是4＋6＝10份； 所以小中大三球的体积比是3∶4∶10。 答：小、中、大三球的体积比是3∶4∶10。 【点睛】本题考查的是比的应用与排水问题，当容器注满水时，溢出的水的体积就是物体的体积。 36．12名 【详解】略 37．280千米 【分析】①甲走了全程的，那么乙走了全程的1-=；②乙行完全程需7小时，所以乙一小时行驶全程的．综合①②可知相遇时甲、乙两辆汽车行驶了÷=4小时．甲每小时行30千米，4小时行驶了30×4=120千米，是全程的，所以甲、乙两地间的距离是120÷=280千米 【详解】相遇是所用的时间：（1-）÷（1÷7）=4（小时） 相遇时甲所走的路程：30×4=120（千米） A、B两地之间的路程：120÷=280（千米） 答：A、B两地之间的路程是280千米． 38．60级 【详解】关键是找出两人上下楼的时间比． 因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，男孩下楼过程中由于自动扶梯上行而多走的路应该等于女孩上楼过程借助自动扶梯少走的路，男孩比女孩多走的路应等于行程过程中自动扶梯运行的级数的两倍． 因此自动扶梯向上运行了（80-40）÷2=20（级），扶梯可见部分有80-20=60（级）． 39．15分钟 【详解】因为甲的速度是乙的速度的2倍，所以在相遇前，甲行走的路程是乙行走的路程的2倍，相遇前乙行走的路程，甲只用5分钟便走完了，所以，在相遇前二人都走了10分钟，相遇前甲走的这一段路让乙来走要用20分钟，所以甲到达B后还要经过20-5=15分钟，乙才能到达A点． 40．甲、乙、丙的路程比为6千米∶12千米∶18千米＝1∶2∶3 总份数是1＋2＋3＝6(份) 甲应付的车费：36×＝6(元) 乙应付的车费：36×＝12(元) 丙应付的车费：36×＝18(元) 【详解】先根据题意，把全程看作单位“1”，先求出甲、乙、丙三人的路程比为6千米∶12千米∶18千米＝(  )∶(  )∶(  )，因为按路程远近付款，路程比即付款比，然后运用按比例分配知识进行解答即可． 41．2690米 【分析】相遇后乙的速度提高20%，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5︰6，所以所花时间的比为6∶5。设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位时间。设甲原来单位时间行程V甲，由题意得：从A点到相遇点路程为40×6＝240，所以 V乙＝（490－50－240）÷6＝（米）。然后再求出两人速度变化后各自的速度；从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，进而求出甲一共跑的路程，解决问题。 【详解】以速度变化前后的比为1∶（1＋20%） ＝5∶6 所以所花时间比为6∶5 设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意的： 6V甲＋5×V甲×（1＋25%）＝490 6V甲＋5×V甲×1.25＝490 6V甲＋6.25V甲＝490 12.25V甲＝490 V甲＝490÷12.25 V甲＝40（米） 从A点到相遇点路程为：40×6＝240（米） 所以V乙为：（490－50－240）÷6 ＝（440－240）÷6 ＝200÷6 ＝（米） 两人速度变化后，甲的速度为：40×（1＋25%） ＝40×1.25 ＝50（米） 乙的速度为：×（1＋20%） ＝×1.2 ＝40（米） 从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行了一圈，所以甲一共跑了： 490÷（50－40）×50＋240 ＝490÷10×50＋240 ＝49×50＋240 ＝2450＋240 ＝2690（米） 答：甲一共跑了2690米。 【点睛】本题属于环形跑道问题，有一定难度，应认真分析，求出甲乙二人速度变化前后的速度就解答本题的关键。 42． 【分析】因为已知此人走三段路程的时间之比，所以要求出此人走完全程的时间，只要根据已知条件求出此人走上坡路所用的时间，从而只要求出此人上坡的速度和上坡的路程即可．又知道全程30公里且上坡、平路和下坡三段路程比是1∶2∶3，从而求出上坡的路程． 【详解】上坡路的路程为 走上坡路所用的时间为 上坡路所用时间与全程所用时间之比为 走完全程所用的时间为 答：此人走完全程共用． 43．280千米 【分析】题目给出的距离信息只有200千米这一条，所以我们应当求出200千米对应的路程比。如果A车没有停半小时，那么它将比C车晚到1.5小时，因A车后来的速度是C车的，所以A车和C车相同路程行程的时间比为5∶4，即C车每行驶4小时就比A车快1小时，所以C车快了1.5小时，说明C车后来行了1.5×4＝6（小时）．那么从甲市到乙市C车行了6＋1＝7（小时）。同样如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，而此时B车和C车在相同路段行程的时间比也是5∶4，说明C车后来行了0.5÷（5－4）×4＝2（小时），这段路是甲、乙两市距离的。所以B车出事故时，已经行驶了整个路程的。用200除以即可得解。 【详解】1.5×4＋1 ＝6＋1 ＝7（小时） 0.5÷（5－4）×4 ＝0.5÷1×4 ＝2（小时） 1－2÷7 ＝1－ ＝ ＝200× ＝280（千米） 答：甲、乙两市之间的距离为280千米。 【点睛】此题已知条件为速度比例和时间差，也符合“比例＋两者之一或两者和与差”的出题模式，所以利用“比例转化＋按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”的解题模式，注意此题中的时间差计算时要扣除停留的时间，注意加减关系。 44．（1）90 108 297 （2）7290 【详解】（1）大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将中的与中的统一成，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由和，得到．以辆大型车、辆中型车、辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多(元)，所以这天通过的车辆共有(组)．所以这天通过大型车有(辆)，中型车有(辆)，小型车有(辆)． （2）这天收取的总费用为：元． 45．12:2:7 【详解】由可得到，，而， 所以：． 46．140厘米 【详解】如果只将长边截去，宽、长之比为，所以宽边的长度为（厘米），所以原来铁板的长为（厘米）。 答：原来长方形铁板的长是140厘米。 47．864∶875 学科网（北京）股份有限公司 $$