2.2.3 直线的一般式方程（3知识点+8题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.2.3直线的一般式方程 明确学习目标 课标要求 1.掌握直线的一般式方程(重点). 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 重点难点 1.掌握直线的一般式方程； 2.会进行直线方程的五种形式之间的转化 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 直线的一般式方程 1.一般式方程的定义 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2.理解 (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 3.一般式方程的适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 4.直线一般式方程的求解策略 在求直线方程时，通常不设直线的一般式方程，而是根据给定条件，选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 知识点2 一般式方程的平行与垂直问题 1.平行和垂直的系数关系 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2.已知平行和垂直设未知直线方程的方法： (1)平行关系：与直线平行的直线方程可设为（m≠n） (2)垂直关系：与直线垂直的直线方程可设为 (3)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． 知识点点3 一般式方程与其他形式方程的互化 一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2提升学科能力 题型一 一般式方程及其辨析 例1．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 3．的顶点，则边上的中线所在的直线方程是 ． 题型二 一般式方程的图像 例2．如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A．B．C． D． 跟踪训练2 1．如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ） A．B．C． D． 3．已知，直线经过第一、二、四象限，则（    ） A． B． C． D． 题型三 一般式中已知平行求参数 例3．已知直线与直线互相平行，则实数的值（    ） A．-2 B．-2或1 C．2 D．1 跟踪训练3 1．若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 3．已知直线，直线，且，则的值为 . 题型四 一般式中已知垂直求参数 例4．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 跟踪训练4 1．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．若直线和直线垂直，则 ． 3．已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 题型五 已知平行求一般式方程 例5．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 跟踪训练5 1．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．过点且平行于直线的直线方程为 . 题型六 已知垂直求一般式方程 例6．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 跟踪训练6 1．过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．经过点且与直线垂直的直线方程为 . 题型七 直线过定点问题 例7．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 跟踪训练7 1．已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 2．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 3．已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0. (1)求证：无论m为何值，直线一定经过第一象限； (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程. 题型八 一般式方程的综合 例8．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 跟踪训练8 1．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 2．已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 3．已知直线． (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； (3)若直线不经过第二象限，求的取值范围； (4)在（1）的条件下，若直线l交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，求的最小值并求出此时直线l的方程． 3质量检测评价 一、单选题 1．直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 5．已知直线l：，如果，，那么直线l不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知直线，其中，则（　 ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 8．已知直线，，则（    ） A．直线m恒过点 B．若，则 C．若m⊥n，则 D．当时，直线n不经过第三象限 9．如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、填空题 10．已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 . 11．不论为何实数，直线恒过第 象限. 12．已知直线l与直线垂直，且经过点，则直线l的方程为 ． 四、解答题 13．已知的三个顶点分别是，求： (1)边所在直线的一般式方程； (2)边的垂直平分线所在直线的斜截式方程． 14．已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 15．（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3直线的一般式方程 明确学习目标 课标要求 1.掌握直线的一般式方程(重点). 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 重点难点 1.掌握直线的一般式方程； 2.会进行直线方程的五种形式之间的转化 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 直线的一般式方程 1.一般式方程的定义 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2.理解 (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 3.一般式方程的适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 4.直线一般式方程的求解策略 在求直线方程时，通常不设直线的一般式方程，而是根据给定条件，选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 知识点2 一般式方程的平行与垂直问题 1.平行和垂直的系数关系 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2.已知平行和垂直设未知直线方程的方法： (1)平行关系：与直线平行的直线方程可设为（m≠n） (2)垂直关系：与直线垂直的直线方程可设为 (3)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． 知识点点3 一般式方程与其他形式方程的互化 一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2提升学科能力 题型一 一般式方程及其辨析 例1．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由斜截式方程求解即可. 【详解】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 跟踪训练1 1．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解． 【详解】由题意，直线， 令，解得，故；令，解得，所以． 故选：B． 2．若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】C 【分析】根据直线方程一般式与斜截式的互化即可求解. 【详解】该直线方程可以变形为, 由直线的斜率为1可得，解得或， 故选：. 3．的顶点，则边上的中线所在的直线方程是 ． 【答案】 【分析】 求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程； 【详解】中点坐标为，即， 所以边上的中线所在的直线方程是：， 整理得：. 故答案为： 题型二 一般式方程的图像 例2．如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线分别经过第几象限，对应的一次项系数和常数项需要满足的条件对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确； 故选：D. 跟踪训练2 1．如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解. 【详解】因为，且，所以均不为零， 由直线方程，可化为， 因为，且，可得，y轴截距， 所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限． 故选：B. 2．若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率及截距分析满足条件的图象即可得解. 【详解】由可知直线斜率， 直线在轴上的截距，满足条件的只有B， 所以不可能是ACD. 故选：ACD 3．已知，直线经过第一、二、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先将直线方程转化为点斜式直线方程，根据直线所过象限列出关于斜率、纵截距的不等式进行求解即可. 【详解】将直线l的方程转化为，因为l经过第一、二、四象限， 所以即，，. 对D，若，则，，满足题意，故D错误. 故选：ABC. 题型三 一般式中已知平行求参数 例3．已知直线与直线互相平行，则实数的值（    ） A．-2 B．-2或1 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据平行得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 当时，两直线都为，两直线重合，舍去； 当时，两直线分别为和，两直线平行，满足要求； 故选：A 跟踪训练3 1．若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用两条直线的平行关系，求出的值即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得或； 当时，此时直线和平行，满足题意； 当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去. 综上所述：. 故选：A. 2．已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 当时，直线：，：，满足， 当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去， 综上，. 故选：B 3．已知直线，直线，且，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案. 【详解】由，可得，即， 故或， 当时，直线和直线平行，符合题意； 当时，直线和直线重合，不合题意， 故， 故答案为：0 题型四 一般式中已知垂直求参数 例4．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 跟踪训练4 1．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 2．若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 3．已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解. 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 题型五 已知平行求一般式方程 例5．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 跟踪训练5 1．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是． 故选:A 2．过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求得c，即可求得答案. 【详解】由题意可设所求直线方程为， 因为在该直线上， 所以，得， 故该直线方程为， 故选：C 3．过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【分析】依题意设所求直线方程为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 题型六 已知垂直求一般式方程 例6．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】由题可知当直线时，点与直线的距离最大，即求直线方程. 【详解】当直线时，点与直线的距离最大， 此时直线的斜率为， 所以直线的斜率为. 所以此时的方程为,即为. 故答案为：. 跟踪训练6 1．过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线垂直的斜率关系确定垂线斜率，从而得直线方程. 【详解】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为， 又直线过原点，故其方程为. 故选：C. 2．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入点求出答案. 【详解】直线与直线垂直， 设直线的方程是 将代入直线中，，解得， 故直线的方程为. 故选：D. 3．经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得. 【详解】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 题型七 直线过定点问题 例7．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】根据题意，得到直线过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程. 【详解】由直线， 可得化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 若要到直线的距离最大，只需， 此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得， 又由直线的斜率为， 因为，可得，可得， 故此时直线的方程为，即， 经检验，此时，上述直线的方程能够成立. 故选：C. 跟踪训练7 1．已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 【答案】B 【分析】由直线l的方程，令，对分类讨论即可求解. 【详解】由直线l的方程为， 令，解得． ∴直线恒过点， 若，则直线不垂直y轴， 若，则直线不垂直于轴， 综上所述，恒过点且不垂直y轴. 故选：B． 2．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 3．已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0. (1)求证：无论m为何值，直线一定经过第一象限； (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)面积的最小值是4，此时直线的方程为2x＋y－4＝0 【详解】（1）证明：（m－1）x＋（m＋2）y－3－3m＝0可化为（x＋y－3）m＝x－2y＋3.由得∴直线必过定点（1，2），所以直线一定经过第一象限. （2）解：（解法1）设直线的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－1）（k＜0），∴OA＝1－，OB＝2－k，∴S△AOB＝·OA·OB＝|（1－）（2－k）|＝|－|.∵k＜0，∴－k＞0，∴S△AOB＝ [－]＝ [4＋（－）＋（－k）]≥ [4＋2]＝4，当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，∴△AOB面积的最小值是4，此时直线的方程为y－2＝－2（x－1），即2x＋y－4＝0. （解法2）设直线l的方程为＋＝1，其中a＞0，b＞0，∵直线l过点P（1，2），∴＋＝1≥2，当且仅当＝时取等号，∴ab≥8，∴S△AOB＝ab≥4，当＝时取等号.由＝，＋＝1，得a＝2，b＝4，∴直线l的方程为2x＋y－4＝0. 题型八 一般式方程的综合 例8．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最大值， 此时直线的方程为，即. 跟踪训练8 1．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 2．已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为4，直线的方程为. 【分析】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案； （2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程. 【详解】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 3．已知直线． (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； (3)若直线不经过第二象限，求的取值范围； (4)在（1）的条件下，若直线l交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，求的最小值并求出此时直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3) (4)最小值为；直线的方程为 【分析】（1）化简方程为，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，设所求直线的方程为，将点代入直线方程，求得的值，即可求解； （3）得到直线的斜率为，根据题意，得到，即可求解； （4）设，且，可得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 由方程组，解得，所以直线恒过定点. （2）由（1）知，直线恒过定点， 因为直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 设所求直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，可得， 所以所求直线的方程为，即. （3）解：由（1）知，直线恒过定点，可得直线的斜率为， 因为，要使得直线不经过第二象限，则满足， 可得，解得，即实数的取值范围； （4）解：因为直线，由直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点， 如图所示， 设，且，可得， 过点作轴，点作轴，则， 在直角中，可得，在直角中，可得 所以， 当时，取得最小值，最小值为， 此时直线的倾斜角为，所以斜率为， 所以直线的方程为，即.        3质量检测评价 一、单选题 1．直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据求出的值，即可得出答案. 【详解】因为直线与平行， 并且直线，所以，. 又因为直线与垂直，所以，. 所以. 故选：B. 2．直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把直线方程化为斜截式方程进行求解即可. 【详解】由，得， 所以直线的斜率是. 故选：A. 3．已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出斜截式方程，再化为一般式． 【详解】直线l的倾斜角为，则l的斜率， 所以l的方程为，即． 故选：A 4．已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案. 【详解】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 5．已知直线l：，如果，，那么直线l不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意，求出直线在坐标轴上的截距，即可求解. 【详解】当时，，由得， 即点在y轴的正半轴； 当时，，由得， 即点在x轴的正半轴， 又直线过点和点， 所以直线不经过第三象限. 故选：C. 6．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 二、多选题 7．已知直线，其中，则（　 ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】计算直线斜率判断A；由平行求出参数值判断B；求出直线过的定点判断C；求出直线的截距判断D. 【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为， 因此当时，直线与直线垂直，A正确； 对于B，若直线与直线平行，则，解得或，B错误； 对于C，当时，，与无关，则直线过定点，C正确； 对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1，不相等，D错误. 故选：AC 8．已知直线，，则（    ） A．直线m恒过点 B．若，则 C．若m⊥n，则 D．当时，直线n不经过第三象限 【答案】BD 【分析】变形后得到，得到直线m恒过点；B选项，根据平行得到方程，求出答案；C选项，根据垂直关系得到方程，求出；D选项，分，和三种情况，得到答案. 【详解】A选项，变形为， 令，解得，故直线m恒过点，A错误； B选项，，故且，解得，B正确； C选项，m⊥n，故，解得，C错误； D选项，当时，，不经过第三象限， 当时，，不经过第三象限， 若时，变形为， 其中，， 故经过第一，二，四象限，不经过第三象限， 综上，当时，直线n不经过第三象限，D正确. 故选：BD 9．如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】 根据直线斜率与截距判断即可. 【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，，故，， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限． 故选：ACD． 三、填空题 10．已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】分析可知，直线与直线平行，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的一般方程. 【详解】因为，所以，点不在直线上， 又因为直线与直线具有相同的法向量，且直线过点， 则直线与直线平行， 设直线的方程为，则，解得， 所以，直线的一般方程为. 故答案为：. 11．不论为何实数，直线恒过第 象限. 【答案】二 【分析】 根据题意，将直线方程变形，列出方程代入计算，即可得到结果. 【详解】直线方程可变形为：， 由，求得， 直线过定点，因此直线必定过第二象限， 故答案为：二. 12．已知直线l与直线垂直，且经过点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线l与直线垂直，设其方程为，代入点可得答案. 【详解】根据题意，因为直线l与直线垂直，设l的方程为， 又由直线l经过点，则有，解可得， 故直线l的方程为. 故答案为：． 四、解答题 13．已知的三个顶点分别是，求： (1)边所在直线的一般式方程； (2)边的垂直平分线所在直线的斜截式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的两点式方程和一般式方程的概念求解； （2）利用直线的垂直关系与斜率的关系以及点斜式、斜截式方程概念求解. 【详解】（1）由直线方程的两点式，得， 所以直线的一般式方程为． （2）边的中点坐标为． 因为边所在直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 所以直线的方程为，即． 14．已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 15．（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设直线的方程为，代入求出，得到答案； （2）设与直线垂直的直线，表达出与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到方程，求出答案. 【详解】（1）设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为； （2）与直线垂直的直线设为， 中，令得，令得， 故，所以， 解得， 故直线方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$