2.2.2 直线的两点式方程（2知识点+5题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.2.2 直线的两点式方程 明确学习目标 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 重点难点 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 直线的两点式方程 1.直线的两点式方程的推导 由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)， 即＝(x1≠x2，y1≠y2)． 2.直线的两点式方程的概念 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 3.理解 (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 4.利用两点式求直线的方程的注意点 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 知识点2 直线的截距式方程 1.直线的截距式方程的推导 由两点式方程，得＝，即＋＝1. 2.直线的截距式方程的概念 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 3.理解 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 4.应用截距式方程的注意点 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 5.截距式方程的应用 (1)用它来画直线； (2)直接得到直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b)； (3)求直线与坐标轴围成的图形面积或周长，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|. 2提升学科能力 题型一 两点式与截距式的辨析 例1．下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．下列说法中错误的是（   ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 2．下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 3．下面说法中错误的是（　　） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．不经过原点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点、的直线都可用方程表示 题型二 直线的两点式方程 例2．经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 2．过点和点的直线的两点式方程是 ． 3．求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，；(2)，． 题型三 直线的截距式方程 例3．过两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 2．直线在两坐标轴上的截距之和为（    ） A．1 B．-1 C．7 D．-7 3．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为60°，与轴的交点到坐标原点的距离为3； (2)在y轴上的截距为，且与y轴夹角为60°. 题型四 直线与坐标轴围成的面积 例4．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 跟踪训练4 1．在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 3．已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 题型五 直线横纵截距的相关问题 例5．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C． D．或 跟踪训练5 1．过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是 . 2．过点且在轴上截距是在轴上截距的两倍的直线的方程为 ． 3．已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 3质量检测评价 一、单选题 1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 2．直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 4．已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 5．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 6．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．下列说法正确的是（   ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点、的直线方程 8．已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．直线在轴上的截距为 ． 10．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 . 11．已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则此直线的方程为 ． 四、解答题 12．已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程． 13．已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 14．已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 直线的两点式方程 明确学习目标 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 重点难点 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 直线的两点式方程 1.直线的两点式方程的推导 由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)， 即＝(x1≠x2，y1≠y2)． 2.直线的两点式方程的概念 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 3.理解 (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 4.利用两点式求直线的方程的注意点 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 知识点2 直线的截距式方程 1.直线的截距式方程的推导 由两点式方程，得＝，即＋＝1. 2.直线的截距式方程的概念 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 3.理解 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 4.应用截距式方程的注意点 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 5.截距式方程的应用 (1)用它来画直线； (2)直接得到直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b)； (3)求直线与坐标轴围成的图形面积或周长，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|. 2提升学科能力 题型一 两点式与截距式的辨析 例1．下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【详解】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 跟踪训练1 1．下列说法中错误的是（   ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【答案】ABD 【分析】 根据两直线的位置关系判断B、D，根据截距式方程的定义判断A，根据两点式方程判断C. 【详解】对于A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误； 对于B：和的斜率有可能不存在，故B错误； 对于C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果， 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C正确； 对于D：直线斜率不存在，则直线垂直于轴， 直线斜率存在，但不一定斜率为，所以两直线不一定垂直，故D错误. 故选：ABD 2．下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 【答案】ABD 【分析】根据直线的各种位置判断A，由截距的概念、斜率的概率判断BCD． 【详解】当或时，直线方程不能写成，故A错误； 当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为﹣1，故B错误； 设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为．令， 得直线在x轴上的截距为，于是，故C正确； 若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误． 故选：ABD． 3．下面说法中错误的是（　　） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．不经过原点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示 【答案】ABC 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对即得答案. 【详解】对A，过点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故A错误； 对B，经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故B错误； 对C，不仅过原点的直线不可以用方程表示， 而且垂直于两坐标轴的直线也不能用方程表示，故C错误； 对D，当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时， 直线方程为，即， 当直线斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程， 所以经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故D正确. 故选：ABC. 题型二 直线的两点式方程 例2．经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 跟踪训练2 1．经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【分析】利用直线方程的两点式即可得出. 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 2．过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程的两点式得出答案 【详解】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 3．求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 题型三 直线的截距式方程 例3．过两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程运算求解. 【详解】由题意可知：直线在x，y轴上的截距分别为， 根据直线的截距式可知直线方程为：. 故选：C. 跟踪训练3 1．在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的截距式方程即可求解. 【详解】因为直线在轴、轴上的截距分别是、3， 所以直线方程是，即． 故选：C． 2．直线在两坐标轴上的截距之和为（    ） A．1 B．-1 C．7 D．-7 【答案】B 【分析】求出直线的横截距、纵截距即可. 【详解】直线的横截距为，纵截距为 所以直线在两坐标轴上的截距之和为 故选：B 【点睛】本题考查的是直线的截距，较简单. 3．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为60°，与轴的交点到坐标原点的距离为3； (2)在y轴上的截距为，且与y轴夹角为60°. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）（2）根据倾斜角可得斜率，即可由斜截式求解方程. 【详解】（1）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距或， 故所求直线的斜截式方程为或. （2）与y轴夹角为60°的直线倾斜角为30°或150°，所以斜率k为或，即， 又直线在y轴上的截距为， 故所求直线的斜截式方程为. 题型四 直线与坐标轴围成的面积 例4．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 跟踪训练4 1．在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用两点式求直线，点斜式求直线； （2）由（1）得、、，进而可得的面积，即可求结果. 【详解】（1）因为直线在y轴上的截距为1，所以其过点， 所以直线的方程为：，化简得. 由已知直线的斜率为：， 所以直线的方程为：，化简得. （2）由（1）知：直线为，令，得，故. 直线为，令，得，故， 所以. 2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】根据直线的斜距式方程，可得轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解. 【详解】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 3．已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据两直线垂直斜率关系求参； （2）先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）由已知得的斜率为， 因为与直线垂直，所以， 解得． （2）令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 令，则，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小 此时的方程为 ，即． 题型五 直线横纵截距的相关问题 例5．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0. 【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为，则， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为； 若，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为，即； 综上所述：直线方程为或. 故选：D. 跟踪训练5 1．过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是 . 【答案】=1或=1 【分析】设直线的方程为，根据条件先求a,再列方程求解即可. 【详解】设直线的方程为=1，点在直线上， ∴. 由得或，∴所求直线的方程为=1或=1. 故答案为: 或. 2．过点且在轴上截距是在轴上截距的两倍的直线的方程为 ． 【答案】 【详解】试题分析：截距都为零时直线过原点，斜率为，直线为，当截距不为零时，设方程为，代入点得，所以方程为 考点：直线方程及截距 3．已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可； （2）利用直线的截距式方程求解即可，注意讨论截距为0的情况； 【详解】（1）因为直线过，， 所以直线方程为，整理得. （2）当直线经过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，解得，所以直线方程为； 当直线不经过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，解得，所以直线方程为， 综上所述，直线方程为或. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 2．直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的两点式方程运算求解. 【详解】因为，则线l的方程为，整理得， 所以直线l的方程为. 故选：D. 3．直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】B 【分析】利用横纵截距的意义求解即得. 【详解】直线，当时，，当时，， 所以直线在轴和轴上的截距分别为，2. 故选：B 4．已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解. 【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 5．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】D 【分析】 利用代入法，结合截距的意义、直线平移的特征、直线两点式的特征逐一判断即可. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，令，得，则横截距为，故B错误. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D 6．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 二、多选题 7．下列说法正确的是（   ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点、的直线方程 【答案】BD 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程，当截距都是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式可得， 可整理为； 当时，方程可整理为， 所以，经过两点、的直线方程，故D正确. 故选：BD. 8．已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断. 【详解】解：由图可知，，， 故选：AC． 三、填空题 9．直线在轴上的截距为 ． 【答案】 【分析】将直线方程化成截距式的标准形式即可得出结果. 【详解】将直线方程化为， 由直线的截距式方程可得此直线在y轴上的截距为． 故答案为： 10．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 . 【答案】1或2 【分析】 根据给定条件，求出横纵截距，列式计算作答. 【详解】依题意，，因此直线在轴上的截距分别为， 于是，即，解得或， 所以实数或. 故答案为：1或2 11．已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则此直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】按照直线是否过原点分类讨论，不过原点时可设截距式方程求解． 【详解】当此直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距都等于，显然成立， 所以直线斜率为且过原点，所以直线解析式为，化简得； ， 当直线不过原点时，由在轴上的截距是在轴上的截距的3倍可设直线方程为， 因为直线过， 所以，解得， 化简得： 故答案为：或 四、解答题 12．已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【答案】，， 【分析】根据直线的两点式，斜截式及截距式方程求解即可. 【详解】直线AB过，两点， 由直线的两点式方程，得，即， 所以直线AB的方程为； 直线BC在y轴上的截距为2，斜率是， 由直线的斜截式方程，得，即， 所以直线BC的方程； 直线AC在x轴、y轴上的截距分别是，2， 由直线的截距式方程，得，即， 所以直线AC的方程． 13．已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 14．已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$