第22章 二次函数 培优题突破练习课件　【9个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 培优题突破练习★★★ 【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学九年级上册 1 一．二次函数的图象 二．二次函数的性质 三．二次函数图象与系数的关系 四．二次函数图象上点的坐标特征 五．二次函数图象与几何变换 六．二次函数的最值 七．抛物线与x轴的交点 八．二次函数的应用 九．二次函数综合题 2 一．二次函数的图象 3 1.函数y=mx2+nx(m≠0)与y=mx+n的图象可能是( ____ ) A.___ B.___ C.___ B D.___ 4 【解析】解：∵函数y=mx2+nx与x轴的交点坐标为(0，0)和(- ，0)，函数y=mx+n与x轴的交点坐标为(- ，0)， ∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意； 若函数y=mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0， ∴二次函数y=mx2+nx的图象开口向上， ∵对称轴x=- ＞0，∴在y轴的右侧，故选项B符合题意； 故选：B． 5 2.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的图象大致是( ____ ) A.___ B.___ A C.___ D.___ 6 【解析】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0，∴- ＜0， ∴二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，图象经过原点，对称轴在y轴左侧， 故选：A． 7 3.一次函数y=cx-a(c≠0)和二次函数y=ax2+x+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ____ ) A.___ B.___ B C.___ D.___ 8 【解析】解：A、由抛物线可知a＜0，又b=1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＜0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知a＜0，又b=1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：B． 9 二．二次函数的性质 10 4.下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( ____ ) A.y=-x+1 B.y=x+1 C.y=x2+1 D.y=-x2+1 【解析】解：A、y=-x+1是一次函数，∵k=-1＜0，∴y随x的增大而减小，故该选项符合题意； B、y=x+1是一次函数，∵k=1＞0，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、y=x2+1是二次函数，开口向上，对称轴是y轴，∴当x＜0时， A 11 y随x的增大而减小，故该选项不符合题意； D、y=-x2+1是二次函数，开口向下，对称轴是y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意． 故选：A． 12 5.二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A．与y轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分(含点A，B)为曲线C．将曲线C向上平移m个单位长度，若曲线C与直线y=5有两个交点，则m的取值范围为( ____ ) A.m＞1 B.1＜m＜2 C.1＜m≤2 D.1≤m≤2 【解析】解：由题意，令y=-x2+2x+3=0， ∴x=-1或x=3． C 13 ∴A(3，0)． 又令x=0，则y=-x2+2x+3=3， ∴B(0，3)． 图象如下． 14 ___ ∵抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， 15 ∴抛物线的顶点为(1，4)． 由图象可得，当曲线C向上平移1个单位与直线y=5相切，继续再平移1个单位刚好与直线y=5有两个交点，继续平移没有了． ∴当1＜m≤2时，曲线C与y=5有两个交点． 故选：C． 16 6.小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图象的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点(0，1)的一次函数y=kx+b与二次函数y=x2+2x+3的图象有2个交点，则k的取值范围是( ____ ) A. ，且k≠0 B. C. D. 或 【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象过定点(0，1)， C 17 ∴b=1， 把y=kx+1代入y=x2+2x+3得： kx+1=x2+2x+3， 整理得x2+(2-k)x+2=0， Δ=(2-k)2-8 当Δ=0时，两函数图象有一个交点， 即(2-k)2-8=0， 解得k=2±2 ． ∴一次函数y=kx+b与二次函数y=x2+2x+3的图象有2个交点，k的取值范围是2-2 ．故选：C． 18 7.抛物线y=-(x-m)2+2+m( -1＜m＜ )与直线l交于点A(2m- ，p)和点B(m+2，q)，直线l与抛物线的对称轴交于点C(m,k)，则下列结论正确的有 ____ ．(写出所有正确结论的序号) ①点A在对称轴的左侧； ②p＜q； ③点(m+1， )有可能在抛物线上； ④ ＜k. 【解析】解：①由题可知抛物线对称轴为x=m, ∵ ( -1＜m＜ )， ①④ 19 ∴ ， ∴点A在对称轴的左侧，故结论①符合题意； ②抛物线过点A、点B， ∴p= = ， q=-(m+2-m)2+2+m=m-2， ∴p-q= = ， 当 -1＜m＜ ，p-q的值随m的增大而增大， 当m= 时，p-q=3＞0， 20 ∴p＞q,故结论②不符合题意； ③假设该点在抛物线上， 将点(m+1， )代入抛物线解析式中， 得 =m+1， 由②可知， = = ， 有m+1= ， 21 ∴ ， 整理得 ， Δ= =-8＜0， ∴点(m+1， )没有在抛物线上，故结论③不符合题意； ④ = ， 设直线l解析式为y=k1x+b, ∵直线l过A、B两点， 22 ∴ ， 解得： ， ∴直线l解析式为 ， ∵直线l与抛物线的对称轴交于点C(m,k)， ∴k= = ， 23 ∴ -k= - = ， 当 -1＜m＜ 时， -k的值随m的增大而减小， 当m= 时， -k= ＜0， 当m= 时， -k= ＜0， ∴ ＜k,故结论④符合题意； 综上，结论①④符合题意， 24 三．二次函数图象与系数的关系 25 8.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下，过A(-1，0)，B(m,0)两点，且1＜m＜2．下列五个结论： ①b＞0； ②若m=1.5，则3a+2c＜0； ③若点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，x1＜x2且x1+x2＞1，则y1＞y2； ④当a≤-1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根； ⑤若m=1.5，若P(n+3，y3)，Q(2n-1，y4)在抛物线上，且y3＜y4，则-0.5＜n＜4． 其中正确的有( ____ ) C 26 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】解：∵对称轴x= ＞0， ∴对称轴在y轴右侧， ∴- ＞0， ∵a＜0， ∴b＞0， 27 故①正确； 当m= 时，对称轴x=- = ， ∴b=- a, 当x=-1时，a-b+c=0， ∴ +c=0， ∴3a+2c=0，故②错误； 由题意，抛物线的对称轴直线x=h,0＜h＜0.5， ∵点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1， ∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离， 28 ∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-m)， 方程a(x+1)(x-m)=1， 整理得，ax2+a(1-m)x-am-1=0， Δ=[a(1-m)]2-4a(-am-1) =a2(m+1)2+4a, ∵1＜m＜2，a≤-1， ∴Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根，故④正确； 若m=1.5，则抛物线对称轴为直线x= 29 ， 若P(n+3，y3)，Q(2n-1，y4)在抛物线上，且y3＜y4， 当点P在对称轴左侧时，即n+3 时，可得n+3＜2n-1＜ ，无解，不符合题意， 当点P在对称轴右侧时，即n+3 时，可得 ＜2n-1＜n+3，解得 ， 即-0.5＜n＜4，故⑤正确． 综上所述，以上五个结论中正确的有①③④⑤，共4个． 30 9.关于二次函数y=mx2+(3m+2n)x+6n(其中mn＜0)有以下论述，正确的是( ____ ) ①当n=-3m时，对称轴为直线 ． ②函数图象与x轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 【解析】解：因为n=-3m, A 31 所以抛物线的对称轴为直线x= ． 故①正确． 令y=0得， mx2+(3m+2n)x+6n=0， 则Δ=(3m+2n)2-4m×6n=(3m-2n)2， 因为mn＜0， 所以Δ＞0， 则函数图象与x轴必有两个不同的交点． 故②正确． 因为y=mx2+(3m+2n)x+6n=(x2+3x)m+(2x+6)n, 32 由x2+3x=0得， x1=0，x2=-3． 由2x+6=0得， x=-3， 所以当x=-3时，y=0， 即函数图象过定点(-3，0)． 故③正确． 故选：A． 33 10.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，以下结论中正确的是( ____ ) A.abc＞0 B.2a+c＜0 C.9a-3b+c＜0 D.若m为任意实数，则a-b≥m(am+b) 【解析】解：由图象可得， a＞0，b＞0，c＜0， 则abc＜0，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线x=- =-1， B 34 ∴b=2a, ∵当x=1时，a+b+c=0， ∴c=-a-b=-a-2a=-3a, ∴2a+c=2a-3a=-a＜0，故B正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，x=1和x=-3时，y=0， ∴9a-3b+c=0，故C错误，不符合题意； ∵a＞0，对称轴为直线x=-1， ∴若m为任意实数，则a-b+c≤am2+bm+c, 即a-b≤m(am+b)，故D错误，不符合题意； 故选：B． 35 11.如图，已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1，0)，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③若关于x的方程ax2+bx+c+1=0一定有两个不相等的实数根；④a＞ ．其中正确的个数有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：∵抛物线开口向上， D 36 ∴a＞0， ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴c＜0， ∵- ＞0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确． ∵抛物线的对称轴是直线x=1， ∴- =1， ∴2a+b=0，故②正确． ∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在(0，-1)的下方， 37 ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-1一定有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c+1=0一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵x=- =1， ∴b=-2a, ∵x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0，即c=-3a, 而c＜-1， ∴-3a＜-1， ∴a＞ ，故④正确． 故选：D． 38 12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的顶点坐标为(-1，-2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是( ____ ) A.a＜0 B.c＜0 C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 【解析】解：由题意，∵抛物线顶点为(-1，-2)， ∴可设抛物线为y=a(x+1)2-2． ∴y=a(x2+2x+1)-2=ax2+2ax+a-2． 又抛物线为y=ax2+bx+c, C 39 ∴b=2a,c=a-2． ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c=a-2＞0． ∴a＞2＞0，故A、B均不正确． 又抛物线的顶点为(-1，-2)， ∴当x=-1时，y=a-b+c=-2，故C正确． 由b=2a,c=a-2， ∴b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a＞0，故D错误． 故选：C． 40 13.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1，n)．下列结论：①abc＞0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＜1＜x2且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的结论共有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 41 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵顶点坐标(1，n)， ∴对称轴为直线x=1， ∴- =1， ∴b=-2a＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵点A(-1，0)关于直线x=1的对称点为(3，0)， ∴9a+3b+c=0， ∵b=-2a, 42 ∴3a+c=0， ∴8a+c=5a＜0，故②正确， ∵顶点坐标(1，n) ∴抛物线x2+bx+c=n有唯一的解，当y=n-1时，与抛物线有两个交点， 故③正确， ∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2， ∴|x2-1|＞|x1-1| 抛物线关于x=1对称，x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2，故④正确， 综上所述，结论正确的是②③④共3个． 43 14.当-3≤x≤2时，关于x的二次函数y=ax2-2ax-7a+12的图象在x轴上方，则a的取值范围为 　　． 【解析】解：二次函数y=ax2-2ax-7a+12的图象的对称轴为： ． 当a＜0时，抛物线开口向下， ∵-3≤x≤2，|1-(-3)|＞|2-1|， ∴x=-3时，y取最小值，最小值为：y=a⋅(-3)2-2a⋅(-3)-7a+12=8a+12， ∵图象在x轴上方， ∴8a+12＞0， 44 解得 ， ∴ ； 当a＞0时，抛物线开口向上， ∵-3≤x≤2，对称轴为x=1， ∴x=1时，y取最小值，最小值为：y=a-2a-7a+12=-8a+12， ∵图象在x轴上方，∴-8a+12＞0， 解得 ， ∴ ； 45 综上可知：a的取值范围为 或 ． 故答案为： 或 ． 46 15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，过(1，y1)(2，y2)．①若y1＞0时，则a+b+c＞0；②若a=b时，则y1＜y2；③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0；④若b=2a-1，c=a-3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限；上述四个判断正确的有 _____ ． 【解析】解：①把(1，y1)代入y=ax2+bx+c,得y1=a+b+c, ∵y1＞0， ∴a+b+c＞0，故①正确； ②∵a=b, ∴抛物线的对称轴为直线x=- =- ， ①③④ 47 当x＞- 时，若a＞0，则y随x增大而增大，y1＜y2； 若a＜0，则y随x增大而减小，y1＞y2；故②错误； ③∵y1＜0，y2＞0， ∴a+b+c＜0，4a+2b+c＞0， ∴3a+b＞0， 又∵a+b＜0， ∴2a＞0，即a＞0，故③正确； ④∵y1＞0， ∴a+b+c＞0， ∵b=2a-1，c=a-3， 48 ∴a+2a-1+a-3＞0， ∴a＞1， ∵抛物线的顶点横坐标为- =- =-1+ ， 由a＞1可得 ＜1， ∴-1+ ＜0，即抛物线的顶点横坐标为- ＜0， ∵抛物线的顶点纵坐标为 =c- =a-3- =-2- ＜0， ∴抛物线的顶点一定在第三象限，故④正确； 49 16.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②b2-4ac＜2a；③对任意实数x,-ax2-bx≤a；④M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x1＜x2)，若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 _____ ．(填序号) 【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)， ∴ ， ①③④ 50 ∴2a+b=0． 故①正确． ②：由①分析知： ， ∴b=-2a,c=-3a, ∴b2-4ac=(-2a)2-4a(-3a)=16a2， ∴若b2-4ac＜2a,即16a2＜2a, ∴ ． 根据题目已有条件，无法推断出a＜ ， ∴②无法定论． 51 ③∵对于任意实数x,-ax2-bx≤a成立， 即对于任意实数x,-ax2-bx-a≤0成立． 令g=-ax2-bx-a(-a≠0)． ∵a＞0， ∴-a＜0， ∴关于实数x的二次函数g=-ax2-bx-a图象开口向下． 若对于任意x,g=-ax2-bx-a≤0，故需判断△=(-b)2-4•(-a)•(-a)与0的数量关系． ∵b=-2a,c=-3a, ∴△=(2a)2-4a2=0， ∴对于任意实数x,g≤0． 52 故③正确． ④ ， ∴y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)． ∵b=-2a, ∴y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2)-2a(x1-x2)=a(x1-x2)(x1+x2-2)． ∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞2， ∴x1-x2＜0，x1+x2-2＞0， ∴a(x1-x2)(x1+x2-2)＜0， ∴y1-y2＜0， ∴y1＜y2． 故④正确． 53 ⑤：经分析，AC≠BC，AB=4． 若△ABC为等腰三角形，则AC=AB或AB=BC． ∵OA=1，OC=c=-3a,OB=3， ∴AC= ，BC= ． 当AC=AB=4时，则 ， ∴ (不合题意，舍去)． 当AB=BC=4时，则 ， 54 ∴ (不合题意，舍去)． 综上所述：a值有两个． 故⑤不正确． 故答案为①③④． 55 17.二次函数y=-x2+2(a+1)x+1，当0≤x≤|a|时，y的最小值为1，则a的取值范围是 　　． 【解析】解：根据二次函数y=-x2+2(a+1)x+1可知函数开口向下， 且对称轴为x=- =a+1， ①当a+1≤0时，即a≤-1时， 当0≤x≤|a|时，y随着x增大而减小， 则x=|a|取得最小值， 即ymin=-(|a|)2+2(a+1)•|a|+1=-3a2-2a+1=1， 解得a=- ，不符合题意； 56 ②当a+1≥|a|时， 当a≥0时恒成立； 当a＜0时，a+1≥-a, 解得：a≥- ， 此时y在0≤x≤|a|随x的增大而增大， 则x=0时，ymin=1， ∴- ≤a＜0； ③当-1≤a≤- 即0≤a+1≤|a|， 当x=0时，y=1； 57 当x=|a|，因为y最小值是1， 故-3a2-2a+1≥1， 解得：a≥- ； 此时- ≤a≤- ； 综上所述：a≥- ， 故答案为：a≥- ． 58 四．二次函数图象上点的坐标特征 59 18.如图，分别过点Pi(i,0)(i=1，2，…，2024)作x轴的垂线，交直线y=x于点Ai，交抛物线y=-x2于点Bi，则 的值为( ____ ) A. B. C. D. A 60 【解析】解：根据题意得：AiBi=x-(-x2)=x2+x=x(x+1)， ∴ = = - ． ∴ + + +…+ = + + +…+ =1- + - +⋯+ - =1- = ． 61 五．二次函数图象与几何变换 62 19.将抛物线y=x2+1向左平移3个单位长度得到抛物线( ____ ) A.y=(x+3)2+1 B.y=(x-3)2+1 C.y=x2+4 D.y=x2-2 【解析】解：由题知， 将抛物线y=x2+1向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为y=(x+3)2+1． 故选：A． A 63 20.将抛物线y=-3x2向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是( ____ ) A.y=-3(x+5)2+6 B.y=-3(x+5)2-6 C.y=-3(x-5)2+6 D.y=-3(x-5)2-6 【解析】解：抛物线y=-3x2向左平移5个单位长度得到y=-3(x+5)2，再向上平移6个单位得到y=-(x+5)2+6． 故选：A． A 64 21.对某一个函数给出如下定义：若存在实数m＞0，对于任意的函数值y,都满足-m≤y≤m,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y=-x2+1(-2≤x≤t,t≥0)的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足 ≤n≤ 时，则t的取值范围是 　　． 【解析】解：由题干可得函数y=-x2+1+t在-2≤x≤t时，函数最大值或最小值为n, 65 ≤n≤ ， ∵t＞0，抛物线y=-x2+1+t开口向下，顶点坐标为(0，1+t)， ∴1+t为函数最大值， 当1+t= 时，t= ， ∴0＜t≤ ， 当t=2时，直线x=-2与直线x=t与抛物线交点关于对称轴对称， ∴0＜t≤ 时，直线x=-2与抛物线交点为最低点， 把x=-2代入y=-x2+1+t得y=-3+t, 66 当-3+t=- 时，t= ， ∴t≥ ， 当 ≤1+t≤ 时， ≤t≤ ， 当- ≤-3+t≤- 时， t≤ ， ∴ t≤ 或 ≤t≤ 满足题意． 故答案为： t≤ 或 ≤t≤ ． 67 六．二次函数的最值 68 22.如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD=　　时，△CEF的面积最小值为 　　． 【解析】解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J，EK⊥BC交BC的延长线于点K，过点F作FH⊥AC于点H，过点D作DT⊥AC于点T．设DJ=x. ___ ∵△ABC是等边三角形，AJ⊥BC， ∴BJ=CJ=2，AJ=2 ， 69 ∴AD2=DJ2+AJ2=x2+12， ∵∠AJD=∠ADE=∠DKE=90°， ∴∠DAJ+∠ADJ=90°，∠ADJ+∠KDE=90°， ∴∠DAJ=∠KDE， ∵AD=DE， ∴△AJD≌△DKE(AAS)， ∴DJ=EK=x, ∵∠ATD=∠AHF=∠DAF=90°， ∴∠DAT+∠FAH=90°，∠FAH+∠AFH=90°， ∴∠DAT=∠AFH， ∵AD=AF， 70 ∴△DTA≌△AHF(AAS)， ∴AT=FH， ∵CT= CD= (x+2)， ∴AT=FJ=4- (x+2)=3- x, ∴S阴=S正方形ABCD-S△ADC-S△DCE-S△ACF =x2+12- ×(2+x)×2 - (x+2)×x- ×4×(3- x) = x2- x+6-2 ， ∵ ＞0， 71 ∴S阴有最小值，当x= 时，最小值为 = ，此时BD=2- ． 故答案为：2- ， ． 72 23.函数y=x2-2ax-2在-1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　　． 【解析】解：二次函数y=x2-2ax-2的对称轴为x=- =a, 由题意，分以下三种情况： (1)当a≤-1时， 在-1≤x≤2内，y随x的增大而增大， 则当x=2时，y取得最大值，最大值为4-4a-2=2-4a, ∴2-4a=6， 解得：a=-1，符合题设； (2)当-1＜a＜2时， 73 在-1≤x≤2内，当-1≤x≤a时，y随x的增大而减小， 当a＜x≤2时，y随x的增大而增大， 则当x=-1或x=2时，y取得最大值， 因此有1+2a-2=6或22-4a-2=6， 解得：a= 或a=-1 (均不符题设，舍去)； (3)当a≥2时， 在-1≤x≤2内，y随x的增大而减小， 则当x=-1时，y取得最大值，最大值为1+2a-2=2a-1， 因此有2a-1=6，解得a= ，符合题设； 74 综上，a=-1或a= ． 故答案为：-1或 ． 75 24.如图，已知正方形ABCD的边长为8，动点E，F分别在边BC、AB上，∠EDF=30°，△DEF面积的最小值是 　　． 【解析】解：设AF=m,CE=n,则BF=8-m,BE=8-n, ∴S△DEF=S正方形ABCD-S△ADF-S△BEF-S△DEC=32- ， 要使三角形DEF面积最小，则mn最大， 在BC延长线上作CF′=AF，连接DF′， ____ 76 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠DAF=∠DCF′=90°， ∵AF=CF′， ∴△DAF≌△DCF′(SAS)， ∴∠1=∠2，DF=DF′， ∵∠EDF=30°， ∴∠1+∠3=60°=∠EDF′， ∵DE= = ，DF′= = ， 过点E作EH⊥DF′于H， 77 ∴EH=DE•sin60°= DE， ∴S△EDF′= EH•DF′= CD•EF′， ∴ × × × = ×8×(m+n)， 整理得：3m2n2-64(m-n)2-5×64×2mn+3×642=0， ∵(m-n)2≥0， ∴3m2n2-10×64mn+3×642≥0， ∴mn≥3×64或mn≤ ， ∵m≤8，n≤8， 78 ∴mn≤64， ∴mn≤ ， ∴△DEF面积的最小值是32- = ， 故答案为： ． 79 25.设O为坐标原点，点A、B为抛物线y= 上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值 ____ ． 【解析】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F， ___ 2 80 设OE=a,OF=b,由抛物线解析式为y= x2， 则AE= a2，BF= b2， 作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D， 设点D(0，m)， ∵DG∥BH， ∴△ADG∽△ABH， ∴ = ，即 = ， 81 化简得：m= ab, ∵∠AOB=90°， ∴∠AOE+∠BOF=90°， 又∠AOE+∠EAO=90°， ∴∠BOF=∠EAO， 又∠AEO=∠BFO=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴ = ， 82 即 = ， 化简得：ab=16． 则m= ab=4，说明直线AB过定点D，D点坐标为(0，4)， ∵∠DCO=90°，DO=4， ∴点C是在以DO为直径的圆上运动， ∴当点C到y轴距离为 DO时，点C到y轴距离的最大，最大值为 DO，即最大值为2． 故答案为：2． 83 七．抛物线与x轴的交点 84 26.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示： x -3 -2 3 4 y -12 m 0 m 则当y＜0时，x的取值范围为( ____ ) A.-1＜x＜3 B.-2＜x＜4 C.x＜-1或x＞3 D.x＜-2或x＞4 【解析】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x= =1， C 85 ∴(-1，0)，(3，0)在此二次函数的图象上， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)， ∴当y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞3． 故选：C． 86 27.已知ac≠0，若二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)，二次函数y2=cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C(x3，0)，D(x4，0)，则( ____ ) A.x1+x2+x3+x4=1 B.x1x2x3x4=1 C. D. 【解析】解：∵ac≠0，二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)，二次函数y2=cx2+bx+ B 87 a的图象与x轴交于两个不同的点C(x3，0)，D(x4，0)， ∴关于x的方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0的根分别是：x1、x2、x3、x4． ∴x1+x2=- ，x1•x2= ，x3+x4=- ，x3•x4= ． 则：A、x1+x2+x3+x4=- - =- ，所以等式x1+x2+x3+x4=1不一定成立，不符合题意； B、x1x2x3x4= • =1，符合题意； C、 = = ，所以等式 不一定成立， 88 不符合题意； D、 = = ，所以等式 不一定成立，不符合题意； 故选：B． 89 28.关于二次函数y=2mx2+(1-m)x-1-m(m≠0)现给出以下结论： ①函数图象经过x轴上一定点，且该点的坐标为(1，0)； ②当m=-1时，函数图象的顶点坐标是( )； ③当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ； ④当m＜0，x＜ 时，y随x的增大而减小． 其中正确的有( ____ ) A.4个 B.3个 C.2个 B 90 D.1个 【解析】解：由题意，当x=1时，y=2m×12+(1-m)-1-m=0， ∴函数图象经过x轴上一定点，且该点的坐标为(1，0)，故①正确． 当m=-1时，y=-2x2+2x=-2(x2-x+ )+ =-2(x- )2+ ， ∴此时该函数图象的顶点坐标是( ， )，故②正确． ∵y=2mx2+(1-m)x-1-m=(x-1)(2mx+m+1)， ∴令y=0，则0=(x-1)(2mx+m+1)． ∴x=1或x=- =- - ． 91 ∴函数图象截x轴所得的线段长度为：1-(- - )=1+ + = + ． ∵m＞0， ∴ + ＞ ． ∴当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ，故③正确． 由题意，∵抛物线与x轴交点为(1.0)，(- - ，0)， 92 ∴对称轴是直线x= = - ． ∵m＜0， ∴ - ＞ ，抛物线开口向下． ∴当x＜ - 时，y随x的增大而增大，当x＜ - 时，y随x的增大而减小． ∴当m＜0，x＜ 时，y随x的增大而减小，这个说法不正确，故④错误． 综上正确的有：①②③共3个． 93 29.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，a+b+c=0．下列四个结论： ①抛物线与x轴一定有公共点； ②若抛物线经过点(-1，0)，则b=0； ③若b=c,则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2； ④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0＜a＜c,则当x1＜x2＜1时，y1＜y2． 其中正确的是 _____ (填写序号)． 【解析】解：∵当x=1时，a+b+c=0， ∴(1，0)在抛物线上， 故①正确， ①②③ 94 当抛物线过(-1，0)时， a-b+c=0， ∵a+b+c=0， 两式相减得，2b=0， ∴b=0， 故②正确， 当b=c时，由a+b+c=0得， a+2c=0， ∴a=-2c, 当x=-2时，cx2+bx+a=4c-2b+a=4c-2c-2c=0， 故③正确， 95 ∵a+b+c=0， ∴-b=a+c,a=-b-c, 若0＜a＜c时， ∴-b＞0，-b-c＜c, ∴-b＜2c, ∵对称轴是直线x= ，0＜a＜c, ∴ = ＞ =1 ∴当x1＜x2＜1时， ∴y1＞y2， 故答案是①②③． 96 30.现有y是关于x的二次函数y=2mx2+(1-m)x-1-m,则下列描述正确的是 _____ ． ①当m=-1时，函数图象的顶点坐标为( ， )； ②当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于 ； ③当m≠0时，函数图象总过定点； ④若函数图象上任取不同的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则当m＜0时，函数在x＞ 时一定能使 ＜0成立． 【解析】解：①当m=-1时，y=-2x2+2x=-2(x- )2+ ， ①②③ 97 ∴顶点坐标为( ， )， 故①正确； ②当m＞0时，由y=0得：Δ=(1-m)2-4×2m(-1-m)=(3m+1)2， ∴x= ， ∴x1=1，x2=- - ， ∴|x1-x2|= + ＞ ， ∴函数图象截x轴所得的线段长度大于 ， 故②正确； 98 ③当m≠0时，y=2mx2+(1-m)x-1-m=(2x2-x-1)m+x-1， 当2x2-x-1=0时，y的值与m无关， 此时x1=1，x2=- ， 当x1=1，y=0；当x2=- 时，y2=- ， ∴函数图象总经过两个定点(1，0)，(- ，- )， 故③正确； ④m＜0时，抛物线的对称轴：x= ＞0，抛物线开口向下， 故x＞ 时，只有当对称轴在x= 右侧时，y才随x的增大而减小，即 99 ＜0成立， 故④错误． 故答案为：①②③． 100 31.已知抛物线y=(x-1)2-4的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y=x+b与图象②恰有三个公共点时，则b的值为 　　． _____ 101 【解析】解：∵抛物线的解析式为y=(x-1)2-4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，-4)， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得：x1=-1，x2=3， ∴A(-1，0)，B(3，0)， 根据翻折变换，(1，-4)关于x轴的对称点为(1，4)， ∴曲线ACB所对应的函数解析式为y=-(x-1)2+4(-1≤x≤3)， 当直线y=x+b与图象②恰有三个公共点时，如图所示： 102 ___ ①当直线y=x+b过点A时，0=-1+b, 解得：b=1； ②当直线y=x+b过与y=-(x-1)2+4(-1≤x≤3)只有一个公共点时，-(x-1)2+ 103 4=x+b 即x2-x-(3-b)=0， ∴Δ=1+4(3-b)=13-4b=0， 则b= ， ∴b的值为1或 ． 故答案为：1或 ． 104 32.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为(-1，2)、(1，1)．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是 ____ ． 【解析】解：点C横坐标最小时，顶点在A点， 则函数的表达式为：y=a(x+1)2+2， 此时点C(-2，0)， 将点C的坐标代入上式并解得：a=-2， 当顶点在B处时，a-b+c值最小， -7 105 则抛物线的表达式为：y=-2(x-1)2+1， 当x=-1时，y1=a-b+c=-7， 故答案为：-7． 106 八．二次函数的应用 107 33.《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t-4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为( ____ ) m. A.13 B.14 C.15 D.16 D 108 【解析】解：由题意得，S=16t-4t2=-4(t-2)2+16， ∵-4＜0， ∴当 t=2时，s最大． ∴当t=2时，汽车停下来，滑行了16m. 故选：D． 109 34.如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ； 110 ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等． 其中，正确结论的个数是( ____ ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】解：由题意，抛物线过(0，1.6)，(4，4)，(8，0)， 设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(0≤x≤8)， B 111 ∴ ． ∴ ． ∴函数的表达式为y=- x2+ x+ ，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线x=- 112 = ， ∴铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为 米，而从最高点运动至落地的水平距离为8- = (米)，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为y=- ×( )2+ × + =4.05(米)，故①正确． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 113 35.一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB=4cm,CD=8cm,液体高度12cm,将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE=45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE为　　cm,液面BE到点C所在水平地面的距离是 　　cm. 【解析】解：如图1，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：A(-2，0)，B(2，0)，C(4，-12)，D(-4，-12)， 114 设抛物线的解析式为：y=ax2+b, 将B(2，0)，C(4，-12)，代入得： ， 解得： ， ∴y=-x2+4； 根据题意可知，∠ABE=45°，设BE与y轴的交点坐标P， ∴△OBP是等腰直角三角形， ∴OB=OP=2， ∴P(0，-2)， ∴直线BP的解析式为：y=x-2， 115 令-x2+4=x-2，解得x=2(舍)或x=-3， ∴E(-3，-5)． ∴BE= =5 ，DE=7 ， 水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，如图1，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N， ∴△MNC是等腰直角三角形， ∵C(4，-12)， ∴N(4，2)． ∴CN=14． 过点M作MQ⊥CN于点Q， 116 ∴Q是CN的中点，且MQ=NQ=CQ， ∴Q(4，-5)， ∴M(-3，-5)． ∴CM= =7 ． 故答案为：5 ；7 ． 117 九．二次函数综合题 118 36.如图，抛物线y=ax2+bx÷4经过点A(-2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC． (1)求抛物线的函数表达式； (2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD+∠CAO=90°的点E的坐标； 119 (3)点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点N使四边形CMPN为菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标．如果不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4的图象经过点A(-2，0)，点B(4，0)， ∴ 解得 ， ∴抛物线解析式为 120 ； (2)如图1， ___ ①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥CD，垂足为F，设满足条件的点 在抛物线上： 则 ， 121 根据题意，当∠ECD=∠ACO时，tan∠ACO=tan∠ECD， 即 ， ∴ ， 解得t1=0(舍去)，t2=3， ∴ ； ②当点E′位于直线CD上方时，过点E′作E′F′⊥直线CD，垂足为F′，设 122 则 ， 根据题意，当∠ECD=∠ACO时，tan∠ACO=tan∠ECD， 即 ， ∴ ， 解得s1=0(舍去)，s2=1， ∴ ， ∴点E的坐标为 或 ； 123 (3)存在， 如图2，在第一象限内取点P，过点P作PN∥y轴，交BC于N，过点P作PM∥BC，交y轴于M， ___ ∴四边形CMPN是平行四边形， ∵四边形CMPN是菱形， ∴PM=PN， 124 过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q， ∵OC=OB，∠BOC=90°， ∴∠OCB=45°， ∴∠PMC=45°，设点 ， ∴PQ=m, ， 设直线BC 的解析式为y=ax+c, ∵B(4，0)，C(0，4)， ∴ ， 125 解得 ， ∴直线BC的解析式为y=-x+4， ∵PN∥y轴， ∴N(m,-m+4)， ∴ ， ∴ ， 解得：m=0(舍)或m=4-2 ， ∴N点坐标为( )． 126 37.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)且x1≠x2． (1)当x1=2，且b+c=-6时， ①求b,c的值； ②当-2≤x≤t时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若x1=3x2，求证： ． 【解析】(1)解：①当x1=2，则抛物线y=x2+bx+c经过点A(2，0)，且b+c=-6， 则 ，解得： 127 即b、c的值分别为2、-8； ②y=x2+2x-8=(x+1)2-9， 当-2＜t＜-1时，y随x的增大而减小， 当x=-2时，y=(x+1)2-9=-8，当x=t时，y=t2+2t-8， 则t2+2t-8-(-8)=4， 方程无解； 当t＞-1时，y的最小值为-9，最大值为t2+2t-8， 则t2+2t-8-(-9)=4， 解得：t=-3(舍去)或1； (2)证明：∵x1=3x2，且x1≠x2， ∴3x2≠x2， 128 ∴x2≠0， ∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根， ∴x1+x2=-b, ∴3x2+x2=-b, ∴x2=- b, ∴(- b)2+b•(- b)+c=0， ∴c= b2， ∴ b-c= b- b2=- (b-4)2+3≤3，∴ ． 129 38.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点F(n-3，y1)、P(n,y2)、Q(n+2，y3)都在该抛物线上，且总有y2＜y3＜y1，求n的取值范围． (3)将原抛物线沿射线CA方向平移 个单位长度得到新抛线，新抛物线与x轴的正半轴交于点D，请问在新抛物线上是否存在一点E，使得∠EDA+∠OAC=90°？若存在， 130 则直接写出点E的坐标；若不在，则说明理由． 【解析】解：(1)由题意得： ，解得 ， ∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3； (2)∵抛物线y=x2-2x-3 开口向上，且点F(n-3，y1)、P(n,y2)、Q(n+2，y3)都在该抛物线上，且总有y2＜y3＜y1， ∴点F始终位于对称轴的左边，点Q始终位于对称轴的右侧． ①当点P在对称轴上或右边时， ， 131 解得： ； ②当点P在对称轴左边时， ， ∴0＜n＜1， 综上所述： ； (3)存在点E，使得∠EDA+∠OAC=90°，理由如下： ∵抛物线 y=x2-2x-3 沿射线CA方向平移 个单位长度，A(-1，0)，C(0，-3)， ∴OA=1，OC=3， 132 ∴ ， ∴抛物线向左右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线， ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴y'=(x-1+1)2-4+3=x2-1， 如图，当点E在x轴下方时，延长DE交AC于点G，过点E作ER⊥x轴，垂足为R， ∵∠OAC+∠OCA=90° 133 ___ ∴∠EDA=∠ACO，∠DGB=90°，∠ERD=90°， ∴tan∠EDA=tan∠ACO， ， 设E(n,n2-1)，则R(n,0)， 则ER=-n2+1，ER=-n2+1，DR=n-(-1)=n+1， ∵OA=1，OC=3， 134 则 ， 解得： 或n=-1(与点N重合，舍去)， ∴E ； 如图，当点E在x轴上方时，过点E作EK⊥x轴，垂足为K， 135 __ 同理得∠EDA=∠ACO， ∵∠EKD=90°，∠AOC=90°， ∴tan∠EDA=tan∠ACO， ， 设E(t,t2-1)，则EK=t2-1，DK=t-(-1)=t+1， 136 . ， 解得：t=- (不合题意的值已舍去)， 故 ； 综上，点E的坐标为 或 ． 137 39.已知抛物线 的顶点为M，直线l：y=2x-a与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)若抛物线C1与x轴只有一个公共点，求a的值． (2)当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S关于a的函数关系式． (3)将抛物线 绕点P(t,-2)旋转180°得到抛物线C2，其顶点为点N． ①若点N恰好落在直线l上，求a与t满足的关系式； ②当-2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t的取值范围． 【解析】解：(1)∵y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2， 138 ∴抛物线的顶点为M(1，-a-2)， ∵抛物线C1与x轴只有一个公共点， ∴-a-2=0， ∴a=-2； (2)过点M作MH∥y轴，交AB于H，交x轴于G， ∵点H在直线l：y=2x-a上， ∴H(1，2-a)且2-a＞-a-2，即点H一定在点M上方， ∴MH=2-a-(-a-2)=4， ∵直线l：y=2x-a与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A( a,0)，B(0，-a)， 139 ①如图1，当 a≥1即a≥2时，点A在直线x=1的右方， ___ 140 ∴S=S△AMH+S△BMH= MH•AG+ MH•OG= MH•(AG+OG)= MH•OA= ×4× a=a, ②当0＜ a＜1即0＜a＜2时，点A在直线x=1的左方， 141 ∴S=S△BMH-S△AMH= MH•OG- MH•AG= MH•(OG-AG)= MH•OA= ×4× a=a, 综上所述，S=a； (3)①∵点M(1，-a-2)绕点P(t,-2)旋转180°得到点N， ∴点P为MN中点， 设N(m,n)，则有 =t, =-2， 整理得：m=2t-1，n=a-2， ∵点N在直线l：y=2x-a上， ∴a-2=2(2t-1)-a, 142 整理得：a=2t； ②∵旋转前抛物线对称轴为直线x=1， ∴当a＞0抛物线开口向上时，在-2≤x＜1的范围内满足y随x增大而减小， ∴旋转后抛物线开口向下，且顶点N(2t-1，a-2)， ∵要满足在-2≤x＜1的范围内y随x增大而减小，即抛物线下降， ∴对称轴直线x=2t-1需在x=-2左侧， ∴2t-1≤-2， 解得：t≤- ． 143 40.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A(-6，0)、B(2，0)两点，交y轴于点C(0，6)，连接AC，BC，点P为第三象限抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接CP，AP，△APC的面积记为S1，△BPC的面积记为S2，当S2=3S1时，求出直线CP的解析式； (3)如图2，抛物线的顶点为M，连接MP，是否存在点P，使∠PMC=∠ACB，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 144 _______ 【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A(-6，0)、B(2，0)两点，交y轴于点C(0，6)， ∴设y=a(x+6)(x-2)，将C(0，6)代入得：6=a(0+6)(0-2)， 解得：a=- ， 145 ∴y=- (x+6)(x-2)=- x2-2x+6， 故抛物线的表达式为y=- x2-2x+6； (2)如图1，过点P作y轴的平行线分别交CA、BC于F、E， 146 __ 设直线AC的解析式为y=kx+t,把A、C的坐标代入得： ， 147 解得： ， ∴直线AC的解析式为y=x+6， 同理可得直线BC的解析式为y=-3x+6， 设P(m,- m2-2m+6)(m＜-6)，则E(m,-3m+6)，F(m,m+6)， ∴PE=(-3m+6)-(- m2-2m+6)= m2-m, PF=(m+6)-(- m2-2m+6)= m2+3m, ∴S1=S△CPF-S△APF= ×(-m)×( m2+3m)- ×(-6-m)×( m2+3m)= m2+9m, 148 S2=S△BPE-S△CPE= ×(2-m)×( m2-m)- ×(-m)×( m2-m)= m2-m, ∵S2=3S1， ∴ m2-m=3( m2+9m)， 解得：m1=0(舍去)，m2=-7， ∴P(-7，- )， 设直线CP的解析式为y=k1x+b1，则 ， 149 解得： ， ∴直线CP的解析式为y= x+6； (3)∵y=- x2-2x+6=- (x+2)2+8， ∴抛物线的顶点为M(-2，8)， 如图2，过点M作MK∥y轴，过点P作PK⊥MK于K，过点C作CN⊥MK于N， 150 __ ∵MN=CN=2，∠MNC=90°， ∴△MNC是等腰直角三角形， ∴∠CMN=45°， ∵OA=OC=6，∠AOC=90°， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠ACO=45°， 151 ∴∠CMN=∠ACO， ∵∠PMC=∠ACB， ∴∠PMC-∠CMN=∠ACB-∠ACO， 即∠PMK=∠BCO， ∵∠PKM=∠BOC=90°， ∴△PMK∽△BCO， ∴ = ，即 = ， ∴MK=3PK， 设P(m,- m2-2m+6)(m＜-6)，则PK=-2-m,MK=8-(- m2-2m+6)= m2+2m+2， 152 ∴ m2+2m+2=3(-2-m)， 解得：m1=-2，m2=-8， ∵m＜-6， ∴m=-8， 当m=-8时，- m2-2m+6=- ×(-8)2-2×(-8)+6=-10， ∴点P的坐标为(-8，-10)． 153 41.已知抛物线y=-x2+2mx+n经过点(2，2m-3)． (1)用含m的式子表示n； (2)当m＜0时，设该抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，△ABC的外接圆与y轴交于另一点D(点D与点C不重合)，求点D的坐标； (3)若点E(-3，y1)，F(t,y2)，G(m-1，y3)在该抛物线上，且当3＜t≤4时，总有y1＜y2＜y3，求y3的取值范围． 【解析】解：(1)把点(2，2吗-3)代入抛物线y=-x2+2mx+n,得： -4+4m+n=2m-3， ∴n=1-2m； 154 (2)∵n=1-2m, ∴y=-x2+2mx+1-2m, 当y=0时，-x2+2mx+1-2m=0， 解得：x=1或x=2m-1， ∵m＜0，A在B的左侧， ∴A(2m-1，0)，B(1，0)， 令x=0，则y=1-2m, ∴OA=OC=1-2m, ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴∠ACO=45°， ∵A，D，B，C共圆， 155 ∴∠ABD=∠ACO=45°， ∴△BOD也是等腰直角三角形， ∴OD=OB=1， ∴D(0，-1)； (3)抛物线的对称轴直线为：x= =m, ∵m-1＜m, ∴G在抛物线对称轴的左侧， ∵t＞-3，y2＞y1， ∴E一定也在抛物线对称轴的左侧， 取G和E关于抛物线对称轴的对称点G′，E′， 156 ∴G′(m+1，y3)，E′(2m+3，y1)， 当F在抛物线对称轴左侧时， ， ∴m＞5， ∴y3=-(m-1)2+2m(m-1)+1-2m=m2-2m=(m-1)2-1， ∴y3＞15； 当F在抛物线对称轴右侧时， ， 157 ∴ ＜m≤2， ∴-1≤y3≤0， 综上所述，-1≤y3≤0或y3＞15． 158 42.如图1，已知抛物线 与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接AB，交抛物线于点C，点C的坐标为 ． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； 159 (3)如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，点P为线段AC上方抛物线上的一个动点，连接OP，交CD于点E，过点P作PG⊥x轴于点G，交线段AC于点F，设点P的横坐标为m. ①求线段DE的长(用含m的代数式表示)； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 【解析】解：(1)将C(-1， )代入y=- x2+ax,得： =- -a, 解得：a=-3， ∴此抛物线的解析式为y=- x2-3x； 160 (2)当y=0时，- x2-3x=0， 解得：x=0或x=-6， ∴点A的坐标为(-6，0)； (3)①)∵CD⊥x轴，PG⊥x轴， ∴∠CDO=∠PGO=90°， ∵∠EOD=∠POG， ∴△OED∽△OPG， ∴ = ， ∵点P为线段AC上方抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m, 161 ∴点P的坐标为(m,- m2-3m)， ∵PG⊥x轴，点C的坐标为(-1， )， ∴OD=1， ∴ = ， ∴DE= m+3． ②设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(-6，0)，C(-1， )代入得： 162 ， 解得： ， ∴直线AC的解析式为y= x+3， 则F(m, m+3)， 由①得E(-1， m+3)， 设M(t,0)，N(n,s)， ∵E、F的纵坐标相同， 163 ∴EF∥x轴，EF=-1-m, 当EF为正方形的边时， 则 m+3=-1-m, 解得：m=- ； 当EF为正方形的对角线时， 则-1-m=2( m+3)， 解得：m=- ； 综上所述，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，m的值为- 或- ． 164 43.已知，在以点O为原点的平面直角坐标系中，抛物线的原点的顶点为A(-1，-4)，且经过点B(-2，-3)与x轴分别交于C、D两点． _____ (1)求直线OB及抛物线的解析式； 165 (2)如图1点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； (3)如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴．点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD分别与AE交于F、G两点．当P点运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值．若不是．请说明理由． 【解析】解：(1)根据抛物线的顶点为A(-1，-4)，设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-4， ∵抛物线经过点B(-2，-3)， ∴a(-2+1)2-4=-3， 解得a=1， 166 则y=x2+2x-3； 设直线OB的解析式为y=kx,过点B(-2，-3)，则-2k=-3， 解得：k= ， 那么直线OB的解析式为y= x； (2)设M(t,t2+2t-3)，MN=s, 则N的横坐标为t-s,纵坐标为 (t-s)， 由MN∥x轴，得：t2+2t-3= (t-s)， 则s=- (t+ )2+ ≤ ， 167 当t=- 时，MN有最大值，最大值为 ； (3)EF+EG为定值．理由如下， 如图，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q， __ 168 在y=x2+2x-3中，令y=0解得x=-3或x=1， 故C(-3，0)，D(1，0)， 设P(t,t2+2t-3)，则PQ=-t2-2t+3，CQ=t+3，DQ=1-t, ∵PQ∥EF， ∴△CEF∽△CQP， ∴ ， ∴EF= = (-t2-2t+3)， 同理，△EGD∽△QPD， 169 ∴ ， ∴EG= = (-t2-2t+3)， ∴EG+EF= (-t2-2t+3)+ (-t2-2t+3)=8， 故EF+EG是定值，且为8． 170 44.已知二次函数 的图象关于y轴对称，且与x轴交于点A(-3，0)，B． (1)求二次函数的解析式； (2)该二次函数图象与y轴交于点C，在y轴上另有一个动点D，连接BD，求 的最小值，并写出此时点D的坐标； (3)在y轴上还有一个动点E，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转120°得到线段BE'，若E′的纵坐标为 ，求点E′的横坐标． 171 ____ 【解析】解：(1)二次函数 的图象关于y轴对称，则b=0， 将点A的坐标代入函数表达式得：9a-3 =0， 172 解得：a= ， 则二次函数的表达式为：y= x2-3 ； (2)过点D作DH⊥AC于点H，作EN⊥x轴于点N， __ 173 由点A、B(3，0)、C(0，3 )知，△ABC为等边三角形， 则∠ACO=∠ABD=30°， 则DH=CD•sinACO= CD， 此时 =BD+DH=BH为最小， 则OD=OB•tan∠OBD=3× = ， 则点D(0，- )； (3)由点B、C的坐标得，BC=6，∠OBC=60°，∠OCB=30°， 如图，取点M，使BM=BC=6， 174 ___ ∵∠EBE′=120°=∠CBE+∠EBM， 而∠CBM=180°-∠OBC=120°=∠CBE+∠EBM， ∴∠CBE=∠MBE′， 175 ∵BE=BE′， ∴△BCE≌△BME′(SAS)， ∴∠BCE=180°-∠OCB=150°=∠BME′， 则∠E′MN=30°，而E′N= ， 则MN=E′N÷tan30°=3， 则ON=OB+BM+MN=3+6+3=12， 即点E′的横坐标为12． 176 45.如图，已知函数y=mx2-6mx+8m(m≠0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点D，连接BD、CD． (1)该抛物线的顶点坐标为 _________ ；(用m的代数式表示)； (2)如果点O关于直线BD的对称点O'正好落在抛物线对称轴上，求此时m的值； (3)在(2)的条件下，在x轴上有一动点M，横坐标为t,过点M作x轴的垂线l,请问若在直线l上有且只有一个点P，使得∠DPB=90°，此时t的值为多少． 【解析】解：(1)y=mx2-6mx+8m=m(x-3)2-m, (3，-m) 177 ∴抛物线的顶点坐标为(3，-m)； 故答案为：(3，-m)； (2)如图，设对称轴与x轴交于点E，连接O′B， __ 令y=m(x-2)(x-4)=0，则x=2或x=4， 178 ∴点B、C的坐标分别为：(2，0)、(4，0)， 当x=0时，y=8m, ∴点D的坐标为(0，8m)， ∵O关于直线BD的对称点O′正好落在抛物线对称轴上， ∴OO′⊥BD，BO′=BO=2， ∴O′E= = ， ∴∠O′OB+∠OBD=∠OBD+∠ODB=90°， ∴∠O′OB=∠ODB， 又∵∠O′EO=∠DOB=90°， ∴△O′EO∽△BOD， 179 ∴ = ，即 = ， 解得m= ； (3)当m= 时，y= x2 x+2 ， ∴点D的坐标为(0，2 )， ∴BD= =4， 以BD为直径作圆S， 180 ___ ∴点S的坐标为(1， )， ∵直线l上有且只有一个点P，使得∠DPB=90°， ∴直线l与圆S相切于点P， 如图，当直线l在点B右侧时，连接SP， 则SP⊥l,SP=2， ∴t=1+2=3； 181 同理当当直线l在点B左侧时，t=1-2=-1； 综上所述，满足题意的t值为3或-1． 182 46.已知将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，研究发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．根据上述知识完成下列问题： (1)如图1，A(2，2)，α=90°，点P(-2，2)绕A顺时针旋转后，得到的点P1′的坐标为 ________ ；(直接写出答案) (2)如图2，设A(0，0)，α=45°，点P是反比例函数y=- (x＜0)的图象上的动点，点P绕A顺时针旋转后得到的点P′，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积． (3)如图3，设 ，α=60°，点P是二次函数y= x+7图象上的动点，已知点B(2，0)、C(3，0)，试探究△ (2，6) 183 BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． ______ 【解析】解：(1)如图1，∵P1(-2，2)，A(2，2)， 184 ___ ∴P1A∥x轴，P1A=4， 由旋转可得：P1′A∥y轴，P1′A=4， ∴P1′(2，6)； 故答案为：(2，6)； (2)设双曲线与二、四象限角平分线交于N点， 185 则 ，解得： ， ∴N(-1，1)． ①当x≤-1时， 过点P作PQ⊥x轴于Q，连接AP，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图2， 186 ___ ∵∠QAM=∠POP′=45°， ∴∠PAQ=∠P′AN， ∵P′M⊥AM， ∴∠P′MA=∠PQA=90°， 在△PQA和△P′MA中， 187 ， ∴△PQA≌△P′MA(AAS)， ∴S△P′MA=S△PQA= |k|= ， 即S△OMP′= ． ②当-1＜x＜0时， 过点P作PH⊥y轴于点H，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图3， 188 ___ ∵∠POP′=NOH=45°， ∴∠PON=∠P′OH， ∴∠MP′O=90°-∠MOH-∠P′OH=45°-∠P′OH， ∵∠POH=∠POP′-∠P′OH=45°-∠P′OH， ∴∠POH=∠MP′O， 189 同理可得：∴△POH≌△OP′M(AAS)， ∴S△P′MO=S△PHO= |k|= ， 综上所述，△OMP′的面积为 ． (3)△BCP′的面积有最小值， 如图4，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H， 190 ___ ∵A(1，- )，B(2，0)，C(3，0)， ∴OH=BH=1，BC=1， ∴OA=AB=OB=2， ∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′(0，0)， 连接C′O， 191 ∵∠CAC′=∠BAB′=60°， ∴∠CAB=∠C′AB′， 在△C′AO和△CAB中， ， ∴△C′AO≌△CAB(SAS)， ∴C′O=CB=1，∠C′OA=∠CBA=120°， 作C′G⊥y轴于G， 在Rt△C′GO中，∠C′OG=90°-∠C′B′C=30°， 192 ∴C′G= OC′= ， ∴OG= ， ∴C′( ， )，此时OC′的函数表达式为：y= x, 设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y= x+b, ∵S△BCP′=S△B′C′P， ∴当直线l与抛物线相切时取最小值， 则 ， 193 即 x+b= x2+2 x+7， ∴ x2+ x+7-b=0， 当Δ=0时，得b= ， ∴y= x+ ， 设l与y轴交于点T，连接C′T， ∵S△B′C′T=S△BCP′， ∴S△BCP′= ×B′T×C′G= × × = ． 194 47.抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-4，0)，B(1，0)，连接AC，BC． _______ (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，P是抛物线上一动点，是否存在点P，使得∠PAB=∠OBC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)Q为线段AC上方抛物线上的一动点(点Q不与点A，C重合)， 195 过点Q作QE∥x轴交直线AC于点E，过点Q作QF⊥x轴交AC于点F，求△QEF周长的最大值及此时点Q的坐标． 【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-4，0)，B(1，0)， ∴ ， 解得： ， ∴该抛物线的解析式为y=- x2- x+2； 196 (2)∵y=- x2- x+2， ∴当x=0时，y=2， ∴C(0，2)， ∴OC=2， ∵B(1，0)， ∴OB=1， 在Rt△BCO中，tan∠OBC= =2， 当点P在x轴上方时，在y轴正半轴上取点D(0，8)，连接AD交抛物线于P，如图1， 197 __ 则OD=8， ∴tan∠PAB= = =2， 198 ∴tan∠PAB=tan∠OBC， ∴∠PAB=∠OBC， 设直线AD的解析式为y=kx+c,则 ， 解得： ， ∴直线AD的解析式为y=2x+8， 联立方程组得 ， 199 解得： ， (舍去)， ∴点P的坐标为(-3，2)； 当点P在x轴下方时，在y的负半轴上取点D′(0，-8)，连接AD′交抛物线于P，如图2， 200 __ 则tan∠PAB= = =2， 201 ∴tan∠PAB=tan∠OBC， ∴∠PAB=∠OBC， 同理可得：直线AD′的解析式为y=-2x-8， 联立方程组得 ， 解得： ， (舍去)， ∴点P的坐标为(5，-18)； 综上所述，存在点P，使得∠PAB=∠OBC，点P的坐标为(-3，2)或(5，-18)； 202 (3)如图3，记△QEF周长为C△QEF，△OAC周长为C△OAC， ___ ∵A(-4，0)，C(0，2)， ∴OA=4，OC=2，AC= =2 ， ∴C△OAC=4+2+2 =6+2 ， 设直线AC的解析式为y=mx+n, 203 ∵A(-4，0)，C(0，2)， ∴ ， 解得： ， ∴直线AC的解析式为y= x+2， 设Q(t,- t2- t+2)，则F(t, t+2)， ∴QF=- t2- t+2-( t+2)=- t2-2t, ∵QE∥x轴， 204 ∴∠FEQ=∠CAO， ∵QF⊥x轴，即QF∥y轴， ∴∠EFQ=∠ACO， ∴△QEF∽△OAC， ∴ = = (- t2-2t)=- t2-t, ∴C△QEF=(- t2-t)C△OAC=(- t2-t)×(6+2 )=- (t+2)2+6+2 ， ∴当t=-2时，C△QEF的最大值=6+2 ，此时点Q的坐标为(-2，3)． 205 48.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的动点，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接BC，在抛物线上存在点Q，使∠QAC+∠OCB=45°，请直接写出符合题意的点Q坐标． 206 【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3； (2)由抛物线的表达式知，点C(0，3)， ∴OC=3， ∵A(-3，0)， ∴OA=3， 207 ∴OA=OC， ∴△CAO为等腰直角三角形，则∠ACO=∠CAO=45°， ∵PE∥x轴，PF∥y轴， ∴∠PFE=∠ACO=45°，∠PEF=∠CAO=45°， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴EF= PF， 由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=x+3， 设点P(x,-x2-2x+3)，则点F(x,x+3)， ∴PF=(-x2-2x+3)-(x+3)=-x2-3x, ∵-1＜0， 208 故PF有最大值，当x=- 时，PF的最大值为： ， 则EF的最大值为： ； (3)当点Q在AC下方时，如图，设AQ交y轴于点H， ___ ∵∠QAC+∠QAB=45°，∠QAC+∠OCB=45°， ∴∠OCB=∠QAB， 209 ∴tan∠OCB=tan∠QAB， ∴ = ，即 = ， ∴OH=1， 则直线AH的表达式为：y= (x+3)， 联立上式和抛物线的表达式得：-x2-2x+3= (x+3)， 解得：x=-3(舍去)或x= ， 则点Q( ， )； 当点Q在AC上方时，如图，过点A作AM⊥x轴，使AM=OA=3， 210 连接CM，在线段MC上截取MN=1，连接AN， ___ ∵∠OAM+∠AOC=90°+90°=180°， ∴AM∥OC， ∵AM=OC， ∴四边形AOCM是平行四边形， ∵∠AOC=90°， ∴四边形AOCM是矩形， 211 则∠M=90°=∠BOC， ∵MN=OB=1， ∴△AMN≌△COB(SAS)， ∴∠MAN=∠OCB， ∵∠CAM=90°-∠CAO=45°， ∴∠MAN+∠CAN=45°， ∵∠QAC+∠OCB=45°， ∴∠CAN=∠QAC， ∵A(-3，0)，N(-2，3)， ∴直线AN的表达式为：y=3(x+3)， 联立上式和抛物线的表达式得：-x2-2x+3=3(x+3)， 212 解得：x=-3(舍去)或-2， 则点Q(-2，3)； 综上，点Q的坐标为( ， )或(-2，3)． 213 49.如图，抛物线y=-x2+bx+c,过点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，P为x轴上方抛物线上的动点，P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式． (2)如图(1)若直线OP把△COB的面积分成1：2的两部分，求m的值． (3)如图(2)若直线PA与直线BC相交于点M，且 ． ①试求d关于m的函数解析式． ②请根据d的不同取值，探究P点的个数． 214 ____ 【解析】解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c,过点A(-1，0)，B(3，0)， ∴ ， 215 解得： ， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3． (2)若直线OP把△COB的面积分成1：2的两部分， 当 = 时，则 = ， ∴ = ， 过点Q作QH∥y轴，交x轴于点H， 216 __ ∴△BQH∽△BCO， ∴ = = ， ∵当x=0时，y=3， 217 ∴C(0，3)， ∴OC=3， ∵B(3，0)， ∴OB=3， ∴ = = ， ∴QH=2，BH=2， ∴OH=OB-BH=3-2=1， ∴Q(1，2)， ∴直线OP的解析式为y=2x, 联立抛物线和直线解析式得： 218 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴点P的横坐标m= ； 当 = 时，则 = ， ∴ = ， 同理可得：Q(2，1)，直线OP的解析式为y= x, 219 联立得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴点P的横坐标m= ； 综上，若直线OP把△COB的面积分成1：2的两部分，点P的横坐标m的值为 或 ． 220 (3)①过点P作PN∥y轴，交AC于点N，过点A作AD∥y轴，交BC于点D， __ ∵B(3，0)、C(0，3)， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 221 当x=-1时，y=-(-1)+3=4，即D(-1，4)， ∴AD=4， 当x=m时，yP=-m2+2m+3，yN=-m+3， ∵PN∥y轴，AD∥y轴， ∴PN∥AD， ∴△PMN∽△AMD， ∴d= = = PN， 当点P在第一象限时，即0＜m＜3，PN=yP-yN=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m, ∴d= (-m2+3m)=- m2+ m； 222 当点P在y轴上时，m=0，此时点P、M、N均与点C重合，PM=PN=0， ∴d=0； 当点P在第二象限时，即-1＜m＜0，PN=yN-yP=(-m+3)-(-m2+2m+3)=m2-3m, ∴d= (m2-3m)= m2- m； 综上所述，d关于m的函数解析式为d= ． ②d与m的图象如图所示，由图象可知：0≤d＜1， 223 ___ 224 当0＜m＜3时，d=- m2+ m=- (m- )2+ ， ∴当m= 时，d的最大值是 ， 由图象可知： (i)当0＜d＜ 时，对d的每个取值，点P有3个； (ii)当d= 时，符合条件的点P有2个； (iii)当 ＜d＜1且d=0时，对d的每个取值，点P有1个； (iv)当d＜0或d≥1时，不存在点P． 225 50.综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y= x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的另一个交点为点B(-1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当EF=AC时，求点P的坐标； (4)在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点， 226 过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 　　． _____ 227 【解析】解：(1)直线y= x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A、C的坐标分别为：(4，0)、(0，-2)， 则抛物线的表达式为：y=a(x-4)(x+1)=a(x2-3x-4)， 则-4a=-2，则a= ， 则抛物线的表达式为：y= x2- x-2； (2)设点D(x,0)， 由点A、C、D的坐标得，AC2=20，AD2=(x-4)2，CD2=x2+4， 则AC=AD或AC=CD， 即20=(x-4)2或20=x2+4， 228 解得：x=4±2 或4(舍去)或-4， 即点D(4±2 ，0)或(-4，0)； (3)设点P(x, x2- x-2)， 当y= x2- x-2= x-2，则x=x2-3x,即点E(x2-3x, x2- x-2)， ∵E、C、F、A共线，EF=AC， 则xF-xE=xA-xC， 即x-(x2-3x)=4-0， 解得：x=2， 即点P(2，-3)； 229 (4)作点A关于y轴的对称点A′(-4，0)，将点A′向右平移 (MN的长度)，得到点A″(- ，0)， 连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N， 230 ___ ∵A′A″∥MN且A′A″=MN，则四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N=A″M， 则NA+MP=A′N+PM=A″M+MP=A″P为最小，最小值为 = ， 故答案为： ． 231 $$