第三章 函数的概念与性质 章末检测卷-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

第三章 函数的概念与性质 章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 5．已知：定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．设，若的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1或4 C．1 D．4 7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知函数用列表法表示如表，若，则可取（    ） 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知函数的定义域为，满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 11．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．函数的值域为 C．若，则的最小值为 D．不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则 ． 13．求函数的单调增区间为 14．若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明． 16．（15分）已知函数的图象经过，两点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法加以证明. 17．（15分）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 18．（17分）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 19．（17分）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念与性质 章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 2．已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当“ ”时，根据幂函数性质知在上单调递增，则充分性成立； 反之，若“在上单调递增”则“”，必要性也成立， 故“”是“在上单调递增”的充分必要条件， 故选：C. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，要使有意义，则，解得， 所以函数的定义域为． 故选：D． 4．若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 5．已知：定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为定义在R上的偶函数在上单调递增，且， 所以在上递减，且， 所以当或时，，当或时，， 由，得或， 所以或， 所以不等式的解集为， 故选：A 6．设，若的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1或4 C．1 D．4 【答案】C 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故时，， 由二次函数性质可知对称轴，且， 解得或（舍去）， 故选：C 7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数图象的对称中心为， 则 ， 因为为奇函数，所以， 即 ， 所以得， 解得，. 故选：B 8．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，，所以，即， 构造函数，则， 所以函数是上的减函数. 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围足， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知函数用列表法表示如表，若，则可取（    ） 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 故选：BCD 10．已知函数的定义域为，满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】AD 【详解】对于A：令，得，即，所以或． 当时，不恒成立，故，故A正确． 对于B：令，得，又，所以， 故，故B错误． 对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确． 故选：AD. 11．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．函数的值域为 C．若，则的最小值为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】对于A，，显然，故错误； 对于，由取整函数的定义知：， 函数的值域为，故B正确； 对于C，由于，则，易知， 而函数在上单调递增， 当时，的最小值为，故C正确； 对于D，，则，故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵幂函数）的图像关于轴对称，且在上是严格减函数， ∴，且为偶数，，且． 解得，，且， 只有时满足为偶数， ∴．故， 故答案为：3． 13．求函数的单调增区间为 【答案】和 【详解】，画出函数图象（如图所示） 结合图象得函数的单调递增区间为和. 故答案为：和. 14．若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】①因为不等式，所以在区间上恒成立， 因为，当时取等号， 故. ②不等式对一切恒成立，， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以， 故实数的取值范围是． 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 【详解】（1）因为，则，所以，. （2）函数为奇函数，证明如下： 对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数. 16．（15分）已知函数的图象经过，两点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法加以证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【详解】（1）因为函数的图象经过，两点， 所以，， 解得，. 故的解析式为. （2）在上单调递增. 证明如下： 设，，且， . 因为，，所以， 因为，所以，则，即. 故在上单调递增. 17．（15分）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元 【详解】（1）当时 ， 当时， ， 所以. （2）当时 ， 当时，取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元． 18．（17分）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的解集是， 则的两根是和， 由根于系数关系可得， 解得， 所以； （2）方法一：关于的不等式在上有解，等价于，使得， 则，， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取到最大值，， 所以， 故的取值范围是； 方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值， 图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知， ①当，即时，此时的最小值，则，解得； ②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得； ③当，即时，，则由，解得； 综上所述，的取值范围是. 19．（17分）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）任取，且． 因为，即，令， 则． 因为，所以． 由题意， 所以． 故在上单调递减． （2），令，得． 因为， 所以． 由（1）得，， 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$