小升初典型奥数：和倍问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

和倍问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 公式： 两数和÷份数和＝小数 小数×倍数＝大数 或 两数和﹣小数＝大数 和倍问题的特点是利用大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数各是多少的应用题，解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径． 第二部分 典型例题 例题1：果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ 【答案】桃树292棵；梨树140棵；苹果树120棵 【分析】根据题意画出线段示意图如下，可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较，以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答。又知三种树的总数是552棵。如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为（552＋20－120）棵，即560棵，相当于梨树棵数的4倍，据此即可求出梨树的棵数，由此即可解题。 【详解】 梨树的棵数： （552＋20－12）÷（1＋1＋2） ＝560÷4 ＝140（棵） 桃树的棵数： 140×2＋12 ＝280＋12 ＝292（棵） 苹果树的棵数： 140－20＝120（棵） 答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。 【点睛】解答此题的关键是找好标准量，然后利用倍数问题公式即可解题。 例题2：甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？ 【答案】30千克 【分析】根据题意可知，甲、乙两桶油总重量：470＋190＝660（千克）；当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2＋1）＝220（千克）；由甲桶倒入乙桶中的油：220－190＝30（千克）。由此即可解题。 【详解】（470＋190）÷（2＋1）－190 ＝660÷3－190 ＝220－190 ＝30（千克） 答：甲桶的油倒入乙桶30千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍。 【点睛】此题属于和倍问题，运用关系式：和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）；关键是找到数量和与它对应的倍数和。 例题3：甲、乙、丙三人,甲的年龄是乙的2倍还大3岁,乙的年龄是丙的2倍小2岁,三个人的年龄之和是109岁,分别求出三人的年龄． 【答案】甲63岁,乙30岁,丙16岁 【分析】我们都以丙为1倍量来分析．乙比丙的2倍小2岁，如果加上2就正好是丙的2倍，甲要想和丙联系起来，必须由乙来搭桥．如果甲去掉大出3岁就正好是乙的2倍，但乙比丙的2倍小2，所以甲要加上两个2才能是丙的2×2=4(倍)．所以总数变为109-3+2+2×2=112(岁)，相当于丙的1+2+2×2=7(倍)可以先求出丙的年龄，再相应求出乙和甲的年龄． 【详解】109+2-3+2×2=112(岁) 1+2+2×2=7 112÷7=16(岁) 16×2-2=30(岁) 30×2+3=63(岁) 答:甲63岁,乙30岁,丙16岁． 例题4：学校买来一些乒乓球和羽毛球共个，乒乓球的个数是羽毛球的倍。买来的乒乓球和羽毛球各多少个？ 【答案】8个；32个 【分析】羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于（4＋1）份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数。羽毛球有：40÷4＋1＝40÷5＝8（个），乒乓球有：8×4＝32（个）。 【详解】40÷（4＋1） ＝40÷5 ＝8（个） 8×4＝32（个） 答：羽毛球8个；乒乓球有32个。 【点睛】正确理解和倍问题的数量关系是：和÷（倍数＋1）＝小数、小数×倍数＝大数（或两数和－小数＝大数），是解答此题的关键。 第三部分 高频真题 1．一个长方形操场，周长是78米，已知长是宽的2倍，这个操场长、宽分别是多少分米？ 2．果园里有桃树和梨树共340棵，梨树的棵数比桃树的3倍还多20棵，果园里有桃树、梨树各多少棵？ 3．北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？ 4．学校买来2张桌子和5把椅子，共用去110元，已知每张桌子价钱是椅子的3倍，问：每张桌子多少钱？ 5．一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？ 6．两个数的和是194.5，较大数除以较小数商是4，余数是12，这两个数分别是多少？ 7．甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？ 8．李大伯家的猪场里有母猪和小猪共84头，其中小猪的头数是母猪的3倍．母猪和小猪各有多少头？ 9．在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是，而减数是差的倍。求差是多少？ 10．有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？ 11．爸爸花180元钱给我买了一套服装，上衣的价钱是裤子的2倍，上衣和裤子各花了多少钱？ 12．小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖? 13．大山羊的年龄比小山羊的年龄多2倍．它们的年龄和是8岁，大山羊、小山羊各几岁？ 14．甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数都是1．那么乙有书多少本? 15．一所学校共有810人，其它年级的学生是六年级的5倍，六年级学生多少人？其它年级一共多少人？ 16．据信息产业部统计，到目前为止，我国电话用户达3.6亿户，其中移动电话用户是固定电话用户的2倍．求我国移动电话用户和固定电话用户各是多少亿户？ 17．甲、乙、丙三数之和是100,甲数除以乙数,丙数除以甲数,商都是5,余数都是1,乙数是多少？ 18．育才小学有教师108人，其中女教师人数是男教师的3倍．男教师有多少人？ 19．某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只。这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？ 20．14年前爸爸的年龄是儿子的5倍，14年后父子二人年龄和是98岁，父子二人今年分别多少岁？ 21．父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现在多少岁？ 22．甲、乙两班共有学生100人，甲班的比乙班的少1人，乙班有学生（ ）人． 23．父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子年龄为11岁．问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？ 24．五年级选出男生的和名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生的倍。已知五年级共有学生人，其中男生有多少人？ 25．甲、乙、丙、丁四个人的年龄和是92岁，已知甲、乙的年龄和比丙、丁的年龄和的2倍大8岁，又知甲的年龄是乙的3倍，丙比丁大2岁，求甲、乙、丙、丁各是多少岁？ 26．今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？ 27．老陈有几个儿子，老陈的年龄是儿子们年龄和的4.5倍，而1年前，老陈的年龄是他的几个儿子年龄和的7倍，4年后，老陈的年龄就只有他几个儿子的年龄和的2倍，那么老陈有几个儿子？ 28．一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重千克。已知苹果的重量是梨的倍，香蕉的重量比梨少千克。一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？ 29．两个数的和是616，其中一个加数的个位上是0，若把0去掉，就与另一个加数相同，这两个数分别是多少？ 30．小敏有元，小花有元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的倍？ 31．甲乙两书架共有118本书，如果从甲书架上拿20本到乙书架上，乙书架上的书就比甲书架上的书的2倍还多10本，两书架原来各有多少本书？ 32．水果店运来苹果和梨共840千克，苹果的质量是梨的3倍，苹果和梨各重多少千克？ 33．小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？ 34．学校买来篮球、足球、排球共个，其中篮球的个数是足球的倍。排球比足球多个。问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？ 35．甲、乙、丙三人,甲的年龄是乙的2倍还大3岁,乙的年龄是丙的2倍小2岁,三个人的年龄之和是109岁,分别求出三人的年龄. 36．小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？ 37．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟? 38．图书馆有文艺书和故事书共960本，其中文艺书的本数是故事书的3倍，买来故事书多少本？ 39．爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头。父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍。请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？ 40．三堆苹果共有130个,第二堆的苹果数是第一堆的3倍，第三堆的苹果数是第二堆的2倍多10个，问三堆苹果各有多少个？ 41．师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的比徒弟加工零件个数的还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件? 42．（1）桔子和苹果共有360个，桔子又是苹果个数的2倍，桔子有多少个？ （2）商店运来300双鞋，分别放在2个木箱和6个纸箱内，如果2个纸箱的1个木箱装得一样多，那么每个木箱可以装多少鞋？ 43．把个人分成四队，一队人数是二队人数的倍，一队人数是三队人数的倍，那么四队有多少个人？ 44．王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是岁，李老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是岁．王老师今年岁，李老师今年多少岁? 45．甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加2，乙做的个数减3，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，四个人做的零件个数正好相等，问四个人各做多少个零件？ 46．有一个分数，如果分子加l，这个分数就等于；如果分母加l，这个分数就等于．问原来的分数是多少? 47．小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看50页，接着每天看15页；冬冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完。这本小说一共多少页？ 48．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这3种树各多少棵? 49．少先队一、二、三中队共植树200棵,二中队植树的棵数是一中队的2倍多5棵,三中队植树的棵数比一、二中队之和多4棵,三个中队各植树多少棵？ 50．“枫叶新希望杯”成都夏令营共有750名营员参加，其中男生人数比女生人数的2倍少150人，求男生和女生的人数。 51．一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 参考答案： 1．长：260分米  宽：130分米 【分析】根据长方形的周长公式，先求出一条长与一条宽的和是：780÷2=390分米，因为“长是宽的2倍”把长与宽的和平均分成3份，则宽就是其中1份，由此即可求出宽，从而求出长． 【详解】78米=780分米 780÷2÷3=130（分米） 130×2=260（分米） 答：长是260分米，宽是130分米． 2．桃树有80棵，梨树有260棵 【详解】桃树：（340-20）÷（3+1）＝80（棵） 梨树：3×80+20=260（棵） 答：桃树有80棵，梨树有260棵． 3．110朵；190朵 【分析】把黄花朵数看作一份，画出线段图如下，从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。据此解题即可。 【详解】把黄花朵数看作一份，画出线段图如下： 黄花朵数为： （300＋30）÷（1＋2） ＝330÷3 ＝110（朵） 红花朵数为： 300－110＝190（朵）。 答：黄花有110朵，红花有190朵。 【点睛】画线段图帮助理解，很容易看出：如果把黄花朵数看作一份，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。 4．30元 【详解】1张桌子=3把椅子，所以2张桌子=6把椅子； 所以2张桌子+5把椅子=6把椅子+5把椅子=11把椅子=110元； 椅子单价为110÷11=10（元） 桌子单价为10×3=30（元） 答：每张桌子30元． 5．61.8 【分析】本题属于和倍问题．关键是抓住小数点向左移一位，原数就缩小10倍；小数点 向右移一位，原数就扩大10倍． 【详解】小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍，有624.18÷（100＋1）＝6.18，6.18×10＝61.8，即原数是61.8． 6．158.1，36.4 【分析】根据大数除以小数，商4余数是12，所以大数减去12后是小数的4倍，则和194.5减去12就是小数的（4+1）倍，因此，根据除法的意义，小数可求得，然后进一步可以求出大数． 【详解】较小数：（194.5﹣12）÷（4+1） =182.5÷5 =36.4 较大数：194.5﹣36.4=158.1 7．；； 【分析】根据题意，假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：183＋4－7＝180，和对应的份数为：1＋2＋3＝6。由此用除法求出一份数即丙数，再根据甲、乙、丙三数之间的数量关系，求出甲数和乙数。 【详解】我们把丙数看作一份，画出线段图如下： 丙数：（183＋4－7）÷（1＋2＋3） ＝180÷6 ＝30 乙数：30×2－4 ＝60－4 ＝56； 甲数：30×3＋7 ＝70＋7 ＝97。 答：甲、乙、丙三数分别是97、56、30。 【点睛】将“和”转化为一个数的几倍是解答此题的关键。 8．母猪有21头，小猪有63头 【分析】因为小猪的头数是母猪的3倍，所以母猪和小猪共84头，是母猪的4倍，用除法即可得母猪的头数，再求小猪的头数即可． 【详解】母猪：84÷（3+1） =84÷4 =21（头） 小猪：21×3=63（头） 答：母猪有21头，小猪有63头． 9． 【分析】减数与差的和正好是被减数，被减数、减数、差的和是240，那么被减数是120，减数与差的和是120，然后把差看成1份，减数是5份，6份是120，1份是20。 【详解】 答：差是20。 【点睛】本题实质上考查的是和倍问题，解题的关键是理解被减数、减数、差的和是被减数的2倍。 10．49支 【分析】铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的（3＋2＋1）倍。17＋23＋33＋36＋38＋42＋49＋51＝289，289除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支。 【详解】17＋23＋33＋36＋38＋42＋49＋51＝289（支） 289÷6＝48（支）……1（支） 49÷6＝8（支）……1（支） 答：这盒水彩笔共有49支。 【点睛】解答本题的关键是要明确：其中铅笔、钢笔、圆珠笔的总数是6的倍，而8盒笔的总数不是6的倍数，那么支数不是6的倍数的那盒就是水彩笔。 11．上衣：120元   裤子：60元 【分析】由上衣的价钱是裤子的2倍，把裤子的价格看作1倍，上衣的价钱就是2倍，一共是3倍正好花了180元，用除法求出1倍的，也就是裤子的价格，再用裤子的价格乘2就是上衣的价格． 【详解】裤子的价格：180÷（1+2）=60（元） 上衣的价钱：60×2=120（元） 答：上衣和裤子各花了120元、60元． 12．19块 【详解】小玲比小红多3块糖，小明糖数再增加2就等于小红糖数减少2后2倍，所以小明的糖数是小红的2倍少6颗， 有小红+小玲+小明＝小红+(小红+3)+ (2小红－6)＝4小红－3＝73． 所以小红有糖(73+3)÷4＝19块． 13．大山羊：6岁   小山羊：2岁 【详解】8÷(2+1+1) =8÷4 =2(岁) 8-2=6(岁) 答：大山羊6岁，大山羊2岁． 14．3 【详解】有甲的课外书是乙的5倍多1，丙的课外书是甲的5倍还多1，则丙的课外书是乙的25倍多5+1＝6本． 如果甲的课外书除去1本，丙的课外书除去6本，则甲的课外书是乙的5倍，丙的课外书是乙的25倍． 有(100－1－6)÷(1+5+25)＝3，所以乙有书3本． 于是，甲有3×5+1＝16本，丙有书16×5+1＝81本． 15．六年级学生135人，其它年级一共675人 【分析】其它年级的学生是六年级的5倍，那么学校共有810人，就相当于1+5=6个六年级人数的和，依据除法意义，求出六年级人数，再根据乘法意义即可求出其它年级的人数． 【详解】810÷（1+5） =810÷6 =135（人） 其它年级：135×5=675（人） 答：六年级学生135人，其它年级一共675人． 16．移动电话用户：2.4亿户   固定电话用户：1.2亿户 【分析】根据题意我国电话用户达3.6亿户，其中移动电话用户是固定电话用户的2倍，可知移动电话用户与固定电话用户的和就是3.6亿，根据和倍公式，和÷（倍数+1）=较小数，就可以求出结果． 【详解】固定电话是：3.6÷（2+1）=1.2（亿户） 移动电话是：1.2×2=2.4（亿户） 答：我国移动电话用户和固定电话用户各是2.4亿户、1.2亿户． 17．3 【详解】把乙数看作1份,那么甲数是5份加1；丙数是5×(5份+1)再加1,即25份加6．所以每份是:(100-1-6)÷(1+5+25)=93÷31=3 即乙数是3． 18．27人 【分析】根据题意知道女教师和男教师的人数的和是108，女教师人数是男教师的3倍，由此利用和倍公式解决问题． 【详解】男教师的人数：108÷（3+1） =108÷4 =27（人） 答：男教师有27人． 19．鸭只，鸡只，鹅只 【分析】我们把鸭的只数看作1份，那么鸡的只数看比4份多132只，鹅的只数看比2份少70只，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于是7份多62只，7份相当于是1400只，用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数。 【详解】鸭的只数： （只） 鸡的只数： （只） 鹅的只数： （只） 答：鸭有200只，鸡有932只，鹅有330只。 【点睛】本题考查的是多个量的和倍问题，通常把最小量看成是一份量。 20．父亲49岁，儿子21岁 【详解】14年前父子二人年龄和：98-14×2×2=42（岁） 所以14年前儿子的年龄是：42（5+1）=7（岁） 爸爸的年龄是：7×5=35（岁） 今年爸爸的年龄是：35+14=49（岁） 儿子今年的年龄是：7+14=21（岁） 21．48 【详解】三人现在的年龄和是84岁，12年后的年龄和是（岁），那时父亲（岁），父亲现在（岁）． 22．48 【详解】根据题意可知，甲班人数比乙班人数的少人，那么甲、乙两班人数之和比乙班人数的少人，故乙班人数为人． 23．15年 【详解】现在父母年龄之和是：38＋36 ＝74（岁） 现在儿子年龄的 4倍是 11×4＝44．相差：74-44＝30（岁） 从4倍来考虑，以后每年长1×4＝4，而父母年龄之和每年长1＋1＝2（岁） 为追上相差的30，要30÷（4-2）＝15（年） 答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍. 24．99人 【分析】把男生人数视为单位“”，未参加比赛的女生是：。用156－12求出男生和剩下的女生人数，它对应的分率是（1＋），男生和剩下的女生人数除以它对应的分率即可得到男生的人数。 【详解】 ＝ （人） ＝144× ＝99（人） 答：男生有99人。 【点睛】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 25．甲是48岁，乙是16岁，丙是15岁，丁是13岁。 【分析】甲、乙的年龄和比丙、丁的年龄和的2倍大8岁，四个人的年龄和是92岁，可以将甲乙的年龄和看成一个整体，丙丁的年龄和也看成一个整体，且看成一份，则甲乙的年龄和就是这样的2份再加8岁，将四人的总岁数减去8，恰好就是3份，即每一份就是28岁，丙丁年龄和就是28岁。甲乙是这样的2份再加8岁，则甲乙的年龄和为64岁，甲的年龄是乙的3倍，即乙是一份，甲就是这样的3份，4份是64岁，每一份是16岁，分别求出甲和乙的年龄。 丙比丁大2岁，丙丁年龄和就是28岁，根据和差的公式：大数＝（和＋差）÷2，小数＝（和－差）÷2。 【详解】92－8＝84（岁） 84÷（2＋1） ＝84÷3 ＝28（岁） 2×28＋8 ＝56＋8 ＝64（岁） 64÷（3＋1） ＝64÷4 ＝16（岁） 16×3＝48（岁） （28＋2）÷2 ＝30÷2 ＝15（岁） （28－2）÷2 ＝26÷2 ＝13（岁） 答：甲是48岁，乙是16岁，丙是15岁，丁是13岁。 26．6年 【详解】方法一:三个孙子年龄的和为27＋23＋16＝66（岁），今年爷爷比他们三人的年龄的和多78－66＝12（岁），每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加3－1＝2（岁）．因而，经过12÷2＝6（年）后，爷爷的年龄是三个孙子年龄的和． 方法二:设经过x年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和，由题意得 27+x+23+x+16+x=78+x x=6 27．3个儿子 【详解】方法一:设老陈有n个儿子，则今年老陈的年龄是儿子们平均年龄的4.5n倍，而1年前老陈的年龄是儿子们平均年龄的7n倍，4年后，老陈的年龄是他的几个儿子的平均年龄的2n倍，由于老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差是固定的，所以我们以老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差为标准，设为，则今年儿子们平均年龄，4年后儿子们的平均年龄，得到方程式：-=（-），解得． 方法二：老陈有n个儿子今年儿子们的年龄和为k岁，则 4.5k-1=（k-n）×7      ⑴ 4.5k+4=（k+4 n）×2    ⑵ 解得：k=8，n=3． 28．苹果69千克，梨23千克，香蕉20千克 【分析】把梨的重量看成是1份，那么苹果的重量是3份，香蕉的重量比1份少3千克，总共是比5份少3千克，对应112千克，那么5份是115千克，可以求出1份是多少。 【详解】 （千克） （千克） （千克） 答：一筐苹果重69千克，一筐梨重23千克，一筐香蕉重20千克。 【点睛】本题考查的是多个量的和倍问题，先求出一份量是多少，然后再求多份量是多少。 29．560和56 【分析】由“一个加数的个位是0，若把0去掉，就与另一个加数相同”可知，其中一个加数是另一个加数的10倍．那么它们的和就是另一个加数的（10＋1）倍．即另一个加数的11倍是616，求另一个加数列式为616÷（10＋1）．再根据另一个加数求出其中的一个加数． 【详解】616÷（10＋1） ＝616÷11 ＝56 56×10＝560 答：这两个数分别是560和56． 30．元 【分析】总钱数不变，即：14＋10＝24（元），相当于现在小花的（1＋2）倍，根据和倍公式求出小花现在的钱数，再进一步解答即可。 【详解】（14＋10）÷（1＋2） ＝24÷3 ＝8（元） 10－8＝2（元） 答：小花给小敏2元，小敏的钱数就是小花的2倍。 【点睛】此题属于和倍问题，运用关系式：和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）；关键是找到数量和与它对应的倍数和。 31．甲：56本   乙：62本 【分析】由题意，若从总数118里减去10本，剩下的本数就是甲书架上的书的（1+2）倍，由此用除法可求得后来甲书架上的书有多少本，再加上20本就是原来的本数，进而求得乙书架原来的本数，解决问题． 【详解】甲书架：（118﹣10）÷（1+2）+20 =108÷3+20 =36+20 =56（本） 乙书架：118﹣56=62（本） 答：甲书架原来有56本，乙书架原来有62本． 32．苹果：630千克   梨：210千克 【分析】根据水果店运来苹果的重量是梨的3倍，把运来梨的重量看作1倍，则运来苹果的重量就是3倍，可知运来苹果的重量和梨的重量共有3+1=4倍，正好运来苹果和梨共840千克，用除法求出梨的重量，再用梨的重量乘3就是苹果的重量． 【详解】梨的重量：840÷（3+1）=210（千克） 苹果的重量：210×3=630（千克） 答：苹果和梨各重630千克、210千克． 33．31岁 【详解】把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系： 小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁）， 爸爸的年龄是：53－11＝42（岁）， 小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）． 34．足球个；篮球个；排球个 【分析】把足球的个数看作1份，篮球的个数是3份，排球比1份多4个，总共是5份多4个，对应49个，那么5份是45个，1份是9个。 【详解】如图所示： （个） （个） （个） （个） 答：足球9个；篮球27个；排球13个。 【点睛】本题考查的是多个量的和倍问题，可以把最小量看成是一份量。 35．63 30 16 【详解】 我们都以丙为1倍量来分析.乙比丙的2倍小2岁,如果加上2就正好是丙的2倍,甲要想和丙联系起来,必须由乙来搭桥.如果甲去掉大出3岁就正好是乙的2倍,但乙比丙的2倍小2,所以甲要加上两个2才能是丙的2×2=4(倍).所以总数变为109-3+2+2×2=112(岁),相当于丙的1+2+2×2=7(倍)可以先求出丙的年龄,再相应求出乙和甲的年龄. 109+2-3+2×2=112(岁) 1+2+2×2=7 112÷7=16(岁) 16×2-2=30(岁) 30×2+3=63(岁) 答:甲63岁,乙30岁,丙16岁. 36．40岁 【详解】今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和刚好是小航的6倍，则小航今年的年龄与父母增加的年龄的和刚好是小航增加年龄的6倍．即“小航今年的年龄”，小航今年的年龄：（岁）．小航父母今年的年龄和：（岁）．小航的爸爸比妈妈大4岁，所以小航的妈妈今年的年龄：（岁）． 37．202 【详解】我们先估算出大致所需时间，然后再进行调整． 因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2＝150个零件左右： 小李完成150个零件需要150÷3×4＝200分钟； 在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4＝144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2＝146个零件； 那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146＝296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成． 所以共需202分钟才能完成． 方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个． 则在44分钟内小李做了：44÷4×3＝33个，小张做了：44÷5.5×4＝32个，他们一共做了：33+32＝65个． 300÷65＝4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4＝176分钟后，还剩下40个零件没有做完． 而22＝4+4+4+4+4+2＝5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2＝17个，小张做了：4×2＝16个，那么还剩下：40－17－16＝7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3＝7个，即这40个零件还需要26分钟． 所以共用时间：44×4+26＝202分钟． 38．240本 【分析】由于文艺书的本数是故事书的3倍，把故事书的本数看作单位“1”，则中文艺书的本数相当于故事书的3倍．这样，两种书的本数和就是故事书的4倍，那么故事书有960÷4本，解答即可． 【详解】960÷（1+3） =960÷4 =240（本） 答：买来故事书240本． 39．90块；30块 【分析】由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块，那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸爸少搬10块，冬冬多搬10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍。对于前一种情况，如果让爸爸再多搬100块，冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就是说如果爸爸多搬110块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍。 【详解】根据分析可得： 爸爸原计划搬的块数为： （110＋10）÷（5−2）×2＋10 ＝120÷3×2＋10 ＝80＋10 ＝90（块）， 冬冬原计划搬的块数为： （90＋10）÷5＋10 ＝100÷5＋10 ＝20＋10 ＝30（块）。 答：爸爸原计划搬90块；冬冬原计划搬30块。 【点睛】熟练掌握差倍问题的解题方法，是解答此题的关键。 40．第一堆有12个,第二堆有36个,第三堆有82个 【分析】因为第二堆是第一堆的3倍,第三堆又是第二堆的2倍多10个,所以减去10个后,第三堆就相当于第一堆的3×2=6(倍)．总数变为130-10=120(个),相当于第一堆的1+3+6=10(倍)，可以求出第一堆的个数，根据相关条件再求第二堆和第三堆的个数． 【详解】130-10=120(个) 1+3+3×2=10 120÷10=12(个) 12×3=36(个) 36×2+10=82(个) 答:第一堆有12个,第二堆有36个,第三堆有82个． 41．90 【详解】师傅加工的零件的比徒弟加工的零件的多10个则师傅加工的零件的比徒弟加工的零件的倍多30个(两边同时×3)．则：徒弟加工了：(170－30)÷(1+)＝80个，师傅＝80×+30＝90个＝170－80＝90个． 42．桔子有240个；每个木箱可以装60双． 【详解】（1） 桔子+苹果=360， 桔子=2个苹果， 所以桔子+苹果=2苹果+苹果=3苹果+360； 所以苹果=360÷3=120（个），所以桔子=2苹果=2×120=240（个）． （2） 2个木箱+6个纸箱=360双， 2个纸箱=1个木箱， 所以6个纸箱=6÷2×1=3个木箱； 所以2个木箱+3个木箱=5个木箱=300双； 所以每个木箱可以装300÷5=60（双）． 43．49人 【分析】题中两个分数的单位“1”不同，但它们都与“一队人数”有关系，所以我们把“第一队的人数”看作单位“1”，分别求出二队、三队及三个队占“第一队人数”的几分之几，进而推断出第四队有多少人。 【详解】设一队的人数是“1”，那么二队人数是：，三队的人数是：，，因此，一、二、三队之和是：一队人数，因为人数是整数，一队人数一定是的整数倍，而三个队的人数之和是（某一整数），因为这是以内的数，这个整数只能是。所以三个队共有人，其中一、二、三队各有，，人。而四队有：（人）。 答：四队有49人。 【点睛】本题考查分数的四则复合应用题，确定哪一队为单位“1”是本题的解题关键。 44．26岁 【详解】王老师比李老师大(岁)．故李老师今年的年龄为(岁)． 45．甲做80个,乙做85个,丙做41个,丁做164个 【分析】 上图可以看出丙做得最少,由于丙做的个数乘2和丁做的个数除以2相等，也就是丙做的2倍和丁的一半相等，即丁做的个数是丙的4倍．甲加上2后是丙的2倍，乙减去3后是丙的2倍，根据这样的倍数关系可以先求出丙做的个数，再分别求出甲、乙、丁做的个数． 【详解】370+2-3=369(个) 2+2+1+4=9 369÷9=41(个) 41×2-2=80(个) 41×2+3=85(个) 41×4=164(个) 答:甲做80个,乙做85个,丙做41个,丁做164个． 46． 【详解】如果分子加1，则分数为，设这时的分数为：，则原来的分数为，分母加1后为：，交叉相乘得：3(x－1)＝2x+1，解的：x＝4，则原分数为：． 47．110页 【分析】小月第一天比冬冬多看了28页，也就是说冬冬以后几天里面要比小月多看28页才能和小月同时看完小说，所以冬冬应该又看了：（天），那么可以知道这本小说一共：（页），验证：（页）。 【详解】50＋[28÷（22－15）]×15 ＝50＋[28÷7]×15 ＝50＋4×15 ＝50＋60 ＝110（页） 答：这本小说一共110页。 【点睛】解答本题的关键是，冬冬几天可以追上小月第一天比冬冬多看的页数。 48．825,360,315 【详解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则： 杨树＝5份；柳树＝2份+30棵；槐树＝2份—15棵， 则一份为(1500－30+15)÷(2+2+5)＝165棵， 有：杨树＝5×165＝825棵；柳树＝165×2+30＝360棵；槐树＝165×2－15＝315棵． 49．一中队31棵,二中队67棵,三中队102棵 【分析】二中队比一中队的2倍多5棵,如果减去5就正好是一中队的2倍,三中队比一、二中队的和多4棵,如减去4就是一、二中队的和,因为二中队比一中队的2倍多5棵,所以还要减去一个5才符合倍数关系．这样,总数就变为200-5-4-5=186(棵),相当于一中队的1+2+1+2=6(倍),这样就可以求出一中队植树的棵数,相应也就可以求出二、三中队植树的棵树了． 【详解】200-5-4-5=186(棵) 1+2+1+2=6 186÷6=31(棵) 31×2+5=67(棵) 31+67+4=102(棵) 答:一中队植树31棵,二中队植树67棵,三中队植树102棵． 50．男生450人，女生300人 【分析】根据题意画出线段图： 可知，总人数加上150人即为女生人数的3倍，据此计算出女生人数，进而根据倍数关系求出男生人数即可。 【详解】女生人数： （750＋150）÷（2＋1） ＝900÷3 ＝300（人） 男生人数：300×2－150 ＝600－150 ＝450（人） 答：男生有450人，女生300人。 51．72平方厘米 【分析】先求出长方形长和宽的和：36÷2＝18（厘米），把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2＋1）＝6（厘米），长是：6×2＝12（厘米），这个长方形的面积是：12×6＝72（平方厘米）。 【详解】假设长方形的宽是1份量，则长是2份， 36÷2÷（2＋1） ＝36÷2÷3 ＝6（厘米） 6×2×6＝72（平方厘米） 答：这个长方形的面积是72平方厘米。 【点睛】把长方形的宽看作标准量，是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$