2.6直梁的弯曲(课件）《机械基础--学做一体化》同步教学（西安电子科技大学出版社）

任务二 构件基本变形的强度计算 2.1 静力分析基础 2.2 力矩和力偶 2.3 平面任意力系 2.4 轴向拉伸和压缩 2.5 零件的剪切与挤压 2.6 圆轴的扭转 2.7 直梁的弯曲 任务二 构件基本变形的强度计算 2.7　直 梁 的 弯 曲 2.7.1　直梁平面弯曲的概念 　　通过分析火车轮轴(图2-47)和起重机梁(图2-48)的变形可发现，其共同特点是：在过轴线的平面内，受到垂直于轴线方向的外力作用，杆的轴线由变形前的直线变为一条曲线。工程中通常把以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-47　火车轮轴 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-48　桥式起重机大梁 任务二 构件基本变形的强度计算 　　工程中的梁多数具有这样的特征：整个梁具有一个包含轴线的纵向对称平面，如图2-49、图2-50所示；梁上作用的所有外载荷都位于梁的纵向对称平面内，并且垂直于轴线方向作用，梁的轴线将弯成一条在这个纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-49　梁横截面的纵向对称轴 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-50　直梁的纵向对称轴 任务二 构件基本变形的强度计算 　　2.7.2　梁的力学模型和基本形式 　　梁的支承情况和载荷作用比较复杂，为了便于分析计算，常进行以下简化。 　　1. 梁的简化 　　用梁的轴线代替实际的梁，如图2-47(b)和图2-48(b)分别用梁的轴线AB代替梁。 　　2. 载荷的简化 　　作用于梁上的外力，都可以简化为以下三种类型： 　　(1) 集中力：当力的作用范围远小于梁的长度时，可简化为作用于一点的集中力，如图2-47中火车车厢对轮轴的作用力。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　(2) 集中力偶：当力偶的作用范围远小于梁的长度时，可简化为作用在某一横截面上的集中力偶，如图2-50中的MO。 　　(3) 分布载荷：沿梁的全长或部分长度连续分布的横向力。若均匀分布，则可称为均布载荷，通常用载荷集度q表示，其单位为N/m(见图2-50)。 　　 任务二 构件基本变形的强度计算 　 　　3. 基本形式 　　(1) 简支梁：梁的两端分别为固定铰支座和活动铰支座，见图2-48(b)。 　　(2) 外伸梁：具有一端或两端外伸部分的简支梁，见图2-47(b)。 　　(3) 悬臂梁：梁的一端为固定端约束，另一端为自由端，见图2-51(b)。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-51　车刀的简化 任务二 构件基本变形的强度计算 2.7.3　梁的内力——剪力和弯矩 　　1. 用截面法求梁的内力 　　如图2-52所示的悬臂梁AB，在其自由端作用集中力F，由静力平衡方程可求出其固定端的约束力FB = F，约束力偶矩MB = Fl。 任务二 构件基本变形的强度计算 任务二 构件基本变形的强度计算 　　式中，矩心C是横截面的形心。这个作用平面垂直于横截面的内力偶矩称为弯矩，用符号M表示。同理，如取右段梁为研究对象，见图2-52(d)，也可以求得截面m—m上的剪力FQ和弯矩M，但它与取左段梁的结果是等值、反向的。 　　剪力符号规定：某梁段上左侧截面向上或右侧截面向下的剪力为正，反之为负，见图2-53(a)。 　　弯矩符号规定：某梁段上左侧截面顺时针转向或右侧截面逆时针转向的弯矩为正，反之为负，见图2-53(b)。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-52　梁的内力——剪力和弯矩 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-53　剪力和弯矩的正负号规定 任务二 构件基本变形的强度计算 　　2. 任意横截面上剪力和弯矩的计算 　　任意截面的剪力等于该截面左段梁或右段梁上所有外力的代数和，左段梁向上的外力或右段梁向下的外力产生正值剪力，反之产生负值剪力。 　　任意截面的弯矩，等于截面左段梁或右段梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，左段梁上顺时针转向或右段梁上逆时针转向的外力矩产生正值弯矩，反之产生负值弯矩。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.13 如图2-54所示一简支梁受集中力F = 1 kN、力偶矩M = 4 kN·m和均布载荷集度q = 10 kN/m作用。求截面1—1、2—2上的剪力和弯矩。(题中长度单位为mm) 图2-54　简支梁 任务二 构件基本变形的强度计算 任务二 构件基本变形的强度计算 　　3. 剪力图与弯矩图 　　画剪力图和弯矩图有两种方法：① 用剪力、弯矩方程；② 用内力随外力的变化规律。以下仅介绍比较容易掌握的第二种方法。 　　1) 剪力图、弯矩图随外力的变化规律 　　(1) 无载荷作用的梁段上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。 　　(2) 在集中力作用处，剪力图有突变，突变的幅值等于集中力的大小，突变的方向与集中力同向；弯矩图则在该处发生转折。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　(3) 在集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图有突变，突变的幅值等于集中力偶矩的值，突变的方向为：集中力偶顺时针转向弯矩正向突变，反之则负向突变。 　　(4) 在均布载荷作用的梁段上，剪力图为斜直线，渐变的幅值等于均布载荷的大小；弯矩图为二次曲线，曲线的凹向与均布载荷同向，通常在剪力等于零的截面，曲线有极值。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　2) 作图步骤 　　(1) 画出梁的受力图，并求出支座反力； 　　(2) 从左向右画剪力图：根据载荷情况依次画出突变线或斜直线(上上或下下)，其余部分为水平线； 　　(3) 根据梁上载荷和支承情况找出分段点(其中隐性分段点为极值点)，并求出分段点截面上的弯矩(有突变处用 +、-)； 　　(4) 根据载荷情况确定弯矩图的各段形状，连线即得。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.14 外伸梁AD受力情况如图2-55(a)所示，试根据弯矩、剪力与载荷集度之间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。 　　解 (1) 计算梁的支座反力。由梁的平衡方程得 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-55　外伸梁 任务二 构件基本变形的强度计算 任务二 构件基本变形的强度计算 　　(3) 作弯矩图。AC的Mz图为二次抛物线(︵)，CB段为斜直线(＼)，BD段为斜直线(／)。在C截面处Mz图发生突变；在AC段FQ = 0的截面E处弯矩将取得极值。各控制点弯矩为 任务二 构件基本变形的强度计算 任务二 构件基本变形的强度计算 2.7.4　梁的正应力强度计算 　　1. 梁纯弯曲的概念 　　如图2-56所示简支梁，梁在靠近两端支座的AC和DB段内，同时有剪力FQ和弯矩M，这种弯曲称为剪切弯曲；在中段CD内的各横截面上，则只有弯矩M，而剪力FQ = 0，这种弯曲称为纯弯曲。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-56　梁的纯弯曲 任务二 构件基本变形的强度计算 　　2. 纯弯曲时横截面上的正应力 　　如图2-57所示，矩形截面梁在纯弯曲时的应力分布有如下特点： 　　(1) 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 　　(2) 在图2-57所示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为压应力(即负值)，中性轴下部各点正成力为拉应力(即正值)。 　　(3) 横截面上的正应力沿y轴呈线性分布，最大正应力(绝对值)在离中性轴最远的上、下边缘处。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-57　梁纯弯曲时横截面上的内力和应力 任务二 构件基本变形的强度计算 任务二 构件基本变形的强度计算 　　对于等截面直梁，最大弯矩所在的截面称为危险截面，危险截面上距离中性轴最远处的点称为危险点，要使梁具有足够的强度，必须使危险截面上的最大工作应力不超过材料的许用应力，对于材料的抗拉和抗压强度相同的梁，截面宜采用与中性轴对称形状，即当截面对中性轴具有对称性时，强度条件可写为 式中，[σ]为材料许用弯曲应力。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.15 如图2-58所示一木制外伸梁，矩形截面，已知F = 8 kN，a = 0.8 m，截面尺寸h = 200 mm，b = 100 mm，木料的许用应力[σ] = 10 MPa。试校核梁的强度。 图2-58　外伸梁 任务二 构件基本变形的强度计算 　　解 (1) 画梁的受力图和求支座反力。由图2-58(a)所示梁的受力情况看到，梁的形状和载荷具有对称性，根据对称性可得 　　(2) 画梁的弯矩图。由图2-58(b)所示梁的弯矩图中求出最大弯矩值为 任务二 构件基本变形的强度计算 　　(3) 校核梁的强度。矩形截面具有对中性轴的上下对称性，故强度公式应选用式(2.31)为 　　由计算结果可知，梁的强度足够。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.16 如图2-59所示空气泵操纵杆，C点作用力F1 = 8.5 kN，I—I处矩形截面的高度与宽度之比为h / b = 3；许用应力[σ] = 50 MPa。试设计I—I处矩形截面的高度h与宽度b各为多大。 图2-59　空气泵操纵杆 任务二 构件基本变形的强度计算 　　解 (1) 计算I—I处矩形截面处的弯矩。如图2-59所示，空气泵操纵杆的AB和AC部分承受弯曲变形，由平衡条件可求出I—I处截面的弯矩M为 任务二 构件基本变形的强度计算 　　(2) 计算I—I处矩形截面的高度h与宽度b。根据矩形截面的几何特点，截面的抗弯截面系数为 任务二 构件基本变形的强度计算 $$