2.2力矩和力偶(课件）《机械基础--学做一体化》同步教学（西安电子科技大学出版社）

任务二 构件基本变形的强度计算 2.1 静力分析基础 2.2 力矩和力偶 2.3 平面任意力系 2.4 轴向拉伸和压缩 2.5 零件的剪切与挤压 2.6 圆轴的扭转 2.7 直梁的弯曲 任务二 构件基本变形的强度计算 2.2　力 矩 和 力 偶 2.2.1　力矩 　　1. 力矩的概念 　　力对物体除了具有移动效应外，有时还会产生转动效应。如图2-14所示，拧动螺母的作用不仅与F的大小有关，而且与转动中心O点到力的作用线的距离d有关。因此，力F使物体绕O点的转动效应可用两者的乘积Fd来度量，称为力矩，用MO(F)表示。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2.1) 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-14　力矩 任务二 构件基本变形的强度计算 　　O点称为矩心，O点到力F作用线垂直距离d称为力臂。通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时力矩为正，反之为负(见图2-15)。力矩的单位是牛·米(N·m)。 图2-15　力矩的符号规定 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.2 如图2-16所示，已知皮带紧边的拉力FT1 = 2000 N，松边的拉力FT2 = 1000 N，轮子的直径D = 500 mm。试分别求皮带两边拉力对轮心O的力矩。 图2-16　带轮 任务二 构件基本变形的强度计算 　　解 由于皮带拉力沿着轮缘的切线，所以轮的半径就是拉力对轮心O的力臂，即 于是 　　拉力FT1使轮逆时针转动，故其力矩为正；FT2使轮顺时针转动，故其力矩为负。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　2. 合力矩定理 　　力系有一合力时，合力对某点之矩等于各分力对同点之矩的代数和，即 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2.2) 　　在计算力矩时，有时欲求一个力对于某一矩心的力矩，力臂不易计算，就可应用合力矩定理，将原力分解为两个适当的分力，先分别求两分力对于该矩心之矩，再求其代数和。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.3 如图2-17所示，在ABO折杆上A点作用一力F，已知a = 180 mm，b = 400 mm， = 60°，F = 100 N。求力F对O点之矩。 图2-17　折杆 任务二 构件基本变形的强度计算 　　解 由力矩的定义式(2.1)可得 　　因为力臂d值计算较繁琐，应用合力矩定理式(2.2)，则可以较方便地计算出结果： 　　由此可以看出，力矩大小的计算应根据情况选择分解力或延长力的作用线。 任务二 构件基本变形的强度计算 2.2.2　力偶 　　1. 力偶 　　在实践中，除了力矩可以使物体产生转动效应外，还有其他一些例子。如图2-18所示，司机用双手转动方向盘，钳工用双手转动铰杠攻螺纹等。以上例子中都有一对大小相等、方向相反的平行力组成的力系，称之为力偶。 　　力偶对刚体的转动效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用平面的方位，这三者称为力偶的三要素。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-18　力偶实例 任务二 构件基本变形的强度计算 　　2. 力偶矩 　　力偶对刚体的作用效应，用力偶中一力的大小F与力偶臂d的乘积F·d来度量，称为力偶矩，记作M(F, F')，简记为M，即 　　如图2-19所示，力偶中两力作用线间的垂直距离称为力偶臂，用d表示。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-19　力偶矩的力偶臂与符号 任务二 构件基本变形的强度计算 　　3. 力偶的性质 　　性质1 力偶在任何坐标轴上的投影为零。 　　它表明不能将力偶简化为一个力，或者说力偶没有合力。即力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能与力偶等效，也只能与力偶相平衡。 　　性质2 力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关，即对于力偶来讲，是没有矩心之说的。 　　性质3 力偶对刚体的作用效应取决于力偶的三要素，而与作用位置无关。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　由此可以得到两个推论： 　　(1) 力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对物体的转动效应； 　　(2) 在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变此力偶对物体的转动效应，如图2-20所示。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-20　力偶的不同表示 任务二 构件基本变形的强度计算 　　4. 平面力偶系的合成与平衡 　　1) 合成 　　合力偶矩为 　　即平面力偶系合成的结果为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。 　　这就是平面力偶系的平衡方程，应用该方程可以求解一个未知量。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.4　多头钻床在水平工件上钻孔如图2-21所示，设每个钻头作用于工件上的切削力在水平面上构成一个力偶。M1 = M2 = 13.5 N·m，M3 = 17 N·m。求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B两处用螺栓固定，A和B之间的距离l = 0.2 m，试求两螺栓在工件平面内所受的力。 图2-21　多头钻床 任务二 构件基本变形的强度计算 　　解 (1) 求三个主动力偶的合力偶矩。 　　负号表示合力偶矩为顺时针方向。 　　(2) 求两个螺栓所受的力 　　选工件为研究对象，工件受三个主动力偶的作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力作用相平衡，因此两个螺栓的反力FA与FB必然组成一力偶，设它们的方向如图2.21所示。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　由平面力偶系的平衡条件可得 任务二 构件基本变形的强度计算 2.3　平面任意力系 　　力系中各力的作用线处于同一平面内，既不平行又不汇交于一点，这样的力系称为平面任意力系。平面任意力系是工程中最常见的一种力系，平面汇交力系和平面平行力系是平面任意力系的特殊情况。 任务二 构件基本变形的强度计算 2.3.1　力的平移定理 　　如图2-22所示，作用在刚体上某点的力F，可平移到刚体内的任意一指定点，但必须同时附加一个力偶，其附加力偶矩等于原力对指定点之矩。 图2-22　力的平移定理 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例如，用丝锥攻螺纹时，如果只在丝锥的一端加力F，如图2-23(a)所示，由力的平移定理可知，力F'却使丝锥弯曲，从而影响攻丝精度，甚至使丝锥折断，因此这样操作是不允许的。 图2-23　丝锥 任务二 构件基本变形的强度计算 2.3.2　平面任意力系的简化 　　在刚体上作用于平面任意力系，如图2-24所示。在力系平面内任取一点O，称为简化中心。根据力的平移定理，可将各力都向O点平移，得到一个平面汇交力系和一个附加平面力偶系，所得的平面汇交力系可以合成为一个作用于O点的合矢量，称为主矢　　，它体现了原力系对刚体的移动效应。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　所得的附加平面力偶系可以合成为一个合力偶，称为主矩MO，它体现了原力系对刚体绕简化中心的转动效应。 　　综上所述可知，平面力系向一点(简化中心)简化的一般结果是一个力(主矢)和一个力偶(主矩)。力系的主矢与简化中心的位置无关。主矩一般随简化中心的位置不同而改变。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-24　平面任意力系的简化 任务二 构件基本变形的强度计算 2.3.3　平面任意力系的平衡条件 　　1. 平面力系平衡的充分与必要条件 　　力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零，即 　　上面的平衡条件可用下面的解析式表示： 任务二 构件基本变形的强度计算 　　2. 解题步骤 　　(1) 确定研究对象，画其受力图，判断平面力系的类型。 注意：一般应选取有已知力和未知力同时作用的物体为考虑平衡问题的研究对象。 　　(2) 选取坐标轴和矩心。由于坐标轴和矩心的选择是任意的，在选择时应遵循以下原则： 　　① 坐标轴应与尽可能多的力垂直(或平行)； 　　② 矩心应选在较多未知力的汇交点处。 　　(3) 将各个力向两坐标轴投影，对矩心取力矩，建立平衡方程求解。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.5 图2-25中起重机重W = 10 kN，可绕铅垂轴AB转动。起重机的挂钩上挂一重为FP = 40 kN的重物。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m，其他尺寸(均以m计)如图2-25所示。求在止推轴承A和径向轴承B处的约束反力。 　　解 (1) 以起重机为研究对象，画出受力图。起重机上作用有主动力W和FP；止推轴承A有轴向反力FAy和径向反力FAx；径向轴承B只有一个垂直于转轴的径向反力FB，其指向假设向右，如图2-25(b)所示。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-25　简易起重机 任务二 构件基本变形的强度计算 　　(2) 选取坐标系Axy，如图2-25(b)所示，列平衡方程并求解： 解得 　　FB为负值，说明它的方向与受力图中假设的方向相反，即正确的指向应向左。 任务二 构件基本变形的强度计算 2.3.4　平面特殊力系的平衡条件 　　1. 平面汇交力系 　　如图2-26(a)所示，平面汇交力系平衡时，应满足平面力系的平衡方程式。其中，　　　　　　　是恒等式，因此，平面汇交力系独立的平衡方程为两个投影方程，即 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-26　平面汇交力系和平面平行力系 任务二 构件基本变形的强度计算 　　2. 平面平行力系 　　如图2-26(b)所示，若取x轴与各力的作用线垂直，则不论平行力系是否平衡，各力在x轴上的投影均为零。即 是恒等式。因此平面平行力系独立的平衡方程为 　　平面平行力系的平衡方程也可用二矩式表示为 其中，矩心A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　若力在一定范围内连续均匀分布于物体上，则称之为均布载荷，即q = 常数。载荷集度的单位是N/m或kN/m。如图2-27所示，在进行受力分析计算时，常将均布载荷简化为一个集中力F，其大小为F = ql (l为载荷作用的长度)，作用线通过作用长度的中点。 图2-27　均布载荷 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.6　如图2-28所示，物重G = 20 kN，用钢丝绳经过滑轮B再缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。设两杆和滑轮的自重不计，并略去摩擦和滑轮的尺寸，求平衡时杆AB和BC所受的力。 任务二 构件基本变形的强度计算 图2-28　铰车 任务二 构件基本变形的强度计算 任务二 构件基本变形的强度计算 　　例2.7　在水平双伸梁上作用有集中载荷FP，力偶矩为M的力偶和集度为q的均布载荷，如图2-29(a)所示。FP = 20 kN，M = 16 kN·m，q = 20 kN/m，a = 0.8 m。求支座A、B的约束反力。 图2-29　双伸梁 任务二 构件基本变形的强度计算 　　解 (1) 取AB梁为研究对象，画受力图。作用于梁上的主动力有集中力FP、力偶矩为M的力偶和均布载荷q，均布载荷可以合成为一个力，其大小为qa = 20 × 0.8 = 16 kN，方向与均布载荷相同，作用于分布长度的中点，B支座反力FB铅垂向上；因以上各力(力偶)均无水平分力，故A支座反力FA必定沿铅垂方向。这些力组成一平衡的平面平行力系，如图2-29(b)所示。 　　(2) 选取坐标系Axy，矩心为A，如图2-29(b)所示。 任务二 构件基本变形的强度计算 　　(3) 列平衡方程如下： 任务二 构件基本变形的强度计算 $$