3.2.1 单调性与最大（小）值（十大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.2.1单调性与最大（小）值 知识点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点2 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 题型一 定义法判断或证明函数单调性 1．下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（    ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 5．判断并证明函数在区间上的单调性. 6．若在定义域上为严格增函数，试判断的单调性，并说明理由． 7．证明：函数在上是严格减函数． 题型二 求函数单调区间 8．函数的单调增区间是 ． 9．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 10．函数的单调递增区间为 ． 11．函数的单调减区间是 ． 12．函数的增区间为 ． 13．已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．    14．已知函数 (1)画出函数图象 (2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间. 题型三 复合函数单调区间 15．已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（    ）单调递增. A． B． C． D． 16．函数的单调递增区间是 ． 17．函数的单调递减区间为 ． 18．函数的单调递增区间为 ． 19．已知，则 ，的单调递增区间为 . 20．求函数的单调区间． 21．已知函数，，试求的单调区间. 题型四 根据函数的单调性求参数 22．若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 24．若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 26．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是 ． 27．已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 28．（1）若函数在上为严格减函数，求实数的取值范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 题型五 根据函数的单调性解不等式 29．已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知函数为上的增函数，则满足的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 32．已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 33．已知函数，则满足的的取值范围是 ． 34．定义在上的函数满足:对，且，都有成立，且，则不等式的解集为 . 35．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求不等式的解集. 题型六 根据单调性（图象）求最值或值域 36．已知函数，则函数的最小值为（    ） A．0.4 B． C．2 D． 37．函数在区间上的最小值是 ． 38．函数在区间上的图像如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 39．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 40．已知函数，且． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数在上的值域． 41．用函数单调性定义证明在区间上是单调递增，并求在此区间上的最值. 题型七 根据函数的最值（值域）求参数 42．若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 43．已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 44．设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（多选）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（    ） A． B．3 C． D．1 46．已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 47．设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 48．已知二次函数，恒有，． (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值． 题型八 二次函数最值问题（含参） 49．求函数在上的最小值． 50．已知函数，求在上的最大值与最小值． 51．已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 52．已知，，求的最小值. 53．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)求函数在区间上的最小值. 54．已知函数 (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)当时，求函数在区间上的最小值． 题型九 函数不等式恒成立问题 55．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．若不等式对任意恒成立，则的取值范围为 ． 58．已知函数. (1)，，求a的取值范围； (2)若，，，求a的取值范围. 59．已知函数，若对于，恒成立，求实数x的取值范围． 60．已知 (1)在上恒成立，求x的范围． (2)在上恒成立，求a的范围． 题型十 函数不等式有解问题 61．若关于的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 63．已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ． 64．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 65．若，使得不等式成立，则实数的取值范围是 . 66．已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 67．已知函数. (1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1单调性与最大（小）值 知识点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点2 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 题型一 定义法判断或证明函数单调性 1．下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 2．下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 3．已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】函数为上增函数，，反之不成立， 例如定义在,上，，且在上满足，则有“”， “”是“函数为增函数”的必要不充分条件． 故选：B． 4．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（    ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 【答案】C 【详解】因为函数在区间和上均为增函数， 对于A，符合条件的图像如图所示， 函数在区间上不是增函数，，但，故A错误； 对于B，符合条件的图像如图所示， 函数在区间和上连续，此时在区间上是增函数，故B错误； 对于CD，函数在区间和上不论是否连续，都不可能是减函数，所以不存在减区间，故C正确，D错误； 故选：C 5．判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】函数在上是严格减函数，证明见解析 【详解】函数在上是严格减函数，证明如下： 任取且， 则 . 因为，所以且，， 所以，所以， 所以在上是严格减函数. 6．若在定义域上为严格增函数，试判断的单调性，并说明理由． 【答案】在定义域内是严格增函数，理由见解析 【详解】解：在定义域内是严格增函数． 理由：任取，且， 则 ． ∵在定义域内严格增且，∴，∴， 即，∴函数在定义域内是严格增函数． 7．证明：函数在上是严格减函数． 【答案】证明见解析 【详解】设是区间上的任意给定的两个实数，且， 则． ∵，∴，，， ∴，即，所以， ∴函数在上是严格减函数． 题型二 求函数单调区间 8．函数的单调增区间是 ． 【答案】 【详解】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 9．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 【答案】 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的， 所以此函数的增区间是. 故答案为： 10．函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【详解】由函数， 作出函数的大致图象，如图所示， 可得函数的单调递增区间是和. 故答案为：和. 11．函数的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 故答案为： 12．函数的增区间为 ． 【答案】 【详解】若的单调递增区间为， 任取，， 因为，，可得恒成立， 即，解得或（舍去）， 所以函数的增区间为． 故答案为： 13．已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．    【答案】 ， ， 【详解】由图可知函数的单调递增区间有，， 函数的单调递减区间有，. 故答案为：，；， 14．已知函数 (1)画出函数图象 (2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间. 【答案】(1)图象见解析； (2)增区间为和，减区间为. 【详解】（1）因为， 所以该函数的图象如下图所示： （2）由（1）中的函数图象可知，该函数的增区间为和， 减区间为. 题型三 复合函数单调区间 15．已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（    ）单调递增. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在定义域， 所以函数的定义域为. 令，所以为增函数，为减函数， 又在为增函数， 所以函数在区间. 故选：D 16．函数的单调递增区间是 ． 【答案】（区间开闭都行） 【详解】令，解得，即函数的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 17．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】，即，解得：， 函数的对称轴是， 当时，单调递增，当时，单调递减， 根据复合函数的单调性可知，的单调递减区间是. 故答案为： 18．函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【详解】要使有意义，则，解得且 设，且 则在和单调递减，在和单调递增， 所以的单调增区间为和， 故答案为：和 19．已知，则 ，的单调递增区间为 . 【答案】 和 【详解】令，则， 所以， 所以， ，由可得：且， 因为对称轴为，开口向下， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在和单调递增， 所以的单调递增区间为和， 故答案为：；和. 20．求函数的单调区间． 【答案】单调减区间为，单调增区间为 【详解】令，则函数． ∵，即，得， 即函数的定义域为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，为增函数，∴函数为减函数， ∴函数的单调减区间为； 当时，为减函数，∴函数为增函数， ∴函数的单调增区间为． 21．已知函数，，试求的单调区间. 【答案】单调递增区间为，，单调递减区间为， 【详解】解：设，，两函数的图象如图 ①当时，，在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增； ②当时，，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减； ③当时，，在上单调递减，在上单调递减， 故在上单调递增； ④当时，，在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减. 综上，的单调递增区间为，，单调递减区间为，. 【点睛】方法点睛： （1）由于函数的单调区间是定义域的子区间，解题时一定要注意函数的定义域，否则容易出错. （2）对于复合函数的单调性的判断，把函数通过中间变量分解为两个函数：外层函数和内层函数. 题型四 根据函数的单调性求参数 22．若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数在区间上不单调，所以， 故选：B． 23．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 24．若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意当时，单调递减，则，即， 当时，单调递减，则， 要保证单调递减，则还需，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：A. 25．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】开口向下的二次函数的对称轴是， 因为函数在区间上为严格增函数， 所以，解得. 故答案为：. 26．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 27．已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】因为在区间上是严格减函数，所以为函数严格减区间的子集． ①当时，在区间上是严格减函数，∴满足题意； ②当时，的减区间为，则有，解得； ③当时，的减区间为，则有，解得． 综上，实数的取值范围为． 28．（1）若函数在上为严格减函数，求实数的取值范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），开口向上，对称轴为． 由二次函数的性质可得，解得． （2）任取，且， 因为函数在区间上是严格增函数 所以恒成立， ∴，即， 整理得． ∵，∴，∴． ∵，∴，， ∴， ∴，即实数的取值范围是． 题型五 根据函数的单调性解不等式 29．已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得在上单调递减， 若可得. 故选：D. 30．已知函数为上的增函数，则满足的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于为上的增函数，故由可得， 因此且， 解得且， 故选：C 31．函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数在上是严格增函数，且， 所以，解得. 故答案为：. 32．已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用函数单调性的定义判断得在上单调递减，从而分类讨论即可得解. 33．已知函数，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，，，原不等式显然不成立． 当时，，原不等式不成立． 当时，要使得，有两种情况： 第一种情况，当时，在上单调递增，可得，解得； 第二种情况，当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故答案为：. 34．定义在上的函数满足:对，且，都有成立，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意，不等式可化为， 令，因为对，且，都有成立, 不妨设，则，故, 则， 即，所以在上单调递增， 又因为，所以，故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 35．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在单调递减，证明如下： 设，则， 由于，所以， 因此，故，所以在单调递减， （2）由（1）知在单调递减， 所以由得，解得， 故不等式的解集为 题型六 根据单调性（图象）求最值或值域 36．已知函数，则函数的最小值为（    ） A．0.4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为， 由于在上单调递增，则在上单调递减， 故在上单调递增， 所以． 故选：D． 37．函数在区间上的最小值是 ． 【答案】0 【详解】是单调递增的， 所以. 故答案为：0. 38．函数在区间上的图像如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 【答案】，. 【详解】由图可知：当时，取最大值，当时，取最小值， 故答案为：， 39．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2) 【详解】（1）在上单调递增. 证明：任取，且， ， ，且， ，即， 在上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， ， 所以在上的值域为. 40．已知函数，且． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）∵，且， ， . （2）函数在上单调递增． 证明：任取，且， 则 ∵， , 即, ∴函数在上单调递增． （3）由（2）得在上单调递增， ∴在上单调递增， 又， ∴在上的值域为． 41．用函数单调性定义证明在区间上是单调递增，并求在此区间上的最值. 【答案】证明见解析；最小值为4，最大值为5. 【详解】取，且， 则 ； 显然，又，所以, 可得，即可得， 即可知在区间上是单调递增； 因此在区间上的最小值为，最大值为； 即函数在区间上的最小值为4，最大值为5. 题型七 根据函数的最值（值域）求参数 42．若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【详解】当时，，为常值函数，显然不合题意，舍去； 当时，为开口向上，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格增，所以，所以; 当时，为开口向下，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格减，所以，所以; 故选：C. 43．已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 44．设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若时，，； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； 若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键. 45．（多选）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】BC 【详解】解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上， 又在区间上的最小值为， 所以当时，，解得（舍去）或； 当，即时，，解得（舍去）或； 当，即时，． 综上，的取值集合为． 故选：BC． 46．已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】函数的对称轴为直线，因为 当时，，得（舍去）， 当时，，得， 综上，实数的值是. 故答案为：. 47．设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 48．已知二次函数，恒有，． (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，， 所以，解得， 又，所以， 所以. （2）由（1）可得， 当，即时，在时取得最大值， 故，解得， 当，即时，在时取得最大值， 故，解得（舍去）. 综上，实数的值为. 题型八 二次函数最值问题（含参） 49．求函数在上的最小值． 【答案】最小值为 【详解】∵的图像开口向上，对称轴为． （1）当，即时，在上严格减，故当时，函数的最小值为． （2）当，即时，在上严格增，故当时，函数的最小值为． （3）当时，对称轴，故当时，函数的最小值为． 综上，记最小值为，则 50．已知函数，求在上的最大值与最小值． 【答案】答案见解析 【详解】函数图象的对称轴为． ①当，即时，函数在上是增函数， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为； ②当，即时， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为； ③当，即时， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为； ④当，即时，函数在上是减函数， 故当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为. 51．已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的值域为； （2）二次函数， 对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，， 综上：. 52．已知，，求的最小值. 【答案】 【详解】，故对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 故. 53．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)答案见解析 【详解】（1）由题意定义域为，因为，所以，即值域为. （2）图象的对称轴为， 当时，即时，在区间上单调递减， 则在区间上的最小值为； 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则在区间上的最小值为； 当时，在区间上单调递增， 在区间上的最小值为； 综上可得时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为. 54．已知函数 (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，其图象对称轴为， 则在上单调递增，故， 故函数在区间上的值域为. （2），其图象对称轴为， 当时，,在区间上单调递增， 则； 当时，，则在区间上的最小值为； 当时，，则在区间上单调递减， 则， 故当时，；当时，； 当时，. 题型九 函数不等式恒成立问题 55．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知函数，对都有成立， 即对恒成立， 即，对恒成立， 设，由于在上单调递减，在上单调递增， 则，则，当且仅当时等号成立， 故，即实数的取值范围为， 故选：A 56．已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， ∵，对称轴， ∴只需即可， 可得． 即， 解得， 又，所以， 故选：D． 57．若不等式对任意恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令， 所以对任意恒成立， 当，即，只需，显然满足； 当，即，只需，可得； 综上，. 故答案为： 58．已知函数. (1)，，求a的取值范围； (2)若，，，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）由，即， 当时，得，不满足条件. 当时，需满足， 解得 . （2）（2）由，即. 因为，所以 即 当时，，显然成立. 当时，设， 的对称轴为，故， 又在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要使，成立，则需满足 即，解得 综上：满足条件的a的取值范围为 59．已知函数，若对于，恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】 【详解】由， 所以上式转化为恒成立， ，即， 解得， ∴x的取值范围为． 60．已知 (1)在上恒成立，求x的范围． (2)在上恒成立，求a的范围． 【答案】(1)或； (2) 【详解】（1）解：在上恒成立， 令， 则，即，即， 因为， 所以不等式的解为或， 所以x的范围是或； （2）因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 在上恒成立， 令， 因为，所以， 所以，则， 所以a的范围是. 题型十 函数不等式有解问题 61．若关于的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于的不等式在区间上有解， 在上有解， 即在上能成立， 所以， 设函数，， 因为函数在区间上单调递减，在区间上是单调递增， 又，，， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 即的取值范围是. 故选：D. 62．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，在中，对称轴， ∴当时，，解得：， ∴“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 63．已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】原不等式等价于在有解，则， 又因为函数在上单调递增，则，所以． 故答案为：. 64．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数的对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增，所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以有，或， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 65．若，使得不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由不等式可得， 设， 有对勾函数性质可知，在是单调递增，在是单调递减， 且，，， 故， 所以. 故答案为：. 66．已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）函数，由，得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）当时，， 又，当且仅当时取等号，依题意，， 所以实数的取值范围是. 67．已知函数. (1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为对一切实数都成立，即对一切实数都成立， 当时显然恒成立， 当时，则，解得， 综上可得，实数的取值范围. （2）当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以在上的值域为， 令，， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以在上的值域为在上的值域的子集， 当时为常数函数，显然不符合题意； 当时在上单调递增， 所以在上的值域为，所以，解得； 当时在上单调递减， 所以在上的值域为，所以，解得； 综上可得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$