专题05 有理数的乘除法 （7大题型+过关训练）-2024-2025学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题05 有理数的乘除法 目录 【题型一 】有理数的乘法运算 1 【题型二 】有理数乘法的实际应用 1 【题型三 】倒数 2 【题型四 】有理数乘法运算律 2 【题型五 】有理数的除法运算 2 【题型六 】有理数除法的应用 3 【题型七 】有理数乘除混合运算 3 【题型一 】有理数的乘法运算 例题：（2021秋·陕西西安·七年级统考阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．5 C． D．80 【变式训练】 1．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）计算： （1）                   （2） 【题型二 】有理数乘法的实际应用 例题：（2023秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为： (1)问收工时距离A地多远？ (2)若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？ 【变式训练】 1．（2021秋·陕西西安·七年级统考阶段练习）某稻谷加工厂从生产的大米中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的部分记为正数，不足的部分记为负数，结果记录如下： 与标准质量的偏差/千克 0 袋数 1 3 4 5 3 3 1 与标准总质量相比，这20袋大米共超重或不足多少千克？ 【题型三 】倒数 例题：（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）的倒数是（    ） A． B．5 C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）的倒数等于 ． 【题型四 】有理数乘法运算律 例题：（2022秋·河北保定·七年级统考期中），这个运算应用了（    ） A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【变式训练】 1．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：． 【题型五 】有理数的除法运算 例题：（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）计算的结果为（    ） A．7 B． C．63 D． 【变式训练】 1．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：； 【题型六 】有理数除法的应用 例题：（2023秋·广东揭阳·七年级统考开学考试）一种牛奶每100克约含3克蛋白质，按这样计算，小明每天喝400克牛奶，所含蛋白质是 克． 【变式训练】 1．（2021秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）王老师抽查了班上10名同学某次考试的成绩，以80分为标准，超过记为正数，不足记为负数，记录结果为：，，，，，，，，0，．求这10名同学的平均成绩． 【题型七 】有理数乘除混合运算 例题：（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·山西太原·七年级太原市志达中学校校考阶段练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（2021秋·江苏无锡·七年级宜兴市树人中学校联考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．所有有理数都有倒数 B．正数和负数统称为有理数 C．绝对值相等的两个数相等 D．互为相反数的两个数绝对值相等 3．（2023秋·全国·七年级专题练习）若，，，且，则与的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．（2021秋·七年级课时练习）计算–2××0.5的结果是（   ） A． B．– C．– D． 5．下列说法中，正确的个数是（    ） （1）0既不是正数，也不是负数  （2）0不是整数  （3）0的相反数是0  （4）0的倒数是0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（2022秋·广东珠海·七年级珠海市九洲中学校考期中）计算的结果是 ． 7．a的相反数是一，则a的倒数是 ． 8．计算：= . 9．绝对值大于 2 且不大于 4 的所有整数的积是 ，和是 ． 10．若a≠0，b≠0，则的值为 三、解答题 11．（2022秋·湖南岳阳·七年级校考阶段练习）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m． 12．（2022秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算题． (1) (2) (3) (4)（用简便方法计算） (5)（用简便方法计算） 13．一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度。冬冬在山脚测得的温度是2℃，小明此时在山顶测得的温度是-2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？ 14．（1） 已知，|a|=3，|b|=2，且 ab＜0，求 a﹣b 的值． （2）七年级戚红梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a． ①求（﹣2）⊕（﹣3）的值； ②比较大小：（﹣5）⊕4 4⊕（﹣5） 15．三个有理数a、b、c满足abc>0，求++的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘除法 目录 【题型一 】有理数的乘法运算 1 【题型二 】有理数乘法的实际应用 2 【题型三 】倒数 3 【题型四 】有理数乘法运算律 4 【题型五 】有理数的除法运算 5 【题型六 】有理数除法的应用 5 【题型七 】有理数乘除混合运算 6 【题型一 】有理数的乘法运算 例题：（2021秋·陕西西安·七年级统考阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．5 C． D．80 【答案】B 【分析】利用有理数的乘法法则计算解题即可. 【详解】解：， 故选. 【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键. 【变式训练】 1．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）计算： （1）                   （2） 【答案】 0 30 【分析】（1）根据互为相反数的两数和为0可得答案； （2）根据同号两数相乘，积为正，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：（1）， （2）， 故答案为：0，30 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，有理数的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【题型二 】有理数乘法的实际应用 例题：（2023秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为： (1)问收工时距离A地多远？ (2)若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？ 【答案】(1)千米 (2)14.2千克 【分析】（1）约定前进为正，后退为负，依题意列式求出和即可； （2）要求耗油量，需求他共走了多少路程，这与方向无关． 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时距离A地千米． （2）解： （千米）， （千克）， 答：从A地出发到收工时共耗油14.2千克． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用，有理数加减运算的实际应用，绝对值的意义等，解题的关键是理解正负号的意义． 【变式训练】 1．（2021秋·陕西西安·七年级统考阶段练习）某稻谷加工厂从生产的大米中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的部分记为正数，不足的部分记为负数，结果记录如下： 与标准质量的偏差/千克 0 袋数 1 3 4 5 3 3 1 与标准总质量相比，这20袋大米共超重或不足多少千克？ 【答案】与标准总质量相比，这20袋大米共超重千克 【分析】根据题目中给出的信息和表格，可以算出这20袋大米实际质量与标准质量的偏差之和与0比较，可得是否超重或不足． 【详解】解： （千克）， 所以与标准总质量相比，这20袋大米共超重千克． 【点睛】本题考查正数和负数的实际应用、有理数的加法和乘法的实际应用，关键是注意表格中的数据的处理，尤其是袋数要注意． 【题型三 】倒数 例题：（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）的倒数是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的意义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 【点睛】本题考查倒数的定义，熟知乘积为1的两数互为倒数是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）的倒数等于 ． 【答案】 【分析】先把带分数化为假分数，然后根据倒数的定义求解． 【详解】解：， 的倒数为． 故答案为． 【点睛】本题考查了倒数的定义：a（）的倒数为． 【题型四 】有理数乘法运算律 例题：（2022秋·河北保定·七年级统考期中），这个运算应用了（    ） A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】根据乘法分配律进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，运算应用了乘法分配律， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的运算律．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式训练】 1．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：． 【答案】 【详解】根据题的特点，先去括号，再进行有理数的乘法和加减运算． 【解答】解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练运用乘法分配律是解题的关键． 【题型五 】有理数的除法运算 例题：（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）计算的结果为（    ） A．7 B． C．63 D． 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：； 【答案】21 【分析】先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查有理数的乘法和除法，解题关键在于掌握运算法则． 【题型六 】有理数除法的应用 例题：（2023秋·广东揭阳·七年级统考开学考试）一种牛奶每100克约含3克蛋白质，按这样计算，小明每天喝400克牛奶，所含蛋白质是 克． 【答案】12 【分析】由，即可求解． 【详解】解：∵每100克牛奶约含3克蛋白质 且 ∴400克牛奶约含克蛋白质 故答案为：12 【点睛】本题考查了有理数的计算．注意计算的准确性． 【变式训练】 1．（2021秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）王老师抽查了班上10名同学某次考试的成绩，以80分为标准，超过记为正数，不足记为负数，记录结果为：，，，，，，，，0，．求这10名同学的平均成绩． 【答案】这10名同学的平均成绩为80.7分 【分析】求出记录的10个数据的平均数再加上80，即可． 【详解】解： （分）， （分） 答：这10名同学的平均成绩为80.7分． 【点睛】本题考查有理数除法的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【题型七 】有理数乘除混合运算 例题：（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·山西太原·七年级太原市志达中学校校考阶段练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4)10 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则解答； （2）根据有理数的加减混合运算法则解答； （3）根据有理数的乘除混合运算法则解答； （4）根据乘法分配律解答． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 一、单选题 1．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义直接进行解答即可． 【详解】根据倒数的定义得： 的倒数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数，熟记倒数的定义是解题的关键． 2．（2021秋·江苏无锡·七年级宜兴市树人中学校联考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．所有有理数都有倒数 B．正数和负数统称为有理数 C．绝对值相等的两个数相等 D．互为相反数的两个数绝对值相等 【答案】D 【分析】根据有理数、绝对值、相反数的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、0为有理数，但是0没有倒数，选项错误，不符合题意； B、0为有理数，但是0既不是正数也不是负数，此外为正数，但是不是有理数，选项错误，不符合题意； C、和的绝对值相等，但是这两个数不相等，选项错误，不符合题意； D、互为相反数的两个数绝对值相等，选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】此题考查了有理数、绝对值、相反数概念和性质，解题的关键是掌握它们的概念以及性质． 3．（2023秋·全国·七年级专题练习）若，，，且，则与的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质和已知条件即可求出与的值． 【详解】解：，， ，， ， ，． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法，解题的关键在于根据两数之积判断出和的正负性． 4．（2021秋·七年级课时练习）计算–2××0.5的结果是（   ） A． B．– C．– D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可. 【详解】原式= =. 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟知有理数的乘法法则是解题的关键. 5．下列说法中，正确的个数是（    ） （1）0既不是正数，也不是负数  （2）0不是整数  （3）0的相反数是0  （4）0的倒数是0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正负数，整数，倒数，相反数的定义判断. 【详解】（1）由正数、负数的定义可知0既不是正数，也不是负数，正确； （2）整数是正整数、零、负整数的集合，错误； （3）由相反数的定义可知0的相反数是0，正确； （4）由倒数的定义可知0没有倒数，错误. 故选B. 【点睛】本题考查正负数，整数，倒数，相反数的定义，熟知各个定义是关键. 二、填空题 6．（2022秋·广东珠海·七年级珠海市九洲中学校考期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】利用有理数的除法法则，有理数的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：原式= 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的乘除混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7．a的相反数是一，则a的倒数是 ． 【答案】 【分析】先根据相反数的意义求出a的值，再根据倒数的意义进行求解即可得. 【详解】∵a的相反数是一， ∴a=， ∴a的倒数是， 故答案为. 【点睛】本题考查了相反数的意义以及倒数的意义，熟练掌握相反数的概念、倒数的概念以及各自的求解方法是解题的关键. 8．计算：= . 【答案】684 【详解】试题解析： 原式 故答案为 9．绝对值大于 2 且不大于 4 的所有整数的积是 ，和是 ． 【答案】 144 0 【分析】找出绝对值大于2且不大于4的所有整数，求出之积与之和即可． 【详解】解：绝对值大于2且不大于4的所有整数有：-3，-4，3，4， 之积为144，之和为0． 故答案为144，0． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．若a≠0，b≠0，则的值为 【答案】2或0或-2 【详解】试题分析：根据题意，由a≠0，b≠0，可分类讨论： 当a＞0，b＞0时，=1+1=2； 当a＞0，b＜0时，=1-1=0； 当a＜0，b＞0时，=-1+1=0； 当a＜0，b＜0时，=-1-1=-2. 故答案为2或0或2 点睛：此题主要考查了有理数的绝对值的应用，这是中考常考题，难度比较大，解题关键是根据已知由绝对值的意义，分类讨论求解. 三、解答题 11．（2022秋·湖南岳阳·七年级校考阶段练习）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m． 【答案】3或-5 【分析】由a 和 b 互为相反数可得a+b=0，由c 和 d 互为倒数可得cd=1，由m 是绝对值等于 2 的数可得m=2或m=-2，然后分两种情况代入计算即可. 【详解】∵a 和 b 互为相反数， ∴a+b=0， ∵c 和 d 互为倒数， ∴cd=1， ∵m 是绝对值等于 2 的数， ∴m=2或m=-2， 当m=2时， 原式=0+2-1+2=3； 当m=-2时， 原式=0+(-2)-1+(-2)=-5. ∴（a+b）+m﹣cd+m的值是3或-5. 【点睛】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握相反数的定义，倒数的定义及绝对值的意义是解答本题的关键. 12．（2022秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算题． (1) (2) (3) (4)（用简便方法计算） (5)（用简便方法计算） 【答案】(1)2 (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）把分母相同的两个数先加，再利用有理数的加减运算法则进行运算即可； （2）先把和为整数的两个数先加，再把互为相反数的两数先加，从而可得答案； （3）先把带分数化为假分数，再确定符号，再把它们的绝对值相乘即可； （4）利用乘法的分配律把乘以括号内的每一个数，再把所得的积相加即可； （5）先计算绝对值，再把除法转化为乘法，确定符号把原式化为：，再计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除运算，掌握“有理数的加减乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键． 13．一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度。冬冬在山脚测得的温度是2℃，小明此时在山顶测得的温度是-2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？ 【答案】500米． 【分析】先根据题意列出运算式子，再计算有理数的加减乘除运算即可得． 【详解】由题意得：， ， ， ， （米）， 答：这个山峰高500米． 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算的应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键． 14.（1） 已知，|a|=3，|b|=2，且 ab＜0，求 a﹣b 的值． （2）七年级戚红梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a． ①求（﹣2）⊕（﹣3）的值； ②比较大小：（﹣5）⊕4 4⊕（﹣5） 【答案】(1) 5 或﹣5；(2)<. 【分析】（1）根据已知条件和绝对值的性质，得 a=±3，b=±2，且 ab＜0，确定a，b 的符号，求出 a﹣b 的值；（2）①原式利用题中的新定义计算即可得到结果；②各式利用题中的新定义计算得到结果，比较即可． 【详解】（1）∵|a|=3，|b|=2，∴a=±3，b=±2， 又∵ab＜0， ∴a=3，b=﹣2 或 a=﹣3，b=2； 当 a=3，b=﹣2 时，a﹣b=3﹣（﹣2）=5； 当 a=﹣3，b=2 时 ，a﹣b=﹣3﹣2=﹣5； 综上，a﹣b 的值为 5 或﹣5； （2）①（﹣2）⊕（﹣3）=（﹣2）×（﹣3）+2×（﹣2）=6﹣4=2； ②∵（﹣5）⊕4=（﹣5）×4+2×（﹣5）=﹣20﹣10=﹣30； 4⊕（﹣5）=4×（﹣5）﹣2×4=﹣20﹣8=﹣28； ∴（﹣5）⊕4＜4⊕（﹣5），故答案为＜． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 15．三个有理数a、b、c满足abc>0，求++的值． 【答案】3或 【分析】根据绝对值的性质分几种情况解答即可． 【详解】解：， ，，都是正数或两个为负数， 当，，都是正数，即，，时， 则：； ，，有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则； 综上所述，++的值为3或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$