2025年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题

绝密★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟 数 学 姓名 准考证号 全卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。命题：红叶中学教育集团。 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。 2.答题时请按照答题纸上注意事项的要求，在答题纸相应的位置上规范作答。在本试题卷上的作答一律无效。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 现定义一种新函数 ，我们称这函数为“符号函数”，若存在两个集合分别记作A={x|x=3sinθ,θ∈R},B={z|y=lnz,z＜3}，则满足sgn(sgn(xz))=1的正整数对(x,z)的个数为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知a=(3,4)，b=(2,2)，则向量a在向量b上的投影向量的长度为 A. B. C. D. 3. 已知z₁，z₂∈C，θ∈R，i为虚数单位，|z₁+z₂|=5，z₁=3cosθ+3isinθ，若,则|z₂|= A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知随机变量X服从正态分布N(0，σ²). 若P(X≤a)=0.3，P(X≤b)=0.35，则P(X≤a或X≥b)= A. 0.7 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.95 5. 已知椭圆Г：(a>b>0)和抛物线C：y²=2px(p>0)，椭圆Г和抛物线C之间存在公共焦点F，且直线交抛物线C于点A、B，且点A、B在椭圆Г上。则椭圆Г的离心率为z A. B. C. D. A 6. 如右图，点A在空间直角坐标系O-xyz当中，记点A(x,y,z) (x, y, z>0)，则sin∠AOx+2sin∠AOy+3sin∠AOz的最大值为y O [参考公式：（柯西不等式）]第6题图 x A. B. C. D. 7. 已知sinα+cosβ=，α、β∈R，则的最小值为S 数学试题 第1页（共4页） A. -69 B. -68 C. -67 D. -66 8. ，则正确的选项是（参考数据：e≈2.71828） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜a＜c D. a＜c＜b 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 存在一边长为4的正八面体,若点E、F分别为在线段P1A和线段P2B上的动点，则下列选项中正确的是（） A. 平面P1AB与平面P2BC之间的二面角的余弦值为 B. 直线P1C与P2D之间的角度为 C. 若，，则存在EF∥P1P2 D. 若，，则 10. 2024年巴黎夏季奥运会中，奥委会从全球各地选拔出了10名奥运会志愿者候选人，分别有6名男生和4名女生，奥委会将该实名奥运会志愿者进行再一次选拔，则下列选项正确的是 A. 若选拔出4名男生和2名女生，则有90种结果 B. 在满足A选项的条件下，将六名志愿者分配至四项活动当中。每个活动至少一人，则一共有1560种分配方式 C. 在满足A选项的条件下，当6名志愿者分配至A、B、C、D 4项活动中，其中的一名男志愿者和一名女志愿者结伴而行,每个活动至少一人，则一共有1920种分配方式 D. 在满足A选项的条件下，将6名志愿者进行再一次选拔，至少有2名男生和1名女生，则一共有20种分配方式（男、女生并不能全部选拔出来） 11. 已知曲线C：，则下列选项当中正确的是 A. 设经过点的直线l交于曲线C于A、B两点，则A、B两点与组成的三角形面积的最小值为15 B. 若在曲线上存在点E、F，点E在第一或第四象限，点F在第二或第三象限，则的最小值为3 C. 若直线l1交于曲线C于MN两点，点，GM⊥GN，则直线l1过定点 D. 若点P在曲线C上，且在y轴的右侧，，，点H是△PF1F2的旁切圆圆心，PH的延长线交D1D2于点T，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在四棱锥P-ABC中AB=6，BC=CA=5。点P距AB、BC、CA的距离均为3，若一个球相切于平面ABC，且经过△ABC的外心和点P，则该球的半径为 ▲ S 数学试题 第2页（共4页） 13. 若椭圆的右焦点为F，在x轴上点F左侧有一点A，以FA为直径作圆，与椭圆在x轴上方部分交于M，N两点，则 ▲ 14. 现定义一种复数“比大小”的方式：设两数z1，z2∈C，其对应的点分别为Z1和Z2，若|z1|＞|z2|（或|z1|＜|z2|），且直线OZ1绕原点O逆时针旋转至OZ2的最小角度（或弧度）为θ，则（或），对于≥、≤、＝、≠等（不）等号一样适用。 ▲ ；若，，若，则a的取值范围为 ▲ 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，若直接写出答案，则不得分。 15. (13分) 已知， （1） 求证：在定义域中，≥ （2） 若，，且≥，则实数a是否唯一？若唯一，请求出a唯一的值；若不唯一，请求出a唯一的多个值或取值范围。 16. (15分) 1202年，列昂那多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在研究兔子产崽问题时发现了著名的斐波那契数列，并将该数列著在《计算之书》当中。在数学上，斐波纳契数列被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2，n∈N+)。现定义“类斐波那契数列”：F(0)，F(1)均为正数，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2，n∈N+）。 （1） 若F(1)=2，F(2)=3，求F(7)； （2） 若F(3)=5，F(6)=23，求F(1)； （3） 求证：（n≥2m,m∈N+）。 17. (15分) 李华在阅读《走向IMO2019》时，对封面上的多面体（如右图所示）十分感兴趣。通过查找相关资料，她得知了这个多面体名为小星状正十二面体，最早出现于保罗·乌切洛在1430年创作于威尼斯圣马尔谷圣殿宗主教座堂地板上的镶嵌艺术中。一个正十二面体有12个以顶点为顶点的正五边形截面，取这些面做五角星就能得到这个立体。 （1） 设该多面体也可以通过在一个正十二面体的每个平面上粘连一个全等的正五棱锥得到，设其中一个正五棱锥为S-ABCDE，求二面角A-SB-C的二面角的余弦值； （2） 李华查阅了更多资料发现：小星状正十二面体是一种星形正多面体（开普勒-庞索特多面体），它们是一类非凸多面体，共有四个。大二十面体也是一种星形正多面体，由20个正三角形组成，且每个顶点都是5个三角形的公共顶点，但其以类似五角星的方式安排面的位置，使面互相相交（如下图1）。李华想要制作一个大二十面体模型赠送给刘老师，于是绘制了其展开图，下图2是展开图的局部，可以发现展开图中共有两种不同的三角形，试求出小等腰三角形的腰的长度与底的长度的比值。S 数学试题 第3页（共4页） 18. (17分) “彭赛列闭合定理”是由法国数学家彭赛列发现的几何中一个奇绝神妙的定理.其在n=3（n为边数）的情况是：给定两条不同的圆锥曲线，若存在三角形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此三角形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（外接一条曲线，内接另一条曲线）性质的封闭三角形的顶点。称满足这样性质两条圆锥曲线是“彭赛列闭合”的，满足这样性质的三角形称为关于这两条圆锥曲线的“彭赛列三角形”。 现给定抛物线C：x2=4y，F是该抛物线的焦点，圆P以F为圆心作圆P。若C与P是“彭赛列闭合”的。 （1） 求⊙P的标准方程； （2） 若△ABC是关于C和P的一个“彭赛列三角形”，求证：△ABC外接圆与x轴相切。 19. (17分) 高中阶段所学函数是实变函数［即定义域为R或D（）］，实际上，那只是函数界中的“冰山一角”。现在，让我们把眼光放长远一点，把向量应用到函数中来，形成 （其中、、为实变函数，，，）的形式，这种函数被叫做“矢变函数”（又叫“矢性函数”）。 （1） 在空间直角坐标系O-xyz中求出（a∈R且a＞0）所在曲面组成的矢性函数（θ指从坐标原点与图像上的点的连线在平面xOy上的投影顺时针到x轴正半轴的弧度）； 在矢变函数中也有类似“导数”的概念，我们称矢变函数中的“导数”叫做“导矢”，计算方法和求一个实变函数的方法一样（）。记矢变函数的导矢为“”或“”（其中的为矢变函数的微分）。 （2） 已知，求； 现定义一种新运算 若，，则， 为向量与向量之间的数量积。 （3） ①证明： ②证明：（可用公式：） S 数学试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$