训练14 导数的几何意义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

AI伴学助手 在线答疑 训练十四 导数的几何意义 基础练 巩固应用 1.下面说法正确的是 ( ) A.若f'(x?)不存在，则曲线y=f(x)在点 (xo,f(x?))处没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x。,f(x?))处有 切线，则f'(x?)必存在 C.若f(x?)不存在，则曲线y=f(x)在点 (x?,f(x?))处的切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(xo,f(x?))处没 有切线，则f(x。)有可能存在 2.如图，函数y=f(x)的图 象在点P(2,y)处的切线 是l,则f(2)+f(2)等 0 y=f(x) 于 ( ) A.—4 B.3 C.—2 D.1 3.曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方 程是x+y+1=0,则 ( ) A.a=1,b=1 B.a=—1,b=1 C.a=1,b=—1 D.a=—1,b=—1 (2,1)4.过正弦曲线 y=sin x上的点 的切线 与y=sin x的图象的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 5.已知函数f(x)在x?处的导数为f'(x?)= 1,则函数 f(x)在 x。处切线的倾斜角为 6.若曲线f(x)=x2+2x在点P处的切线垂 直于直线x+2y=0,则点P的坐标是 7.已知直线l:y=4.x+a和曲线C:y=f(x) =x3-2x2+3 相切，求 a的值及切点 坐标. 能力练 迁移运用 f(x)=是8.曲线 在点(3,3)处的切线的倾斜 角为 ( ) c.3 D.3A.4 B.3 9.已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在x =0处的导数f(0)>0,函数 f(x)的图象 (0与x轴恰有一个交点，则 的最小值为 ( ) B. D.5A.2 C.3 10.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的 图象如图，那么y=f(x),y=g(x)的图 象可能是 ( ) y y=g'x) y=f(x) o xo y=f(x) y=g(x)y+ y=f(x) y? y=f(x) y=g(x) y=f(x)yg(x) y=g(x) o 0 o 第0 ol 第0 o 第0 A B C D 27 ?高中数学·选择性必修 第二册 11.已知函数f(x)=x2+3,则f(x)在(2, f(2))处的切线方程为 12.(河北衡水重点中学联考)已知函数 g(x) 与f(x)=x2(x∈[0,+○)]的图象关于 直线y=x对称，将g(x)的图象先向右平 移2个单位长度，再向下平移2个单位长 度得到 h(x)的图象，若P,Q分别为函数 f(x),h(x)图象上的两个动点，则这两点 间距离的最小值为 13.火箭发射ts后，其高度(单位：m)为 h(t) =0.9t2.求： (1)在1≤t≤2 这段时间里，火箭爬高的 平均速度； (2)发射后第 10 s时，火箭爬高的瞬时 速度. 创新练 素能培优 14.已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)= x3+bx,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x) 在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求 a,b的值. 28 能力练迁移运用 y=aAn+b(A)2=a+b△z,所以f(z)=8.C 因为 lim会Y=lim(a+b△z)=a. 9.AD 由导数的定义可知，函数 f(x)在x=x。处的导数 与x。有关，与h无关，故选 AD. 10. B 当0<0≤时,S的增长速度越来越快:当<0 <π时，S的增长速度越来越慢，所以B选项符合.故 选B. f(0)=1f(Aa)=f(O=11.解析 由导数的定义，得 lia(A)2+b(Aa)+c=C=Iimla(Ax)+b]=b>0.又 A=62-4ac≤0,a>0,Tac,⋯c>0.F0)= a+b+e>b+2×a>=2. a=c=2当且仅当 时等 号成立. 答案 2 12.解析∵△y=(1+△x)2+1—(12+1)=2△x+(△x)2, :会=2+Ax,∴割线斜率为2+△v.当△x=0.1时， 割线PQ的斜率k=2+0.1=2.1.当 △x=0.001时， 割线PQ的斜率k=2+0.001=2.001. 答案 2.1 2.001 △y=(1+Ax)-1+A-(1-÷)13.解 因为 =Ax+1+Ax -+-1所 im=Iim(1+1+Ac)=2, 所以f(1)=2, y=a-1即函数 在x=1处的导数为2. 创新练素能培优 14.解 山路从A到B高度的平均变化率为 h=会y=50-0=亏， 山路从 B到C高度的平均变化率为 hc=会y=75-50=4, ∵hm>hAp, ∴山路从B到C比从A 到B要陡峭的多. 训练十四 导数的几何意义 基础练巩固应用 1.C f'(x。)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x?,f(x?)) 处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存 在，但存在切线. 2.D 直线l的方程为蛋+4=1, 即x+y-4=0. 又由题意可知 f(2)=2,f(2)=-1, ∴f(2)+f'(2)=2-1=1. 3.D 将(0,b)代入切线方程可得0+b+1=0,∴b=-1, y=li光=2a+a,∴当x=0时，y'=a=-1. 由题意，y=f(x)= sin x,则f(晋)=4.D (2+a)-m章- 当 △x→0 时，cos Ax→1,∴f(晋)=0.∴曲线y=sin a的切线 方程为y=1,且与y=sin x的图象有无数个交点。 5.解析 设切线的倾斜角为α,则 tana=f(x?)=1,又0° ≤a<180°,∴α=45°. 答案 45° 6.解析 设P(x?,y?),则 f(a)=t(a+Ao)+2(a+Aa)-2-2a =lim(2x?+2+△x)=2x?+2.因为点P处的切线垂直 于直线x+2y=0,所以点P处的切线的斜率为2,所以 2x?+2=2,解得x。=0,即点P的坐标是(0,0). 答案(0,0) 7.解 设直线l与曲线C相切于点P(x?,y?), fa?+A)-f(a)易得 _(za+Ao°-2(a+A2+3-(2-28+3 _3Aa+3.(A0°+(a°-42.Aa-2(G0° =3x3+3x,△x+(△x)2-4x?-2△x. 当△x→0时，f(a?+A)-f(a)>3z2-4z?, 所以由导数的几何意义知3x3-4x?=4, xo=-号或x?=2,解得 (-3,)所以切点的坐标为 或(2,3). (-3,去)时，有能=4×(-号)+a,当切点为 解得a=21, 当切点为(2,3)时，有3=4×2+a,解得a=-5. a=2 (-3,2);综上， 时，切点坐标为 当a=-5时，切点坐标为(2,3). 能力练迁移运用 f(a)=Imfa+A)-f(a=9 lim8.C 因 为 1 +A“=-9 Iima+Aa)a=-,,所以f'(3)= -1.因为切线的倾斜角的范围为(0,π),所以所求倾斜 角为 61 9.A 因为f(x)=ax2+bx+1(a≠0),所以f(0)=lim a(O+A)2+b(O+Aa)+1-(0+0+1=in(aAz+b) =b>0.因为函数 f(x)的图象与x轴恰有一个交点，所 以B-4a=0,a=,所以=+6+1=4+号+ 1≥2√4·号+1=2,当且仅当4=1,即b=2 时，等 f(0号成立，故 的最小值为2. 10.D 从导函数的图象可知两个函数在x。处斜率相同， 可以排除 B、C.由于导函数的函数值反映的是原函数 的斜率大小，可明显看出y=f(x)的导函数的值在减 小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 11.解析∵f(x)=x2+3,x。=2,∴f(2)=7,△y=f(2+ Ax)-f(2)=4△x+(△x)2,∴A=4+△x.∴ lim =4.即f(2)=4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2, f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2),即 4x—y-1 =0. 答案 4x—y-1=0 12.解析 由已知得将直线y=x先向右平移1个单位长 度，再向下平移1个单位长度可得函数 f(x)和h(x)图 象的对称轴，即直线y=x-1-1,即y=x-2,所以P, Q两点之间距离的最小值等于点P到直线y=x-2 距离的最小值的2 倍，易知当点P到直线y=x-2的 距离最小时，f(x)的图象在点P处的切线平行于直线 f(zo+Ax)-f(z)=y=x-2,设 P(x?,y?),则 (Z?+A2-=(Aa3+2r?A=Aa+2m。当△x→ 0时，fz+Ax)-f(x)→2z,故函数 f(x)=x2的 图象在点P处的切线斜率为2x?,故2x?=1,解得x?= 2,则y。=4,所以点P到直线y=x-2距离的最小 -1-g值为- ,所以P,Q两点之间距离的 2×782=74.最小值为 74答案 (1)∵5=n(2-h(1)=0.9×22-0.9×1213.解 =2.7(m/s), ∴在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m/s. (2)×lih(100+A)-h(0 =0.9(10+A)2-0.9×10°=0.9A2+18 =lim(0.9△t+18)=18, ∴发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度为18 m/s. 创新练素能培优 ∵f(a)=Iim14.解 =Iia(z+Am3+1-(a2+1)=2ax, ∴f(1)=2a,即切线斜率k=2a. ∵g(x)=li =lim(a+A2+bGa+Ax)-(a2+ba) =3x2+ ∴g'(1)=3+b,即切线斜率k?=3+b. ∵在交点(1,c)处有公共切线， ∴2a=3+b. o=3,又∵a+1=1+b,即a=b,故可得 训练十五 基本初等函数的导数 基础练巩固应用 1.B 由f(x)=4x3知f(x)中含有x?项，然后将x=1 代入选项中验证可得f(x)=x?-2.故选B. 2.D 切线的斜率k=tan 4m=-1,,设切点为(x?,y?),则 f(o)=-1,又f(a)=-1,∴-1=-1,tm。=1 或-1,∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选 D. 3.ABC A √ f(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,有 “巧值点” f(a)=-,令1=-1,得x=—1,有B √ “巧值点” f(a)=1,令In a=1,结合y=In x,y= C √ 12 In x=1;的图象，知方程 有解，有“巧 值点” D X f'(x)=-e?“,令一e“=e*,得e?=0,与 e?*>0矛盾，没有“巧值点” ∵s=号+.∴当t=4时，=号×=4.B 10 v=1,a>0.5.解析 由y=In x,可得 yl2=1=2,设切点为(x?,y?),则： 解得x。=2, 故切点为(2,In 2),将该点坐标代入直线方程得In 2= 1×2+b-1,,解得b=1n 2. 答案 In 2 6.解析∵y=(e?)=e2,∴在点(2,e2)处的切线斜率为 k=e2,∴曲线在点(2,e2)处的切线方程为 y-e2=e2(x -2),即y=e2x-e2.当x=0时，y=-e2,当y=0时，x =1.∴s=1×1×1-el=2e. 2e答案 62