训练13 导数的概念-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

在点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,所以a=1,由 点(0,b)在切线上，可得0—b+1=0,即b=1.故选 A. (3)-5(1)10.ABD 该物体在1≤t≤3 时的平均速度是 =71-15=28,A. 正确；物体在t=4 时的瞬时速度是 i?+A)-s(4)=lin(56+7△)=56,故B正确；物 体的最大位移是7×52+8=183,C错误；物体在t=5 im?+A)-5=Iim(70+7△)=时的瞬时速度是 70,D正确。故选ABD. 11.解析 因为函数f(x)=x2—x在区间[-2,t]上的平 均变化率是2, 所以f()--(5)2)=2-)-[(-2)2-(-2)=2, 即t2—t-6=2t+4,从而t2-3t-10=0,解得t=5或t =-2(舍去). 答案 5 12.解析 设P(x?,y。),则y?=x2+1, 易得曲线f(x)=x2+1在点P处的切线的斜率为 lim(z+Ax)2+1-(a2+1)=2x 所以曲线f(x)在点P处的切线方程为y-(x3+1)= 2x。(x—x?),即y=2x?x+1-x2 又因为该直线与曲线y=-2.x2-1相切， 所以该直线与曲线y=—2x2-1只有一个公共点. =-2a-1-由 得2x2+2x?x+2—x3=0, 则△=4.x2-8(2—x2)=0, x?=±233,则 y。=3,解得 (23,3)或(-233,3).所以点P的坐标为 (235,3)或(-23,3)答案 13.解(1)由题意得，割线 AB的斜率为 f(2+A)-f(2)=-(2+Aa3+2+Aa-(-4+2) =-3Aa-(A)2=-3-Am. 由-3-△x≤-1,得△x≥-2. 又因为△x>0,所以△x的取值范围是(0,+). (2)由(1)可得函数 f(x)=—x2+x的图象在点A(2, f(2))处的切线的斜率为lim(-3-△x)=-3. 又 f(2)=-22+2=-2. 所以所求切线方程为y-(-2)=-3(x-2),即3x+y —4=0. 创新练素能培优 14.解 设P(x?,y。)是满足条件的点，曲线 f(x)=x2在 k=lim?+Aa)°-点P(x?,y?)处切线的斜率为 =2x?, (1)∵切线与直线y=4x-5平行，∴2x?=4,x?=2, y?=4,即P(2,4)是满足条件的点. (2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直，∴2x?×1= x=-2,y。=4,即P(-2,4)-1,得 是满足条 件的点. (3)因为切线的倾斜角为135°,所以其斜率为-1,即 xo=-2,yo=4,即P(-2,4)2x?=-1,得 是满 足条件的点。 训练十三 导数的概念 基础练巩固应用 会y-(z+A-2=3Aa22+3(A°a+(21.C =3a2+3Ax·a+(△)2,所以lim=3a2,yl==3. =f(m+Az)-(m)m2a-2_2.D m(m+2A,∴.f(m)=lim(m+A)=-,- =-2,m2=4,解得m=±2. 3.C∵f(x)图象过原点，∴f(0)=0,∴f(0)= ifO+A)-fO=1if(A0)=-1,故选C. limf(1+x)-f(1)=14.A 因为f'(1)=1,所以 所以mfa+D)-f①=2f1+2)-r1=12. 5.解析 ∵△V=V(2+△r)-V(2)=4m(2+A°- 4mX22=4m·Ar[12+6Ar+(A2],:.Y=[12+ 6Ar+(△)2],∴limAY=16π. 答案 16π 6.解析 f(-1+△x)—f(-1)=a(-1+△x)3+2— (-1)3a-2=a(△x)3-3a(△x)2+3a△x, :.f(-1+A)-f(-1)=a(Ax)2-3aAz+3a. 当 △x→0时，a(△x)2-3a△x+3a→3a, ∴f(-1)=3a=3,∴a=1. 答案 1 7.解 因为质点在t=4s到(4+△t)s的位移改变量 △y=(△t+4)?+3-(4?+3) =(△t)3+12(△t)2+48△t, 0=会所以该时间段内的平均速度 =(A°+12(A°+48A=(Ao2+12z+48. o(4)=lim[(△t)2+12△+48]=48. 所以质点在t=4 s时的瞬时速度为48 m/s. 60 能力练迁移运用 y=aAn+b(A)2=a+b△z,所以f(z)=8.C 因为 lim会Y=lim(a+b△z)=a. 9.AD 由导数的定义可知，函数 f(x)在x=x。处的导数 与x。有关，与h无关，故选 AD. 10. B 当0<0≤时,S的增长速度越来越快:当<0 <π时，S的增长速度越来越慢，所以B选项符合.故 选B. f(0)=1f(Aa)=f(O=11.解析 由导数的定义，得 lia(A)2+b(Aa)+c=C=Iimla(Ax)+b]=b>0.又 A=62-4ac≤0,a>0,Tac,⋯c>0.F0)= a+b+e>b+2×a>=2. a=c=2当且仅当 时等 号成立. 答案 2 12.解析∵△y=(1+△x)2+1—(12+1)=2△x+(△x)2, :会=2+Ax,∴割线斜率为2+△v.当△x=0.1时， 割线PQ的斜率k=2+0.1=2.1.当 △x=0.001时， 割线PQ的斜率k=2+0.001=2.001. 答案 2.1 2.001 △y=(1+Ax)-1+A-(1-÷)13.解 因为 =Ax+1+Ax -+-1所 im=Iim(1+1+Ac)=2, 所以f(1)=2, y=a-1即函数 在x=1处的导数为2. 创新练素能培优 14.解 山路从A到B高度的平均变化率为 h=会y=50-0=亏， 山路从 B到C高度的平均变化率为 hc=会y=75-50=4, ∵hm>hAp, ∴山路从B到C比从A 到B要陡峭的多. 训练十四 导数的几何意义 基础练巩固应用 1.C f'(x。)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x?,f(x?)) 处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存 在，但存在切线. 2.D 直线l的方程为蛋+4=1, 即x+y-4=0. 又由题意可知 f(2)=2,f(2)=-1, ∴f(2)+f'(2)=2-1=1. 3.D 将(0,b)代入切线方程可得0+b+1=0,∴b=-1, y=li光=2a+a,∴当x=0时，y'=a=-1. 由题意，y=f(x)= sin x,则f(晋)=4.D (2+a)-m章- 当 △x→0 时，cos Ax→1,∴f(晋)=0.∴曲线y=sin a的切线 方程为y=1,且与y=sin x的图象有无数个交点。 5.解析 设切线的倾斜角为α,则 tana=f(x?)=1,又0° ≤a<180°,∴α=45°. 答案 45° 6.解析 设P(x?,y?),则 f(a)=t(a+Ao)+2(a+Aa)-2-2a =lim(2x?+2+△x)=2x?+2.因为点P处的切线垂直 于直线x+2y=0,所以点P处的切线的斜率为2,所以 2x?+2=2,解得x。=0,即点P的坐标是(0,0). 答案(0,0) 7.解 设直线l与曲线C相切于点P(x?,y?), fa?+A)-f(a)易得 _(za+Ao°-2(a+A2+3-(2-28+3 _3Aa+3.(A0°+(a°-42.Aa-2(G0° =3x3+3x,△x+(△x)2-4x?-2△x. 当△x→0时，f(a?+A)-f(a)>3z2-4z?, 所以由导数的几何意义知3x3-4x?=4, xo=-号或x?=2,解得 (-3,)所以切点的坐标为 或(2,3). (-3,去)时，有能=4×(-号)+a,当切点为 解得a=21, 当切点为(2,3)时，有3=4×2+a,解得a=-5. a=2 (-3,2);综上， 时，切点坐标为 当a=-5时，切点坐标为(2,3). 能力练迁移运用 f(a)=Imfa+A)-f(a=9 lim8.C 因 为 1 +A“=-9 Iima+Aa)a=-,,所以f'(3)= -1.因为切线的倾斜角的范围为(0,π),所以所求倾斜 角为 61 训练十三 导数的概念 AI伴学助手 在线答疑 鉴 基础练 巩固应用 1.函数 y=x3在x=1处的导数为 ( ) A.2 B.—2 7.如果一个质点从固定点 A开始运动，时间 t的位移(单位：m)函数为y=f(t)=t3+ 3,求当t=4 s时的瞬时速度. C.3 D.—3 y=f(x)=2,且f(m)=-2,2.已知函数 则m的值为 ( ) A.—4 B.2 C.—2 D.±2 3.若可导函数 f(x)的图象过原点，且满足 limf(A=-1,则f(0)等于 ( ) A.—2 B.2 C.—1 D.1 4.如果函数 y=f(x)在x=1处的导数为1, f(a+1)-f(1)=那么lim ( ) A. B.1 C.2 D.4 5.已知球的体积V是关于半径 r 的函数， V(r)=4r,,则当r=2时，球的体积的瞬 时变化率为 能力练迁移运用 8.设函数 f(x)在点x。附近有定义，且有 f(x?+△x)—f(x?)=a△x+b(△x)2(a,b 为常数),则 ( ) A.f(x)=a B.f'(x)=b C.f(x?)=a D. f'(x?)=b 9.(多选)若函数 f(x)在x=x。处存在导数， f(a?+h)-f(ao)则lim 的值 ( )h→0 6.(江西南昌四校联考)设函数 f(x)=ax3+ A.与x。有关 B.与h有关 2,若f(-1)=3,则a= C.与x。无关 D.与h无关 25 ?高中数学·选择性必修 第二册 10.(福建三明高二期末)如图， AB是圆的切线，P是圆上的 P 动点，设∠PAB=0(0<θ< A B π),AP扫过的圆内阴影部分的面积S是 0的函数.这个函数的图象可能是( ) S4 0 A 0 S4 0 B S4 0 C 0 S4 0 D 0 11.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c的导 数为f'(x),已知 f'(0)>0,且对于任意 0实数 x,有 f(x)≥0,则 的最小值为 创新练 素能培优 14.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第 一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八， 慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容 爬十八盘的感受，下面是一段登山路线 图.同样是登山，但是从 A处到 B处会感 觉比较轻松，而从 B处到C处感觉比较 吃力.想想看，为什么?你能用数学语言 来量化 BC段曲线的陡峭程度吗? 4y/m 30 D 15 10 B C Ao 50 70 1007m 12.过曲线y=x2+1上两点 P(1,2)和 Q(1 十△x,2+△y)作曲线的割线，当△x=0.1 时，割线的斜率k= ,当 △x= 0.001时，割线的斜率k= 13.求函数y=a-1在x=1处的导线. 26