训练12 变化率问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

AI伴学助手 在线答疑 训练十二 变化率问题 墨 6.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中 s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3 秒末的瞬时速度是 米/秒. 基础练 巩固应用 1.(多选)物体运动方程为s(t)=3t2(位移单 7.枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直 线运动，其路程(单位：m)与时间(单位：s) 的关系为s(t)=2at2 位：m,时 间 单 位：s),若 v= lim →0 s(3+A)-s(3)=18 m/s,则下列说法中 正确的是 ( ) ,如果枪弹的加速度a =5×10?m/s2,且当t=1.6×10-3s时， 枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬 时速度. A.18 m/s是物体从开始到 3 s这段时间 内的平均速度 B.18 m/s是物体从3 s到(3+△t)s这段 时间内的速度 C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时 速度 D.18 m/s是物体从3 s到(3+△t)s这段 时间内的平均速度的极限值 2.函数f(x)=√3m从x=g到x=3的平均 变化率为 ( ) B.4 D.√2A.2 C.3 3.(陕西宝鸡高二下期末)一个物体做直线运 动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间 的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体 在1≤t≤2 这段时间内的平均速度为 20 m/s,则实数 m的值为 ( ) 能力练 迁移运用 8.如果函数 y=ax+b在区间[1,2]上的平 均变化率为3,则a的值为 ( ) A.—3 B.2 A.2 B.1 C.—1 D.— C.3 D.—2 9.(河北保定二中月考)若曲线y=x2+ax+y=22-2上一点P(1,-2),4.已知抛物线 b在点(0,b)处的切线方程是x—y+1=0, 则 ( )则在点P处的切线的倾斜角为 ( ) A.30° B.45 A.a=1,b=1 B.a=—1,b=1 C.135° D.165° C.a=1,b=—1 D.a=—1,b=—1 5.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 10.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)= 7t2+8(0≤t≤5),则 ( )f(x)在[-2,1]上 的 平 均 变 化 率 为 ;函数 f(x)在[-2,3]上的平均 变化率为 A.该物体当1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在 t=4时的瞬时速度是56 y C.该物体位移的最大值为43 3 D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 —2— 11.函数f(x)=x2—x在区间[-2,t]上的平 01 2 均变化率是2,则t= 23 ?高中数学·选择性必修 第二册 12.已知点P在曲线f(x)=x2+1上，且曲 线f(x)在点P处的切线与曲线y= —2.x2—1相切，则点P的坐标为 13.已知函数 f(x)=—x2+x图象上两点 A(2,f(2)),B(2 + △x,f(2+ △x)) (△x>0). (1)若割线 AB的斜率不大于—1,求△x 的取值范围； (2)求曲线f(x)在点 A(2,f(2))处的切 线方程. 创新练 素能培优 14.曲线 f(x)=x2上哪一点处的切线满足 下列条件? (1)平行于直线y=4x-5; (2)垂直于直线 2x—6y+5=0; (3)倾斜角为135°. 24 能力练迁移运用 8.C 增加一个顶点，就增加 n+1-3条对角线，另外原来 的一边也变成了对角线，故 f(n+1)=f(n)+1+n+1 -3=f(n)+n-1.故选C. 9.AD 由题意知 p(k)对k=2,4,6,⋯,2 002 成立，当k 取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选 AD. [k+2+k+3+⋯+10.B 不等式左边需添加的项是 3[k+1]-(4++2+⋯+录)=3k+1+3k+2 +3k+3-k+1 故选 B. f(k)=1+(k+1),11.解析 f(Q+1)=1+(k+1D(k+2), ∴f(k+1)—f(k) =[1+k+1](k+2]-[1+k+1)]=k+1, ∴f(k+1)=f(k)+(k+1). 答案 k+1 创新练素能培优 12.解析 假设当n=k(k≥2且k为偶数)时，等式成立，即1 (42+k+4+⋯+)成立.由于对所有正偶数等式都 成立，则归纳递推时，应该是再证明取下一个偶数时， 等式也成立。所以应证明当 n=k+2时，等式也成立。 故答案为k+2. 答案 k+2 13.解(1)令x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0 ×0→f(0)=0. (2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4, f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9, f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16. (3)猜想 f(n)=n2,下面用数学归纳法证明. 当 n=1时，f(1)=1满足条件. 假设当 n=k(k∈N*)时成立，即f(k)=k2,则当 n=k +1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k +1)2,从而可得当 n=k+1时满足条件，所以对任意 的正整数 n,都有f(n)=n2. 14.解 观察各式，可得一般规律：13+23+3?+⋯+n3 =[a(nt1]. 用数学归纳法证明如下： =(1×2)2=1,(1)当 n=1时，左边=13=1,右过 ,等式 成立； (2)假设当n=k(k∈N*)时，等式成立， 即13+22+3°+⋯+k=[a&+1], 那么当n=k+1时， 12+22+3°+⋯+&+(a+1°=[a+1]+(k+1D =4(k+1)2+(k+1)(k+1)2=(k+12(4+k+1) =(k+1)2(k3+4k+4)=(k+10°(k+2)2 =[(k+1)(a+1+1], 故当 n=k+1时，等式也成立. 综上可知，等式对于一切正整数n都成立. 训练十二 变化率问题 基础练巩固应用 1.CD 2.B 函数f(x)从x=3到x=3的平均变化率为 网- 3.A △s=s(2)—s(1)=6×22+2m—(6×12+m)=18+ m,△t=2-1=1.因为物体在1≤≤2这段时间内的平 均速度为20m/s,所以会=18+m=20,解得m=2. -[za+ao]-]-(x1-2)-1,世切4.B 线的倾斜角为45°. 5.解析 从题图中可以看出f(-2)=-1,f(1)=1,f(3) =3,所以函数 f(x)在[-2,1]上的平均变化率为 f1-(-2)2=1-(-1)=3, 函 数 f(x)在 f(3-(-2)2=3-(-1[-2,3]上的平均变化率为 =4. 34答案 6.解析 ∵△s=s(3+△t)—s(3)=1-(3+△t)+(3+△t)2 -1+3-32=A2+5At,.会=5+At,∴当t=3时，瞬 时速度是lim(5+△t)=5米/秒。 答案 5 s(t)=2a2,7.解 因为 △s=2a(t+△)3-2at2=ata+2a(A)2,所以 所以会=a+-aAt. ,一趋于at.当 △t趋于0时 由题意知a=5×10?m/s2,t=1.6×10-3s, 所以at=8×102=800(m/s), 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 能力练迁移运用 Ay=(2a+b)-(a+b)=8.C 根据平均变化率的定义，可知 a=3. 9.A 由题意可知曲线在点(0,b)处的切线的斜率k=lim (0+A)2+a(O+Az)+b-b=Iim(a+a)=a.又曲线 59 在点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,所以a=1,由 点(0,b)在切线上，可得0—b+1=0,即b=1.故选 A. (3)-5(1)10.ABD 该物体在1≤t≤3 时的平均速度是 =71-15=28,A. 正确；物体在t=4 时的瞬时速度是 i?+A)-s(4)=lin(56+7△)=56,故B正确；物 体的最大位移是7×52+8=183,C错误；物体在t=5 im?+A)-5=Iim(70+7△)=时的瞬时速度是 70,D正确。故选ABD. 11.解析 因为函数f(x)=x2—x在区间[-2,t]上的平 均变化率是2, 所以f()--(5)2)=2-)-[(-2)2-(-2)=2, 即t2—t-6=2t+4,从而t2-3t-10=0,解得t=5或t =-2(舍去). 答案 5 12.解析 设P(x?,y。),则y?=x2+1, 易得曲线f(x)=x2+1在点P处的切线的斜率为 lim(z+Ax)2+1-(a2+1)=2x 所以曲线f(x)在点P处的切线方程为y-(x3+1)= 2x。(x—x?),即y=2x?x+1-x2 又因为该直线与曲线y=-2.x2-1相切， 所以该直线与曲线y=—2x2-1只有一个公共点. =-2a-1-由 得2x2+2x?x+2—x3=0, 则△=4.x2-8(2—x2)=0, x?=±233,则 y。=3,解得 (23,3)或(-233,3).所以点P的坐标为 (235,3)或(-23,3)答案 13.解(1)由题意得，割线 AB的斜率为 f(2+A)-f(2)=-(2+Aa3+2+Aa-(-4+2) =-3Aa-(A)2=-3-Am. 由-3-△x≤-1,得△x≥-2. 又因为△x>0,所以△x的取值范围是(0,+). (2)由(1)可得函数 f(x)=—x2+x的图象在点A(2, f(2))处的切线的斜率为lim(-3-△x)=-3. 又 f(2)=-22+2=-2. 所以所求切线方程为y-(-2)=-3(x-2),即3x+y —4=0. 创新练素能培优 14.解 设P(x?,y。)是满足条件的点，曲线 f(x)=x2在 k=lim?+Aa)°-点P(x?,y?)处切线的斜率为 =2x?, (1)∵切线与直线y=4x-5平行，∴2x?=4,x?=2, y?=4,即P(2,4)是满足条件的点. (2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直，∴2x?×1= x=-2,y。=4,即P(-2,4)-1,得 是满足条 件的点. (3)因为切线的倾斜角为135°,所以其斜率为-1,即 xo=-2,yo=4,即P(-2,4)2x?=-1,得 是满 足条件的点。 训练十三 导数的概念 基础练巩固应用 会y-(z+A-2=3Aa22+3(A°a+(21.C =3a2+3Ax·a+(△)2,所以lim=3a2,yl==3. =f(m+Az)-(m)m2a-2_2.D m(m+2A,∴.f(m)=lim(m+A)=-,- =-2,m2=4,解得m=±2. 3.C∵f(x)图象过原点，∴f(0)=0,∴f(0)= ifO+A)-fO=1if(A0)=-1,故选C. limf(1+x)-f(1)=14.A 因为f'(1)=1,所以 所以mfa+D)-f①=2f1+2)-r1=12. 5.解析 ∵△V=V(2+△r)-V(2)=4m(2+A°- 4mX22=4m·Ar[12+6Ar+(A2],:.Y=[12+ 6Ar+(△)2],∴limAY=16π. 答案 16π 6.解析 f(-1+△x)—f(-1)=a(-1+△x)3+2— (-1)3a-2=a(△x)3-3a(△x)2+3a△x, :.f(-1+A)-f(-1)=a(Ax)2-3aAz+3a. 当 △x→0时，a(△x)2-3a△x+3a→3a, ∴f(-1)=3a=3,∴a=1. 答案 1 7.解 因为质点在t=4s到(4+△t)s的位移改变量 △y=(△t+4)?+3-(4?+3) =(△t)3+12(△t)2+48△t, 0=会所以该时间段内的平均速度 =(A°+12(A°+48A=(Ao2+12z+48. o(4)=lim[(△t)2+12△+48]=48. 所以质点在t=4 s时的瞬时速度为48 m/s. 60