训练5 等差数列的前n项和-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

AI伴学助手 在线答疑 训练五 等差数列的前 n项和 (2)已知 a?=1,a,=-512,S,=—1 022, 求d; 基础练巩固应用 1.(江苏南京师范大学附属中学高二期中)记 S,为等差数列{a,}的前 n项和.若a?=3, (3)已知 S?=24,求 a?+a?. a?=11,则S?= ( ) A.72 B.64 C.56 D.48 2.已知等差数列{a,}的前 n项和为S,,且满 s-s=1,足 ,则数列{a,}的公差是 ( ) A. B.1 C.2 D.3 3.等差数列{a,}的前四项之和为124,后四 项之和为156,各项和为210,则此数列的 项数为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知等差数列{a,}的前 n项和为S,.若 S18=S0,则一定有 ( ) A.a??=0 B.a?8=0 能力练迁移运用 C.S?9=0 D.S?8=0 5.设等差数列{a,}的前 n项和为S,,若a?+ a?>0,a?+a?<0,则 S? 0,S10 0.(填“<”或“>”) 6.在等差数列{a,}中，S1o=120,且在这10 s=项中， ,则公差d= 7.在等差数列{a,}中： a?=3,d=-2,s=-15,求m(1)已知 及am; 8.(浙江杭州高二期中)已知等差数列{a,}的 公差为正数，且a?a?=—12,a?+a?=—4, 则 S2?= ( ) A.—90 B.—180 C.210 D.180 9.已知命题：“在等差数列{a,}中，若 4a?+ a??+a( )=24,则 Si为定值”为真命题， 由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可 推得括号内的数为 ( ) A.15 B.24 C.18 D.28 9 ?高中数学·选择性必修 第二册 10.(多选)已知 S,是等差数列{a}的前 n项 和，下列选项中可能是S,的图象的是 ( ) S。 S n 1.1 —2-10 n A B S? S? -2 -2 -3 C D 11.已知等差数列{a,}的前 m(m为奇数)项 的和为135,其中偶数项之和为63,且am —a?=14,则a100= . 12.设 S,是数列{a,n}的前 n项和，且a?= -1,a?+1=S,Sa+1,则S= 13.已知在数列{a,}中，a?=—6,a?=-4,记 A(n)=a?+a?+⋯+a,,B(n)=a?+a?+ ⋯+an+1,C(n)=a?+a?+⋯+an+2,若对 于任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)构成等 差数列. (1)求数列{a,}的通项公式； (2)求数列{|a,|}的前 n项和. 创新练 素能培优 14.已知公差大于 0 的等差数列{a,}的前 n 项和为 Sn,且满足a?a?=117,a?+a? =22. (1)求通项公式 a,; b.=nsc(2)若数列{b}满足 ,是否存在 非零实数c,使得{b,}为等差数列?若存 在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 10 ∴b?+b?m9≥2√b?b2o19, 即bbm≤(?+ba)2=100, 当且仅当b?=b?01=10时取等号， ∴(b?Oz019)mx=100. 答案 100 13.解 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为 {c,},c?=11, 又等差数列5,8,11,⋯的通项公式为a=3n+2, 等差数列3,7,11,⋯的通项公式为b。=4n-1. 所以数列{c,}为等差数列，而已知的两个数列的公差 分别为3和4,所以{c,}的公差d=3×4=12, ① 所以ca=11+(n-1)×12=12n-1. 又a1o=302,b10o=399,ca=12n-1≤302, ② 得n≤254,可见已知两数列共有25个相同的项. 创新练素能培优 14.解 设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价 不低于440元，售价依台数 n成等差数列。设该数列为 {a,}. a=780+(n-1)(-20)=800-20n, 解不等式a?≥440,即 800-20n≥440,得n≤18. 当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800-20n) 元，当台数大于18台时，每台售价为440元。 到乙商场购买，每台售价为800×75?00元。 作差：(800-20n)n—600n=20n(10—n), 当 n<10时，600n<(800-20n)n, 当 n=10时，600n=(800—20n)n, 当10<n≤18时，(800-20n)n<600n, 当n>18时，440n<600n. 即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买 10 台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲 商场购买花费较少 训练五 等差数列的前 n项和 基础练巩固应用 1.B 设等差数列{a,}的公差为d,则a?=a?+4d=3+4d s=8×(a,+aa)=4=11,解得d=2,所以a?=1,所以 ×(a?+a?+7d)=4×(2+14)=64.故选B. 2.c∵s-2=1,∴2(3a?+3×2a)-3(2a?+2×1a) =6,∴6a?+6d-6a?-3d=6,∴d=2.故选C. 3.B 由题意知 a?+a?+a?+a?=124,a+aa-1+aa-2+ a-=156,∴4(a?+a)=280,∴a?+a=70.又 S,= n(a,+a,)=2×70=210,:n=6. 4.D 由S?g=S2得 S2-S??=a?+a?=0,故a?,a20异号 或同时为0.若a?,a?o异号，则 A,B选项均错误；由等差 s=38(a+a)=数列 的 前 n 项和公式 得 38(ao+aa)=0,s=39(a,+a)=39×20m=39am. 由于az不一定为0,所以 S?不一定为0,故C选项错 误，D选项正确。故选D. s,=9(a+a2>0.P5.解析 因为a?+a?>0,所以 因为a? +a,<0,所以S=10(a+a)=10(a+ta)<0. 答案- S=65,得6.解析 由 所以 SA一S= 5d=10,所以d=2. 答案 2 7.解(1)∵S=m·3+m(m-1)·(-章)=-15, 整理得m2-7m-60=0,解得m=12或m=-5(舍去), ∴a=a?=3+(12-1)×(-1)=-4. (2)由s,=na,+a.)=n(-512+1)=-1022, 得n=4,又由a=a?+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得d=-171. (3)方法一：设等差数列的首项为a?,公差为d,则 S?= 5a?+5×(2—1d=24,得 5a?+10d=24,a?+2d=24 ia?+a,=a?+d+a?+3d=2(q?+2d)=2×4=号 方法二：由s.=5(a,ta-)=24,得a?+a=号 ∴a?+a?=a?+a?=4 能力练迁移运用 8.C 设等差数列{a,}的公差为d,则d>0,所以等差数列 {a,}是递增数列.由 a?a?=—12,a?+a?=-4,得 a+--12+a=-4, {a,=26,(a=-6解得 (舍), 则d=7-33=2,,所以a?=a?+(n-3)d=-6+(n-3) ×2=2n-12,故Sa=(a?+a?)×21=2am221=21a =21×(2×11-12)=210.故选C. 9.C 设括号内的数为 n,则 4a?+a?+a(m=24,即6a?+ (n+12)d=24.又因为 S??=1la?+55d=11(a?+5d)为 以”+12=5,解得n=18.定值，所以a?+5d为定值.所 10.ABC 因为S,是等差数列{a,}的前 n项和，所以S,= an2+bn(a,b为常数，n∈N*),则其对应函数为 y=ax2 +bx.当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一 些孤立的点，如选项C;当a≠0时，该函数的图象是过 原点的抛物线上一些孤立的点，如选项 A,B;选项 D 中的曲线不过原点，不符合题意. 11.解析 设等差数列{a}的公差为d,前n项和为S,由 题意可知 S=135,前 m项中偶数项之和S偶=63, ∴奇数项之和 Sa=135-63=72,∴S-Sh=a?+ (m-1a=2a+(m-1a=a+a=72-63=9.又 ∵a-a?=14,ia?=2,a=16.tsa=m(a+a)= 135,∴.m=15,∴d=0m-1=1541=1,sa=a?+ 99d=101. 答案 101 51 s=-1.12.解析 当 n=1时，S?=a?=-1,所以 因为 a=S+-S=S,S+,所以以s-s1=1,即51- =-1,所以{侍}是以s=a=-1 为首项，-1为 s=(-1)+(n-1)(-1)=公差的等差数列，所以以 -n,所以S=-1 -1答案 13.解(1)根据题意，A(n),B(n),C(n)构成等差数列， 所以 A(n)+C(n)=2B(n), 整理得aa+2-am+1=a?-a?=-4+6=2, 所以数列{a,}是首项为-6,公差为2的等差数列， 所以a=-6+2(n-1)=2n-8. (2)a.l={2m?-8:,854’记数列{|a,|}的前 n项和 为S,. 当n<4时，s.=n(6+8-2n=-n2+7n; 当n≥5 时，S,=12+(n-4)(2+2n-8=n3-7n +24. s.-(-4+24m25综上所述 创新练素能培优 14.解(1)设等差数列{a,}的首项为a?,公差为d. 由等差数列的性质，得a?+a?=a?+a?=22. 因为a?a?=117,且公差大于0,所以a?=9,a?=13. 所以d=4,a?=1,则a=1+(n-1)×4=4n-3. (2)存在非零实数c,使得{b,}为等差数列. 由(1)知S.=n(1+4n-3)=2n2-n, b.=s+=2n+所以 方法一：b?=1cb?=26c,b=35(c≠0). 令2b?=b?+b?,解得 c=-2. =-言时，b---“ 当 n≥2 时，b?-b。-1 =2. c=-2故 时，数列{b,}为等差数列. 方法二：当n≥2时， b.-b-1=n2+c-2(n-1--(n-1 =n2+(2c(410-2+a-3-1) 欲使{b,}为等差数列， 只需4c—2=2(2c—1)且-3c=2c(c-1)(c≠0), 解得c=-2. c=-2故当 时，数列{b.}为等差数列. 训练六 等差数列前 n项和的综合应用 基础练巩固应用 a.=(a+12=1=+2n=nn+2)=1. D 因为 (n-n+2) 2×(1-3+2-,所以前8项和为 4+言-号+⋯+g-)=2× (1+2-g-1)=9 故选 D. 2.C ∵a?+a?+a?=105=3a?,∴a?=35,∵a?+a?+a?= 99=3a?,a?=33,∴d=a?—a,=-2,∴a,=a?+(n— 3)d=41—2n,令a.>0,二41—2n>0,n<4, ∴n≤20. 3.C S=a?+a?+⋯+am+a,=9+9+⋯+9+9 ①,S=a+a?+⋯+a?+a=98++⋯++9 2S=(96+9+⋯+95+9)+②,①+ ②,得 (98+9+⋯+94+96)=(9+9)+(94+9)+ ⋯+(96+9)+(8+96)=2×98,,所以S=98. 4.AB ∵S>S,,∴a?<0,∵S?>S?,∴ag+a?>0,∴ag s=2(a?+an)=11a?>0,B>0,∴d<0,A 正确。 s?=2(a?+a?)=6(a?+a?)>0,C不正确.《S,)正确。 中最大项为Sg,D不正确。故正确的是 AB. 5.解析 ∵数列{a,}的前 n项和为S,,a?=-5,a+1=a +2,n∈N*, ∴数列{a,}是首项为一5,公差为2的等差数列， ∴a?=-5,a?=—3,a?=-1,a?=1, ∴S?=-5,S?=-8,S?=-9,S?=-8, 故S?,S?,Sg,S?中最小的为 S?. 答案 S? 6.解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位 同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总 和最小，则树苗需放在第 10或第11号树坑旁，此时两 侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差 的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S=9×20+ 9×?×20+10×20+10×?×20=2000米). 答案 2 000 7.解(1)∵{a,}为等差数列，∴a?+a?=a?+a?, {a+-5415 a,=6(因 d<0,合去)或a=6-{a=-03解得 ∴a=11—n. (2)a?=10,a,=11—n ∴s.=n(a+a,)=-2m2+21n. 52