训练4 等差数列的性质-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

创新练素能培优 14.解(1)由于a+1=(n2+n—λ)a,(n=1,2,⋯), 且a?=1. 所以当a?=-1时，得-1=2—λ,故λ=3. 从而a?=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)数列{a,}不可能为等差数列，理由如下： 由a?=1,an+1=(n2+n-λ)a, 得a?=2—λ,a?=(6—λ)(2—λ), a?=(12—λ)(6—λ)(2一λ). 若存在λ,使{a。}为等差数列，则a?-a?=a?-a, 即(5—λ)(2—λ)=1-λ,∴λ2-6λ+9=0, 解得λ=3.于是a?-a?=1—λ=-2, a?-a?=(11—λ)(6一λ)(2一λ)=-24. 这与{a}为等差数列矛盾.所以不存在λ使{a,}是等差 数列。 训练四 等差数列的性质 基础练巩固应用 1.C 设公差为d,则(ag+a?+⋯+a1)-(a?+a?+⋯+ a?)=(a?-a?)+(a?-a?)十⋯+(a?-as)=5d+5d+ 5d+5d+5d=25d=80-30=50,所以d=2,所以a+ a??+⋯+a?=(a?+5d)+(a?+5d)+⋯+(a?+5d) =(ag+a?+⋯+a?0)+25d=80+25×2=130. 2.A 因为a?+a?+a??+a??=4ag=32,所以ag=8,即m =8. 3.B 设所构成的等差数列{a,}的首项为a?,公差为d,则 a+a+a=4-33a+2l4-4.有 解得 则a?=a?+4d=6, 升故第 5节的容积 4.BCD 数列-1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不 是等差数列，A不成立.若{a,}是等差数列，利用等差数 列的定义，{am+1-a,}为常数列，故是等差数列，B成立. 若{a}的公差为 d,则(pa,+q)一(pan_1+q)= p(a-an_1)=pd为常数，故{pa+q}是等差数列，C成 立.(2a,+n)—(2a-1+n-1)=2(a,—aa-1)+1=2d+ 1,故{2a+n}是等差数列，D成立。故选BCD. 5.解析 设这三个数为a-d,a,a+d, a-4to+a+(a+0)=59 (a=4(a=3-4.解得 则 所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1. 所以这三个数的积为-21. 答案 -21 6.解析 设数列{a,}的公差为d,因为a?+a?+a?=3a,= a,=17.因为a?+a?+a?+⋯+a??+a??+a?=17,所 d=3,lla?=77,所以a?=7,所以 所以 a,—a?=(k一 9)d,即13-7=(k-9)×3,解得k=18. 答案 18 7.解(1)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d, (-0a+3a0+18-(a-afa+d3.0°-94则 a=±2,a又该数列是递增数列，所以 d>0,所以 =2, 所以此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. (2)设等差数列{a,}的公差为d, 则其前三项分别为a?,a?+d,a?+2d, 4+)(4+20=23-,1,则 (a=3(a=-4.解得 (a=43,因为数列{a}为递增数列，所以 所以数列{a,}的通项公式为am=4n-1. 能力练迁移运用 8.C ∵ag+2a?+a?=(a?+a??)+2a?=2ag+2a?=20, Aa,+a?=10.又∵a?>0,a?>0,∴a;u≤(a?2a)2= ()=25,,当且仅当a?=a?=5时，等号成立。故选C. 9.C 设方程的四个根a?,a?,a?,a?依次成等差数列，则 a?+a?=a?+a?=2,再设此等差数列的公差为d,则2a? +3d=2,*a=4,∴d=2,:a?=4+2=4,a?= 4+1=5,a?=4+2=4,∴Im-n|=Iaa,-a?asI =4×4-3×5|=2. 10.B 设该高阶等差数列的第 8项为x,根据所给定义， 用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的 新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得 到了一个等差数列，如图： 15 27 45 71 107 186 8 12 26 36 2 4 6 8 10 12 2-307=2, y=48.由图可得 解得 故选 B. 11.解析 在等差数列{a,}中，a?+a?=4,所以a?+a?o= a?+a?=a?+ag=a?+a?=a?+a?=4,所以a?+a?+⋯ +a?=(a?+a??)+(a?+ag)+(a?+ag)+(a?+a,)+ (a?+ag)=5(a?+ag)=20,则log?(2°·2?·⋯·2“) =log?22+a+⋯+40=a?+a?+⋯+a??=20. 答案 20 {b} --12.解析 由数列 为“调和数列”可得- -b=d(n∈N*,d为常数), ∴数列{b,}是公差为d的等差数列。 ∵b?+b?+⋯+b?2=20 200,且b?+b2020=b?+b?01= b?+b?018=⋯=b?00+b1011, ∴1010(b?+b?o1g)=20 200,∴b?+b?1g=20. 又b?>0,b?019>0, 50 ∴b?+b?m9≥2√b?b2o19, 即bbm≤(?+ba)2=100, 当且仅当b?=b?01=10时取等号， ∴(b?Oz019)mx=100. 答案 100 13.解 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为 {c,},c?=11, 又等差数列5,8,11,⋯的通项公式为a=3n+2, 等差数列3,7,11,⋯的通项公式为b。=4n-1. 所以数列{c,}为等差数列，而已知的两个数列的公差 分别为3和4,所以{c,}的公差d=3×4=12, ① 所以ca=11+(n-1)×12=12n-1. 又a1o=302,b10o=399,ca=12n-1≤302, ② 得n≤254,可见已知两数列共有25个相同的项. 创新练素能培优 14.解 设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价 不低于440元，售价依台数 n成等差数列。设该数列为 {a,}. a=780+(n-1)(-20)=800-20n, 解不等式a?≥440,即 800-20n≥440,得n≤18. 当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800-20n) 元，当台数大于18台时，每台售价为440元。 到乙商场购买，每台售价为800×75?00元。 作差：(800-20n)n—600n=20n(10—n), 当 n<10时，600n<(800-20n)n, 当 n=10时，600n=(800—20n)n, 当10<n≤18时，(800-20n)n<600n, 当n>18时，440n<600n. 即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买 10 台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲 商场购买花费较少 训练五 等差数列的前 n项和 基础练巩固应用 1.B 设等差数列{a,}的公差为d,则a?=a?+4d=3+4d s=8×(a,+aa)=4=11,解得d=2,所以a?=1,所以 ×(a?+a?+7d)=4×(2+14)=64.故选B. 2.c∵s-2=1,∴2(3a?+3×2a)-3(2a?+2×1a) =6,∴6a?+6d-6a?-3d=6,∴d=2.故选C. 3.B 由题意知 a?+a?+a?+a?=124,a+aa-1+aa-2+ a-=156,∴4(a?+a)=280,∴a?+a=70.又 S,= n(a,+a,)=2×70=210,:n=6. 4.D 由S?g=S2得 S2-S??=a?+a?=0,故a?,a20异号 或同时为0.若a?,a?o异号，则 A,B选项均错误；由等差 s=38(a+a)=数列 的 前 n 项和公式 得 38(ao+aa)=0,s=39(a,+a)=39×20m=39am. 由于az不一定为0,所以 S?不一定为0,故C选项错 误，D选项正确。故选D. s,=9(a+a2>0.P5.解析 因为a?+a?>0,所以 因为a? +a,<0,所以S=10(a+a)=10(a+ta)<0. 答案- S=65,得6.解析 由 所以 SA一S= 5d=10,所以d=2. 答案 2 7.解(1)∵S=m·3+m(m-1)·(-章)=-15, 整理得m2-7m-60=0,解得m=12或m=-5(舍去), ∴a=a?=3+(12-1)×(-1)=-4. (2)由s,=na,+a.)=n(-512+1)=-1022, 得n=4,又由a=a?+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得d=-171. (3)方法一：设等差数列的首项为a?,公差为d,则 S?= 5a?+5×(2—1d=24,得 5a?+10d=24,a?+2d=24 ia?+a,=a?+d+a?+3d=2(q?+2d)=2×4=号 方法二：由s.=5(a,ta-)=24,得a?+a=号 ∴a?+a?=a?+a?=4 能力练迁移运用 8.C 设等差数列{a,}的公差为d,则d>0,所以等差数列 {a,}是递增数列.由 a?a?=—12,a?+a?=-4,得 a+--12+a=-4, {a,=26,(a=-6解得 (舍), 则d=7-33=2,,所以a?=a?+(n-3)d=-6+(n-3) ×2=2n-12,故Sa=(a?+a?)×21=2am221=21a =21×(2×11-12)=210.故选C. 9.C 设括号内的数为 n,则 4a?+a?+a(m=24,即6a?+ (n+12)d=24.又因为 S??=1la?+55d=11(a?+5d)为 以”+12=5,解得n=18.定值，所以a?+5d为定值.所 10.ABC 因为S,是等差数列{a,}的前 n项和，所以S,= an2+bn(a,b为常数，n∈N*),则其对应函数为 y=ax2 +bx.当a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一 些孤立的点，如选项C;当a≠0时，该函数的图象是过 原点的抛物线上一些孤立的点，如选项 A,B;选项 D 中的曲线不过原点，不符合题意. 11.解析 设等差数列{a}的公差为d,前n项和为S,由 题意可知 S=135,前 m项中偶数项之和S偶=63, ∴奇数项之和 Sa=135-63=72,∴S-Sh=a?+ (m-1a=2a+(m-1a=a+a=72-63=9.又 ∵a-a?=14,ia?=2,a=16.tsa=m(a+a)= 135,∴.m=15,∴d=0m-1=1541=1,sa=a?+ 99d=101. 答案 101 51 AI伴学助手 在线答疑 训练四 等差数列的性质 鉴 (2)已知等差数列{a,}是递增数列，且其前 基础练巩固应用 三项之和为21,前三项之积为231,求数列 1.在等差数列{a,}中，若a?+a?+⋯+a?= {a,}的通项公式. 30,a?+a?+⋯+a1?=80,则a?+a?十⋯ +a?5= ( ) A.110 B.120 C.130 D.140 2.已知等差数列{a,}的公差为d(d≠0),且 a?+a?+a??+a??=32,若am=8,则 m等 于 ( ) A.8 B.4 C.6 D.12 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节 的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面4 节的容积共3升，下面3节的容积 共4升，则第5节的容积为 ( ) B.6升A.1升 c.4升 D.33升 4.(多选)若{a,}是等差数列，下列数列中仍 为等差数列的是 ( ) A.{|a,l} B.{an+1—a,} C.{pa,+q}(p,q为常数) D.{2a,+n} 5.若三个数成等差数列，它们的和为9,平方 和为59,则这三个数的积为 6.已知数列{a,}是等差数列.若a?+a?+a1? =17,a?+a?+a?+⋯+a??+a??+a14= 77,且a,=13,则k=_ 7.(1)已知四个数成等差数列且是递增数列， 这四个数的平方和为94,首尾两数之积比 中间两数之积少18,求这个等差数列. 能力练迁移运用 8.(福建福州延安中学段考)已知{a,}是各项 均为正数的等差数列，且a?+2a?+ao= 20,则a?ag的最大值为 ( ) A.10 B.20 C.25 D.50 9.若方程(x2—2x+m)(x2—2x+n)=0的 四个根组成一个首项为 的等差数列，则 m—n|= ( ) 14 B.4 c. D.3A.1 10.(江苏沭阳建陵高级中学期中)南宋数学 家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本 末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论 的高阶等差数列与一般等差数列不同.在 这些高阶等差数列中，前后两项之差不相 等，但是逐项差数之差或者高次差成等差 数列.在杨辉之后一般称为“垛积术”.现 有高阶等差数列，其前 7项分别为1,7, 15,27,45,71,107,则该数列的第 8项为 ( ) C.141A.161B.155 D.139 7 ?高中数学·选择性必修 第二册 11.在等差数列{a,}中，a?+a?=4,则 log?(2?·2?2·⋯·2410)= 41-a=a(neN*,d12.若数列{a,}满足 为常数),则称数列{a,}为“调和数列”.已 }知正项数列 为“调和数列”,且b?+b? 十⋯+b202o=20 200,则b?b?o19的最大值 是 13.两个等差数列5,8,11,⋯和3,7,11,⋯都 有100项，那么它们共有多少相同的项? 创新练 素能培优 14.有一批豆浆机原销售价为每台 800元，在 甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用 如下的方法促销：买一台单价为780元， 买两台单价都为 760元，依次类推，每多 买一台则所买各台单价均再减少20元， 但每台最低价不能低于 440元；乙商场一 律都按原价的75??售.某单位购买一 批此类豆浆机，问去哪家商场买花费 较少. 8