训练2 数列的递推公式与数列的前n项和-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

训练二 数列的递推公式与数列的前 n项和 基础练 现固应用 1.(湖北荆门期中)数列{a,}的构成法则如 下：a?=1,若 a,-2为自然数且之前未出 现过，则用递推公式an+1=a,-2,否则用 递推公式 an+1=3a,,则a?= ( ) A.7 B.3 C.15 D.81 7.(梅州高二期末)在各项均为正数的数列 a,+=2+2{a,}中，a?=a且C (1)当a?=2时，求a?与a?的值； (2)求证：当n≥2时，an+1≤an. 2.(多选)已知数列{a,}的通项公式是a,= 2n2—n,那么 ( ) A.30是数列{a,}的一项 B.45是数列{a,}的一项 C.66是数列{a,}的一项 D.90是数列{a,}的一项 3.(中国人民大学附属中学高二期中)已知数 a.+=a+1,列{a,}的首项为2,满足 ,则 ( )a2023 A.2 B.—3 c. D.- 4.设S,为数列{a,}的前n项和.若2S,=3a —3,则a?= ( ) A.27 B.81 C.93 D.243 5.已知数列{a,}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q= a,+ag,且a?=—4,则a?= _,an=_________. 6.数列{a,}的前 n项和为S,,若S,+S,-1= 2n-1(n≥2),且 S?=3,则a?+a?的值为_ 能力练 逝移运用 8.(多选)已知数列{a,}中，a?=3,an+1= -a+i(n∈N*),下列选项中能使a?=3 的n为 ( ) A.17 B.16 C.8 D.7 a?=2,a?+1=a,+9.已知数列{a,}满足 n2+n’,则a,= ( ) A.5- B.2-n c. D.n(n+1) 3 ?高中数学·选择性必修 第二册 10.(天津西青期末)如图，第1个图案的总点 数记为a?,第2个图案的总点数记为a?, 第3个图案的总点数记为a?,⋯依此类 a9推，第 n个图案的总点数记为an,则 +aa+a9⋯+a9—= ( ) n=l -2 n=5 A.2022 B.2022 c.2022 20230 11.已知数列{a,}的前n项和S,=2n2-3n+ 1,则数列{a,}的通项公式是 创新练 素能培优 14.(1)对于任意数列{a,},等式：a?+(a?— a?)+(a?-a?)十⋯+(a,-an-1)=a,(n ≥2,n∈N*)都成立.试根据这一结论，完 成问题：已知数列{a,}满足：a?=1,an+1 -a,=2,n∈N*,求通项a; (2)若数列{a,}中各项均不为零，则有a?· ·⋯=a.(nm≥2,n∈N“)成立. 试根据这一结论，完成问题： a?=1,a,-=”n1已知数列{a,}满足： (n≥2,n∈N*),求通项an. 12.(四川宜宾开学考试)已知数列{a,}的前 n项和 S,=2m+1-2,若Vn∈N*,λa,≤4 + S?,恒 成 立，则 实 数 λ 的最 大 值 是 . 13.(烟台高二期末)已知数列{a,}的前 n项 和S,满足 2S,=(n+1)a,(n∈N*),且 a?=2.求数列{a,}的通项公式. 4 (2):a=3n+2=33+1-3=1-3n+1,”∈N*,0< 3+1<1, ∴0<a<1,∴数列{a,}中的项都在区间(0,1)内. (3)令3<a.<3,即3<3n+1<3, {3n-6<Gz+2, 6<n<3解得- 又 n∈N*,∴n=2. 则 (,3)故在区间 内有数列{a,}中的项，且只有一项， ,a2=4.是第二项 训练二 数列的递推公式与数列的前 n项和 基础练巩固应用 1.C 由a?=1,a?-2=-1dN,得a?=3a?=3.又a?-2 =1=a?,所以ag=3a?=9.又a?-2=7∈N,所以a?=a? -2=7.又a-2=5∈N,所以ag=a?-2=5.又ay-2 =3=a?,所以ag=3a?=15.故选C. 2.BC 分别令2n2—n的值为30,45,66,90,可知只有当 2n2-n=45时 ,n=5(-是舍去);当2n2-n=66时，n =6(-舍去),,故45,66是数列{a,}的一项. a,=a1=言，a=a1=3.D 因为a?=2,所以 -,a=a-1=-3,a=a+1=2,⋯·故数列{a}的 周期为4,0g=asx+g=a?=-2. 4.B 根据2S,=3a-3,可得2S,+1=3aa+1-3,两式相减 得2an+1=3am+1—3a,即am+1=3a,.当n=1 时，2S?= 3a?-3,解得a?=3,则a?=3a?=32a?=3*a?=81. 5.解析 由题意得a?=a?+a?=-4,则a?=-2,而a?= a?+a?=-6,所以a?=a?+a?=-12,⋯可知a=-2n. 答案 -12 —2n 6.解析 ∵S,+S。1=2n-1(n≥2),令 n=2,得S?+S?= 3,由S?=3得a?=S?=0,令 n=3,得S?+S?=5,所以 S?=2,则a?=S,-S?=-1,所以a?+a?=0+(-1)= —1. 答案 -1 7.解(1)*a?=2,ta=2+2=2, ∴a?+4=4a?,解得a?=2. 又a?=2+2,:2+2=2, ∴a2+4=4a?,解得a?=2. ∵a=2+2,a=2,∴a=2 证“。1≤1,(2)证明：要证当 n≥2时，aa+1≤a,只需 +要 +≤1,,即证-即证 即证a≥4,即证a≥2. :a=2+2≥√·2=2(当且仅当a-1= 2时，等号成立) ∴当n≥2时，a?+I≤a, 能力练迁移运用 a?=3,a,+=-a,+,8.BD 由 ,得a?=-4,a=-4, a?=3,所以数列{a,}是以3为周期的数列，所以a,=a?? =a?=3.故选 BD a.+i=a.++n’ a.+-a.=2+n=n-9.B 因为 ,所以 n+则当n≥2,n∈N*时，a?-a?=1-,ag-a?= -言，⋯,a。-a,1=n-1-1,将这(n-1)个式子左、 a。-a?=1-2+2-3+⋯+右两边分别相加可得 n-1-1=1-1.因为a?=_,,所以a。=1-1+2 a,=3- ,men .故选 B. =2-1, ,a?=2,当n=1 符合该式，所以 10.A 由题图得a?=1,a?=3=3×(2-1),a?=6=3×(3 -1),a?=9=3×(4-1),a?=12=3×(5-1),⋯ ∴当 n>1,n∈N*时，a,=3(n-1)=3n-3. 9=(3m-3)×3n-(n-D又当 n>1,n∈N*时， =1-1, 9+a9+a9+⋯+a9=(1-1)+ (2-g)+(1-4)+⋯+(2021-2022)=1- 2022=2021. 故选 A. 11.解析 当n≥2时，a=S。-S-1=(2n2—3n+1)一 [2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5; 当n=1时，a?=S?=0不适合上式， ∴a=(4n-5,n≥2. a.-14-5,答案 12.解析 当n=1时，a?=S?=22-2=2, 当n≥2时，a=S,-S_1=2"+1-2-(2”—2)=2", 当 n=1时，a,=2”成立，∴a=2">0. ∵S=2"+1-2,∴S?=22m+1-2. ∵Vn∈N*,λa,≤4+S?m恒成立， a≤4+S-4212=2(22+1) 恒成立， ,2(22+1)易知当 n=1时， 有最小值，最小值为5, ∴λ≤5. 故实数λ的最大值是5. 答案 5 48 13.解 因为2S,=(n+1)a,,n∈N*, 所以2S,=(n+2)a,,n∈N”, 两式相减得2aa+1=(n+2)aa+1一(n+1)a, 整理得na,+=(n+1)a,即"1=,n∈N*, a} 以n=I=2,所以a。=2n.所以 为常数列.所 创新练素能培优 14.解(1)当 n≥2时， a=a?+(a?-a?)+(ag-a?)+⋯+(a,-a,-1) =1+2+2+2=2(n-1)+1=2n-1. a?=1也符合上式，所以数列{a,}的通项公式是 a=2n-1,n∈N*. (2)当n≥2时，a?=a?·a.⋯=1×1× 3×⋯×”n1=1. a?=1也符合上式， a,=1,nEN*.所以数列{a,}的通项公式是 训练三 等差数列的概念及通项公式 基础练巩固应用 1.C 因为数列{a}满足aa+1-a,=2,所以数列{a,}为等 差数列，且公差为2.又a?=-5,所以a?=-5+(4-1) ×2=1. 2m+n=10,2.B 由题意得 ∴m+n=6,∴m,n的等差 中项为3. 3.D 由已知可得等差数列{a,}的首项为a?=3,公差d= 11-3=8,所以通项公式a=3+8(n-1)=8n-5.由a =67可得8n-5=67,解得 n=9.故选D. d=2023-100=-1,4.D 设等差数列{a,}的公差为d,则 所以a2123=ao+(2 123-100)d=2 023-2 023=0.故 选D. a+号=1,5.解析 由等差中项的定义可得- ,故a+9b= (a+9b)·(a+方)=1+第+96+9≥10+ 2√号·=16( 当且仅当a=4,b=4时取等号). 答案 16 6.解析 设等差数列{a,}的公差为d, a+4d=7,+d+6. (a=23.由题意，得 解得 ∴a,=a?+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1. ∴a?=2×6+1=13. 答案 13 7.解 (1)证 明：∵(am+1一 1)(a,— 1)= 3[(a-1)—(a+1-1)], -1a-1=3,即b+-b?=3. ,3又∵a?=2,∴b?=1,∴{b,}是以1为首项 为公差的 等差数列. (2)由(1)得b?=1+g(n-1)=”32, ∴a-1=n+2,∴a。=n+5 能力练迁移运用 8.B 设数列{a,}的公差为d.∵在等差数列{a,}中，a?= d=-19,:a5,a?+a?=0,∴5+3d+5+6d=0,解得 =5-1(n-1)=-1n+55.由a。=-号n+5>0可 得n<,,则数列{a,}中为正数的项的个数为5.故选B. 9.A 第i行第j列的数为ay,则{a?,}是以2为首项，1为 公差的等差数列，所以a,,=2+(j-1)×1=1+j,所以 {a,}是以j+1为首项，j为公差的等差数列，所以a,= j+1+(i-1)j=ij+1.令ij+1=41,得ij=40=1×40 =2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2=40× 1,所以41共出现了8次.故选 A. 10.ABCD 根据等方差数列的定义易知 A 正确；因为 (-1)2m—(-1)2(m-1)=0,所以数列{(-1)”}是等方差 数列，B正确；若数列{a}既是等方差数列，又是等差 数列，设公差为d,则a2-a2-1=(a,—aa-1)(a+an-1) =d[2a?+(2n—3)d]=2a?d+(2n-3)d2= p.又 p为 常数，所以d=0,C正确；若数列{a,}是等方差数列，则 a2—a21= p,a2—an-1)=(a2—a-1)+(a2-1一 am-2)+(a-2-am-3)+⋯+(am-k+1-a扁一k)=kp为 常数，D正确。 11.解析 ∵{a,}是等差数列，∴a+1-a,=常数∴[a(n +1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.∴2a =0,∴a=0. 答案 0 令b=a+ b=a+1=言，b,=12.解析 ,由题设，知 a,+1=2,且{b,}为等差数列。设{b,}的公差为d,则-所以 bu=b+10d= 3.又bu=a+,,所以a?=2. 2答案 ,方，c成等差数列，2=a+1,13.证明： 2=ate,即 2ac=b(a+c). (a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2 ×2ac=a2+c2+2ac—4ac=(a—c)2. ∵a+c,a+c-2b,a—c均为正数，上式左右两边同时 取对数得，1g[(a+c)(a+c-2b)]=1g(a—c)2, 即lg(a+c)+1g(a+c-2b)=21g(a—c), ∴Ig(a+c),lg(a—c),lg(a+c—2b)成等差数列。 49