训练1 数列的概念与简单表示法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

AI伴学助手 在线答疑 训练一 数列的概念与简单表示法 鉴 7.根据下列数列的前 4项，写出数列的一个 通项公式： 基础练 巩固应用 1.已知 数 列{a,}的 通项公式为 a,= (1)-3,6,-g,2,⋯; 1+(-1),则该数列的前4项依次为 ( ) (2)2,1,0,17,⋯; (3)0.8,0.88,0.888,⋯; A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 (4)2,6,12,20,30,⋯. c.2,0,2, D.2,0,2,0 2.已知数列{a,}的一个通项公式为an= (一1)”·2”+a,且a?=—5,则实数a= ( ) A.3 B.1 C.—1 D.0 3.(广东深圳中学高二期中)某种细胞开始时 有 2个，1小时后分裂成4个并死亡1个， 2小时后分裂成6个并死亡1个，3小时后 分裂成 10个并死亡1个，⋯⋯按照此规 律，12 小时后细胞的存活个数为 ( ) A.2 048 B.2 049 C.4 096 D.4 097 4.已知递减数列{a,}中，a,=kn(k为常数), 则实数k的取值范围是 ( ) A.R B.(0,十○) C.(一○,0) D.(—c,0) 5.已知数列{a,}的通项公式 a=19-2n,则 使a,>0成立的最大正整数 n的值为 a.=n+n6.数列{a,}的通项公式 ,则 √10-3是此数列的第 项. 能力练 迁移运用 8.(多选)下列四个命题中，正确的有( ) nt1的第反项为1+A.数列 B.已知数列{a,}的通项公式为a,=n2—n —50,则一8是该数列的第 7项 C.数列3,5,9,17,33,⋯的一个通项公式 为 a,=2”—1 a=n+1,D.数列{a,}的通项公式为 ,则数 列{a,}是递增数列 1 ?高中数学·选择性必修 第二册 9.(多选)一个无穷数列{a,}的前三项是1, 2,3,下列可以作为其通项公式的是( ) A.a,=n B.an=n3-6n2-12n-6 C.a,=z”2-_n+1 D.a,=n2-6n+1 10.(多选)若数列{a,}满足：对任意正整数 n,{am+1—a,}为递减数列，则称数列{a,} 为“差递减数列”.给出下列数列{a,}的通 项公式，其中满足{a,}是“差递减数列”的 是 ( ) A.a,=3n B.an=n2+1 D.a,=Inn+1C.an=√n 11.若数列{a,}的通项公式是an=3-2”,则 a2= ,a=—__. 12.(湖南长沙高二期中)已知数列{a,}的通 项公式为a,=n2—7n+6,则数列{a,}从 第 项起各项均为正数. 13.在数列{a,}中，a,=n(n-8)-20,请回答 下列问题： (1)这个数列共有几项为负? (2)这个数列从第几项开始递增? (3)这个数列中有无最小值?若有，求出 最小值；若无，请说明理由. 创新练素能培优 14.已 知 数 列{a,}的 通 项公 式 是 an =99-9n+2 198(1)判断 是不是数列{a,}中的项； (2)试判断数列{a,}中的项是否都在区 间(0,1)内； (3,3)(3)在区间 内有没有数列{a,}中 的项?若有，是第几项；若没有，请说明 理由. 2 素能提升训练 训练一 数列的概念与简单表示法 基础练巩固应用 a.=1+(-1,可得a?=1,a?=0,a?=1,a,=1.A 0.故选 A. 2.A 因为a?=—5,a,=(-1)”·2"+a,所以-8+a= —5,解得a=3.故选 A. 3.D 依题意，1小时后细胞的存活个数为3=21+1,2小 时后细胞的存活个数为5=22+1,3小时后细胞的存活 个数为9=23+1,⋯则 n(n∈N*)小时后细胞的存活个 数为2”+1,所以12 小时后细胞的存活个数为 212+1 =4 097. 4.C a+1-a=k(n+1)—kn=k<0. n<.n∈N*,∴n≤9.5.解析 由a,=19-2n>0,得 答案 9 +√nf=√I?-3,即√n+I-5=6.解析 令 √10-3,∴n=9. 答案 9 7.解(1)所给数列可写成(-11×3,(-1)2×3×2, (-12×3×3,(-1?×3×4,⋯ a?=(-1)"×3×n所以原数列的一个通项公式为 =(-1° 2,5,10,17,⋯(2)所给数列可写成 3 57 9→2n+1 2 5 10 17→n2+1 a,=2+1所以原数列的一个通项公式为 ×(1-0),哥×(1-0),8(3)所给数列可写成 ×(1-0),⋯ a=8(1-10).所以原数列的一个通项公式为 (4)所给数列可写成1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,⋯ 所以原数列的一个通项公式为a=n(n+1). 能力练迁移运用 {nt1} k+1=1+方，8.ABD 对于 A,数列 的第k项为 A正确；对于 B,令 n2—n-50=-8,得n=7或 n=-6 (舍去),B正确；对于C,将3,5,9,17,33,⋯的各项均减 去1,得2,4,8,16,32,⋯设该数列为{b,},则其通项公式 为b=2",因此数列3,5,9,17,33,⋯的一个通项公式为 a,=b?+1=2"+1,C错误；对于D,a,=n+1=1- n+,则a,+I-a,=n+1-n+2=(n+1)(n+2)>0,因 此数列{a,}是递增数列，D正确。故选ABD. 9.AD 对于 A,若a=n,则a?=1,a?=2,a?=3,符合题 意；对于 B,若a=n3-6n2—12n+6,则a?=-11,不符 a?=2n2-2n+1,当n=3时，a?=合题意；对于C,若 a.=n2-6n+1,则a?=4≠3,不符合题意；对于 D,若 1,a?=2,a?=3,符合题意。故选 AD. 10.CD 对于 A,a,=3n,则a+1—a,=3(n+1)-3n=3, 所以数列{a+-a,}是常数列，故 A错误；对于 B,a= n2+1,则am+1-a=(n+1)2-n2=2n+1,所以数列 {a,+1-a,}是递增数列，故 B错误；对于C,若a,=√n, 则a,m-a,=√n+I-h=√n+1+n’所以数列 {aa+1—a,}是递减数列，故C正确；对于 D, a= In”,则a.4-a,=1n”+2-n,"1=1n(h+2 =1n(1++2n),,由于函数y=In(1+2+2x)在(0, 十)上单调递减，所以数列{a?+1-a,}是递减数列，故 D正确。 11.解析 根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一 项.∵a?=3-2°,ia=3-2°=3-4”,ag=3-2 =亏 3-4”5答案 12.解析 令a,>0,即 n2-7n+6>0,解得 n>6或 n<1 (舍去),所以数列{a,}从第 7项起各项均为正数. 答案 7 13.解(1)因为a=n(n-8)-20=(n+2)(n-10), 所以当0<n<10时，a,<0, 所以数列{a}共有9项为负. (2)因为an+1-a=2n-7,所以当a+1-a,>0时， n>2,故从第4项开始数列{a,}递增. (3)a,=n(n-8)-20=(n-4)2-36, 根据二次函数的性质知，当 n=4 时，a取得最小值 -36, 即数列中有最小值，最小值为-36. 创新练素能培优 (1):a。=9m8-9n+214.解 =(3n-1)(3n+-2)-3m+2, ∴由a,=3n+2-98, n=130,,解得 130不 102是正整数， 不是数列{a,}中的项. 47 (2):a=3n+2=33+1-3=1-3n+1,”∈N*,0< 3+1<1, ∴0<a<1,∴数列{a,}中的项都在区间(0,1)内. (3)令3<a.<3,即3<3n+1<3, {3n-6<Gz+2, 6<n<3解得- 又 n∈N*,∴n=2. 则 (,3)故在区间 内有数列{a,}中的项，且只有一项， ,a2=4.是第二项 训练二 数列的递推公式与数列的前 n项和 基础练巩固应用 1.C 由a?=1,a?-2=-1dN,得a?=3a?=3.又a?-2 =1=a?,所以ag=3a?=9.又a?-2=7∈N,所以a?=a? -2=7.又a-2=5∈N,所以ag=a?-2=5.又ay-2 =3=a?,所以ag=3a?=15.故选C. 2.BC 分别令2n2—n的值为30,45,66,90,可知只有当 2n2-n=45时 ,n=5(-是舍去);当2n2-n=66时，n =6(-舍去),,故45,66是数列{a,}的一项. a,=a1=言，a=a1=3.D 因为a?=2,所以 -,a=a-1=-3,a=a+1=2,⋯·故数列{a}的 周期为4,0g=asx+g=a?=-2. 4.B 根据2S,=3a-3,可得2S,+1=3aa+1-3,两式相减 得2an+1=3am+1—3a,即am+1=3a,.当n=1 时，2S?= 3a?-3,解得a?=3,则a?=3a?=32a?=3*a?=81. 5.解析 由题意得a?=a?+a?=-4,则a?=-2,而a?= a?+a?=-6,所以a?=a?+a?=-12,⋯可知a=-2n. 答案 -12 —2n 6.解析 ∵S,+S。1=2n-1(n≥2),令 n=2,得S?+S?= 3,由S?=3得a?=S?=0,令 n=3,得S?+S?=5,所以 S?=2,则a?=S,-S?=-1,所以a?+a?=0+(-1)= —1. 答案 -1 7.解(1)*a?=2,ta=2+2=2, ∴a?+4=4a?,解得a?=2. 又a?=2+2,:2+2=2, ∴a2+4=4a?,解得a?=2. ∵a=2+2,a=2,∴a=2 证“。1≤1,(2)证明：要证当 n≥2时，aa+1≤a,只需 +要 +≤1,,即证-即证 即证a≥4,即证a≥2. :a=2+2≥√·2=2(当且仅当a-1= 2时，等号成立) ∴当n≥2时，a?+I≤a, 能力练迁移运用 a?=3,a,+=-a,+,8.BD 由 ,得a?=-4,a=-4, a?=3,所以数列{a,}是以3为周期的数列，所以a,=a?? =a?=3.故选 BD a.+i=a.++n’ a.+-a.=2+n=n-9.B 因为 ,所以 n+则当n≥2,n∈N*时，a?-a?=1-,ag-a?= -言，⋯,a。-a,1=n-1-1,将这(n-1)个式子左、 a。-a?=1-2+2-3+⋯+右两边分别相加可得 n-1-1=1-1.因为a?=_,,所以a。=1-1+2 a,=3- ,men .故选 B. =2-1, ,a?=2,当n=1 符合该式，所以 10.A 由题图得a?=1,a?=3=3×(2-1),a?=6=3×(3 -1),a?=9=3×(4-1),a?=12=3×(5-1),⋯ ∴当 n>1,n∈N*时，a,=3(n-1)=3n-3. 9=(3m-3)×3n-(n-D又当 n>1,n∈N*时， =1-1, 9+a9+a9+⋯+a9=(1-1)+ (2-g)+(1-4)+⋯+(2021-2022)=1- 2022=2021. 故选 A. 11.解析 当n≥2时，a=S。-S-1=(2n2—3n+1)一 [2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5; 当n=1时，a?=S?=0不适合上式， ∴a=(4n-5,n≥2. a.-14-5,答案 12.解析 当n=1时，a?=S?=22-2=2, 当n≥2时，a=S,-S_1=2"+1-2-(2”—2)=2", 当 n=1时，a,=2”成立，∴a=2">0. ∵S=2"+1-2,∴S?=22m+1-2. ∵Vn∈N*,λa,≤4+S?m恒成立， a≤4+S-4212=2(22+1) 恒成立， ,2(22+1)易知当 n=1时， 有最小值，最小值为5, ∴λ≤5. 故实数λ的最大值是5. 答案 5 48