5.1.1 变化率问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 AI作学助手 在战答登 配套答宴 善漂韩缺 5.1.1 变化率问题 [学习任务] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.(难点) 2.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 瞬时速度 (1)瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度. (2)瞬时速度的计算：设物体运动的时间与 位移的函数关系式为y=h(t),则物体在 t? h(t?+△t)—h(t?) 时刻的瞬时速度为lim- △t△- (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理的 角度看，当时间间隔|△t|无限趋近于 0时， 平均速度v就无限趋近于t=t。时的瞬时 速度. 知识点二 曲线的割线和切线 (1)切线：设P。是曲线上一定点，P是曲线 上的动点，当点P无限趋近于点P。时，割 线P?P无限趋近于一个确定的位置，这个 确定位置的直线 P?T称为曲线在点P。处 的切线. (2)切线的斜率：设P?(x?,y。)是曲线 y= f(x)上一点，则曲线y=f(x)在点P?(x?, y?)处 的 切 线 的 斜 率 为 ko= f(x?+△x)-f(x?)lim △x→0 (3)切线的斜率与割线的斜率的关系：从几 何图形上看，当横坐标间隔|△x|无限变小 时，点P无限趋近于点P。,于是割线 PP? 无限趋近于点P。处的切线P,T.这时，割线 PP。的斜率k无限趋近于点P。处的切线 P?T的斜率k。. 知识点三 函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),设自变量x从x。 变化到 ,相应地，函数值y从f(x?) 变为 ,这时，x的变化量为△x,y的 变化量为 △y=f(x?+△x)—f(x?).我们 会,即会一把比值 叫做函数 y= f(x)从x。到x?+△x的平均变化率. 43 ?高中数学·选择性必修 第二册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 求平均变化率 [例1] 已知函数f(x)=z+1,,分别计算 f(x)在自变量x从1变到2 和从3变到5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数 值变化得较快. (2)(江西赣州十九校高二期中联考)若函数 f(x)=x2—m2在区间[2,t]上的平均变化 率为5,则t= ( ) A.√5 B.2 C.3 D.1 探究二 求瞬时速度 [例 2] 若 一物 体 的运 动 方 程为 s= 3P+32.-3, 3, (路程单位：m,时 间单位：s).求： (1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平 均速度； (2)物体在t=1 s时的瞬时速度. Ⅱ规律方法|l- 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x?—x?; (2)求函数值的改变量f(x?)-f(x?); fz)-f(a)(3)求平均变化率 跟踪训练 1.(1)(天津河西区高二期末)已知函数 f(t) =22+2 ,当自变量t由 2变到 2.5时，函 数的平均变化率是 ( ) A.5.25 B.10.5 C.5.5 D.11 规律方法|Ⅱ ------- 求瞬时速度的步骤 (1)求物体运动路程与时间的关系s=s(t); (2)求时间改变量 △t,位移改变量△s=s(t?+△t) —s(t?); o=会(3)求平均速度； (4)求瞬时速度ví=1im会 44 第五章 一元函数的导数及其应用 跟踪训练 2.(福建南平期末)如果某质点运动的位移s (单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关 s(t)=2,系为 ,那么该质点在t=3秒时的瞬 时速度为 ( ) A.3 B.-3米/秒 米/秒 c. D.--米/秒 米/秒 探究三 求曲线在某点处切线的斜率或方程 [例3] 求抛物线 f(x)=x2—2x+3在点(1, 2)处的切线方程. 规律方法 -------- 求抛物线在某点处的切线方程的步骤 求斜率 利用公式k= lim Ar→0 f(x? F△x)—f(x?) △x 利用点斜式 y-f(x?)=k(x—x?)方程 变形式 将点斜式方程化为一般式方程 跟踪训练 3.求曲线y=f(x)=x3—x+3在点(1,3)处 的切线方程. 易错 求平均变化率时未化为最简 警示 致错 y=求函数 从 x。到x?+△x 的平[典例] 均变化率(x?≠0). [错解] 当自变量从x。变到x?+△x时，函数 会y=fa △x)—f(x?)的平均变化率为 l l (x?+△x) △x [正解]当自变量从x。变到x?+△x时，函数 y=f?+A)-的平均变化率为 (x十 2x?十△x△C) △x (x十 误区警示 ------ ------------ 求平均变化率有时运算量相对较大，要化成最简 的形式，可运用平方差公式等常用公式进行化简. 45 ?高中数学·选择性必修 第二册 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.函数 y=x2+1在区间[1,1+△x]上的平均 变化率是 ( ) A.2 B.2x C.2+△x D.2+(△x)2 2.某质点的运动方程为s(t)=1-t2,则该物体 在[1,2]内的平均速度为 ( ) A.2 B.3 C.—2 D.—3 3.已知函数 f(x)=x2图象上四点 A(1, f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4, f(4)),割线 AB,BC,CD的斜率分别为k?, k?,k?,则 ( ) A.k?<k?<k? B.k?<k?<k? C.k?<k?<k? D.k?<k?<k? 4.(广东佛山月考)已知某质点的运动方程为 s(t)=3t2+2t+1(位移s的单位为m,时间t 的单位为s). (1)求该质点在 2≤t≤2+△t 这段时间内的 平均速度； (2)在(1)中，若 △t=0.1,则平均速度是 多少? (3)求该质点在t=2 s时的瞬时速度. 提示请完成《素能提升训练》训练十二 5.1.2 导数的概念及其几何意义 第1课时 导数的概念 [学习任务] 1.了解导数概念的实际背景. 2.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.(重点) AI伴学助手 在既答计 配套答案 全面梳 查隔补缺 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 导数的概念 A无限趋如果当△x→0时，平均变化率 ,则称 y近于一个 ,即 有 =f(x)在x=x?处可导，并把这个 叫做y=f(x)在x=x?处的导数(也称为瞬时 变化率),记作f(x?)或y'l=,即f(x?)== 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 求函数在某点处的导数 [例1] (1)求函数f(x)=—x2+x在x=-1 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数. (2)求函数 y=3x2在x=1处的导数. 规律方法|l 求函数 y=f(x)在点x。处的导数的三个步骤 求函数的变化量 △y=f(x?+△x)-f(x?) 求函数的 平均变化率 △x=f(xo+△x)-Ax) △x 取极限，得导数 (o=li △y f(xo+△x)-f(xo) Ax-0Ax ax-0 △x 简称：一差、二比、三极限. 46 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 【自主学习探新知】 fz?+Az)-(a知识点三 x?+△x f(x?+△x) 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 自变量x从1变到2时， 函数f(x)的平均变化率为 ro-c_(2+去)-a+D-1 自变量x从3变到5时， 函数f(x)的平均变化率为 rs-rs_(6+÷)-(3+s)_ 2<4,,所以函数f(x)=a+1因为 在自变量x从3变 到5时函数值变化得较快。 [跟踪训练] 1.解析 (1)∵f(t)=2t+3t,:f(2.5-2(2)= ×2.5+-×25-(×2+3×)-10.5故选B. (2)∵函数 y=f(x)=x2-m2在区间[2,t]上的平均变 化率为5,.Ay=2-m3)=(22-m2=5,解得t=3. 故选C. 答案(1)B (2)C 探究二 [例2] [解](1)因为△s=3×52+2-(3×32+2)=48, △t=2,所以物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均 A=48=24(m/s).速度为 (2)因为△s=29+3[(1+△t)-3]2-29-3×(1-3)2 =3(△t)2—12△t, 所以会=3(A)2-12△=3△1-12 则物体在t=1s时的瞬时速度为 lim会—lim(3△t—12)=—12(m/s)- [跟踪训练] 2.D 会-+m?-3---?,所 以lim=1im[-3(3+A)]=-9. 故选 D. 探究三 由f1+A)-f1「例3][解] =(1+A)2-2Q+Aa)+3-2=Ax, 可得切线的斜率为k=lim△x=0. 所以切线的方程为y-2=0×(x—1),即y=2. [跟踪训练] 3.解 因为点(1,3)在曲线上， 过点(1,3)的切线的斜率为 lm(1+Aa)-(1+A)+3-(1-1+3) =lim(A)°+3(Aw32+2Ac =lim[(△x)2+3△x+2]=2, 故所求切线方程为y-3=2(x-1), 即 2x—y+1=0. 【随堂巩固促应用】 1.C ∵(1+△x)2+1-(12+1)=2△x+△x2 :2Az+Ax2=2+△r,故选C. 2.D z=(1-22)=(1-1)=-3. 3.A k=f(2)-f(1)=4-1=3,h?=f(3)-2(2)=9- 4=5,A=f(4-3(3=16-9=7,∴k<h<k,故 选A. 4.解(1)质点在2≤t≤2+△t这段时间里的平均速度为 (2+A=(2=3(2+A)2+22+A)+1-17= 3(A)°+142=(3A+14)m/s. (2)当△t=0.1 时，所求平均速度为 3×0.1+14= 14.3(m/s). (3):lim=lim(3△t+14)=14 ∴该质点在t=2s时的瞬时速度为14 m/s. 5.1.2 导数的概念及其几何意义 第1课时 导数的概念 【自主学习探新知】 li知识点 确定的值 极限 确定的值 imfz+A)-f(c 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] (1)∵△y=f(-1+△x)—f(-1)= 一(-1+△x)2+(-1+△x)+2=3△x—(△x)2, Ay=3Ax-(Ax)2=3-△x, ∴f(-1)=1im关=Iim(3-Aa)=3. (2)∵△y=f(1+△x)一f(1)=3(1+△x)2-3=6△x +3(△x)2, Ay=6+3Ax,.f'(1)=1imy=Iim(6+3△x)=6. [跟踪训练] 1.解 △y=f(1+△x)-f(1)=√(1+△x)2+1-√2 =√(△x)2+2△x+2-√2, 21