4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

?高中数学·选择性必修 第二册 第 2 课时 等差数列前 n项和的综合应用 [学习任务] 1.能利用等差数列的前 n项和解决实际问题.(重点) 2.会求等差数列前 n项和的最值.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 等差数列前 n项和S,的最值 (1)若a?<0,d>0,则数列的前面若干项为 负数项(或0),所以将这些项相加即得S,的 最 值. (2)若a?>0,d<0,则数列的前面若干项为 正数项(或0),所以将这些项相加即得S,的 最 值. 特别地，若a?>0,d>0,则 是 S,的最 值；若a?<0,d<0, 则 _是S,的最大值. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等差数列前 n项和的最值问题 [例1] 在等差数列{a,}中，若a?=25,且 S? =S?7,求 S,的最大值. |规律方法l 在等差数列{a,}中，有关S。的最值问题： (1)利用等差数列与函数的关系来解决.等差数列 的前n项和S,=m,+7(n-1a=告n3+(a-2) 可看成二次函数y=2x2+(a-2)a当x=n时的 函数值，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题。a(2)当a?>0,d<0时，满足 的 m使得S。 取得最大值S(当am+1=0时，S=Sm+1,S,Sm+1均为 S,的最大值) a0(3)当a?<0,d>0时，满足 的 m使得S, 取得最小值S(当am+1=0时，S,=Sm+1,S,Sm+1均为 S.的最小值) 跟踪训练 1.(1)(四川泸州月考)记 S,为等差数列{a,}的 前 n项和，已知 a?=-9,a?+a?=—10,则 S,的最小值为 ( ) A.—25B.—35 C.—45 D.—55 (2)设等差数列{a,}的前 n项和为S,,且 S2023>0,S2024<0,则当 S,最大时，n= ( ) A.1010 B.1011 C.1012 D.1013 探究二 等差数列求和的实际应用问题 [例2] 湖北新冶钢有限公司(简称为“新冶 钢”)是中国现存最早的钢铁企业之一，素有 中国“钢铁工业的摇篮”之称.该公司今年年 初用192 万元购进一台机器投入生产，每年 可以给公司带来69 万元的收入，但该台机 器每年需要进行维护，第一年需要维护费用 12 万元，从第二年起每年的维护费用比上 一年增加6万元，求购买该台机器若干年后 的年平均利润的最大值. 16 第四章 数 列 规律方法|l--⋯ 等差数列的求和公式在日常生活中有广泛的应 用，利用它可以解决一些分期付款、行程、相遇问题，解 有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究 建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，其具 体步骤为： (1)判断问题中涉及的数列是否为等差数列； (2)若是等差数列，找出首项、公差、项数； (3)确认问题是求a,还是S,; (4)选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解. □跟踪训练 2.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起 的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾 发生流感，据资料统计，11月1日，该市新 的流感病毒感染者有 20人，此后，每天的新 感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人.由于该市医疗部门采取措施，该种病毒 的传播得到控制，从某天起，每天的新感染 者平均比前一天的新感染者减少 30人，到 11月30日止，该市在这 30 天内感染该病 毒的患者总共有 8 670人，则11月几日，该 市感染此病毒的新患者人数最多?并求这 一天的新患者人数. 探究三 与等差数列有关的求和问题 1.倒序相加法 [例3] 设函数f(z)=2+,利用教材中 推导等差数列前 n项和公式的方法，可求得 f(-5)+f(一4)十⋯+f(0)十⋯+f(5)十 f(6)= -IⅡ规律方法|Ⅱ 倒序相加法的适用范围和步骤 倒序相加法适用于与首末两项等距离的两项之和 等于首末两项之和的数列. 其解题步骤：(1)将原数列倒序排列；(2)将倒序数 列与原数列相加；(3)求和. 2.裂项相消法 [例4] 在数列{a,}中，a?=1,当 n≥2时，其 前n项和S,满足S2=a,(s,-1). {3}(1)证明 为等差数列，并求 S,的解 析式； (2)设b?=2n+,求{b,}的前 n项和T,. I规律方法|l (1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成 两项或多项，使这些裂开的项可有规律地相互抵消，要 注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的 目的. (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. (3)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.例如，若 9=a(2-a1),={a,}是等差数列，则 (d-a1) 跟踪训练 3.(1)(河南驻马店高级中学模拟)已知函数 f(a)=x+3sin(a-1)+2 ,数列{a,}满足 a,=2023,,则f(a?)+f(a?)十⋯+f(a2022) ( )= A.2 022 B.2 023 C.4 044 D.4 046 (2)(陕西榆林期末)已知数列{a,}的前 n项 和为S,,且a?=3,S,+1+S,=(n+1)a+1· ①求{a,}的通项公式； ②若b?=,求数列{b,}的前 n项 和T,. 17 ?高中数学·选择性必修 第二册 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.设等差数列{a,}的前 n项和为S,,若a?= 知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问 长儿多少岁，各儿岁数要详推.”大致意思 是：一个老人有九个儿子，若问他们的生年 是不知道的，但从老大的年龄开始排列，后 面一个儿子比前面一个儿子小3岁，九个儿 子共207岁，问老大是多少岁? (( ) -11,a?+a?=—6,则当 S,取最小值时，n 等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.已 知 数列{a,}的 通项公式为 a,= n+√n+I(n∈N*),若其前n项和为9, 则项数 n为 ( ) A.38 B.35 C.32 D.29 4.设等差数列{a,}的前 n项和为S,,a?=25, S?7=S?.若Sm=S14,则m的值为 .A.99 B.100 C.101 D.102 3.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如 下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不 提示、请完成《素能提升训练》训练六 AI作学助手 4.3 等比数列 在战答量 配套答案 善濡彝 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念与通项公式 [学习任务] 1.理解等比数列的定义.(重点) 2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(重点、难点) 3.熟练掌握等比数列的判定方法.(易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 等比数列的定义 知识点二 等比中项 一般地，如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的 公比通常用字母 表示(显 然 q≠0). 如果在 a与b中间插入一个数G,使a, G,b成 ,那么G叫做a与b的等比 中项.此时，G2= 知识点三 等比数列的通项公式 设等比数列{a,}的首项为a?,公比为q (q≠0),则通项公式为a= 18 探究二 [例 2] [解](1)方法一：在等差数列中， ∵s,S2m-S,S?m-S2成等差数列， ∴30,70,S3m-100成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. ,s,2m,sm方法二：在等差数列中， 成等差数列， 2m=s+3m 即Ssm=3(S2-Sm)=3×(100-30)=210.---- [跟踪训练] 2.解析 (1)∵等差数列{a,}共有2n+1项， a?+a×(n+1)=(n∴奇数项共有n+1项，其和为 +1)aa+1=290①, a?2a2×n=na,=261②.偶数项共有n项，其和为 由①一②得an+1=29.故选B. (2)方法一：设等差数列{a,}的公差为d. ∵S?=7,S?-S?=9,且 S?,S?—S?,S?-S。成等差 数列， ∴S,-S?=2(S?-S?)-S?=11,即a?+ag+a,=11.故 选 B. 方法二：∵{a}为等差数列，{}也是等差数列， s,6,s {s分别是数列 的第 3 项，第 6项和第 9项， s+s=2×6,,代入 S?=7,S?=16,解得S,=27, ∴a?+ag+a,=S,-S?=11. 答案(1)B (2)B 探究三 [例3] [解] ∵a=4n-25,am+1=4(n+1)-25, ∴am+1一a=4=d. 又a?=4×1-25=-21, ∴数列{a,}是以—21为首项，以4为公差的递增的等差 数列。 令 ①a,==4(2+1)-25≥0, ② 由①得n<61,由②得n≥54,∴n=6, 即数列{|a,|}的前6项是以21为首项，-4为公差的等 差数列，从第 7 项起以后各项构成公差为 4 的等差 数列。 而|a?|=a,=4×7-25=3. 设{|a,|}的前 n项和为T,,则 即T={2-2-232+1326≥7. [跟踪训练] 3.解 设等差数列{a,}的首项为a?,公差为d, 由S?=16,S?=24, 2,+3-12, (a=-2.得 即 解得 所以等差数列{a,}的通项公式为a,=11-2n(n∈N*). n≤51,则由a,≥0,解得 ①当 n≤5时，T,=|a?I+|a?I+⋯+|a。I=a?+a?+⋯ +a=S,=-n2+10n. ②当n≥6时，T=|a?I+|a?I+⋯+|a,I=a?+a?+⋯ +a?—a?—a—⋯—a=2S,-S,=2×(-52+10×5) 一(-n2+10n)=n2—10n+50, 故T-7-402+5026且 【随堂巩固促应用】 1.D ∵{a,}为等差数列，∴a?+a,=a?+ag, :s,=9(ata)=9×14=63. 4a,+4X3a2.D 设等差数列{a,}的公差为d,由已知得 ,解得d=3,∴S,=6×4×1+4×3d=20,=20,即 +?×?×3=3+45=48 3.C 因为S?=S??,所以S??-S?=ag+a?+ag+a?+a?? s=15(a,+a)=15a?=0.=5ag=0,解得ag=0,故 故选C. 4.解(1)设等差数列{a,}的公差为d, 由a?=-3,S?=0,得4a?+6d=—12+6d=0, 解得d=2, ∴a=-3+2(n-1)=2n-5, s.=-3n+mn-1×2=n2-4n. (2)由(1)得a?=2×2-5=-1,a?=2×12-5=19, ia?+a,+⋯+a?+ao+aa=?×(-1+19=54. 第 2 课时 等差数列前 n项和的综合应用 【自主学习探新知】 知识点(1)小(2)大 S? 小 S? 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 方法一：∵S?=S,a?=25, ∴.9×25+9×(9-1d=17×25+17×(17-1a, 解得d=-2. .S,=25n+7ma-D×(-2)=-72+2Gn=-(n-1392+169. ∴当n=13时，S,有最大值，即 S??=169. 方法二：同方法一，求出公差d=-2. ∴a=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. a?=25>0, 6 --2ta2+2)+27<0,解得 ∴当n=13时，S有最大值。 Sa=25×13+13×(13-1)×(-2)=169,因此S。的 最大值为169. 方法三：∵S,=S?,a?+an+⋯+a?,=0. 由等差数列的性质得a?+a?=0. ∵a?>0,∴d<0.a1?>0,a?<0. ∴当n=13时，S,有最大值. Sa=25×13+13×(13-1×(-2)=169. 因此S。的最大值为169. 方法四：设S,=An2+Bn. ∵S,=S?7, n=9+1?=13,且开口方向向下，∴二次函数对称轴为 ∴当n=13时，S,取得最大值. 由方法一知d=-2, ∴Sa=25×13+13×(13-1×(-2)=169. 因此 S的最大值为169. [跟踪训练] 1.解析(1)设公差为d,则a?+a?=(一9)+d+(-9)十 3d=-10,得d=2. 方法一：S,=n×(-9)+n(n-1×2=n2-10n=(n- 5)2-25,所以 n=5时，S,取得最小值-25. 方法二：a=-9+2(n—1)=2n-11,当n≥6时，a,>0, 当 n≤5时，a,<0,所以当n=5时，S,取得最小值，最小 s,=5×(-9-1)=-25.值为 (2)由Spm>0可得S:c=2023a,+a?2)=2023aqg >0,即a1012>0. 由 S2024<0可得 s:m=2024(a,+azm)=1012(am?+a?og)<0, 即a?012+a?018<0,故a?01s<0, 则数列{a,}是前1012 项为正数，从第1013项开始为负 数的递减数列，故当S。最大时，n=1012. 答案(1)A (2)C 探究二 [例2] [解] 由题意可知各年的维护费用(单位：万元) 构成以12为首项，6为公差的等差数列， 设购买该台机器n年后的盈利为S万元， 则S=69n-192-[12n+n(na-1×6]=-3n2+60n -192. 令S>0,则 n2-20n+64<0,解得4<n<16. 设购买该台机器n年后的年平均利润为y万元， 则y==3,2+60-192=-3(n+64)+60≤-3× 2√n.6+60=12,,当且仅当 n=8时取“=” 因此，购买该台机器8年后的年平均利润最大，最大年 平均利润是12 万元。 [跟踪训练] 2.解 设该市第 n日(n∈N*,1≤n≤30)感染此病毒的新 患者人数最多. 则从11月1日至第 n日，每日感染此病毒的新患者人 数构成一个等差数列.其首项为20,公差为50. S,=20n+m(m-1)×50=25n2-5n.前 n日患者总人数 从第 n+1日开始至11月 30日止，每日感染此病毒的 新患者人数依次构成另一个等差数列。 其首项为 20+(n-1)×50—30=50n-60,公差为 —30. 项数为(30—n), 其患者总人数为 T30-n=(30— n)(50n— 60)+ (30-n)(29-n×(-30)=-65n2+2445n-14 850. 由题意可得S,+T?-,=8670, 即(25n2-5n)+(-65n2+2 445n-14 850)=8 670. 化为 n2—61n+588=0, 解得n=12(1≤n≤30). ∴n=12, 第12日的新患者人数为20+(12-1)×50=570. ∴11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这 一天新患者人数为570. 探究三 ∵f(a)=[例3] [解析] ∴f(a)+f(1-a)=z++2-+ z+t+-z+z'2+2.z =2+z+?U2+2)-202+2)- 令S=f(一5)+f(一4)十⋯+f(0)十⋯+f(5) +f(6), ∴S=f(6)+f(5)十⋯+f(0)十⋯+f(-4)+f(-5), .2s=×12,∴S=3√2. [答案] 3√2 [例4] [解](1)证明：S=a,(s.-1),a?=S。- S_(n≥2),∴S8=(S。-S-)(s.-1), 即S_1-S,=2S。_1S。 ① 由题意得S_ S.≠0, 5-s=2(n≥2),将①式两边同除以S,-1S,,得 {侍} 5=1=1,∴数列 是首项为 公差为 2 的等差 数列， :g=1+2(n-1)=2m-1,s,=2m1 (2)∵b=2n+1=(2n-1)(2n+1)=2(2m-1-2m+1), 7 ∴T,=b?+b?+⋯+b= 2[(1-3)+(3-号)+⋯+(2-1 2n+)] =1(1-2n+1)=2n+1 [跟踪训练] 3.解析(1)由已知得f(1-x)=1-a+3sin(1-x)+2, ∴.f(x)+f(1-x)=2.#a,+apm-=2023+2223” =1,∴f(a)+f(a2023-m)=2.令S=f(a?)+f(a?)+⋯ +f(a2022),则 S=f(a2022)+f(a2o21)+⋯+f(a?),两式 相加得2S=2×2 022,∴S=2 022.故选 A. (2)①当n=1时，S?+S?=2a?,解得a?=2a?=6. 当 n≥2 时，由 S+1+S,=(n+1)am+1,得S,+S。-1= na,两式相减得am+x+a=(n+1)am+— na,即a= n+1, aa⋯=2×利用累乘法可得 2×4×⋯×n一1,即a=n.1因为a?=3,所以a=3n, 所以{a,}的通项公式为am=3n. ②由①可知b=3n·3(n+1)=gn(n+1)=1(1- n+1),则T.=g(1-1+1-3+⋯+n-n+1) =9(1-n+1)=9n+9 所以数列{b.}的前n项和T,=gn+9 答案(1)A (2)见解析 【随堂巩固促应用】 1.A 由a?+a?=2a?=-6,解得a;=-3,又a?=-11, 所以a?=a?+4d=-11+4d=-3,解得d=2,则a= s,=ma,+a.)=n3--11+2(n-1)=2n-13,所以 12n=(n-6)2-36,所以当 n=6时，S。取最小值. 0.n+√n2.A 设数列{a,}的前 n项和为S,.因为 =√n+1-√n,所以数列{a}的前n项和S,=a?+a?+ ⋯+a,=√2-√I+√3-√2+⋯+ √n+1-√n= √n+1-1.令S=√n+1-1=9,解得n=99.故选A. 3.B 由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年 龄a,为首项，-3为公差的等差数列，所以9a?+?×8 ×(-3)=207,解得a?=35. s.=2n2+4.解析 设等差数列{a,}的公差为d,则 (a-2)n, y=号a2+所以 S,可看成二次函数 (a?-2)x当x=n时的函数值，由二次函数图象的对 17+?=m+14,称性及S??=S,,S=S??可得 ,解得 m =12. 答案 12 4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念与通项公式 【自主学习探新知】 知识点一 同一个常数 公比 q 知识点二 等比数列 ab 知识点三 a?q" 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)由等比数列的通项公式得 a?=3×(-2)?-1=-96. (2)设等比数列的公比为q, as=160那么 1a=.解得 所以a=a?q”?1=5×20-1. [跟踪训练] GF4-3, ①1.解(1)因为 ② 由鲁得q3=4,从而q=√4,而a?q3=2, 于是a?=2=2,所以a,=a,g"-1=2 +a-4g+ad=8, ③(2)方法一：因为 ④ 由鲁得q=去，从而a?=32. 32×(1)?1=1,又因为a=1,所 即 2?-“=2°,所以 n=6. 方法二：因为a?+a。=q(a?+a?),所以q=2. 由a?q+a?q?=18,得a?=32. 由a=a?q"1=1,得n=6. 探究二 a,=g×2-1=2?知，a?=1,[例 2] [解析] (1)由 ag=2?,所以a?与ag的等比中项为±4,又a?>0,q>0, ∴a?>0,故a?与ag的等比中项为a?=4. [答案] B (2)证明：因为b是a,c的等比中项， 所以b2=ac,且a,b,c均不为零， 又因为(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b?+b2c2 =a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c =a2b2+2a2c2+b2c2, 所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2), 即 ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项。 [跟踪训练] a?a?=(q,q)(a?q2)=1×2=1,所以a?2.解析 (1)因为a 与a?的等比中项是±1.故选D. (2)依题意，设这四个数依次为x,y,12-y,16—x, 316-2)=(2- =41或(=95,解得则 8