4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

得(1-3a)(1+2a)=-8,即1-4a2=-8, 化简得d2=4,所以d=2或-2. 又四个数成递增等差数列， 所以d>0,所以d=2,a=-2. 故所求的四个数为一2,0,2,4. [跟踪训练] 2.解 设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 (a-3d)(a+34)+18=a4-)(+t3d)2=94, 又因为是递增数列，所以d>0, 所以解得a=±2,a=3, 此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. 探究三 [例3] [解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个 养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a,},公差为d?,且 a?=1,ag=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差 数列，记为{b,},公差为d?,且b?=30,b?=10;从第 1年 到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{ca},则ca= a,b a+56,=2,(1)由a?=1,a?=2,得 {a,=0.2,得a?=1.2. b+54=10,由b?=30,b?=10,得 b-3-04,得b?=26. ∴c?=a?b?=1.2×26=31.2, 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只. (2)∵c?=a?b?=2×10=20<c?=a?b?=30, ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. [跟踪训练] 3.ABD 由题意可知，夏至到冬至的晷长(单位：寸)构成 等差数列{a},其中a?=15,a?=135,公差为d?,则135 =15+12d?,解得d?=10.同理可知，由冬至到夏至的晷 长(单位：寸)构成等差数列{b,},b?=135,b=15,公差 d?=-10.又小寒与大寒相邻，所以小寒比大寒的晷长 长10寸，即一尺，A正确；因为春分的晷长为b?=b?+ 6d?=135-60=75,秋分的晷长为a?=a?+6d?=15+ 60=75,所以春分和秋分两个节气的晷长相同，B正确； 因为小雪的晷长为an=a?+10d?=15+100=115,115 寸即一丈一尺五寸，所以小雪的晷长为一丈一尺五寸， C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b?,a?,a? =a?+3d?=15+30=45,b?=b?+3d?=135-30=105, b?>a?,所以立春的晷长比立秋的晷长长，D正确。 【随堂巩固促应用】 1.A 由等差数列的性质知a?+ag=a?+a,=2a?,所以 30,=m,得a。=零，所以cos(Ca?+a?)=cos 2a?=cos2 =-2. 2.B 由等差数列的性质得ag—a?=(8-3)d=5d,所以d =-20-1?=-6. 3.解析 由a2+a2o=101,得(a?+a??)2—2a?a10=(a?+ a?)2-2a?ao=121-2a?a??=101,所以a?a1o=10.又a +a?=a?+a?=11,a?<a?,所以a?=1,a?o=10,所以d =10-1=1. 答案 1 4.解 设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差 为 2d). (a-)at+a)-=4ota+aO+(at3)=26,由题设知 解得 ∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 4.2.2 等差数列的前 n项和公式 第1课时 等差数列的前 n项和 【自主学习探新知】 1.na,+a,) na?+nn-1a 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)方法一：∵a?=10,S?=5, 56,+10d-5, a=3-5,a=a?+2d=16.解得 方法二：∵S,=S?+a?=15, ∴.15=6(a+a),,即3(a?+10)=15. :a=-5,d=5a1=3.3a,=a?+2d=16. (2)方法一：a?+a?=a?+d+a?+3d=4号， 所以a?+2d=34. 所以S?=5a?+1×5×(5-1)d=5a+2×5d =5(a?+2d)=5×24=24. a?+a?=号方法二：a?+a?=a?+as,所以 因为s=n(a,ta), 所以S.=5×(a+a)=5×粤=24. [跟踪训练] 1.解析 (1)设等差数列{a,}的公差为d, 解得 所以S。=20a?+20×1?×d=20×号+190×号=100. 故选D. (2)设该等差数列为{a,},其前 n项和为S,, 则由题意可知a?=-20,a?o=40, 所以S=10×(-20+40)=100. 答案(1)D (2)B 5 探究二 [例 2] [解](1)方法一：在等差数列中， ∵s,S2m-S,S?m-S2成等差数列， ∴30,70,S3m-100成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. ,s,2m,sm方法二：在等差数列中， 成等差数列， 2m=s+3m 即Ssm=3(S2-Sm)=3×(100-30)=210.---- [跟踪训练] 2.解析 (1)∵等差数列{a,}共有2n+1项， a?+a×(n+1)=(n∴奇数项共有n+1项，其和为 +1)aa+1=290①, a?2a2×n=na,=261②.偶数项共有n项，其和为 由①一②得an+1=29.故选B. (2)方法一：设等差数列{a,}的公差为d. ∵S?=7,S?-S?=9,且 S?,S?—S?,S?-S。成等差 数列， ∴S,-S?=2(S?-S?)-S?=11,即a?+ag+a,=11.故 选 B. 方法二：∵{a}为等差数列，{}也是等差数列， s,6,s {s分别是数列 的第 3 项，第 6项和第 9项， s+s=2×6,,代入 S?=7,S?=16,解得S,=27, ∴a?+ag+a,=S,-S?=11. 答案(1)B (2)B 探究三 [例3] [解] ∵a=4n-25,am+1=4(n+1)-25, ∴am+1一a=4=d. 又a?=4×1-25=-21, ∴数列{a,}是以—21为首项，以4为公差的递增的等差 数列。 令 ①a,==4(2+1)-25≥0, ② 由①得n<61,由②得n≥54,∴n=6, 即数列{|a,|}的前6项是以21为首项，-4为公差的等 差数列，从第 7 项起以后各项构成公差为 4 的等差 数列。 而|a?|=a,=4×7-25=3. 设{|a,|}的前 n项和为T,,则 即T={2-2-232+1326≥7. [跟踪训练] 3.解 设等差数列{a,}的首项为a?,公差为d, 由S?=16,S?=24, 2,+3-12, (a=-2.得 即 解得 所以等差数列{a,}的通项公式为a,=11-2n(n∈N*). n≤51,则由a,≥0,解得 ①当 n≤5时，T,=|a?I+|a?I+⋯+|a。I=a?+a?+⋯ +a=S,=-n2+10n. ②当n≥6时，T=|a?I+|a?I+⋯+|a,I=a?+a?+⋯ +a?—a?—a—⋯—a=2S,-S,=2×(-52+10×5) 一(-n2+10n)=n2—10n+50, 故T-7-402+5026且 【随堂巩固促应用】 1.D ∵{a,}为等差数列，∴a?+a,=a?+ag, :s,=9(ata)=9×14=63. 4a,+4X3a2.D 设等差数列{a,}的公差为d,由已知得 ,解得d=3,∴S,=6×4×1+4×3d=20,=20,即 +?×?×3=3+45=48 3.C 因为S?=S??,所以S??-S?=ag+a?+ag+a?+a?? s=15(a,+a)=15a?=0.=5ag=0,解得ag=0,故 故选C. 4.解(1)设等差数列{a,}的公差为d, 由a?=-3,S?=0,得4a?+6d=—12+6d=0, 解得d=2, ∴a=-3+2(n-1)=2n-5, s.=-3n+mn-1×2=n2-4n. (2)由(1)得a?=2×2-5=-1,a?=2×12-5=19, ia?+a,+⋯+a?+ao+aa=?×(-1+19=54. 第 2 课时 等差数列前 n项和的综合应用 【自主学习探新知】 知识点(1)小(2)大 S? 小 S? 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 方法一：∵S?=S,a?=25, ∴.9×25+9×(9-1d=17×25+17×(17-1a, 解得d=-2. .S,=25n+7ma-D×(-2)=-72+2Gn=-(n-1392+169. ∴当n=13时，S,有最大值，即 S??=169. 方法二：同方法一，求出公差d=-2. ∴a=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. a?=25>0, 6 第四章 数 列 长遥渐变 春分 雨水 惊盐0 清明 谷雨 立春 立夏 60个 芒种 冬至 夏至 小暑 大暑 立秋 处 秋分 长逐渐长 A.小寒比大寒的晷长长一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同 C.小雪的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长长 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.已知数列{a,}为等差数列，且a?+a?+a?= π,则 cos(a?+a?)= ( ) A.- B.-2 c. D.3 2.在等差数列{a,}中，已知a?=10,ag=—20, 则公差d等于 ( ) A.3 B.—6 C.4 D.—3 3.(河北邯郸期末)已知等差数列{a,}为递增 数列，若a2+a2o=101,a?+a?=11,则数列 {a,}的公差d为 4.已知成等差数列的四个数，四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为40,求这个 等差数列. 提示、请完成《素能提升训练》训练四 4.2.2 等差数列的前 n项和公式 AI伴学助手 在阀答登 配套答真 第1课时 等差数列的前 n项和 漂韩缺 [学习任务] 1.了解等差数列前 n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量 a?,n,d,a,,S,之间的关 系.(重点) 2.掌握等差数列前 n项和公式、性质及其应用.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 1.等差数列的前 n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 S,= S= 2.等差数列前 n项和的性质 (1)若数列{a,}是公差为d的等差数列，则 }数列 也是等差数列，且公差为p2 (2)若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{a,}的前 m项，前2m项，前3m项的和，则Sm,S2m一 S,Sm-Sm也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{a,},{b,}的前 n项和 =S分别为S,T,则 (4)若等差数列的项数为2n,则S2m=n(a,+ an+1), Sa-Sa=nd,S-(Sa≠0). (5)若等差数列的项数为2n+1,则 S2n+1= (2n+1)an+1(an+1是数列的中间项),S偶一 S=-a+,s5 =n7i(SA≠0). 13 ?高中数学·选择性必修 第二册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等差数列前 n项和的有关计算 [例1] 在等差数列{a,}中： (1)已知 a?=10,S?=5,求a?; (2)已知a?+a?=4,求S. 探究二 等差数列前 n项和性质的应用 [例2](1)等差数列{a,}的前m项和为30, 前2m项和为100,求数列{a,}的前3m项的 和 S3m· (2)两个等差数列{a,},{b,}的前 n项和分 空=7n+3,求别为S,和Tn,已知 的值. Ⅱ规律方法l (1)本题解答中，第(1)小题方法一运用了方程的 思想，属基本运算，通性通法；方法二使用了S,=S-1 +a,.第(2)小题因为条件只有一个，所以运用整体代 换的思想。 (2)由于s,=n(a,+a2,,故计算时考虑一下“a?+ a,”这个小团体是否可以借助等差数列的性质求解。 (3)等差数列的通项公式和前 n项和公式共涉及 “a?,a,d,n及S。”五个量，反映了“知三求二”的方程 思想。 跟踪训练 1.(1)(天津和平期末)已知等差数列{a,}的前 n项和为S,,若S?=10,S??=30,则 S2o= ( ) A.40 B.70 C.90 D.100 (2)在一20与40之间插入8个数，使这10 个数成等差数列，则这10个数的和为 ( ) A.200 B.100 C.90 D.70 规律方法l 等差数列前 n项和运算的几种思维方法 s.=n(a+a2,(1)整体思路：利用公式 ,设法求出 整体a?+a,再代入求解。 (2)待定系数法：利用当公差d≠0时 S,是关于n 的二次函数，设 S,=An2+Bn(A≠0),列出方程组求=sl,是关于n的一次函数，设出 A,B即可，或利用 an+b(a≠0)进行计算. (3)利用 S,S-S,,S-S2成等差数列进行求解。 跟踪训练 2.(1)(山东潍坊高二段考)已知等差数列{a,} 共有 2n+1项，其中奇数项之和为290,偶 数项之和为261,则an+1的值为( ) A.30 B.29 C.28 D.27 (2)设等差数列{a}的前 n项和为S,,若 S? =7,S?=16,则a?+ag+a?= ( ) A.9 B.11 C.13 D.25 14 第四章 数 列 探究三 求数列{|a,|}的前 n项和 [例3] 已知数列{a,}的通项公式是a,=4n -25,求数列{|a,|}的前 n项和. |规律方法|l-⋯ 已知等差数列{a,},求数列{|a|}的前 n项和的 注意事项. (1)一般地，数列{a,}与数列{|a,|}是两个不同的 数列，只有当数列{a,}的每一项都是非负数时，它们才 表示同一个数列； (2)求{|aa|}的前 n项和，关键在于分清哪些项为 正项，哪些项为负项，最终化为去掉绝对值符号后的数 列求和； (3)数列{|a,|}的前 n项和求解的易错点在于没 有考虑分类讨论，最后结果未分段表示. 跟踪训练 3.已知等差数列{a,}中，S,为数列{a,}的前 n 项和，若S?=16,S?=24,求数列{|a,|}的前 n项和Tn 易错 不能正确应用等差数列的前 警示 n项和公式致错 [典例] 有两个等差数列{a,},{b,},其前 n -3n+7,求号项和分别为S,和T,,若 6,=,=3×771=24=7.[错解] [错解分析] 序号对应不准，忽视了第几项 的比与前几项和的比是不对等的. [正解] 方法一：,=26,6+b 13(a?+a13) 130f65--3-- 空-+7,方法二：因为 ,所以设 S,=(3n— 1)kn,T,=(n+7)kn,k≠0, a?=S?-S?=38k,b?=T?—T?=20k, ,=20k=19.所以 误区警示|l- 等差数列的前 n项和为关于n的二次函数.对于 5=二(meN").此类问题有如下结论： 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.设S,是等差数列{a,}的前 n项和，已知 a? =3,a?=11,则 S,等于 ( ) A.13 B.35 C.49 D.63 2.设等差数列{a,}的前 n项和为S,,若a?= ,s?=20,则S。等于 ( ) A.16 B.24 C.36 D.48 3.(安徽阜阳期末)等差数列{a,}的前 n项和 为S,,公差不为0,若S?=S10,则 ( ) A.S?=0 B.S?=0 C.S??=0 D.S??=0 4.(重庆广益中学月考)记 S,为等差数列{a,} 的前 n项和，已知a?=—3,S?=0. (1)求{a,}的通项公式和 Sn; (2)求a?+a?+⋯+ag+a??+a??的值. 提示、请完成《素能提升训练》训练五 15