4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的前n项和-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

方法二：a,=3n2-n,an+1=3(n+1)2—(n+1), 则-3“+30-(n+1)=”t1.3a±2>1. 又a>0,故aa+1>a,即数列{a,}是递增数列. (注：这里要确定a,的符号，否则无法判断a?+1与a。的 大小) 方法三：令y=3x2—x,则函数的图象是开口向上的抛 x=6,?<1,,则函数 y=3x2—物线，其对称轴为直线 (?,+一)上a在 单调递增，故数列{a,}是递增数列. 【随堂巩固促应用】 1.B 数列的通项公式可以不唯一，故①错误；并不是所有 的数列都有通项公式，如根据精确度，π的不同近似值 可形成一个数列：3,3.1,3.14,3.141,⋯但它没有通项 公式，故②错误；数列可以看作一个定义在正整数集或 正整数集的子集上的函数，故③错误；易知④正确。故 选B. 2.B 3.解析 如图，可得第10个图形中“·”的个数为1+11× 10=111. 5×4 4×3 3×22×1 第1个 第2个 第3个 第4个 答案 111 (1)a=2,a?=3,a=4,a=告，a。=6.4.解 (2)a?=-1,a?=2,a?=-3,a?=4,a?=-5. 第 2 课时 数列的递推公式与数列的前 n项和 【自主学习探新知】 知识点一 一个式子 知识点二 1.1 n a?+a?+⋯+a, 2.(1)一个式子 这个式子 (2)a?+a?+⋯+a-1 S,-S,-1 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 由a2+1-a,an+2=(-1)”, a.--(-1°,q=1,a?=3,得( a=2-(-D°=3°+1=10, a,=a-(-1D=10°1=33, a=-(-D°=3+1=109. ∴数列{a,}的前5项为1,3,10,33,109. [跟踪训练] a?=1+1=2,a?=1+1=3,a1.解析 (1)由题可知 =1+1=5,a?=1+1=号 (2)由aa+2=aa+1-a,,a?=3,a?=5可得a?=a?-a?= 2,a?=a?-a?=2-5=-3. 答案(1)D (2)A 探究二 [例2] [解析] 方法一(归纳法): 由题意得数列的前5项分别为 a?=2,a?=2+1n(1+1)=2+In2, a?=(2+In2)+In(1+2)=2+1n3, a?=(2+1n 3)+In(1+g)=2+In4, a。=(2+In4)+In(1+4)=2+In5, 由此可得数列的一个通项公式为a,=2+1n n. 经检验符合题意. 方法二(迭代法): a?=a?+In(1+÷)=a?+In2,由题意得 a?=a?+In(1+1)=a?+In2, a,=a?+In4,⋯⋯ a,=a,-?+In(1+n=1)=a,1+In,“i(n≥2), 由a,=a?+In2+In3+In4+⋯+Inn"1=a+ In(2×2×4×⋯×n-1)=2+In n(n≥2). 又a?=2=2+In 1,符合上式，所以a,=2+In n. 方法三(累加法): a,+-a,=1n(1+n)=In(1+n)-In n,由题意得 a?=2, a?—a?=1n 2. a?—a,=In 3-ln 2. a?—a,=In 4-In 3.⋯⋯ a,—aa-1=In n—1n(n-1)(n≥2), 以上各式两边分别相加， 得a,=2+1n 2+(In 3-1n 2)+⋯+[ln n-In(n— 1)](n≥2). 所以a=2+1n n(n≥2). 因为a?=2也适合上式，所以a=2+1n n. [答案] A [例3] [解] 方法一(累乘法): ∵a=n(a-a,),即a=nt1易得a≠0), a=2,a=3,a=季，⋯,,-=n-i(n≥2) 以上各式两边分别相乘，得 a=1×2×4×⋯×n"1=n(n≥2). 又a?=1,∴a,=n(n≥2). ∵a?=1也符合上式， a=n. 方法二(迭代法): -n”i(m≥2,a_,≠0),由题意得 2 故a=2,a2=3,a=4,⋯,4-=n=2a= n-i(n≥2), ∴a。=n-1×”二2×⋯×4×2×2×1=n(n≥2) ∵a?=1也符合上式，∴a=n. [跟踪训练] a.=n+1a--(n≥2),2.解 因 ,=n+1,所以当n≥2时， =n+1,a-1=”n2,⋯,a=4,a?=3,所以 以上n-1个式子相乘得 .⋯·a=n二1.”-2.⋯2.3, 即a=+×1×2×1,所以a,=n(n+1 ,a?=1文2=2,,也与已知a?=2当n=1时 相符， a=nn+1所以数列{a,}的通项公式为 探究三 [例4] [解](1)∵S,=2n2-3n,∴当n=1时， a?=S,=2—3=-1. 当n≥2时，a,=S,-S,-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3 (n-1)]=4n-5, 当 n=1时，a?=4×1-5=-1,符合上式， ∴{a}的通项公式是a=4n-5. (2)∵S,=3”+b,∴当n=1时， a?=S?=3+b, 当 n≥2 时，a=S,-S。_1=(3"+b)一(3°-1+b)=2 ×3”-1, 当 n=1时，若b=-1,则a?=3-1=2=2×31-1,符合 上式；若b≠-1,则a?=3+b≠2×31-1,不符合上式. ∴当b=-1时，{a,}的通项公式是a,=2×3"-1; a.=(2×3-122当b≠-1时，{a,}的通项公式是 [跟踪训练] 3.解析(1)根据题意，数列{a,}满足 S,=2°+2—3,当n≥ 2时，有a=S,-S。1=(2”+2—3)-(2"+1-3)=2"+1;当 n=1时，有a?=S?=8-3=5,不符合a=2"+1,故a= 5,m-,2. (2)当n=1时，a?=S?=-10;当n≥2时，a=S,-Sa1 =n2—11n—[(n-1)2-11(n-1)]=n2—11n—(n2— 13n+12)=2n—12.又a?=—10也符合上式，所以a,= 2?<k<11.又k∈n*,2n-12.由7<2k—12<10,解得 所以k=10. (1{2-1二答案 (2)B 【随堂巩固促应用】 1.C a?=S?-S?=32+23-(22+22)=9. 2.C a?=1,a?=2a?+1=1,a=2a?+2×2=3. 3.解析 由题意知a?-a?=1,a?—a?=1,⋯,an—a-1=1 (n≥2), 以上各式相加，得a,-a?=1+1+⋯+1=n-1.又a?= (n-1)个 1,所以a=n(n≥2).因为当n=1时也满足上式，所以 数列{a,}的通项公式为a。=n. 答案 n 4.解 因为 S=n2—10n,所以当 n=1时， a?=S?=12—10×1=-9, 当n≥2时，a=S,-S,_1=n2—10n-[(n-1)2-10(n —1)]=2n-11. 经验证当n=1时上式成立， 所以a,=2n—11. 4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念及通项公式 【自主学习探新知】 知识点一 同一个 公差 d 知识点二 2A 知识点三 a?+(n-1)d 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)a=a??=a?+(10-1)d=2+9×3 =29. (2)由a=a?+(n-1)d得3+2(n-1)=21,解得 n =10. (3)由ag=a?+5d得12+5d=27,解得d=3. (4)由a?=a?+6d得a?-2=8,解得a?=10,所以a= a?+(n-1)d=10-3(n-1)=-3n+3. [跟踪训练] 1.解(1)∵a?=-1,ag=2, a=-5,:{a4+4d=2,,解得 (2)设数列{a,}的公差为d. a+34=57,=12, (4=2.,由已知得 解得 ∴a=1+(n-1)×2=2n-1, ∴a,=2×9-1=17. 探究二 [例2] [解]∵a?+a?+a?=18,∴3a?=18,a?=6. :{at,-112 a,=1(2=11.解得 当{2=1,时，a?=16,d=-5, ∴a=a?+(n-1)d=16+(n-1)(-5)=—5n+21. 当{2=时，a?=—4,d=5, ∴a,=a?+(n-1)d=-4+5(n-1)=5n-9. [跟踪训练] 2.解析(1)由题得2(2a+1)=(a-1)+(a+7),解得a =2. 3 第四章 数 列 第 2课时 数列的递推公式与数列的前 n项和 [学习任务] 1.理解递推公式的含义.(重点) 2.掌握递推公式的应用.(难点) 3.掌握数列前 n项和的概念，能由 S,求an.(易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间 的关系可以用 来表示，那么这个式 子叫做这个数列的递推公式. 知识点二 数列的前 n项和 1.数列的前 n项和 把数列{a,}从第 项起到第 项止的各项之和，称为数列{a,}的 前 n项和，记作 S,,即 Sn= 2.数列的前 n项和公式 (1)如果数列{a,}的前n项和S,与它的序号 来表示，n之间的对应关系可以用 那么 叫做这个数列的前 n项和 公式； (2)显然 S?=a?,而Sn-1= a-S=,(n≥2),于是我们有 .n≥2 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 由递推公式求数列的项 [例1] (链接教材第6 页例5)数列{an}中， a?=1,a?=3,a2+1-a,an+2=(-1)”,求{a,} 的前5项. 规律方法|l--⋯ 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清 楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前 面的项表示后面的项的形式. (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后 面的项表示前面的项的形式. 跟踪训练 1.(1)已知数列{a,满足a?=1,a,=1+a (n≥2且n∈N*),则这个数列的第5项是 ( ) B. c.5 D.5A.2 (2)(山东淄博实验中学高二期中)数列{a,} 中，an+2=an+1-an,a?=3,a?=5,则a?= ( ) A.—3 B.9 C.—5 D.13 探究二 由递推公式求通项公式 [例2] 在数列{a,}中，a?=2,an+1=a,+ In(1+n),,则a,= ( ) A.2+ln n B.2+(n—1)In n C.2+nln n D.1+n+ln n 5 ?高中数学·选择性必修 第二册 [例3] 已知数列{a,}中，a?=1,a,=n(an+1 —a,)(n∈N*),求数列{a,}的通项公式. 规律方法|Ⅱ------- 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数 列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法、累乘法： ①aa+1-a=常数，若aa+1-a=f(n)(f(n)是可 以求和的),使用累加法或迭代法； ②a,+1= pa(p为非零常数),或aa+1=f(n)a (f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法； ③a+1=pa,+q(p,q为非零常数且p≠1),变形 为a,++λ=p(a,+λ)其中λ=p?1,转化为第②类 解决. 跟踪训练 2.已知数列{a,}中a?=2,a=n+1a,-1(n≥ 2),求数列{a,}的通项公式. 探究三 根据数列的前 n项和公式求通项 [例4] 已知下面数列{a,}的前 n项和S,,求 {a,}的通项公式 (1)S,=2n2-3n; (2)S,=3”+b. I规律方法|Ⅱ--- 已知 S,求a,的步骤 (1)先利用a?=S?求出a?; (2)用n-1替换S,中的 n得到一个新的关系，利用 a=S-S_1(n≥2)便可求出当n≥2时a。的表达式； (3)对 n=1时的结果进行检验，看是否符合n≥2 时 a。的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式 合写；如果不符合，则应该分n=1与 n≥2两段来写. 跟踪训练 3.(1)已知数列{a,}的前 n项和为Sn,且满足 S,=2"+2-3(n∈N*),则a= . (2)(河南南阳期中)已知数列{a,}的前 n项 和S,=n2-11n.若7<a?<10,则k= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 6 第四章 数 列 易错 因忽略数列中n∈N*而致错警示 [典例] 已知数列{a,}的通项公式为a,=3n2 -16n+1,求数列{a,}中的最小项. [正解] aa=3n2-16n+1=3(n-3) -6 813∵n∈N*,∴当 n取与 相差最小的正整数 3 时，a,取得最小值—20, ∴数列{a,}中的最小项为-20. 误区警示l 数列是特殊的函数，定义域为N*或它的有限子集 {1,2,3,⋯,n},解决数列问题首先要注意 n的取值，这 是一个易错点。 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(河南创新发展联盟高二联考)已知数列 {a,}的前 n项和为S,,且 S,=n2+2”,则a? ( )= A.4 B.8 C.9 D.12 2.已知数列{a,}的首项a?=1,且满足an+1= 2a,+2n,,则此数列的第3项是( ) 4.设S,为数列{a,}的前 n项和，S,=n2— 10n.求a?及an. B. C. D.5314A.1 3.设数列{an}满足a?=1,且an+1—a,= 1(n∈N*),则数列{a,}的通项公式为a = 提示、请完成《素能提升训练》训练二 4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 AI伴学助手 在战答计 起套答宴 善彝 第1课时 等差数列的概念及通项公式 [学习任务] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的判定方法.(重点) 3.掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念，并能简单应用.(难点) 4.掌握等差数列的判定方法.(重点) 7