4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

第四章 数 列 4.1 数列的概念 AI律学助手 在低答登 配套答宴 全面梳州 查隔补缺 第1课时 数列的概念与简单表示法 [学习任务] 1.理解数列的概念，了解数列的函数特性.(重点、难点) 2.掌握数列的通项公式及应用.(重点) 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 数列的概念 1.定义：一般地，我们把按照确定的 排列的一列数称为数列. 2.项：数列中的 叫做这个数列的 项.数列的第一个位置上的数叫做这个 数列的第 1 项，常用符号 表 示，第二个位置上的数叫做这个数列的 第 2项，用 表示⋯⋯第 n个位 置上的数叫做这个数列 的第 n项，用 表示.其中第1 项也叫做 类别 含义 有穷数列 的数列 无穷数列 的数列 2.按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都 的数列 它的前一项 递减数列 从第2项起，第一项都 的数列 它的前一项 常数列 各项 的数列 知识点三 数列的通项公式 3.记法：数列的一般形式是a?,a?,⋯,an,⋯, 简记为{a,}. 知识点二 数列的分类 1.按项的个数分类 如果数列{a,}的第 n项a,与它的 之间的对应关系可以用 来表 示，那么这个 叫做这个数列的通项 公式. 1 ?高中数学·选择性必修 第二册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 数列的概念及分类 [例1](1)(多选)下列说法中，不正确的是 ( ) A.数列1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B.数列1,0,—1,—2与数列—2,—1,0,1 是相同的数列 C.数列的项可以相等 D.数列 a,b,c和数列c,b,a一定不是同一 数列 (2)下列数列，哪些是递增数列?哪些是递 减数列?哪些是常数列? ①2 012,2 014,2 016,2 018,2 020,2 022; ②0,2,3,⋯,”-1,⋯; ③1,2,4,⋯,,⋯; ④9,9,9,9,9,9. (2)(重庆永川北山中学月考)下面四个数列 中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1,2,3,4,⋯ B. sin7,sin27,sin37,⋯ c.-1,一2,-4,-g,⋯ D.1,√2,√3,⋯,√21 探究二 由数列的前几项写出数列的一个通项 公式 [例2] 写出下面各数列的一个通项公式. (1)2,3,8,16,32,⋯; (2)6,66,666,6 666,⋯; (3)-1,3,-3,3,-5,3,⋯; (4)2,1,10,17,⋯ 规律方法|Ⅱ 数列单调性的判断 判断数列的单调性，需要从第2项起，观察每一项 与它的前一项的大小关系，若满足a,<aa+1,则数列是 递增数列；若满足a,>aa+1,则数列是递减数列；若满 足a,=an+1,则数列是常数列；若a,与an+1的大小不确 定时，则数列是摆动数列. 跟踪训练 1.(1)(多选)下列四个结论正确的有 ( ) A.任何数列都有通项公式 B.给定了一个数列的通项公式就给定了这 个数列 C.给出了数列的有限项就可唯一确定这个 数列的通项公式 D.数列的通项a,是项数 n的函数 |规律方法|l 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式的解题 思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变 化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对 值，再用(一1)”或(一1)"+1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和 的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 2 第四章 数 列 跟踪训练 2.写出下列各数列的一个通项公式： (1)-1,5,-5,24,⋯; (2)2,4,8,19,39,⋯; (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,⋯. 跟踪训练 3.在数列{a,}中，a?=2,a??=66,通项公式 a 是 n的一次函数. (1)求{a,}的通项公式； (2)判断 88是不是数列{a,}中的项. 探究三 数列通项公式的简单应用 [例3] 已知数列{a,}的通项公式为an= n(n+2)(n∈N”). (1)计算 a?+a?的值； (2)120是不是该数列中的项?若是，应为第 几项?若不是，说明理由. I规律方法|Ⅱ 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第 n项，然后列出关于 n的 方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无 解或解不是正整数，则不是该数列的一项。 教材 拓展 数列单调性的判断及应用 [典例]((链接教材第 9 页拓广探索)已知函 数f(x)=2-1(a∈R),设数列{a,}的通项 公式为an=f(n)(n∈N*). (1)求证a,≥2; (2){a,}是递增数列还是递减数列?为 什么? 问题探究 函数的单调性在研究函数性质时有着重 要的作用，而数列作为一种特殊的函数，也具 有单调性，且单调性是数列的一个重要性质. 数列的单调性在研究数列的最值、数列不等式 以及在判定某一项是否为已知数列中的项等 问题时，都有重要的作用. 1.数列单调性的判断 (1)利用数列单调性的定义判断. ①作差法：即作差an+1-a,后与0进行比较. 若an+1—a,>0对于任意 n(n∈N*)恒成 立，则数列{a,}是递增数列； 若an+1—a,<0对于任意 n(n∈N*)恒成 立，则数列{a,}是递减数列； 若an+1—a=0对于任意 n(n∈N*)恒成 立，则数列{a,}是常数列. 3 ?高中数学·选择性必修 第二册 (务必要确定a。的符②作商法：即作商 号)后与1进行比较. at>1对于任意 n(n∈N*),若a,>0,则当 1<1时，数列{a,}是递增数列；当 时，数 列{a,}是递减数列. a1<1对于任意 n(n∈N*),若a,<0,则当 at1>1时，数列{a,}是递增数列；当 时，数 列{a,}是递减数列. a1=1对于任意 n(n∈N*),若a,≠0,则当 时，数列{a,}是常数列. (2)利用数列的图象直观地判断. 2.利用数列的单调性确定变量的取值范围 常利用以下的等价关系： 数列{a,}递增?an+1>a,(n∈N*); 数列{a,}递减?an+1<a,(n∈N”). 进而转化为不等式成立(恒成立),通过分离 变量转化为代数式的最值来解决；或由数列 的函数特征，通过构建变量的不等关系，解 不等式(组)来确定变量的取值范围. □牛刀小试 1.已知函数f(w)={3-,2-06,a<10若数 列{a,}满足an=f(n),n∈N*,且{a,}是递 增数列，则实数 a的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,2) D.(l,3)C.(2,3) 2.已知数列{a,}满足a,=n2+λn(n∈N*),且 对任意 n∈N*,a,<an+1恒成立，则实数λ 满足 ( ) A.λ>0 B.λ<0 C.λ≥-2 D.λ>—3 3.已知数列{a,},其通项公式为a=3n2— n(n∈N*),判断数列{a,}的单调性. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(山西太原英才学校月考)给出下面四个结 论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数 列都有通项公式；③数列可以看作一个定义 在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标 平面上有限或无限个离散的点.其中正确的 有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.数列{a,}的通项公式是an=n+1,n∈N*, 则它的图象是 ( ) A.直线 B.直线上孤立的点 C.抛物线 D.抛物线上孤立的点 3.观察下列图形的构成规律，依照此规律，第 10个图形中共有 个“·”. .: : 第1个 第2个 第3个 第4个 4.根据下面数列{a,}的通项公式，写出它的前 5项： (1)a,=n+1; (2)a,=(一1)”n. 提示、请完成《素能提升训练》训练一 4 同步课堂讲义 AI伴学助手 在线答疑 配套答案 鑫棘 式为c,=n2+1,所以原数列的一个通项公式为a,= 2+1(neN*). 第四章 数 列 4.1 数列的概念 [跟踪训练] 2.解 (1)数列的奇数项为负，偶数项为正，把-1看成 第1课时 数列的概念与简单表示法 -3,,则各项的绝对值的分母依次为3,5,7,9,⋯可写 【自主学习探新知】 成2n+1,分子依次为3,8,15,24,⋯可化为1×3,2×4, 知识点一 1.顺序 2.每一个数 a? a? a,首项 3×5,4×6,⋯可写成 n(n+2).所以数列的一个通项公 知识点二 1.项数有限 项数无限 2.大于 小于 都相等 式为a。=(-1)“·n2n+2) 知识点三 序号 n 一个式子 式子 2x1-12×2-1'2×3-1,2×4-,(2)数列可写成【互动探究解疑难】 探究一 2×5-,⋯所以数列的一个通项公式为a.=2n-1[例1] [解析](1){1,3,5,7}不表示数列，故 A错误； 数列具有有序性，故 B错误；在D中，当 a=c时，数列 (3)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1, 7+0,8+1,9+0,⋯所以数列的一个通项公式为a,=n +1+(21° a,b,c和数列c,b,a表示同一数列，故D错误；数列的项 可以相等，故C正确。 [答案](1)ABD(2)①②是递增数列；③是递减数 列；④是常数列. 探究三 [例3][解](1):a=n(n+2),[跟踪训练] 1.解析(1)对于A,根据数列的表示方法可知，不是任何 数列都有通项公式，例如：π的近似值构成的数列 3, ∴a。=3×5=,a=4×6=24, ∴a?+a,=5+24=13. 3.1,3.14,3.142,⋯就没有通项公式，A错误；对于 B, 根据数列的表示方法可知，B正确；对于C,给出了数列 的有限项，数列的通项公式不一定唯一，例如：1,-1,1, 120 n(n+2)=120(2)若 为数列{a,}中的项，则-1,⋯其通项公式既可以写成a,=(一1)“+1,也可以写 成a=(一1)”-1,C错误；对于 D,根据数列{a,}是从正 整数集N*(或它的有限子集{1,2,⋯,n}(n∈N*))到实 数集R的函数可知，D正确.故选 BD. .n(n+2)=120,∴n2+2n-120=0, ∴m=10或n=-12(含),即20是是数列{a,}的第10项. [跟踪训练](2)观察可知 A中数列是递减数列，B中数列是摆动数 3.解(1)设a,=kn+b(k≠0),则 a?=17k+2=66 16=-2.a,=4n-2.解得 列，D中数列是有穷数列，均不符合题意.故选C. 答案(1)BD (2)C 探究二 [例2] [解](1)这个数列前5项中，每一项的分子比分 (2)令a,=88,即4n-2=88,解得n=22.54N*, ∴88不是数列{a}中的项.母少1,且分母依次为21,22,23,2?,2?,所以它的一个通 a,=2-项公式为 [牛刀小试] .=(3-,n>-06,<10,1.C 由题意 因为数列{a} 是递增数列，所以当n≤10时，3-a>0,即 a<3;当 n> (10-1),6(102-1),(2)这个数列的前4项可写为 (1o3—1),6(1o?—1),所以它的一个通项公式为a 10时，a>1.且a?o<a?,所以(3-a)×10-6<a11-9,即 a2+10a-24>0,即(a+12)(a-2)>0,所以a<-12 =6(10°-1)=3(10°-1). 或 a>2.综上可得a的取值范围为(2,3). 2.D 因为对任意 n∈N*,an<an+1恒成立，所以数列{a,} 是递增数列。由a=n2+λn知(n,a,)(n∈N*)是函数 f(x)=x2+λx图象上的点，而函数f(x)的图象的对称 (3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对 值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6,分子依次为1,3,1, 3,1,3,所以它的一个通项公式为e 轴为直线x=-2,事实上，数列{a,}是递增数列，满足a?<a?<⋯<a<⋯即可.欲满足上述不等关系，需-A<3,,解得λ>-3. 3,5,10,1,⋯对于分子3,5,7,(4)将数列变形为 3.解 方法一：a=3n2-n,aa+1=3(n+1)2-(n+1), 则a+1-a,=3(n+1)2—(n+1)—(3n2—n)=6n+2>0,9,⋯可得分子的通项公式为b=2n+1,对于分母2,5, 10,17,⋯联想到数列1,4,9,16,⋯可得分母的通项公 即a+1>a(n∈N”),故数列{a,}是递增数列。 1 方法二：a,=3n2-n,an+1=3(n+1)2—(n+1), 则-3“+30-(n+1)=”t1.3a±2>1. 又a>0,故aa+1>a,即数列{a,}是递增数列. (注：这里要确定a,的符号，否则无法判断a?+1与a。的 大小) 方法三：令y=3x2—x,则函数的图象是开口向上的抛 x=6,?<1,,则函数 y=3x2—物线，其对称轴为直线 (?,+一)上a在 单调递增，故数列{a,}是递增数列. 【随堂巩固促应用】 1.B 数列的通项公式可以不唯一，故①错误；并不是所有 的数列都有通项公式，如根据精确度，π的不同近似值 可形成一个数列：3,3.1,3.14,3.141,⋯但它没有通项 公式，故②错误；数列可以看作一个定义在正整数集或 正整数集的子集上的函数，故③错误；易知④正确。故 选B. 2.B 3.解析 如图，可得第10个图形中“·”的个数为1+11× 10=111. 5×4 4×3 3×22×1 第1个 第2个 第3个 第4个 答案 111 (1)a=2,a?=3,a=4,a=告，a。=6.4.解 (2)a?=-1,a?=2,a?=-3,a?=4,a?=-5. 第 2 课时 数列的递推公式与数列的前 n项和 【自主学习探新知】 知识点一 一个式子 知识点二 1.1 n a?+a?+⋯+a, 2.(1)一个式子 这个式子 (2)a?+a?+⋯+a-1 S,-S,-1 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] 由a2+1-a,an+2=(-1)”, a.--(-1°,q=1,a?=3,得( a=2-(-D°=3°+1=10, a,=a-(-1D=10°1=33, a=-(-D°=3+1=109. ∴数列{a,}的前5项为1,3,10,33,109. [跟踪训练] a?=1+1=2,a?=1+1=3,a1.解析 (1)由题可知 =1+1=5,a?=1+1=号 (2)由aa+2=aa+1-a,,a?=3,a?=5可得a?=a?-a?= 2,a?=a?-a?=2-5=-3. 答案(1)D (2)A 探究二 [例2] [解析] 方法一(归纳法): 由题意得数列的前5项分别为 a?=2,a?=2+1n(1+1)=2+In2, a?=(2+In2)+In(1+2)=2+1n3, a?=(2+1n 3)+In(1+g)=2+In4, a。=(2+In4)+In(1+4)=2+In5, 由此可得数列的一个通项公式为a,=2+1n n. 经检验符合题意. 方法二(迭代法): a?=a?+In(1+÷)=a?+In2,由题意得 a?=a?+In(1+1)=a?+In2, a,=a?+In4,⋯⋯ a,=a,-?+In(1+n=1)=a,1+In,“i(n≥2), 由a,=a?+In2+In3+In4+⋯+Inn"1=a+ In(2×2×4×⋯×n-1)=2+In n(n≥2). 又a?=2=2+In 1,符合上式，所以a,=2+In n. 方法三(累加法): a,+-a,=1n(1+n)=In(1+n)-In n,由题意得 a?=2, a?—a?=1n 2. a?—a,=In 3-ln 2. a?—a,=In 4-In 3.⋯⋯ a,—aa-1=In n—1n(n-1)(n≥2), 以上各式两边分别相加， 得a,=2+1n 2+(In 3-1n 2)+⋯+[ln n-In(n— 1)](n≥2). 所以a=2+1n n(n≥2). 因为a?=2也适合上式，所以a=2+1n n. [答案] A [例3] [解] 方法一(累乘法): ∵a=n(a-a,),即a=nt1易得a≠0), a=2,a=3,a=季，⋯,,-=n-i(n≥2) 以上各式两边分别相乘，得 a=1×2×4×⋯×n"1=n(n≥2). 又a?=1,∴a,=n(n≥2). ∵a?=1也符合上式， a=n. 方法二(迭代法): -n”i(m≥2,a_,≠0),由题意得 2