4．波的干涉 5．多普勒效应（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

4．波的干涉 5．多普勒效应 学习目标 核心素养 1．了解波的叠加原理。通过实验认识波的干涉现象和波的干涉图样。 2．知道干涉现象是波所特有的现象。知道波发生干涉现象的必要条件。 3．知道多普勒效应产生的原因。 4．了解生活中常见的多普勒效应现象及其应用。 一、波的叠加 1．波的独立传播特性：几列波相遇时各自的波长、频率等运动特征，不受其他波的影响。 2．波的叠加原理：在几列波重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。 二、波的干涉 1．定义：频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动总是加强，某些区域的振动总是减弱，这种现象叫作波的干涉，形成的图样常常叫作干涉图样。 2．产生稳定干涉的条件 （1）两列波的频率必须相同。 （2）两个波源的相位差必须保持不变。 3．干涉的普遍性 一切波都能够发生干涉，干涉是波所特有的现象。 三、多普勒效应 1．定义：波源与观察者相互靠近或者相互远离时，接收到的波的频率都会发生变化，这种现象叫作多普勒效应。 2．成因 （1）波源与观察者相对静止时，1 s内通过观察者的波峰（或密部）的数目是一定的，观测到的频率等于波源振动的频率。 （2）当波源与观察者相互接近时，1 s内通过观察者的波峰（或密部）的数目增加，观测到的频率增加；反之，当波源与观察者相互远离时，观测到的频率变小。 3．应用 （1）测车辆速度。 （2）测血流速度。 （3）测星球速度。 1．判断下列说法的正误。 （1）发生多普勒效应时，波源的频率发生了变化。 （×） （2）当波源和观察者向同一个方向运动时，一定发生多普勒效应。 （×） （3）在相遇区域，任一点的总位移等于两列波分别引起的位移的矢量和。 （√） （4）几个人在同一房间说话，相互都听得清楚说明波在相遇时互不干扰。 （√） 2．如图表示产生机械波的波源S做匀速运动的情况，图中的圆表示波峰。该图表示　　　　　　现象，观察到波的频率最高和最低的位置分别是　　　　、　　　　。  答案　多普勒　A　B 要点一　波的叠加 　　（1）两个同学分别抓住绳子的两端，各自抖动一下，绳上产生两列凸起且相向传播的波，两列波相遇后是否还保持原来的运动状态继续传播？ （2）当教室内乐队合奏时，我们听到的某种乐器的声音与这种乐器独奏时的声音是否相同？这种声音是否受到了其他乐器的影响？ 提示：（1）两列波相遇后仍然保持原来各自的运动状态继续传播，并没有受到另一列波的影响。 （2）相同，没有受到其他乐器的影响。 1．波的叠加原理是波独立传播的必然结果，由于总位移是两个位移的矢量和，所以叠加区域的质点的位移可能增大，也可能减小。 （1）两列波的叠加（如图甲所示），振动加强，振幅增大。 （2）两列波的叠加（如图乙所示），振动减弱，振幅减小。 2．波的叠加原理：几列不同波源产生的波，当它们在同一介质里传播时，在相遇处各质点的位移等于各列波单独存在时在该点所引起的位移的矢量和。波的叠加原理适用于一切波。 3．波的叠加是无条件的，任何频率的两列波在空间相遇都会叠加。 [例1]　（多选）如图所示，波源S1在绳的左端发出频率为f1、振幅为A1的半个波形a，同时另一个波源S2在绳的右端发出频率为f2、振幅为A2的半个波形b，且f1＜f2，P为两个波源连线的中点。已知机械波在介质中传播的速度只由介质本身的性质决定。下列说法正确的是 （　　） A．两列波相比较，a波将先到达P点 B．两列波在P点叠加时，P点的位移最大可达A1＋A2 C．b的波峰到达P点时，a的波峰还没有到达P点 D．两列波相遇时，绳上位移可达A1＋A2的点只有一个，此点在P点的左侧 [解析]　因两列波波速相等，故两列波能同时到达P点，A错误；因f1＜f2，由λ＝可知λ1＞λ2，故当两列波同时到达P点时，a波的波峰离P点的距离比b波的波峰离P点的距离大，因此两波峰不能同时到达P点，两波峰应相遇在P点左侧，此位置对应的位移为A1＋A2，位移最大，综上所述，B错误，CD正确。 [答案]　CD 1．（多选）下列说法正确的是 （　　） A．任意两列波相遇时都会叠加 B．两列波相遇的区域中各质点的振幅都相同 C．在振动减弱的区域，各质点都处于波谷 D．在振动加强的区域，有时质点的位移等于零 解析　任意两列波相遇时都会产生叠加，相遇区域中各质点的位移都遵循矢量合成法则，故A正确；两列波相遇的区域中，振动加强的位置振幅较大，振动减弱的位置振幅较小，故B错误；在振动加强的区域中，这些质点始终在振动，自然会有某些时刻的位移为零，故D正确；同时，振动减弱的区域中，质点的位移也有某些时刻为零，故C错误。 答案　AD 要点二　波的干涉 　　如图所示，操场中两根竖直杆上各有一个扬声器，接在同一扩音机上，一位同学沿着AB方向走来，他听到的声音会有什么变化？为什么？ 提示：声音忽强忽弱，因为声波发生了干涉现象。 对波的干涉的理解 1．发生干涉的条件 （1）两列波的频率相同。 （2）相位差恒定。 2．产生稳定干涉图样的两列波的振幅越接近，干涉图样越明显。 3．干涉图样及其特点 （1）干涉图样：如图所示。 （2）特点 ①加强区和减弱区的位置固定不变。 ②加强区始终加强，减弱区始终减弱(加强区与减弱区不随时间变化)。 ③加强区与减弱区互相间隔。 4．振动加强点和振动减弱点 （1）振动加强点：振幅等于两列波振幅之和，A＝A1＋A2。 （2）振动减弱点：振幅等于两列波振幅之差，A＝｜A1－A2｜。 （3）振动加强点和振动减弱点的判断 ①条件判断法：振动频率相同、振动情况完全相同的两列波叠加时，设点到两波源的路程差为Δx，当Δx＝｜x2－x1｜＝kλ（k＝0，1，2，…）时为振动加强点；当Δx＝｜x2－x1｜＝（2k＋1）（k＝0，1，2，…）时为振动减弱点。若两波源振动步调相反，则上述结论相反。 ②现象判断法：若某点总是波峰与波峰或波谷与波谷相遇，该点为振动加强点，若总是波峰与波谷相遇，则为振动减弱点。 [例2]　如图（a），在xy平面内有两个沿z方向做简谐振动的点波源S1（0，4）和S2（0，－2）。两波源的振动图线分别如图（b）和图（c）所示。两列波的波速均为1．00 m/s。两列波从波源传播到点A（8，－2）的路程差为　　　　 m，两列波引起点B（4，1）处质点的振动相互　　　　（选填“加强”或“减弱”），点C（0，0．5）处质点的振动相互　　　　（选填“加强”或“减弱”）。  [解析]　点波源S1（0，4）的振动形式传播到点A（8，－2）的路程为L1＝10 m，点波源S2（0，－2）的振动形式传播到点A（8，－2）的路程为L2＝8 m，两列波从波源传播到点A（8，－2）的路程差为ΔL＝L1－L2＝2 m。由于两列波的波源到点B（4，1）的路程相等，路程差为零，且t＝0时两列波的波源的振动方向相反，所以两列波到达点B时振动方向相反，引起点B处质点的振动相互减弱；由振动图线可知，波动周期为T＝2 s，波长λ＝vT＝2 m。由于两列波的波源到点C（0，0．5）的路程分别为3．5 m和2．5 m，路程差为1 m，而t＝0时两列波的波源的振动方向相反，所以两列波到达点C时振动方向相同，引起点C处质点的振动相互加强。 [答案]　2　减弱　加强 2．（多选）如图所示，S1、S2是两个相干波源，它们的振动同步且振幅相同。实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有 （　　） A．该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动都最强，d质点振动既不是最强也不是最弱 B．该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强 C．a质点的振动始终是最弱的，b、c、d质点的振动始终是最强的 D．再过后的时刻，a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱 解析　该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，这不难理解。但是d质点既不是波峰与波峰叠加，又不是波谷与波谷叠加，如何判定其振动强弱？这就要用到充要条件：“到两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从题图中可以看出，d质点是S1、S2连线的中垂线上的一点，到S1、S2的距离相等，所以必然为振动最强点。故选BC。 答案　BC 要点三　对多普勒效应的理解 　　如图所示，男同学站立不动吹口哨，一位女同学坐在秋千上来回摆动，当女同学靠近或远离男同学时，她感觉的哨音有变化吗？ 提示：在女同学荡秋千的过程中，只要她有向右的速度，她都有靠近声源的趋势，根据多普勒效应，她都感觉哨声音调变高；反之，女同学向左运动时，她都感觉音调变低。 1．多普勒效应是指观察者所接收到的波的频率与波源频率不同的现象，并不是接收到的波的强度发生变化的现象。 2．发生多普勒效应时，波源的频率并没有变化，是接收者接收到的频率（单位时间内接收到的完整波的个数）发生变化（大于或小于波源频率）。 3．多普勒效应的产生不是取决于波源与观察者之间的距离，而是取决于二者相对速度的大小和方向。 4．波源与观察者相对位置变化与频率的关系 相对位置 图示 结论 波源S和观察者A相对静止不动，如图所示 f波源＝f观察者，音调不变 波源S不动，观察者A运动，由A向B或A向C，如图所示 若靠近波源，由A向B，则f波源＜f观察者，音调变高；若远离波源，由A向C，则f波源＞f观察者，音调变低 观察者A不动，波源S运动，由S向S1，如图所示 f波源＜f观察者，音调变高 [例3]　新型列车动车组速度可达487．3 km/h，与该车汽笛声的音调相比。 （1）站在车运动前方路旁的观察者听起来音调　　　　（选填“偏高”或“偏低”）。站在车运动后方路旁的观察者听起来音调　　　　（选填“偏离”或“偏低”）。  （2）迎面来的另一列车上的乘客听起来音调怎样？此时列车汽笛声的音调变化了吗？ （3）坐在新型列车动车组上的乘客听起来音调怎样？ [解析]　（1）站在车运动前方的观察者与列车在靠近，因此听起来音调偏高；站在车运动后方的观察者与列车在远离，因此听起来音调偏低。 （2）迎面来的另一列车上的乘客听起来音调偏高，此时列车汽笛声的音调不变。 （3）坐在新型列车动车组上的乘客与该列车的相对位置不变，故听起来音调不变。 [答案]　（1）偏高　偏低　（2）偏高　不变　（3）不变 3．（多选）下列关于多普勒效应的说法中正确的是 （　　） A．只有声波才能发生多普勒效应 B．当观察者靠近声源时，听到声音的音调升高，说明声源的频率升高了 C．当声源和观察者同时以相同的速度向同一方向运动时，不会发生多普勒效应 D．火车离站时，站台上的旅客听到火车的汽笛声音调降低 解析　多普勒效应是波的共有特征，不仅是声波等机械波，电磁波和光波也会发生多普勒效应，故选项A错误；发生多普勒效应时，声源的频率并没有发生变化，而是观察者接收到的频率发生了变化，故选项B错误；当波源和观察者以相同的速度同向运动时，两者之间无相对运动，不会发生多普勒效应，故选项C正确；火车离站时，站台上的旅客和火车相互远离，听到火车的汽笛声音调降低，故选项D正确。 答案　CD 1．（波的叠加）（多选）两个不等幅的脉冲波在均匀介质中均以1．0 m/s的速率沿同一直线相向传播，t＝0时刻的波形如图所示，图中小方格的边长为0．1 m。则不同时刻的波形正确的是 （　　） 解析　脉冲波在介质中传播，x＝vt，当t＝0．3 s时，两脉冲波各沿波的传播方向传播0．3 m，恰好相遇，故A正确。当t＝0．4 s、0．5 s、0．6 s时，两脉冲波各沿波的传播方向传播0．4 m、0．5 m、0．6 m，由波的叠加原理可知BD正确，C错误。 答案　ABD 2．（波的干涉）（多选）如图表示两个相干波源S1、S2产生的波在同一种均匀介质中相遇。图中实线表示波峰，虚线表示波谷，b、d、f共线，下列说法正确的是 （　　） A．a、c两点的振动加强，b、d两点的振动减弱 B．e、f两点的振动介于加强点和减弱点之间 C．经适当的时间后，加强点和减弱点的位置互换 D．经半个周期后，原来位于波峰的点将位于波谷，原来位于波谷的点将位于波峰 解析　波的干涉示意图表示某一时刻两列相干波叠加的情况，形成干涉图样的所有介质质点都在不停地振动着，其位移的大小和方向都在不停地变化着。但要注意，对稳定的干涉，振动加强和减弱的区域的空间位置是不变的。a点是波谷和波谷相遇的点，c点是波峰和波峰相遇的点，都是振动加强的点，而b、d两点都是波峰和波谷相遇的点，都是振动减弱的点，A正确；e点位于加强点的连线上，也为加强点，f点位于减弱点的连线上，也为减弱点，B错误；相干波源叠加产生的干涉是稳定的，不会随时间变化，C错误；因形成干涉图样的介质质点也在不停地做周期性振动，故经半个周期步调相反，D正确。 答案　AD 3．（多普勒效应）汽车无人驾驶技术已逐渐成熟，最常用的是ACC自适应巡航控制，它可以控制无人车在前车减速时自动减速、前车加速时自动跟上去。正在匀速行驶的汽车使用的传感器主要是毫米波雷达，该雷达会发射和接收调制过的无线电波，再通过因波的时间差和多普勒效应造成的频率变化来测量目标的相对距离和相对速度。若该雷达发射的无线电波的频率为f，接收到的回波的频率为f'，则 （　　） A．当f'＝f时，表明前车一定做匀速直线运动 B．当f'＝f时，表明前车一定处于静止状态 C．当f'＞f时，表明前车正在减速行驶 D．当f'＜f时，表明前车正在减速行驶 解析　当声源和观察者之间的距离不变化时，观察者接收到的频率和声源发出的频率相等，故当f＝f'时，说明二者之间的距离不变，表明前车与无人车速度相同，但不一定做匀速直线运动，也不一定静止，故AB错误；当f'＞f时，说明接收到的频率增大，说明两车距离减小，表明前车在减速行驶，故C正确；当f'＜f时，说明接收到的频率减小，说明两车距离增大，表明前车在加速行驶，故D错误。 答案　C 1．关于多普勒效应的说法正确的是 （　　） A．若波源向观察者靠近，则波源发出的频率变小 B．若波源向观察者靠近，则观察者接收到的频率变大 C．若观察者远离波源，则波源发出的频率变小 D．若波源向观察者靠近，则波源发出的频率变大 解析　若波源向观察者靠近，则波源发出的频率不变，观察者接收到的频率会变大，故选项AD错误，B正确；若观察者远离波源，波源发出的频率也不变，故选项C错误。 答案　B 2．两列波叠加时，关于介质中的任一质点的振动，下列说法正确的是 （　　） A．它的周期一定是两分振动周期之和 B．它的频率一定是两分振动频率之和 C．它的振幅一定是两分振动振幅之和 D．它的位移一定是两分振动位移的矢量和 解析　两列波叠加时，振动的周期和频率不等于两者之和。例如，频率相同的两列波叠加，某点的振动频率可能等于每列波的频率，也可能不振动。某点的振幅可能等于两列波的振幅之和，也可能等于两列波的振幅之差，但位移一定是两分振动位移的矢量和，故选D。 答案　D 3．公路巡警车在高速公路上以100 km/h的恒定速度巡查，在同一车道上巡警车向前方的一辆轿车发出一个频率已知的电磁波，如果该电磁波被那辆轿车反射回来时，巡警车接收到的电磁波频率比发出时低，说明那辆轿车的车速 （　　） A．高于100 km/h B．低于100 km/h C．等于100 km/h D．无法确定 解析　由多普勒效应知，巡警车接收到的频率变低了，即观察者接收到的频率变低了，说明轿车和巡警车在相互远离，而巡警车速度恒定，因此可以判定轿车的速度比巡警车速度大，故A选项正确。 答案　A 4．（多选）水槽中，与水面接触的两根相同细杆固定在同一个振动片上。振动片做简谐振动时，两根细杆周期性触动水面形成两个波源。两波源发出的波在水面上相遇。在重叠区域发生干涉并形成了干涉图样。关于两列波重叠区域内水面上振动的质点，下列说法正确的是 （　　） A．不同质点的振幅都相同 B．不同质点振动的频率都相同 C．不同质点振动的相位都相同 D．不同质点振动的周期都与振动片的周期相同 解析　两列波叠加形成稳定的干涉现象的条件是两列波的频率相同；任何质点都在按照相同的频率在振动，不同区域的质点振幅和位移不一定相同，各质点振动的频率与波源频率相同，波源振动频率又与振动片的振动频率相同。 答案　BD 5．在大型活动现场如果麦克风的位置摆放不当，喇叭会发出刺耳的声音，这个刺耳的声音叫作“啸叫”，或者叫作“反馈增益”。这个过程是由于麦克风输入信号过强，使放出去的声音失真导致的啸叫。如图所示，会场上有M、N两个振动情况完全相同的喇叭，播放麦克风输入的相同频率的声音。空间有a、b、c、d、e五个位置，a、e在MN连线的中垂线上。试音时发现麦克风放置在e点喇叭会发出啸叫，判定在其余四个点中一定会发出啸叫的点为(　　) A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 解析　M、N是两个振动情况完全相同的喇叭，a、e是MN连线的中垂线上的两个点，a、e到M、N两个声源的距离相等，路程差为零，a、e两点的振动加强，由题意可知麦克风放置在e点喇叭会发出啸叫，所以麦克风放置在a点喇叭也会发出啸叫，故A符合题意，B、C、D不符合题意。 答案　A 6．在图中，a、b是同一介质中两相干波源，其振幅均为A＝5 cm，频率均为f＝100 Hz，当a点为波峰时，b点恰好为波谷，波速v＝10 m/s，Pa⊥ab，请判断P点为振动加强点还是振动减弱点。 解析　a到P与b到P的波程差为 Δx＝ m－15 m＝10 m。 这两列波的波长为λ＝ m＝0．1 m。 10 m恰好为0．1 m的整数倍，又因a、b步调相反，因此P点为振动减弱点。 答案　振动减弱点 7．（多选）下面实际应用中利用了多普勒效应的是 （　　） A．利用地球上接收到遥远天体发出的光波的频率来判断遥远天体相对于地球的运动速度 B．交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，波被运动的汽车反射回来，根据接收到的频率发生的变化，就知道汽车的速度，以便于进行交通管理 C．铁路工人将耳朵贴在铁轨上可判断火车的运动情况 D．有经验的战士利用炮弹飞行的尖啸声判断炮弹是接近还是远去 解析　凡是波都具有多普勒效应，因此利用光波的多普勒效应便可以测定遥远天体相对地球运动的速度，A正确。被反射的电磁波，相当于一个运动的物体发出的电磁波，其频率发生变化，由多普勒效应的知识可以求出运动物体的速度，B正确。铁路工人是根据振动的强弱而对列车的运动做出判断的，C错误。炮弹飞行时与空气摩擦产生声波，人耳接收到的频率与炮弹的运动方向有关，D正确。 答案　ABD 8．某同学注意到手机摄像头附近有一个小孔，查阅手机说明后知道手机内部小孔位置处安装了降噪麦克风。进一步翻阅技术资料得知：降噪麦克风通过降噪系统产生与外界噪声相位相反的声波，与噪声叠加从而实现降噪的效果。若用简谐横波模拟声波，下图是理想情况下的降噪过程，实线对应环境噪声，虚线对应降噪系统产生的等幅反相声波。则(　　) A．降噪声波与环境噪声的频率不相等 B．降噪过程可以消除通话时的所有背景杂音 C．降噪过程实际上是声波发生了干涉 D．P点经过一个周期传播的距离为一个波长 解析　由图看出，降噪声波与环境声波波长相等，又由于机械波传播的速度由介质决定，可知降噪声波与环境噪声的传播速度相等，则两列波频率相同，叠加时会产生干涉，由于两列声波等幅反相，所以振动减弱，起到降噪作用，A错误，C正确；降噪过程不能消除通话时的所有背景杂音，只能消除与降噪声波频率相同的杂音，选项B错误；P点并不随波移动，D错误。故选C。 答案　C 9．如图是一张蜻蜓点水的俯视照片，该照片记录了蜻蜓连续三次点水过程中激起的波纹，其形状如图所示。由图中可以得出(　　) ①蜻蜓的飞行方向向左 ②蜻蜓的飞行方向向右 ③蜻蜓飞行速度比水波传播的速度大 ④蜻蜓飞行速度比水波传播的速度小 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析　根据题图，蜻蜓连续三次点水过程中激起的波纹，圆圈越小，则时间越短，所以飞行方向为从大圆到小圆；若蜻蜓飞行的速度和水波传播的速度相同，那么蜻蜓的每一次点水的时候都会是在上一个水波的边线上，而第二个水波和第一个水波都在以相同的速度运动，所以每个圆都应该是内切的。而题图则说明蜻蜓飞行的速度比水波传播的速度大，故C正确。 答案　C 10．(多选)如图甲所示，男同学站立不动吹口哨，一位女同学坐在秋千上来回摆动，据图乙，下列关于女同学的感受的说法正确的是(　　) A．女同学从A向B运动过程中，她感觉哨声音调变高 B．女同学在从点C向左运动过程中，她感觉哨声音调变低 C．女同学在从点C向右运动过程中，她感觉哨声音调不变 D．女同学从E向D运动过程中，她感觉哨声音调变高 解析　女同学从A向B运动过程中，她逐渐靠近声源，根据多普勒效应可知，她感觉到哨声音调变高，故A正确；女同学在从C点向左运动过程中，她逐渐远离声源，她感觉到音调变低，故B正确；女同学在从C点向右运动过程中，她逐渐靠近声源，根据多普勒效应可知，她感觉到哨声音调变高，故C错误；女同学从E向D运动过程中，她逐渐远离声源，她感觉到哨声音调变低，故D错误。 答案　AB 11．（多选）如图所示，在均匀介质中，A、B是振动情况完全相同的两个波源，其简谐运动表达式：x＝0．1sin 20πt（m），形成的机械波的波速都是10 m/s。介质中P点与A、B两波源间的距离分别为4 m和5 m。则 （　　） A．波的周期为0．1 s B．波的波长为2 m C．P点一定是振动加强点 D．P点可能是振动减弱点 解析　设简谐波的波速为v，周期为T，由题意知T＝ s＝0．1 s，A正确；根据v＝可得λ＝vT＝1 m，B错误；根据题意可知，P点到A、B两个波源的路程差Δs＝5 m－4 m＝1 m＝λ，所以P点一定为振动加强点，C正确，D错误。 答案　AC 12．多普勒雷达，就是利用多普勒效应进行定位、测速、测距等工作的雷达。所谓多普勒效应就是，当声音、光和无线电波等振动源与观测者有相对运动时，观测者所收到的振动频率与振动源所发出的频率有所不同。因为这一现象是奥地利科学家多普勒最早发现的，所以称之为多普勒效应。如图所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为vS和vA。空气中声音传播的速率为vP，设vS<vP，vA<vP，空气相对于地面没有流动。 (1)若声源相继发出两个声信号，时间间隔为Δt，请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔Δt′。 (2)请利用(1)的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。 解析　(1)设t1、t2为声源S发出两个信号的时刻，t1′、t2′为观察者接收到两个信号的时刻，则第一个信号经过(t1′－t1)时间被观察者A接收到，第二个信号经过(t2′－t2)时间被观察者A接收到，且t2－t1＝Δt，t2′－t1′＝Δt′。设声源发出第一个信号时，S、A两点间的距离为L，两个声信号从声源传播到观察者的过程中，它们运动的距离关系如图所示，可得vP(t1′－t1)＝L＋vA(t1′－t1)，vP(t2′－t2)＝L＋vA(t2′－t1)－vSΔt， 联立解得Δt′＝Δt。 (2)设声源发出声波的振动周期为T，这样由以上结论，观察者接收到的声波振动的周期T′＝T。 由此可得，观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为f′＝f。 答案　(1)Δt　(2)f′＝f 学科网（北京）股份有限公司 $$