2．波的描述（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

2．波的描述 学习目标 核心素养 1．知道什么是波的图像，能在图像中读出质点振动的振幅。 2．能区分振动图像和波的图像。 3．理解波长的周期、频率、波速的概念和物理意义。 4．掌握波长、频率和波速的关系式，并能应用关系式解答有关问题。 一、波的图像 1．建立坐标系 用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某时刻各质点偏离平衡位置的位移。 2．描点 把平衡时位于x1，x2，x3，…的质点的位移y1，y2，y3，…画在Oxy坐标平面内，得到一系列坐标为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…的点。 3．连线 用一条平滑的线把各点连接起来就是这时的波的图像，有时也称波形图。 4．正弦波及波形图与振动图像的意义 （1）如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波。 （2）波形图表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。 （3）振动图像表示介质中“某一质点”在“各个时刻”的位移。 二、波长、频率和波速 1．波长λ （1）定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 （2）特征 ①在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。 ②在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。 2．周期T、频率f （1）周期（频率）：在波动中，各个质点的周期（或频率）都相同，它们都等于波源的振动周期（或频率），这个周期（或频率）也叫作波的周期（或频率）。 （2）周期T和频率f的关系：互为倒数，即f＝。 （3）波长与周期的关系：经过一个周期，振动在介质中传播的距离等于一个波长。 3．波速 （1）定义：机械波在介质中的传播速度。 （2）决定因素：由介质本身的性质决定，在不同的介质中，波速是不同（选填“相同”或“不同”）的。 （3）波长、周期、频率和波速的关系：v＝＝λf。 （4）波长、频率和波速的决定因素 ①波速由介质决定，与波的频率、波长无关。 ②周期和频率取决于波源，而与v、λ无直接关系。 ③波长由波速和频率共同决定。波从一种介质传播到另一种介质，波的频率不变，由于波速的变化，波长也将随之变化。 1．判断下列说法的正误。 （1）从波的图像可以知道各质点振动的振幅。 （√） （2）在不同时刻波的图像有可能完全相同。 （√） （3）振动图像的图线实质是振动质点所经过的路径形状，波的图像的图线实质是某一时刻各个质点的连线形状。 （×） （4）在波的传播方向上振动速度始终相同的相邻两质点间的距离等于波长。 （√） （5）波的频率由介质决定。 （×） （6）根据v＝可知，机械波的波长越长，波速越大。 （×） 2．一列沿x轴正方向传播的横波在某一时刻的波形图如图所示，由图可知质点的振幅A＝　　　　 cm，此时质点P的运动方向向　　　　，加速度方向向　　　　，且速度　　　　（选填“增大”“减小”或“不变”），加速度　　　　（选填“增大”“减小”或“不变”）。  答案　10　上　下　减小　增大 要点一　对波的图像的理解及应用 　　一列简谐波在某一时刻的图像如图所示。 （1）波的图像是什么形状的曲线？ （2）由图像可读出什么？ 提示：（1）波的图像是正弦曲线。 （2）由图像可读出：①该时刻各质点的位移；②各质点振动的振幅；③波长。 1．波的图像的理解 （1）波的图像是某一时刻介质中各个质点运动情况的“定格”。可以将波的图像比喻为某一时刻对所有质点拍摄下的“集体照”。 （2）简谐波的图像是正弦曲线，是最简单的一种波，各个质点振动的最大位移都相等。 2．图像的信息 如图所示，知道一列波在某时刻的波形，能从这列波的波形中了解到波的传播情况主要有以下几点： （1）可以直接看出在该时刻沿传播方向上各质点的位移。图线上各点的纵坐标表示的是各质点在该时刻的位移。图中的M点的位移是2 cm。 （2）可以直接看出在波的传播过程中各质点的振幅A，波的图线上纵坐标最大值的绝对值，即A＝4 cm。 （3）可以判断出各质点在该时刻的回复力方向和加速度方向。 （4）根据波的产生特点，若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向、速度大小的变化趋势等。反之亦然。 3．判断质点振动方向或波传播方向的方法 （1）带动法：先振动的质点带动邻近的后振动质点，在质点P靠近波源一方附近的图像上另找一点P'，若P'在P点上方，则P向上振动，若P'在下方，则P向下振动（如图甲所示）。 （2）上下坡法：沿波的传播方向看去，“上坡”处的质点向下振动；“下坡”处的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上”（如图乙所示）。 （3）同侧法：在波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧（如图丙所示）。 （4）微平移法：如图丁所示，实线为t时刻的波形，作出微小时间Δt后的波形如虚线所示。由图可见t时刻的质点由P1（或P2）位置经Δt后运动到P1'（或P2'）处，这样就可以判断质点的振动方向了。 [例1]　如图所示是一列横波在某一时刻的波形，波沿x轴正方向传播。 （1）该时刻质点A的振动方向向　　　　，质点C的振动方向向　　　　，质点D的振动方向向　　　　。  （2）再经过T，质点A通过的路程是　　　　　 cm，质点C的位移是　　　　 cm。  [解析]　（1）由于波沿x轴正方向传播，质点A在“下坡区”，所以它向上运动；质点C、质点D均在“上坡区”，所以质点C、D都向下运动。 （2）再经过T，质点A又回到平衡位置，所以质点A通过的路程为4 cm；质点C也回到平衡位置，其位移为0。 [答案]　（1）上　下 　下　（2）4　0 简谐运动中质点的位移 对于做简谐运动的质点，其位移都是相对平衡位置而言的，与起点在何处无关，这一点与运动学中的位移有所不同。 1．（多选）关于如图所示的波形图，下列说法中正确的是 （　　） A．此列波的振幅是0．1 m B．x＝15 cm处质点的位移是0．1 m C．若质点A的速度沿y轴正方向，则质点B的速度亦沿y轴正方向 D．质点A的加速度为沿y轴负方向，而B、C两质点的加速度沿y轴正方向 解析　从波的图像上可以直接读出振幅、各质点离开平衡位置的位移，A正确，B错误。各质点加速度的方向总是指向平衡位置，D正确。由于A、B两质点在此时刻都在同一“坡”上，根据上、下坡法可以判断C正确。 答案　ACD 要点二　振动图像和波的图像的比较 　　如图为某一列波在某时刻的波的图像和某质点的振动图像，两图像横坐标和纵坐标分别表示什么意义？两图像的物理意义分别是怎样的？ 提示：波的图像横坐标表示各质点的平衡位置，纵坐标表示某时刻各质点离开平衡位置的位移；而振动图像横坐标表示某质点运动的时间，纵坐标表示该质点在不同时刻离开平衡位置的位移。波的图像表示某时刻各质点的位移；振动图像表示质点的位移随时间变化的规律。 简谐振动的图像和波的图像从形状上看都是正弦曲线，但两种图像的物理意义、坐标中描述的物理量、研究的内容等方面有着本质的不同。两者的异同点如表所示。 比较项目 振动图像 波的图像 不同点 物理意义 表示一质点在各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移 研究对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点 研究内容 一质点位移随时间变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律 图像 图像随时 间的变化 情况　　 随时间延伸，原有部分图形不变 整个波形沿波的传播方向平移，不同时刻波形不同 比喻 单人舞的录像 抓拍的集体舞照片 相同点 图像形状 正弦曲线 可获得 的信息 质点振动的振幅、位移、加速度的方向 [例2]　图甲为某一波在t＝1．0 s时的图像，图乙为参与该波动的质点P的振动图像。 （1）说出两图中AA'的意义； （2）说出图甲中OAB图线的意义，并判断图甲中的波的传播方向； （3）画出图甲中各质点再经3．5 s时的波形。 [解析]　（1）题图甲中AA'表示质点A的振幅或1．0 s时质点A的位移，大小为0．2 m，方向为负。题图乙中AA'表示质点P的振幅，也是质点P在0．25 s时的位移，大小为0．2 m，方向为负。 （2）题图甲中OAB段图线表示O到B之间所有质点在1．0 s时的位移。由题图乙看出质点P在1．0 s时向y轴负方向振动，所以图甲中波向左传播。 （3）由题图乙可知周期为1．0 s，再经3．5 s各质点在题图甲的基础上运动3．5个周期，用特殊点法描出A、B、C、P四点的位置，连线可得到3．5 s时的波的图像，如图所示。 [答案]　见解析 两种图像的比较 （1）波的图像与振动图像外形上很相似，辨别它们时要看图像的横坐标是时间t还是位置x。 　　（2）简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的振幅、周期均相同。 （3）判断波的图像中质点的运动方向可根据带动法、上下坡法、微平移法；根据质点下一时刻的位置判断振动图像中质点的振动方向。 2．（多选）一列简谐横波在t＝0时刻的波形图如图（a）所示，图（b）表示该波传播的介质中某质点此后一段时间内的振动图像，则（　　） A．若波沿x轴正方向传播，图（b）应为a点的振动图像 B．若波沿x轴正方向传播，图（b）应为b点的振动图像 C．若波沿x轴负方向传播，图（b）应为c点的振动图像 D．若波沿x轴负方向传播，图（b）应为d点的振动图像 解析　在题图（b）的振动图像中，t＝0时刻质点在平衡位置且向y轴正方向运动，由图（a）可知，若波沿x轴正方向传播，b点的速度方向沿y轴正方向，d点的速度方向沿y轴负方向；若波沿x轴负方向传播，b点的速度方向沿y轴负方向，d点的速度方向沿y轴正方向，BD正确。 答案　BD 要点三　波长、波速和频率的理解 　　地震时，震源的振动会以横波和纵波两种形式向外传播，两种波在地壳中的传播速度并不一样，首先到达地面的是纵波，接着横波传来，所以在震中的人们会先感到上下颠簸，然后又会感到左右摇摆。讨论： （1）地震时，在地壳中纵波的速度与横波的速度谁大？ （2）同一种波的传播速度取决于什么？ 提示：（1）纵波的速度大。 （2）波的传播速度取决于介质。 1．波长的确定 （1）根据定义确定 ①在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离等于一个波长。 ②波在一个周期内传播的距离等于一个波长。 （2）根据波的图像确定 在波的图像上，两个相邻波峰（或波谷）间的距离为一个波长。 （3）根据公式λ＝vT来确定。 2．波长、波速和频率（周期）的决定因素 （1）在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长。波速与周期、频率的关系为：v＝＝λf。 （2）波的周期和频率由波源决定，与v、λ无关，当波从一种介质进入另一种介质时，周期和频率不发生改变。 （3）波速由介质本身的性质决定，在同一种均匀介质中波速不变。 [例3]　从甲地向乙地发出频率为50 Hz的声波，当波速为330 m/s时，在甲、乙两地间有若干个完整波形的波，当波速为340 m/s时，甲、乙两地间完整波形的波数减少了一个，则甲、乙两地相距多少米？ [解析]　本题主要考查了波长、频率、波速三者之间的关系及学生的空间想象能力，此题创新之处在于虽在同一介质中波速却发生了变化，有人认为这题有问题，其实不然，虽是同一介质，当温度发生变化时，波速也随之变化。 由题意得两次波长分别为 λ1＝ m，λ2＝ m。 设波速为330 m/s时，甲、乙两地间有n个完整波形。 据题意有（n－1）λ1＝nλ2， 所以n＝＝34， 所以甲、乙两地间的距离为 s＝nλ2＝34× m＝224．4 m。 [答案]　224．4 m 3．（多选）一列简谐波在某一时刻的波形如图所示。下列说法正确的是 （　　） A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同 B．质点B、F在振动过程中位移总是相同 C．质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长 D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长 解析　从图像中可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个点的位移不总是相同，故A项错误；质点B、F是处在相邻波峰的两个点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相同，故B项正确；质点D、H是处在相邻波谷的两个点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，故C项正确；质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点，所以它们的平衡位置之间的距离不是一个波长（应为两个波长），故D项错误。 答案　BC 1．（波的图像）取一条较长的软绳，用手握住一端（O点）连续上下抖动，在绳上形成一列简谐横波。已知O点完成一次全振动所用的时间为T，某一时刻的波形如图所示，绳上a、b两点均处于平衡位置，下列说法正确的是 （　　） A．a、b两点振动方向相同 B．a、b两点间的距离等于一个波长 C．再经，b质点将运动到波峰位置 D．再经，a质点将运动到b质点位置 解析　根据波的传播规律，利用带动法可知，a点在向下运动，b点在向上运动，A错误；由题图可知，a、b两点间的距离小于一个波长，B错误；b点在向上运动，再经，b质点将运动到波峰位置，C正确；质点只在平衡位置上下振动，不会随波迁移，D错误。 答案　C 2．（振动图像和波的图像的比较）某横波在介质中沿x轴传播，图甲为t＝0．75 s时的波形图，图乙为P点的振动图像。那么下列说法正确的是 （　　） A．质点L与质点N的运动方向总相同 B．该波沿x轴正方向传播 C．在0．5 s时间内，质点P向右运动了1 m D．t＝1．0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴负方向运动 解析　由波动图像可知，质点L与质点N的运动方向总是相反，故A错误；由振动图像可知，t＝0．75 s时，P点振动方向向下，所以该波沿x轴负方向传播，故B错误；质点P在其平衡位置附近来回振动，并不随波迁移，故C错误；由振动图像可知，t＝1．0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴负方向运动，故D正确。 答案　D 3．（波速公式的应用）某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1．8 m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近。该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s。下列说法正确的是（　　） A．该水面波的频率为6 Hz B．该水面波的波长为3 m C．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去 D．若水面波的频率增大，则水面波会将该同学推向岸边 解析　由第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s，可得知振动的周期T＝ s＝ s，频率为f＝＝0．6 Hz，故A错误；该水面波的波长为λ＝vT＝3 m，故B正确；参与振动的质点只是在自己的平衡位置附近做往复运动，并不会“随波逐流”，则即使水面波的频率增大，也不会将该同学推向岸边，但振动的能量和振动形式却会不断地向外传播，故CD错误。 答案　B 1．（多选）对公式v＝λf的理解，以下说法正确的是 （　　） A．由v＝λf可知，波速与频率成正比 B．波速v由介质决定，频率f由波源决定 C．当波由一种介质进入另一种介质时，频率不变，波速、波长改变 D．v＝λf适用于横波，不适用于纵波 解析　波速只与介质有关，频率由波源决定，选项A错误，B正确；不同频率的波在同一种介质中传播时，波长与频率成反比，同一列波从一种介质进入另一种介质时，频率不变，波速与波长成正比，选项C正确；v＝λf适用于一切波，选项D错误。 答案　BC 2．如图所示，根据甲、乙两图，分别判断它们属于何种图像 （　　） A．甲是振动图像，乙是波的图像 B．甲是波的图像，乙是振动图像 C．都是波的图像 D．都是振动图像 解析　波的图像的横坐标为各质点的平衡位置；振动图像中横坐标为时间。 答案　B 3．关于振动图像和波的图像，以下说法正确的是 （　　） A．波的图像反映出很多质点在不同时刻的位移 B．通过波的图像可以找出任一质点在任一时刻的位移 C．从振动图像可以找出很多质点在任一时刻的位移 D．两种图像的纵坐标都表示质点离开平衡位置的位移 解析　波的图像表示的是连续介质中的各个质点在某一时刻的位移，振动图像表示的是某一质点在各个时刻的位移。 答案　D 4．如图所示是一列简谐波沿x轴正方向传播的某时刻的波形。a处于正向最大位移处，b恰好处于平衡位置，经过Δt＝时间，下列关于a、b两个质点所通过的路程的关系的说法中正确的是（　　） A．sa＝sb B．sa＜sb C．sa＞sb D．不能判断两者大小关系 解析　因各个质点均做受迫振动，重复波源的振动，故振动频率、周期、振幅相同，而a正处于正向最大位移处，速度为零，在时间Δt内，向平衡位置运动，速度由零逐渐增大，但达不到最大速度（到平衡位置时的速度）；b正在从平衡位置向上运动，具有最大速度，在时间Δt内，它向正方向最大位移处运动，速度逐渐减小，但在时间Δt内的平均速度比a质点大。 答案　B 5．（多选）一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0和t＝0．20 s时的波形分别如图中实线和虚线所示。已知该波的周期T＞0．20 s。下列说法正确的是（　　） A．波速为0．40 m/s B．波长为0．08 m C．x＝0．08 m的质点在t＝0．70 s时位于波谷 D．x＝0．08 m的质点在t＝0．12 s时位于波谷 解析　根据波形图可知，波长λ＝16 cm＝0．16 m，选项B错误；根据t＝0时刻和t＝0．20 s时刻的波形图和该波的周期T＞0．20 s可知，该波的周期T＝0．40 s，波速v＝＝0．40 m/s，选项A正确；简谐波沿x轴正方向传播，x＝0．08 m的质点在t＝0时刻沿y轴正方向振动，在t＝0．70 s时位于波谷，在t＝0．12 s时位于y＞0的某位置（不是位于波谷），选项C正确，D错误。 答案　AC 6．如图所示为一列沿x轴负方向传播的简谐横波在某一时刻的图像，请画出再经过T后的波的图像。（T为波源的振动周期） 解析　解法一　平移法　沿波的传播方向移动的距离为Δx＝v·，如图甲中虚线所示。 甲 解法二　特殊点法　在图上取5个质点，如图乙所示，由于波向x轴负方向传播，所以经过T后H到平衡位置，I到波谷，J到平衡位置，K到波峰，L到平衡位置，所以经后的波的图像如图丙所示。 乙　　　　　　　丙 答案　见解析图 7．（多选）如图为一完整的波形，下列有关说法正确的是 （　　） A．若P是振源，此时P向上振动 B．若Q是振源，此时Q向上振动 C．若P是振源，此时P向下振动 D．若Q是振源，此时Q向下振动 解析　若P为振源，则该波向右传播，P处于下坡路上，所以向上振动，A正确；若Q为振源，则该波向左传播，Q处于上坡路上，所以向下振动，D正确。 答案　AD 8．二人分乘甲、乙两条船在湖中钓鱼，两船相距24 m。有一列水波(视为简谐横波)从波源发出，依次传到甲、乙两船(相对位置如图所示)，每条船每分钟完成10 次全振动，当甲船位于波峰时，乙船位于波谷，这时两船之间还有一个波峰。下列说法中正确的是(　　) A．这列波的速度为8 m/s B．这列波的波长为16 m C．这列波的周期为10 s D．这列波的频率为6 Hz 解析　如图，可知两船之间的距离等于1.5 个波长，即有1.5λ＝24 m，得λ＝16 m，B正确；每条船每分钟完成10 次全振动，可知波的周期为T＝ s＝6 s，频率f＝ Hz＝ Hz，C、D错误；这列波的波速为v＝＝ m/s＝ m/s，A错误。故选B。 答案　B 9．（多选）一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图（a）所示，P、Q是介质中的两个质点。图（b）表示介质中某质点的振动图像。下列说法正确的是（　　） A．质点Q的振动图像与图（b）相同 B．在t＝0时刻，质点P的速度比质点Q的大 C．在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大 D．平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图（b）所示 解析　由图（b）可知，在t＝时刻，质点正在向y轴负方向运动，而从图（a）可知，质点Q在t＝时刻正在向y轴正方向运动，故A错误；由t＝的波形图推知，t＝0时刻，质点P正位于波谷，速率为零，质点Q正在平衡位置，故在t＝0时刻，质点P的速率小于质点Q，故B错误；t＝0时刻，质点P正位于波谷，具有沿y轴正方向最大加速度，质点Q在平衡位置，加速度为零，故C正确；t＝0时刻，平衡位置在坐标原点处的质点，正处于平衡位置，沿y轴正方向运动，跟（b）图吻合，故D正确。故本题选CD。 答案　CD 10．一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，已知t＝1．5 s时刻a质点第一次到达波谷，且从t＝0时刻起，a质点比b质点晚到达波谷，则下列说法正确的是 （　　） A．该波沿x轴正方向传播 B．该波的波速为4 m/s C．0～20 s内，a质点通过的路程为1 m D．a质点的振动方程为y＝5sin πt（cm） 解析　a质点比b质点第一次到达波谷的时间晚，说明在t＝0时刻a质点沿y轴正方向运动，故该波向x轴负方向传播，选项A错误；经分析可知＝1．5 s，解得T＝2 s，由题图可知，该波的波长λ＝4 m，故该波的波速v＝＝2 m/s，选项B错误；20 s内a质点完成10次全振动，其通过的路程为200 cm，即为2 m，选项C错误；a质点的振动方程为y＝Asin t＝5sin πt（cm），选项D正确。 答案　D 11．图甲中的B超成像的基本原理是探头向人体发射一组超声波，遇到人体组织会产生不同程度的反射。探头接收到的超声波信号由计算机处理，从而形成B超图像。图乙为血管探头沿x轴正方向发送的简谐超声波图像，t＝0时刻波恰好传到质点M，已知此超声波的频率为1×107 Hz，下列说法正确的是 （　　） A．血管探头发出的超声波在血管中的传播速度为1．4×103 m/s B．质点M开始振动的方向沿y轴正方向 C．0～1．25×10－7s内质点M的路程为0．175 mm D．t＝1．25×10－7s时质点M运动到横坐标x＝35×10－2 mm处 解析　由图乙可知，超声波的波长为λ＝1．4×10－4 m，故其传播速度为v＝＝λf＝1．4×103 m/s，故A正确；由图乙可知，质点M开始振动的方向为y轴负方向，故B错误；由图乙可知，该波的振幅为A＝0．4 mm，周期为T＝10－7s，1．25×10－7s为T，故质点M的运动路程为5A＝2 mm，故C错误；质点只会在平衡位置上下振动，不会随波迁移，故D错误。 答案　A 12．一列横波t＝0时刻的波形如图甲所示，Q点是x轴正方向上离原点5 m处的质点（图中未画）。图乙表示介质中P质点此后一段时间内的振动图像。 （1）求此横波的波速； （2）假设t＝0时刻此横波刚传到P点，从该时刻开始计时经过时间t＝8 s，试确定质点Q所通过的路程大小； （3）试画出t＝8 s时刻的波形图。 解析　（1）根据图像可知，横波的周期以及波长分别为T＝4 s， λ＝2 m， 则横波的波速为v＝，解得v＝0．5 m/s。 （2）因为波是匀速传播，所以此横波从该时刻传到Q点经历的时间为 t＝ s＝6 s， Q质点振动2 s，即半个周期，所以Q质点的路程为 s＝2A＝8 cm。 （3）t＝8 s时刻的波形图如图所示。 答案　（1）0．5 m/s　（2）8 cm　（3）见解析图 学科网（北京）股份有限公司 $$