3．简谐运动的回复力和能量（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

3．简谐运动的回复力和能量 学习目标 核心素养 1．理解回复力的概念，会根据回复力的特点判断物体是否做简谐运动。 2．会用动力学的方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。 3．会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。 一、简谐运动的回复力 1．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力。 2．弹簧振子的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是弹簧的劲度系数。 3．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 二、简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 （1）在最大位移处，动能为零，势能最大。 （2）在平衡位置处，动能最大，势能为零。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 1．判断下列说法的正误。 （1）回复力的方向总是与位移的方向相反。（√） （2）回复力的方向总是与加速度的方向相反。 （×） （3）水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零。 （×） （4）回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。 （×） 2．如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为　　　　，大小逐渐　　　　，回复力方向为　　　　，大小逐渐　　　　，振子速度方向为　　　　，大小逐渐　　　　，动能逐渐　　　　，势能逐渐　　　　。（均选填“正”“负”“增大”或“减小”）  答案　正　减小　负　减小　负　增大　增大　减小 要点一　对回复力和加速度的理解 如图所示为放在光滑水平面的弹簧振子的模型，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x。 （1）振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？ （2）振子在A、B点时受到哪些力的作用？ （3）除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在O、A、B点还受到回复力的作用吗？回复力有什么特点？ 提示：（1）两个力；重力、支持力。 （2）重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；重力、支持力、弹簧对其向左的弹力。 （3）不受。回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力。 回复力可以由某一个力提供（如弹力），也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力。 1．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。 2．回复力可以由某一个力提供（如弹力、摩擦力等），也可能是几个力的合力，还可能是某一力的分力，归纳起来回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。 3．简谐运动的回复力：F＝－kx。 （1）由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。 （2）公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移间的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。 （3）据牛顿第二定律，有a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐振动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。 [特别提醒]　回复力F＝－kx和加速度a＝－x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用两式来证明某个振动为简谐运动。 [例1]　光滑的水平面上放有质量分别为m和m的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为Ff，为使这两个木块组成的系统能像一个整体一起振动，系统的最大振幅为 （　　） A． B． C． D． [解析]　质量分别为m和m的两木块作为一个整体同步振动，两者具有相同的加速度。当两木块之间静摩擦力达到最大值Ff时，m木块的加速度达到最大值，此时两木块组成的系统的加速度也达到最大值，弹簧弹力达到最大值Fmax＝（m＋m）amax＝3Ff，此时系统的位移大小即为振幅达到的最大值Amax＝。 [答案]　C 1．（多选）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是 （　　） A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 解析　回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在题图情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程中回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。 答案　AD 要点二　简谐运动中各物理量的变化规律 　　如图所示，O点为振子的平衡位置，A'、A分别是振子运动的最左端和最右端。 （1）振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小？ （2）振子在振动过程中由A'→A点时加速度如何变化？ 提示：（1）振子在平衡位置速度最大。 （2）加速度先减小后增大。 根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如表所示。 振子的运动 A→O O→A' A'→O O→A 位移 方向 向右 向左 向左 向右 大小 减小 增大 减小 增大 回复力 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 加速度 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 速度 方向 向左 向左 向右 向右 大小 增大 减小 增大 减小 振子的动能 增大 减小 增大 减小 弹簧的势能 减小 增大 减小 增大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反。通过上表能看出两个转折点：平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处的A点和A'点是速度方向变化的转折点。通过上表还可以比较出两个过程，即向平衡位置O靠近的过程（A→O及A'→O）与远离平衡位置O的过程（O→A'及O→A）的不同特点：靠近O点时速度变大，远离O点时位移、加速度和回复力变大。 [例2]　如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则 （　　） A．振子速度最大时，振动系统的势能为零 B．振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等 C．振子经平衡位置时，振动系统的势能最小 D．振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒 [解析]　当振子在平衡位置时，振子的速度最大，此时的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零，选项A错误；在平衡位置时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等，选项B错误；因为只有重力和弹簧弹力做功，则振子的动能、重力势能及弹性势能守恒，故在平衡位置动能最大时，振动系统的势能最小，选项C正确，D错误。 [答案]　C 　　（1）最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，Ep最小，而Ek最大。 　　（2）竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。 2．有一个在y方向上做简谐运动的物体，其振动图像如图所示。下列关于图甲、乙、丙、丁的判断正确的是（选项中v、F、a、Ek分别表示物体的速度、受到的回复力、加速度和动能） （　　） A．甲可作为该物体的v－t图像 B．乙可作为该物体的F－t图像 C．丙可作为该物体的a－t图像 D．丁可作为该物体的Ek－t图像 解析　因为F＝－kx，a＝－，故题图丙可作为F－t、a－t图像；而v随x增大而减小，故v－t图像应为图乙，物体的动能Ek不可能为负，故C正确，ABD错误。 答案　C 要点三　简谐运动的判断依据 如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板的P点，下端挂一质量为m的物块，物块静止后，再向下拉长弹簧，然后放手，弹簧上下振动，试说明物块的运动是简谐运动。 提示：设振子的平衡位置为O点，向下为正方向，静止时弹簧的形变量为x0，则有kx0＝mg， 当弹簧向下发生位移x时，弹簧弹力F＝k（x＋x0）， 而回复力F回＝mg－F＝mg－k（x＋x0）＝－kx， 即回复力满足F＝－kx的条件，故物块做简谐运动。 1．运动学方法 找出质点的位移与时间的关系，若遵循正弦函数的规律，即它的振动图像（x－t图像）是一条正弦曲线，就可以判定此振动为简谐运动，通常很少应用这个方法。 2．动力学方法 （1）判断振动是否为简谐运动的动力学方法模型： （2）模型突破：写出回复力和位移的关系式，若满足F＝－kx（或a＝－x），就可以判定此振动为简谐运动。 [例3]　一质量为m，侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止（平衡），如图所示。现用力向下将其压入水中一段深度后（未全部浸没）撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。 [解析]　以木块为研究对象，设水的密度为ρ，静止时木块浸入水中Δx深，当木块被压入水中x后所受力如图所示，则F回＝mg－F浮 ① 又F浮＝ρgS（Δx＋x） ② 由①②两式，得F回＝mg－ρgS（Δx＋x）＝mg－ρgSΔx－ρgSx， 因为mg＝ρgSΔx，所以F回＝－ρgSx， 即F回＝－kx（k＝ρgS）， 所以木块的振动为简谐运动。 [答案]　木块的振动为简谐运动 1．判断一个振动为简谐运动的方法 （1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。 （2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断。 （3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－x进行判断。 2．振动的平衡位置应在合力为零的位置，不一定是弹簧原长的位置。 3．如图所示，物体A置于物体B上，A、B的质量分别为mA、mB，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止。 （1）试分析A、B在振动过程中A物体的回复力来源； （2）试证明A物体的振动为简谐运动。 解析　（1）A、B整体在振动过程中的回复力为弹簧的弹力，由于A、B整体的运动为简谐运动，所以，A物体的回复力为B对A的静摩擦力f。 （2）设A、B整体的平衡位置为O，向右的方向为正方向，当振子向右偏离平衡位置的位移为x时，A、B整体的回复力为此时弹簧的弹力F＝－kx，A、B整体此时的加速度a＝＝－。由牛顿第二定律得A物体所受的静摩擦力f＝mAa＝－，可见A物体所受的回复力与位移的大小成正比，与位移方向相反，A物体的振动是简谐运动。 答案　（1）B对A的静摩擦力　（2）见解析 1．（简谐运动的回复力）关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是 （　　） A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据k＝－可以认为k与F成正比 D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动 解析　对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动k不是劲度系数，而是一个比例系数，故A错误，B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力有时是阻力，D错误。 答案　B 2．（简谐运动的动力学分析）在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的质量是2 kg，当它运动到平衡位置左侧2 cm时，受到的回复力是4 N，当它运动到平衡位置右侧4 cm时，它的加速度是 （　　） A．2 m/s2，方向水平向右 B．2 m/s2，方向水平向左 C．4 m/s2，方向水平向右 D．4 m/s2，方向水平向左 解析　当弹簧振子运动到平衡位置左侧2 cm时，回复力的大小为F1＝kx1，x1＝2 cm，当它运动到平衡位置右侧4 cm时，回复力的大小为F2＝kx2，x2＝4 cm，解得F2＝8 N，方向水平向左，故加速度的大小a2＝ m/s2＝4 m/s2，方向水平向左，选项D正确。 答案　D 3．（简谐振动的能量问题）如图所示是某弹簧振子做简谐运动的图像，下列说法正确的是 （　　） A．振子在0．2 s时刻的回复力与0．4 s时刻的回复力相同 B．振子在0．8 s时刻的动能与在0．4 s时刻的动能相同 C．0．7～0．9 s时间内，振子的加速度在减小 D．0．5～0．7 s时间内，系统的势能在增大 解析　振子在0．2 s时刻与在0．4 s时刻的位移等大反向，则振子在0．2 s时刻的回复力与0．4 s时刻的回复力等大反向，A错误；0．8 s时刻与0．4 s时刻速度大小相等，则振子在0．8 s时刻的动能与在0．4 s时刻的动能相同，B正确；0．7～0．9 s时间内，振子的位移变大，则回复力变大，加速度在增大，C错误；0．5～0．7 s时间内，振子从位移最大位置向平衡位置运动，动能变大，则系统的势能在减小，D错误。 答案　B 1．（多选）关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是 （　　） A．简谐运动的回复力可能是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零 解析　根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，回复力为F＝－kx，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，x是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧长度，因x是变化的，回复力不可能是恒力，故AC错误；回复力方向总是与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向也必定与位移方向相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零，故D正确。 答案　BD 2．（多选）当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法正确的是 （　　） A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相同 B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功 C．振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供 D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒 解析　振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度不相等，A错误；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B错误；振子运动中的回复力由弹簧振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故CD正确。 答案　CD 3．卡车在行驶时，货物随车厢底板上下振动而不脱离底板。设货物做简谐运动，以竖直向上为正方向，货物的振动图像如图所示，则在图像上a、b、c、d四点中，货物对车厢底板压力最小的是(　　) A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 解析　以车厢为参考系，在a点和c点，货物的位移为零，加速度为零，货物对车厢底板的压力大小等于货物的重力；在b点，加速度方向向下，货物处于失重状态，货物对车厢底板压力小于货物的重力；在d点，货物的位移为负向最大，则货物的加速度为正向最大，即加速度向上，处于超重状态，则货物对车厢底板的压力大于重力。故选B。 答案　B 4．（多选）把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是 （　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，势能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加 解析　小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，因此A选项正确。小球在A、B位置时，势能最大，加速度最大，因此B选项正确。小球靠近平衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功，振动过程中总能量不变，因此CD选项错误。 答案　AB 5．如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定 （　　） A．t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小 B．0到t2时间内振子的位移增大，速度增大 C．t2到t3时间内振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向 D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同 解析　t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误。 答案　A 6．如图所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长为l0的轻质弹簧，其劲度系数为k，弹簧另一端连接着质量为m的小球，此时弹簧被拉长为l1。现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长，然后突然释放，求证小球的运动为简谐运动。 解析　松手释放，小球沿斜板往复运动——振动。而振动的平衡位置是小球开始时静止（合外力为零）的位置。 mgsin θ＝k（l1－l0），小球离开平衡位置的距离为x，受力如图所示，小球受三个力作用，其合力F合＝k（l1－l0－x）－mgsin θ＝－kx。由此可证小球的振动为简谐运动。 答案　见解析 7．如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中A所受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图像应为 （　　） 解析　A、B整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故A也应做简谐运动，即A的回复力也应满足F＝－kx的结论，即选项C正确。当然本题也可从整体法与隔离法的思想求出A受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体。设A、B的质量为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，则有－kx＝（mA＋mB）a，得a＝－。受到的摩擦力Ff＝mAa＝－kx。 答案　C 8．如图所示，一根粗细均匀的木筷下端绕着几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离(木筷下端未离开水面)后放手，木筷就在水中上下振动。不考虑在振动过程中的能量损失，则(　　) A．木筷的振动不是简谐运动 B．木筷振动的回复力为水对木筷的浮力 C．木筷在振动过程中所受的合力与振动位移大小成正比 D．木筷振动到最低点时底端到水面的距离为振幅 解析　设木筷的横截面积为S，质量为m，水的密度为ρ，静止时木筷在水下的长度为x0，根据平衡条件有ρSgx0＝mg，把木筷往上提起一段距离x，根据牛顿第二定律有F合＝ρgS(x0－x)－mg，解得F合＝－ρgSx，结合F＝－kx可知，木筷的振动是简谐运动，A、B错误，C正确；木筷振动到最低点时底端到水面的距离与x0之差为振幅，D错误。 答案　C 9．在科幻电影中有一种地心车，无须额外动力就可以让人在几十分钟内到达地球的另一端。不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简谐运动，地球可视为质量分布均匀的球体，且质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，下列说法正确的是(　　) A．乘客做简谐运动的回复力是由车对人的支持力提供的 B．乘客向地心运动时速度增大、加速度增大 C．乘客在地心处处于完全失重状态 D．乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离成正比 解析　乘客做简谐运动的回复力是由乘客受到的合力提供的，即万有引力与车对人支持力的合力，故A错误。乘客向地心运动时速度增大、加速度减小，通过地心时速度达到最大值，加速度为零，故B错误。乘客处于地心时，加速度为零，不是失重状态，故C错误。设地球质量为M，乘客和车的质量为m，地球密度为ρ，则ρ＝，在距离地心为r时地球对乘客和车的万有引力充当回复力F＝G，又M′＝ρ＝，联立得F＝r，即万有引力与r成正比，故D正确。 答案　D 10．如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物块A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定于水平面的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态。现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时 （　　） A．压力传感器的读数是零 B．压力传感器的读数是 C．压力传感器的读数是2mg D．压力传感器的读数是mg 解析　设物块A在初始位置时弹簧的压缩量为x0，对A列平衡方程：mg＝kx0①，施加力F后，A的平衡方程为F＋mg＝k（x＋x0）②，又由于F＝mg③，由①②③得kx＝mg，撤去力F的瞬间，物块A所受的回复力F回＝k（x＋x0）－mg＝kx，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，由对称性知F回＝kx，而kx＝mg，可见物块A所受弹簧弹力恰好为零，以物块B为研究对象，受力分析知压力传感器对物块B的支持力为mg，故压力传感器的读数是mg，故选项D正确。 答案　D 11．(多选)如图所示为一款玩具“弹簧小人”，由头部、弹簧及底部组成，头部质量为m，弹簧质量不计，劲度系数为k，底部质量为，开始弹簧小人静止于桌面上，现轻压头部后由静止释放，小人不停上下振动，已知当弹簧形变量为x时，其弹性势能Ep＝kx2，不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则下列判断中正确的是(　　) A．若刚释放时头部的加速度大小为g，则小人在振动过程中底部能离开桌面 B．若刚释放时头部的加速度大小为g，则小人在运动过程中头部的最大速度为g C．若小人在振动过程中底部恰好不能离开桌面，头部在最高点的加速度为g D．若小人在振动过程中底部恰好不能离开桌面，则轻压头部释放时弹簧的压缩量为 解析　设头部在初始位置时弹簧的压缩量为x0，对头部的平衡方程有mg＝kx0，施加力F后弹簧再压缩x，头部的平衡方程为F＋mg＝k(x0＋x)；若刚释放时头部的加速度大小为g，根据牛顿第二定律得k(x0＋x)－mg＝mg，则F＝mg，解得kx＝mg；撤去力F的瞬间，头部所受的回复力F回＝k(x0＋x)－mg＝kx，当头部向上运动到初始位置上方距离也是x时，由对称性知F回＝kx，而kx＝mg，可见头部所受弹簧弹力恰好是零，以底部为研究对象，受力分析知地面对底部的支持力为N＝g，因此小人在振动过程中底部不能离开桌面，A错误；刚释放时弹簧的形变量为x1＝，弹簧振子在平衡位置时的动能最大，根据能量守恒定律有Ekm＝kx12－mg(x1－x0)－kx02＝，结合动能定律Ekm＝mvm2，故小人在运动过程中头部的最大速度为g，B正确；若小人在振动过程中底部恰好不能离开桌面，即当头部在最高点时，底部受到桌面的弹力为0，受力分析得弹簧此时的弹力等于底部的重力kx2＝mg，此时对头部受力分析，根据牛顿第二定律有mg＋kx2＝ma，故头部在最高点的加速度为g，C正确；若小人在振动过程中底部恰好不能离开桌面，开始施加力F′后弹簧再压缩x′，头部的平衡方程为F′＋mg＝k(x0＋x′)，分析得kx′＝mg＋mg＝，则轻压头部释放时弹簧的压缩量为Δx＝x0＋x′＝，D错误。 答案　BC 12．如图所示，质量为3m的框架放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m的金属小球，小球上下振动。当小球运动到最低点时，台秤的示数为5mg。求： （1）小球运动到最高点时，小球的瞬时加速度大小为多少？ （2）小球运动到最高点时台秤的示数为多少？ 解析　（1）当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg，即框架对台秤的压力大小为5mg， 由牛顿第三定律知，台秤对框架的支持力为FN＝5mg， 设最低点时小球的加速度大小为a，弹簧的弹力为F，此时框架的加速度大小为零， 则对框架分析得F＋3mg＝FN， 解得F＝2mg， 对小球应用牛顿第二定律得F合＝F－mg＝mg， 又F合＝ma，解得a＝g。 由弹簧振子的对称性可知，小球运动到最高点时，小球加速度的大小也为g，方向竖直向下。 （2）在最高点时，设弹簧弹力为F'，则3ma＝3mg＋F'，解得F'＝0。 答案　（1）g　（2）3mg 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