2．简谐运动的描述（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

2．简谐运动的描述 学习目标 核心素养 1．知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。 2．理解周期和频率的关系。 3．掌握简谐运动的表达式，正确理解振幅、相位、初相的概念。 一、振幅、周期和频率 1．振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离。 2．全振动（如图所示） 类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动过程。 3．周期和频率 （1）周期（T） ①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。 ②单位：秒（s）。 （2）频率（f） ①定义：物体完成全振动的次数与所用时间之比。 ②单位：赫兹（Hz）。 （3）T和f的关系：T＝。 4．ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的圆频率。它也表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。 二、相位 简谐运动的一般表达式为x＝Asin （ωt＋φ）。  1．A表示简谐运动的振幅。 2．ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。 3．相位差：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1＞φ2时，它们的相位差是Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋φ2）＝φ1－φ2。 1．判断下列说法的正误。 （1）在机械振动的过程中，振幅是不断变化的。 （×） （2）振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量。 （×） （3）振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间。 （×） （4）按x＝5sin cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为 s。 （√） 2．有一个弹簧振子，振幅为0．8 cm，周期为0．5 s，初始时（t＝0）具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝　　　　　　　　m。  答案　0．008sin （4πt＋π） 要点一　描述简谐运动的物理量 将弹簧上端固定，下端悬吊钢球，旁边立一刻度尺，把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动。仔细观察钢球的运动： （1）钢球的位移怎么变化？ （2）钢球偏离平衡位置的最大距离改变吗？ 提示：（1）钢球相对于平衡位置的位移随时间时大时小，呈周期性变化。 （2）不变。 1．对全振动的理解 （1）振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A'→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A'→O→A。 （2）物理量特征：位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。 （3）时间特征：历时一个周期。 （4）路程特征：振幅的4倍。 2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系 （1）振幅与位移的关系 ①在同一简谐运动中振幅是不变的，而位移却时刻变化。 ②振幅是标量，位移是矢量，其方向是由平衡位置指向振子所在位置。 ③振幅在数值上等于位移的最大值。 （2）振幅与路程的关系 ①振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅，在半个周期内的路程一定为两个振幅。 ②振动物体在T内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅。只有当T的初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，T内的路程才等于一个振幅。 3．振幅与周期的关系 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关。振幅越大，振动过程中的最大速度越大，但周期为定值。 [例1]　如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动。BC相距10 cm，某时刻振子处于B点。经过0．5 s，振子首次到达O点。求： （1）振子振动的周期和频率； （2）振子在5 s内通过的路程及位移大小。 [解析]　（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝10 cm，所以A＝5 cm。振子从B到O所用时间t＝0．5 s，为周期T的四分之一，所以T＝2．0 s，f＝＝0．5 Hz。 （2）振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t'＝5 s＝2．5T内通过的路程s＝×4A＝50 cm。5 s内振子振动了2．5个周期，5 s末振子处在C点，所以它的位移大小为5 cm。 [答案]　（1）2．0 s　0．5 Hz　（2）50 cm　5 cm 1．周期为2 s的简谐运动，在30 s内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为 （　　） A．15次　2 cm B．30次　1 cm C．15次　1 cm D．60次　2 cm 解析　振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置两次（除最大位移外），而每次全振动振子通过的路程为4个振幅。 答案　B 要点二　简谐运动的表达式 如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3．0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。则在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？ 提示：由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin t＝20sin t（cm），画出y－t图像，如图所示， 能舒服地登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm时，解得t1＝0．25 s，t2＝1．25 s，则Δt＝t2－t1＝1．25 s－0．25 s＝1．0 s，即一个周期内，游客能舒服地登船的时间是1．0 s。 1．式中x表示振动质点相对平衡位置的位移；t表示振动的时间。 2．由于ω＝＝2πf，所以表达式也可写成 x＝Asin 或x＝Asin （2πft＋φ）。 3．式中（ωt＋φ）表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 4．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。 5．相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ1和φ2，当φ1＞φ2时，其相位差Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋φ2）＝φ1－φ2。当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反。 [例2]　某做简谐运动的物体，其位移与时间的变化关系式为x＝10sin （5πt） cm，则： （1）物体的振幅为多少？ （2）物体振动的频率为多少？ （3）在时间t＝0．1 s时，物体的位移是多少？ （4）画出该物体简谐运动的图像。 [解析]　简谐运动的表达式x＝Asin （ωt＋φ），比较题中所给表达式x＝10sin （5πt） cm可知： （1）振幅A＝10 cm。 （2）物体振动的频率f＝ Hz＝2．5 Hz。 （3）t＝0．1 s时位移x＝10sin （5π×0．1） cm＝10 cm。 （4）该物体简谐运动的周期T＝＝0．4 s，简谐运动图像如图所示。 [答案]　（1）10 cm　（2）2．5 Hz　（3） 10 cm （4）见解析图 简谐运动的表达式 　　（1）简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成：x＝Acos[－（ωt＋φ）]，注意：同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位是随时间变化的一个变量。 　　（2）比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，否则容易出错。 2．（多选）有两个振动的振动方程分别是：x1＝3sin（cm），x2＝5sin（cm），下列说法正确的是 （　　） A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 解析　它们的振幅分别是3 cm、5 cm，所以它们的振幅不相同，故A错误；运动周期都是T＝ s＝0．02 s，所以它们的周期相同，故B正确；它们的相位差Δφ＝，可得相位差恒定，故C正确；因为相位差不等于0，所以它们振动步调不一致，故D错误。 答案　BC 要点三　简谐运动的对称性和周期性 　　如图所示的弹簧振子在A、B间以O为平衡位置做简谐运动，C、D关于O点对称，则振子分别通过C、D时，速度相同吗？动能相同吗？还有哪些量是相同的？哪些量是不同的？ 提示：当振子在这两点运动方向相同时，其速度相同；运动方向相反时，其速度仅大小相等，故速度不一定相同，但速度大小一定相等，又因为振子动能是标量，仅与速度大小有关，故振子在这两点的动能是相同的。在这两点相同的量还有弹簧的弹性势能及振子的机械能等，不相同的量还有位移、加速度及弹簧弹力等。 1．对称性 （1）瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等。 （2）过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB'C'，如图所示。 2．周期性 （1）若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。 （2）若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量（x、F、a、v）均大小相等，方向相反。 （3）若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。 [例3]　（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0．1 m，t＝1 s时位移为0．1 m，则 （　　） A．若振幅为0．1 m，振子的周期可能为 s B．若振幅为0．1 m，振子的周期可能为 s C．若振幅为0．2 m，振子的周期可能为4 s D．若振幅为0．2 m，振子的周期可能为6 s [解析]　若振幅为0．1 m，由题意知，Δt＝（n＋）T，n＝0，1，2，…，解得T＝ s，n＝0，1，2，…，A项正确，B项错误；若振幅为0．2 m，t＝0时，由质点简谐运动表达式y＝0．2sin （t＋φ0）（m）可知，0．2sin φ0（m）＝－0．1 m，t＝1 s时，有0．2sin （＋φ0）（m）＝0．1 m，解得φ0＝－或φ0＝－；若φ0＝－，将T＝6 s代入0．2sin （＋φ0）（m）＝0．1 m可得，D项正确；若φ0＝－，将T＝4 s代入0．2sin （＋φ0）（m）＝0．1 m，若φ0＝－π，将T＝4 s代入0．2sin （＋φ0）（m）＝－0．1 m，得T＝4 s不满足题意，C项错误。 [答案]　AD 3．（多选）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin t，则质点 （　　） A．第1 s末与第3 s末的位移相同 B．第1 s末与第3 s末的速度相同 C．第3 s末与第5 s末的位移相同 D．第3 s末与第5 s末的速度相同 解析　根据x＝Asin t可求得该质点振动周期为T＝8 s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确。 答案　AD 1．（描述简谐运动的物理量）（多选）一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是 （　　） A．质点的振动频率为4 Hz B．在10 s内质点经过的路程为20 cm C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π D．t＝1．5 s和t＝4．5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm 解析　由题图振动图像可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0．25 Hz，故A错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A＝8 cm，10 s为2．5个周期，故质点经过的路程为20 cm，故B正确；由图像知位移与时间的关系为x＝0．02sin （t） m。当t＝5 s时，其相位为×5＝π，故C错误；在1．5 s和4．5 s两时刻，质点位移相同，x'＝2sin （×1．5） cm＝ cm，故D正确。 答案　BD 2．（简谐振动周期性）如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点开始计时，则 （　　） A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期 B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期 C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期 D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期 解析　从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，AC错。振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错。 答案　B 3．（简谐振动图像的理解和应用）如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图像。请根据图像写出： （1）A的振幅是　　　 cm，周期是　　　 s；B的振幅是　　　 cm，周期是　　　 s。  （2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。 解析　（1）由图像知：A的振幅是0．5 cm，周期是0．4 s；B的振幅是0．2 cm，周期是0．8 s。 （2）由图像知：φA＝π，由TA＝0．4 s得ωA＝＝5π。则简谐运动的表达式为xA＝0．5sin（5πt＋π） cm。同理由题图知，φB＝，由TB＝0．8 s得ωB＝＝2．5π，则简谐运动的表达式为xB＝0．2sin（2．5πt＋0．5π） cm。 答案　（1）0．5　0．4　0．2　0．8 （2）xA＝0．5sin（5πt＋π） cm xB＝0．2sin（2．5πt＋0．5π） cm 1．（多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是 （　　） A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积是一个常数 C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小 D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关 解析　振幅是标量，故选项A错误；周期和频率互为倒数，即T＝，故选项B正确；简谐运动的周期、频率由系统本身决定，与振幅没有关系，故选项C错误，D正确。 答案　BD 2．两个简谐运动的表达式分别为xA＝10sin cm，xB＝8sin （4πt＋π）cm，下列说法正确的是 （　　） A．振动A超前振动Bπ B．振动A滞后振动Bπ C．振动A滞后振动Bπ D．两个振动没有位移相等的时刻 解析　Δφ＝（ωt＋φB）－（ωt＋φA）＝φB－φA＝π，说明振动A滞后振动Bπ，或者说振动B超前振动Aπ，由于A的位移在10 cm和－10 cm之间变化，B的位移在8 cm和－8 cm之间变化，故有位移相等的时刻，故选项B正确，ACD错误。 答案　B 3．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能是 （　　） A．2 s，6 cm B．4 s，6 cm C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm 解析　简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过A、B两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等。那么平衡位置O到B点的时间t1＝ s，因过B点后再经过t＝1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位置的时间t2＝ s，因此，质点振动的周期是T＝4×（t1＋t2）＝4 s，质点总路程的一半，即为振幅。所以振幅为A＝ cm＝6 cm，故B正确，ACD错误。 答案　B 4．（多选）一简谐运动的振动方程：x＝3sin。式中位移x的单位是cm，则（　　） A．振幅为3 cm B．频率为2．5 Hz C．初相为φ＝ D．t＝1 s时的位移为2 cm 解析　对比简谐运动表达式x＝Asin（ωt＋φ）＝Asin（2πft＋φ）可知，振幅为A＝3 cm，频率为f＝2．5 Hz，初相为φ＝，ABC正确；t＝1 s时的位移为x＝3sin＝－ cm，D错误。 答案　ABC 5．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt（cm）和x2＝2sin 2πt（cm），它们的振幅之比、频率之比是 （　　） A．2∶1，2∶1 B．1∶2，1∶2 C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1 解析　由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1，故A正确，BCD错误。 答案　A 6．一半径为10 cm的小球漂浮在水面上时恰好有一半体积浸没在水中，如图甲所示。现将小球向水下按压5 cm后放手，忽略空气阻力，小球在竖直方向上的运动可视为简谐运动，测得其振动周期为0.4 s，以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示。其中A为振幅，分析小球的运动。 (1)写出小球位移的函数表达式。 (2)求小球12 s内所经历的路程和位移。 解析　(1)T＝0.4 s，代入ω＝得ω＝5π rad/s，设小球位移的函数表达式为x＝A sin (ωt＋φ)， 由题图乙可知，t＝0时刻x＝－，则有－＝A sin φ， 解得φ＝， 则x＝5sin cm＝5sin cm。 (2)12 s相当于30 个周期，则位移为0 m，一个周期内小球的路程是4A，则总路程s＝120A＝600 cm＝6 m。 答案　(1)x＝5sin cm　(2)6 m　0 m 7．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是 （　　） A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值 C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零 D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值 解析　t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4 s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误。 答案　A 8．（多选）如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0．1sin （2．5πt） m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0．6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是 （　　） A．h＝1．7 m B．简谐运动的周期是0．8 s C．0．6 s内物块运动的路程是0．2 m D．t＝0．4 s时，物块与小球运动方向相反 解析　t＝0．6 s时，物块的位移为y＝0．1sin （2．5π×0．6） m＝－0．1 m，则对小球有h＋｜y｜＝gt2，解得h＝1．7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝ s＝0．8 s，选项B正确；0．6 s内物块运动的路程是3A＝0．3 m，选项C错误；t＝0．4 s＝时，物块经过平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误。 答案　AB 9．如图所示，小球在竖直平面内以半径为R、角速度为ω沿逆时针方向做匀速圆周运动，用竖直向下的平行光照射小球，观察到其影子在水平面上做简谐运动。取圆心投影点O′为原点，水平向右为正方向建立x坐标系，从小球某次经过最高点的时刻开始计时，关于影子的说法正确的是(　　) A．振幅为2R B．振动过程中的最大速度为ωR C．振动周期为 D．位移表达式为x＝Rcos ωt 解析　圆心投影点O′为平衡点，最大位移为R，则振幅为R，故A错误；影子通过平衡点时的速度最大，此时其速度等于小球运动速度，即最大速度为ωR，故B正确；影子的振动周期应和小球做圆周运动的周期相同，即T＝，故C错误；影子初始位于平衡位置，位移表达式为x＝R sin t＝R sin ωt，故D错误。 答案　B 10．（多选）物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin m。比较A、B的运动 （　　） A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB D．A的相位始终超前B的相位 解析　振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，选项A错误；A、B的周期均为T＝ s＝6．28×10－2 s，选项B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，选项C正确；Δφ＝φA－φB＝，为定值，选项D正确。 答案　CD 11．如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0．5 s，过B点后再经过t＝0．5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点从离开O点到再次回到O点历时 （　　） A．0．5 s B．1．0 s C．2．0 s D．4．0 s 解析　根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布在O点两侧。质点从平衡位置O点向右运动到B点的时间应为tOB＝×0．5 s＝0．25 s。质点从B点向右到达最右端（设为D点）的时间tBD＝×0．5 s＝0．25 s。所以质点从离开O点到再次回到O点的时间t＝2tOD＝2×（0．25＋0．25） s＝1．0 s。故正确答案为B。 答案　B 12．汽车车体一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧套在减震器上，可以改善汽车行驶的舒适性。如图所示，将质量M＝0.15 kg的薄板Q固定在弹簧上形成竖直方向的弹簧振子，在薄板的上方放置m＝0.05 kg的物块P，使P、Q一起振动，弹簧原长l0＝10 cm，重力加速度g取10 m/s2。 (1)若振幅为2 cm，周期为0.8 s，且t＝0时，Q位于振动的最低点，以向上为正方向，写出Q的振动方程。 (2)若弹簧的劲度系数k＝50 N/m，欲使Q在振动中始终与P接触，求Q的振幅最大值。 解析　(1)简谐运动的位移表达式为x＝A sin (ωt＋φ0)且ω＝＝ rad/s＝ rad/s，t＝0时，Q位于振动的最低点，以向上正方向，则φ0＝－，故Q的振动方程为x＝2sin cm。 (2)P、Q处于平衡位置时，有kx0＝(m＋M)g，代入数据解得x0＝4 cm，P刚好脱离Q时，有aP＝g，对Q有aQ＝aP＝g，表明P、Q仅受重力作用，此刻弹簧的弹力为零，弹簧处于原长，则Amax＝x0＝4 cm。 答案　(1)x＝2sin cm　(2)4 cm 学科网（北京）股份有限公司 $$