3．动量守恒定律（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

3．动量守恒定律 学习目标 核心素养 1．知道系统、内力、外力的概念。 2．理解动量守恒定律及表达式，理解其守恒的条件。 3．能够应用动量守恒定律解决基本问题。 4．知道动量守恒定律具有普适性。 一、相互作用的两个物体的动量改变 在光滑的水平面上，质量为m2的物体B以速度v2追上质量为m1、速度为v1的物体A，碰撞后A、B的速度分别为v1'和v2'。 1．物体A动量的变化量等于它所受作用力F1的冲量，即F1Δt＝m1v1'－m1v1。 2．物体B动量的变化量等于它所受作用力F2的冲量，即F2Δt＝m2v2'－m2v2。 3．由于F1＝－F2，所以m1v1'－m1v1＝－（m2v2'－m2v2），即m1v1'＋m2v2'＝m1v1＋m2v2。 二、系统、内力和外力 1．系统：两个（或多个）相互作用的物体构成的整体。 2．内力：系统中物体间的作用力。 3．外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力。 三、动量守恒定律 1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。 2．表达式：p＝p'（系统相互作用前后总动量p、p'相等）。 3．成立条件 （1）系统不受外力。 （2）系统所受外力之和为零。 1．判断下列说法的正误。 （1）一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。 （×） （2）系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零。 （√） （3）只有重力做功或弹力做功的系统内动量守恒。 （×） （4）动量守恒定律既适用于低速运动问题，也适用于高速运动问题。 （√） （5）靠摩擦力相互作用的两个物体，系统动量守恒，但机械能不守恒。 （√） 2．如图所示，质量为m的小球A静止在光滑水平面上，质量为2m的小球B以速度v0与A碰撞后粘在一起，则粘在一起后A、B的共同速度v＝　　　　。  答案　v0 要点一　动量守恒的判断 　　如图甲所示，在光滑水平面上一个运动小球碰撞另一个静止小球；如图乙所示，小车A、B静止在光滑水平面上，中间夹一个被压缩的轻弹簧，且用细线系着；如图丙所示，速度为v0的物体滑上位于光滑水平面上带有曲面的小车。 结合上述情境，请思考： （1）图甲中，两球受哪些力作用？碰撞过程中两球组成的系统动量守恒吗？ （2）图乙中，烧断细线后，两小车组成的系统动量守恒吗？ （3）图丙中，物体与小车组成的系统动量守恒吗？ 提示：（1）两球分别受到重力和桌面对它们的支持力作用，且满足二力平衡，两球发生碰撞时，它们之间的相互作用力是内力。由于两球组成的系统所受外力的合力为零，故系统动量守恒。 （2）烧断细线后，弹簧弹力是内力，系统所受外力的合力为零，系统动量守恒。 （3）物体和小车组成的系统，由于水平方向上合力为零，故水平方向的动量守恒；但是竖直方向上合力不为零，故竖直方向上的动量不守恒。 动量守恒条件的理解 1．理想守恒条件：系统不受外力作用或所受外力的矢量和为零时，系统动量守恒。 2．近似守恒条件：系统所受外力的矢量和虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒。 3．某一方向上守恒条件：系统所受外力的矢量和不为零，系统动量不守恒；但是系统在某一方向上所受外力的矢量和为零时，系统在该方向上的动量守恒。 [例1]　下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是 （　　） A．只有甲、乙 B．只有丙、丁 C．只有甲、丙 D．只有乙、丁 [解析]　在光滑水平面上，子弹射入木块的过程中，系统所受外力之和为0，系统动量守恒；剪断细线，弹簧恢复原长的过程中，墙壁对滑块有作用力，系统所受外力之和不为0，系统动量不守恒；木球与铁球的系统所受合力为0，系统动量守恒；木块下滑的过程中，斜面始终受挡板的作用力，系统动量不守恒。故选C。 [答案]　C 1．（多选）把木块a和b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a紧靠在墙壁上，在b上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图所示。当撤去外力后，下列说法中正确的是 （　　） A．a尚未离开墙壁前，a和b系统的动量守恒 B．a尚未离开墙壁前，a和b系统的动量不守恒 C．a离开墙壁后，a和b系统的动量守恒 D．a离开墙壁后，a和b系统的动量不守恒 解析　在b上施加作用力后，b逐渐压缩弹簧，此时墙壁对木块a有力的作用，因而撤去外力后a尚未离开墙壁前，a和b系统的总动量不守恒；当撤去外力后，弹簧逐渐恢复原长，b向右加速，并逐步带动木块a离开墙壁。一旦离开墙，a将不受墙壁的作用，a、b组成的系统不受外力作用（水平方向），因而总动量守恒。 答案　BC 要点二　动量守恒定律的基本应用 　　随着我国居民生活水平的不断提高，小轿车进入了千家万户，随之而来的交通事故也在不断增加。高速公路上发生一起交通事故，一辆质量为15 000 kg向南行驶的长途客车迎面撞上了一辆质量为3 000 kg向北行驶的卡车，碰后两车连接在一起并停止，根据测速仪的测定，长途客车碰撞前以20 m/s的速度行驶，由此可否判断卡车碰撞前的行驶速率？ 提示：两车碰撞过程系统动量守恒，以客车的速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv－Mv'＝0，代入数据解得v'＝ m/s＝100 m/s。 1．动量守恒定律的常用表达式 （1）p＝p'：相互作用前系统的总动量p等于相互作用后的总动量p'。 （2）m1v1＋m2v2＝m1v1'＋m2v2'：相互作用的两个物体组成的系统，作用前动量的矢量和等于作用后动量的矢量和。 （3）Δp1＝－Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反。 （4）Δp＝0：系统总动量增量为零。 2．应用动量守恒定律解题的步骤 明确研究对象，确定系统的组成 ⇓ 受力分析，确定系统动量是否守恒 ⇓ 规定正方向，确定初、末动量 ⇓ 根据动量守恒定律，建立守恒方程 ⇓ 代入数据，求出结果并讨论说明 [例2]　 将两个完全相同的磁体（磁性极强）分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑。开始时甲车速度大小为3 m/s，方向向右，乙车速度大小为2 m/s，方向向左并与甲车速度方向在同一直线上，如图所示。 （1）当乙车速度为零时，甲车的速度为多大？方向如何？ （2）由于磁性极强，故两车不会相碰，那么两车的距离最小时，乙车的速度是多大？方向如何？ [解析]　两个小车及磁体组成的系统在水平方向不受外力作用，两车之间的磁力是系统内力，系统动量守恒，设向右为正方向。 （1）v甲＝3 m/s，v乙＝－2 m/s。 据动量守恒定律得mv甲＋mv乙＝mv甲'，代入数据解得 v甲'＝v甲＋v乙＝（3－2） m/s＝1 m/s，方向向右。 （2）两车的距离最小时，两车速度相同，设为v'， 由动量守恒定律得mv甲＋mv乙＝mv'＋mv'。 解得v'＝ m/s＝0．5 m/s，方向向右。 [答案]　（1）1 m/s　方向向右　（2）0．5 m/s　方向向右 2．甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1 m/s。甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1 m/s和2 m/s。求甲、乙两运动员的质量之比。 解析　根据动量守恒有，m1v1－m2v2＝m2v2'－m1v1'， 解得，代入数据得。 答案　3∶2 要点三　单方向动量守恒问题 　　如图所示，一辆砂车的总质量为m0，静止于光滑的水平面上。一个质量为m的物体A以速度v落入砂车中，v与水平方向成θ角，请思考：如果把砂车和物体A看作一个系统，那么系统的动量守恒吗？物体落入砂车后车的速度v'是多少？ 提示：物体和车作用时总动量不守恒，而水平面光滑，系统在水平方向上动量守恒，即mvcos θ＝（m0＋m）·v'，得v'＝，方向与v的水平分量方向相同。 某一方向上动量守恒问题 动量守恒定律的适用条件是普遍的，当系统所受的合外力不为零时，系统的总动量不守恒，但是合外力在某个方向上的分量为零时，在该方向上系统的动量分量是守恒的。 [例3]　光滑水平面上放着一质量为m0的槽，槽与水平面相切且光滑，如图所示，一质量为m的小球以v0向槽运动，若开始时槽固定不动，求小球上升的高度（槽足够高）；若槽不固定，则小球又上升多高？ [解析]　槽固定时，设球上升的高度为h1，由机械能守恒得mgh1＝m，解得h1＝。 槽不固定时，设球上升的最大高度为h2，此时两者速度为v。由水平方向上动量守恒得mv0＝（m＋m0）v， 由机械能守恒得m（m＋m0）v2＋mgh2， 解得槽不固定时，小球上升的高度h2＝。 [答案]　　 3．如图所示，从倾角为30°、长0．3 m的光滑斜面顶端滑下质量为2 kg的货包，掉在质量为13 kg的静止的小车里。求货包落到小车上后，小车获得的速度。 解析　货包离开斜面时速度为v＝ m/s。 货包离开斜面后，由于水平方向不受外力，所以，在落入小车前，其水平分速度vx不变，大小为vx＝vcos 30°＝1．5 m/s。货包落入小车中与小车相碰的瞬间，虽然小车在水平方向受到摩擦力的作用，但与相碰时的内力相比可忽略，故系统在水平方向上动量守恒，以vx的方向为正方向，则mvx＝（M＋m）v'，小车获得的速度为v'＝ m/s＝0．2 m/s。 答案　0．2 m/s 1．（对动量守恒条件的理解）关于动量守恒的条件，下面说法正确的是 （　　） A．只要系统内有摩擦力，动量就不可能守恒 B．只要系统所受合外力为0，系统动量就守恒 C．系统加速度为0，动量不一定守恒 D．只要系统所受合外力不为0，则系统在任何方向上动量都不可能守恒 解析　动量守恒的条件是系统所受合外力为0，与系统内有无摩擦力无关，A错误，B正确；系统加速度为0时，根据牛顿第二定律可得系统所受合外力为0，所以此时系统动量守恒，C错误；系统所受合外力不为0时，在某方向上合外力可能为0，此时在该方向上系统动量守恒，D错误。 答案　B 2．(动量守恒定律的简单应用)一枚火箭搭载着卫星以速率v0到达预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离。已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原速度方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为(　　) A．v0－v2 B．v0＋v2 C．v0－v2 D．v0＋(v0－v2) 解析　箭体与卫星分离前后系统动量守恒，则有(m1＋m2)v0＝m1v1＋m2v2，解得v1＝v0＋(v0－v2)，选D。 答案　D 3．（某一方向动量守恒定律的应用）如图所示，一质量为M的沙车，在光滑的水平面上做匀速直线运动，速度为v0，质量为m的铁球以速度v竖直向下落入沙车中，稳定后，沙车的速度 （　　） A． B． C．v0 D． 解析　沙车与铁球组成的系统水平方向动量守恒，则有Mv0＝（M＋m）v，解得v＝。故A正确，BCD错误。 答案　A 1．如图所示，小车与木箱紧挨着静放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法正确的是 （　　） A．男孩和木箱组成的系统动量守恒 B．小车与木箱组成的系统动量守恒 C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒 D．木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同 解析　由动量守恒定律成立的条件可知男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒，AB错误，C正确；木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等，方向相反，D错误。 答案　C 2．如图所示，在光滑水平面上放一个质量为M的斜面体，质量为m的物体沿斜面由静止开始自由下滑，下列说法中正确的是 （　　） A．斜面体和物体组成的系统动量守恒 B．斜面体和物体组成的系统所受合力方向向上 C．斜面体和物体组成的系统水平方向动量守恒 D．斜面体和物体组成的系统竖直方向动量守恒 解析　斜面体和物体组成的系统在水平方向所受外力的矢量和为零，水平方向系统动量守恒，C正确；竖直方向系统所受外力的矢量和不为零，且方向向下，系统在竖直方向上动量不守恒，则斜面体和物体组成的系统动量不守恒，ABD错误。 答案　C 3．（多选）如图所示，A、B两个小球在光滑水平面上沿同一直线相向运动，它们的动量大小分别为p1和p2，碰撞后A球继续向右运动，动量大小为p1'，此时B球的动量大小为p2'，则下列等式成立的是 （　　） A．p1＋p2＝p1'＋p2' B．p1－p2＝p1'＋p2' C．p1'－p1＝p2'＋p2 D．－p1'＋p1＝p2'＋p2 解析　因水平面光滑，所以A、B两球组成的系统在水平方向上动量守恒。以向右为正方向，由于p1、p2、p1'、p2'均表示动量的大小，所以碰前的动量为p1－p2，碰后的动量为p1'＋p2'，B正确。经变形得－p1'＋p1＝p2'＋p2，D正确。 答案　BD 4．（多选）如图所示，质量分别为m1＝1．0 kg和m2＝2．0 kg的弹性小球a、b，用轻绳紧紧地把它们捆在一起，使它们发生微小的形变。该系统以速度v0＝0．10 m/s沿光滑水平面向右做直线运动。某时刻轻绳突然自动断开，断开后两球仍沿原直线运动。经过时间t＝5．0 s后，测得两球相距s＝4．5 m，则下列说法正确的是（　　） A．刚分离时，a球的速度大小为0．7 m/s B．刚分离时，b球的速度大小为0．2 m/s C．刚分离时，a、b两球的速度方向相同 D．两球分开过程中释放的弹性势能为0．27 J 解析　系统的总动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得（m1＋m2）v0＝m1v1＋m2v2，两球相距s＝v1t－v2t，代入数据解得v1＝0．7 m/s，v2＝－0．2 m/s，负号表示速度方向与正方向相反，故AB正确，C错误；由能量守恒定律得（m1＋m2）＋Ep＝m1m2，代入数据解得Ep＝0．27 J，故D正确。 答案　ABD 5．（多选）如图所示，带有斜面的小车A静止于光滑水平面上，现物体B以某一初速度冲上斜面，在冲到斜面最高点的过程中 （　　） A．若斜面光滑，系统动量守恒，机械能守恒 B．若斜面光滑，系统动量不守恒，机械能守恒 C．若斜面不光滑，系统水平方向动量守恒，机械能不守恒 D．若斜面不光滑，系统水平方向动量不守恒，机械能不守恒 解析　无论斜面是否光滑，系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向物体B受力不平衡，竖直方向动量不守恒；斜面光滑的情况下机械能守恒，斜面粗糙的情况下机械能不守恒，选项BC正确，AD错误。 答案　BC 6．质量为1 000 kg的轿车与质量为4 000 kg的货车迎面相撞，碰撞后两车绞在一起，并沿货车行驶方向运动一段路程后停止（如图所示）。从事故现场测出，两车相撞前，货车的行驶速度为54 km/h，撞后两车的共同速度为18 km/h。该段公路对轿车的限速为100 km/h，试判断轿车是否超速行驶。 解析　碰撞过程中两车间的相互作用力很大，可忽略两车受到的其他作用力，近似认为两车在碰撞过程中动量守恒。 设轿车质量为m1，货车质量为m2；碰撞前轿车速度为v1，货车速度为v2；碰撞后两车的共同速度为v'。选轿车碰撞前的速度方向为正方向。碰撞前系统的总动量为m1v1＋m2v2，碰撞后系统的总动量为（m1＋m2）v'，由动量守恒定律得：m1v1＋m2v2＝（m1＋m2）v'，v1＝ km/h＝126 km/h＞100 km/h，故轿车在碰撞前超速行驶。 答案　轿车超速行驶 7．一个礼花弹竖直上升到最高点时刚好炸裂成三块碎片，如果这三块碎片的质量和动量大小均相等，则在礼花弹炸裂后的瞬间这三块碎片的运动方向可能是(　　) 解析　由于三块碎片的质量和动量大小均相等，若是选项A、B、D中的情境，分离后动量的矢量和不可能为零，不满足系统的动量守恒。若是选项C中的情境，分离后动量的矢量和为零，满足系统动量守恒。故选C。 答案　C 8．（多选）如图，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽上高h处由静止开始自由下滑，则（　　） A．在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统水平方向动量守恒 B．在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统动量守恒 C．小球与弹簧作用时，小球与弹簧组成的系统动量守恒 D．小球与弹簧作用时，小球与弹簧组成的系统动量不守恒 解析　在下滑的过程中，小球和槽组成的系统，在水平方向上不受力，则水平方向上动量守恒，故选项A正确，B错误；小球与弹簧接触后，小球与弹簧组成的系统受到墙的作用力，墙对系统的作用力是外力，则系统动量不守恒，故选项D正确，C错误。 答案　AD 9．（多选）如图所示，水平面上有两个木块，两木块的质量分别为m1、m2，且m2＝2m1。开始时两木块之间有一根用轻绳缚住的已压缩轻弹簧，烧断绳后，两木块分别向左、右运动。若两木块m1和m2与水平面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1＝2μ2，则在弹簧伸长的过程中，两木块 （　　） A．动量大小之比为1∶1 B．速度大小之比为2∶1 C．动量大小之比为2∶1 D．速度大小之比为1∶1 解析　以两木块及弹簧组成的系统为研究对象，绳断开后，弹簧对两木块的推力可以看成是内力；水平面对两木块有方向相反的滑动摩擦力，且Ff1＝μ1m1g，Ff2＝μ2m2g。因此系统所受合外力F合＝μ1m1g－μ2m2g＝0，满足动量守恒定律的条件。设弹簧伸长过程中某一时刻，两木块速度大小分别为v1、v2。由动量守恒定律有（以向右为正方向）：－m1v1＋m2v2＝0，即m1v1＝m2v2。即两木块的动量大小之比为1∶1，故A项正确。两木块的速度大小之比为，故B项正确。 答案　AB 10．如图所示是一个物理演示实验，图中自由下落的物体A和B被反弹后，B能上升到比初位置高的地方。A是某种材料做成的有凹坑的实心球，质量为m1＝0.28 kg，在其顶部的凹坑中插着质量为m2＝0.1 kg的木棍B，B只是松松地插在凹坑中，其下端与坑底之间有小空隙。将此装置从A下端离地板的高度H＝1.25 m处由静止释放。实验中，A触地后在极短时间内反弹，且其速度大小不变，接着B脱离A开始上升，而A恰好停留在地板上，则反弹后B上升的高度为(重力加速度g取10 m/s2)(　　) A．4.05 m B．1.25 m C．5.30 m D．12.5 m 解析　由题意可知，开始时A、B做自由落体运动，根据v2＝2gH可得A、B的落地速度大小v＝，A反弹后与B的碰撞为瞬时作用，A、B组成的系统在竖直方向上所受合力虽然不为零，但碰撞时间很短，系统的内力远大于外力，所以动量近似守恒，取竖直向上为正方向，则有m1v－m2v＝0＋m2v2′，B上升的高度h＝，联立并代入数据得h＝4.05 m，故选A。 答案　A 11．(多选)“胸口碎大石”是民间杂耍的常见节目(危险节目，请勿模仿)。其原理如图所示，皮囊A放置在水平地面上，上面压着一块质量M＝54 kg的石板，质量m＝6 kg的铁锤以v0＝5 m/s的速度竖直向下砸中石板，碰撞时间极短，铁锤与石板瞬间达到共同速度，且向下匀变速运动2 cm减速到零，忽略手持锤的作用力，取重力加速度g＝10 m/s2。则(　　) A．铁锤与石板碰后瞬间达到的共同速度为0.5 m/s B．铁锤与石板碰撞过程损失的机械能为75 J C．碰后向下减速到零的过程，皮囊A对石板做的总功为－7.5 J D．碰后向下减速到零的过程，皮囊A对石板的冲量大小为78 N·s 解析　铁锤与石板碰撞过程中二者动量守恒，有mv0＝(m＋M)v1，解得v1＝0.5 m/s，A正确；系统损失的机械能为ΔE＝mv02－(m＋M)v12＝67.5 J，B错误；铁锤与石板共速后，对铁锤和石板由动能定理得(mg＋Mg－F)d＝0－(m＋M)v12，解得F＝975 N，皮囊A对石板做的总功W＝－Fd＝－19.5 J，C错误；由动量定理可得(m＋M)v1＝(F－mg－Mg)t，解得t＝0.08 s，皮囊A对石板的冲量大小为I＝Ft＝78 N·s，D正确。 答案　AD 12．如图所示，在光滑的水平面上有两个并排放置的木块A和B，已知木块A、B的质量分别为mA＝500 g、mB＝300 g。有一个质量为80 g的小铜块C以25 m/s的水平初速度开始在A表面滑动。由于C与A、B之间有摩擦，铜块最后停在B上，B和C一起以2．5 m/s的速度共同前进。求： （1）木块A的最后速度vA'； （2）小铜块C离开A时，小铜块C的速度vC'。 解析　C在A上滑动时，选A、B、C作为一个系统，其总动量守恒，则mCv0＝mCvC'＋（mA＋mB）vA'，C滑到B上后A做匀速运动，再选B、C作为一个系统，其总动量也守恒，则mCvC'＋mBvA'＝（mB＋mC）vBC，[也可以研究C在A、B上面滑动的全过程，在整个过程中A、B、C组成系统的总动量守恒，则mCv0＝mAvA'＋（mB＋mC）vBC] 联立求解即可得到vA'＝2．1 m/s， vC'＝4 m/s。 答案　（1）2．1 m/s　（2）4 m/s 学科网（北京）股份有限公司 $$