专题04 二次根式的应用（易错点，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海）

专题04 二次根式的应用（易错点，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 4．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 5．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”： . 8．满足等式的正整数对的个数有 个 9．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ． 10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 11．观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 12．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．    13．已知，则 三、解答题 14．解方程：． 15．观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 16．秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么． (1)如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值， 17．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 18．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 19．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 20．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 21． 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号． (1)求当时， 的最小值； (2)如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m． 22．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　+　=（　　+　； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ (4)化简：． 23．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 24．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 25．判断下面各式是否成立 （1）       （2）     （3） 探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想： ②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明 26．解不等式： 27．解方程： 28．观察下列各式，........请按照上述三个等式及其变化过程，回答下列问题． （1）猜想________________. （2）猜想_____________________=. （3）试猜想第N个等式为_____________________________. 29．附加题 化简 30．阅读，并回答下列问题： 公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值. （1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确. （2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式的应用（易错点，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 2．如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是求出大正方形的边长．先求出两个小正方形的边长，然后再求出大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可． 【详解】解：∵积为12的小正方形的边长为：， 面积为18小正方形的边长为：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴余下部分的面积为． 故选A． 3．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、． 由题图知：大正方形的边长为：． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键． 4．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案． 【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20， 当m=2，n=5时，原式=2是整数； 当m=8，n=20时，原式=1是整数； 即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度． 5．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 6．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式解答即可． 【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则 其面积为 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 7．已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”： . 【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解） 【分析】因为2的值也是整数，所以要使、开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2. 【详解】当a=1，b=4时， 2 故成立， 所以答案可以是：（1，4）. 此题答案也可以为（4，1）. 【点睛】此题考查的是材料题，需要读懂材料在解决问题. 8．满足等式的正整数对的个数有 个 【答案】8 【分析】先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案． 【详解】解：等式可变为： ， ∵， ∴， 即， ∴， 则正整数对可以是： ，，，，，，，， ∴满足已知等式的正整数对共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到． 9．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】24 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为 故答案为24． 10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答． 根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算类型的规律探究，根据已知等式将各式分别化简，得到，再将等式写成进行计算得到答案；正确分析得到等式的计算规律是解题的关键． 【详解】∵，，，， ∴ =， 故答案为：． 12．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．    【答案】1 【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解. 【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为： S==1， 故答案为1． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 13．已知，则 【答案】 【分析】根据题意可知a＞0，b＞0，整理得出a，b的关系，代入即可求出. 【详解】根据题意可知a＞0，b＞0， ∵， ∴即， 则， 显然，则，即a=4b， 将a=4b代入中， ∴原式= = = = 【点睛】本题是对二次根式的综合考查，熟练掌握二次根式化简运算是解决本题的关键，难度相对较大. 三、解答题 14．解方程：． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ ， ∴方程的解为． 【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 15．观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 16．秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么． (1)如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角形的面积． （1）根据题意，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）根据得以得到，再根据面积可以得到，计算即可． 【详解】（1）由题意，， ∴． 即的面积为； （2）由题意，， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴，即 ∴． 17．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆的半径应是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：圆的半径应是． 18．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)7200元 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【详解】（1）解：长方形的周长． 答：长方形的周长是； （2）蔬菜地的面积． （元）． 答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为7200元． 19．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2） 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． 回顾旧知，类比求解：根据题意可直接进行求解； 学会转化，解决问题： （1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 【详解】回顾旧知，类比求解： 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 学会转化，解决问题： 解：（1） ， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． 20．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米； （2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米， ∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米 ∵，， ∴，                             ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 21． 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号． (1)求当时， 的最小值； (2)如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）利用题目中的结论进行计算即可得出答案； （2）设花圃的长为米，宽为米，需要篱笆的长度为米，利用题目中的公式即可求得最小值． 【详解】（1）， ， 的最小值为2； （2）设花圃的长为米，宽为米，则，，， 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要． 22．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　+　=（　　+　； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ (4)化简：． 【答案】(1)， (2)4、2、1、1 (3)或 (4) 【分析】（1）根据小明的方法，将按照完全平方公式展开，得到，再和的系数进行对比，即可求出和的值； （2）任意找出一组和的值，预设，代入（1）中探索的结论中即可求出和的值； （3）若要求、、的值，需要先求出、的值，根据题意可知，进而得出，再结合、均为正整数即可求出、的值，然后根据分类讨论即可求出的值． （4）根据题干所给方法可直接进行求解． 【详解】（1）解：若，则有， ，． 故答案为：；； （2）解：令，， 由（1）可知，，， 故答案为：4；2；1；1（答案不唯一）； （3）解：由（1）可知，，， 而、、均为正整数， ，或者，， 当，时，； 当，时，． 综上，或者． （4）解：由题意得： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的应用，分类讨论思想是本题的关键． 23．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； （2）猜想，证明如下： ∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 24．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 【答案】（1）t1=（秒）；t2=2（秒）；（2）t2 是 t1 的倍；（3）下落的高度是 11.25 米． 【分析】（1）将h=50代入t1=进行计算即可；将h=100代入t2=进行计算即可； （2）计算t2与t1的比值即可得出结论； （3）将t=1.5代入公式t=进行计算即可． 【详解】（1）当 h=50 时，t1= =（秒）； 当 h=100 时，t2===2（秒）； （2）∵=， ∴t2 是 t1 的倍． （3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25， ∴下落的高度是 11.25 米． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 25．判断下面各式是否成立 （1）       （2）     （3） 探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想： ②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明 【答案】都正确①②，证明见解析． 【分析】（1）①利用已知即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性，猜想可得出； ②利用①的方法，可以得出规律，并加以证明即可． 【详解】解：①上面三题都正确， ， ==； ， ==； ， ==； ∴； ②上面规律：， 证明：=. 【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键． 26．解不等式： 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的方法解此不等式即可得出答案. 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查含有二次根式的一元一次不等式的解法，在解不等式的时候需注意系数化为1时，必须要考虑系数的正负，根据不等式左右两边同乘或同除一个正数时，不等号不变，但是不等号两边同乘或同除一个负数时，不等号要变方向. 27．解方程： 【答案】 【分析】先把方程中的根式化简成最简二次根式，再根据一元一次方程的解法解方程即可得出答案. 【详解】 . 【点睛】本题考查含有二次根式的一元一次方程的解法，在解题过程中需注意先把二次根式化成最简二次根式，这样有利于计算的简便，最后的结果也必须用最简二次根式的形式表示. 28．观察下列各式，........请按照上述三个等式及其变化过程，回答下列问题． （1）猜想________________. （2）猜想_____________________=. （3）试猜想第N个等式为_____________________________. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）仔细观察题目中提供的三个等式以及变化过程后写出等式即可； （2）观察题中给出三个式子的结果与等号前的式子中的数字的关系后即可写出； （3）通过观察三个等式以及变化过程写出第n个等式，并利用二次根式的性质进行化简证明即可. 【详解】解：通过观察可知，等号左边的被开方数是一个整数+分数，分数分子是1，分母比整数大2，右边结果中根号外的数比左边的整数大1，根号内的数是左边的分数，由此可解答： （1）；故答案为 （2），故答案为 （3）；故答案为. 【点睛】本题考查与二次根式计算有关的找规律题目，解决此类问题的关键是找出题中给出的式子中的共同点以及变化的地方，就可以依据这些共同点猜想更多的符合题中要求的式子；在猜想第N个式子的时候一定要注意第一个式子中的数字与序号1有什么样的关系，那么第N个式子中的数字就和n有相应的关系. 29．附加题 化简 【答案】3 【分析】对两个二次根式下面配成完全平方化简即可. 【详解】解：原式= = = = = =3 【点睛】本题是对二次根式化简的综合考查，熟练掌握配完全平方及二次根式的化简是解决本题的关键，本题难度较大，注意要学会拆分配方. 30．阅读，并回答下列问题： 公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值. （1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确. （2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值. 【答案】（1）；（2）或 ；或 【分析】根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算的近似值和确定a和r的值. 【详解】（1）根据近似公式可知：≈ 故答案为； （2）∵ ∴ ∴ ∴ 整理， 解得： 或 ∴或 故答案为或 ；或 【点睛】本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$