专题02 二次根式的乘除及混合运算（三大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海）

专题02 二次根式的乘除及混合运算（三大题型，40题） 目录 题型一：二次根式的乘法 1 题型二：二次根式的除法 2 题型三：二次根式的乘除混合运算 2 一、题型一：二次根式的乘法 1．（2018·上海浦东新·二模）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海静安·期中）等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 3．（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ． 4．（22-23八年级上·上海静安·期中）计算： ． 5．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，如果正方形的面积为6，正方形的面积为正方形的面积的2倍，则的面积是 ．    6．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 7．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）设，，当t为 时，代数式． 8．（2021·湖北黄冈·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则 ． 9．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）若等式成立，则x的取值范围是 ． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）． 二、题型二：二次根式的除法 11．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·上海·阶段练习） ． 13．（22-23八年级上·上海·阶段练习）计算： ． 14．（21-22八年级上·上海宝山·期中）使等式成立的条件时，则的取值范围为 ． 15．（21-22八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 16．（20-21八年级上·湖南益阳·期末）下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是 （填序号）． 17．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）当时，化简 ． 18．（22-23八年级上·上海·阶段练习）计算： 19．（21-22八年级上·上海·阶段练习）计算：． 20．（20-21八年级上·上海金山·期中）计算： 三、题型三：二次根式的乘除混合运算 21．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 22．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）计算：． 23．（23-24八年级上·上海普陀·期末）计算：． 24．（23-24八年级上·上海长宁·期中）计算：． 25．（23-24八年级上·上海崇明·期中）计算： 26．（23-24八年级上·上海松江·期中）计算：． 27．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 28．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 29．（23-24八年级上·上海普陀·期中）计算：． 30．（22-23八年级上·上海静安·期中）计算： 31．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）． 32．（22-23八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 33．（22-23七年级下·上海松江·期末）计算： 34．（22-23八年级·上海·假期作业）计算． (1)； (2)． 35．（22-23八年级上·上海·单元测试）计算：． 36．（22-23八年级上·上海闵行·期中）化简：． 37．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： 38．（21-22八年级上·上海·阶段练习）已知非零实数a，b满足，求代数式的值． 39．（21-22八年级上·上海·阶段练习） 40．（21-22八年级上·上海·阶段练习） 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的乘除及混合运算（三大题型，40题） 目录 题型一：二次根式的乘法 1 题型二：二次根式的除法 7 题型三：二次根式的乘除混合运算 11 一、题型一：二次根式的乘法 1．（2018·上海浦东新·二模）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题． 【详解】解：A．∵， ∴就是的一个有理化因式，故A符合题意； B．∵， ∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意； C．∵， ∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意； D．∵， ∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键． 2．（22-23八年级上·上海静安·期中）等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则成立的条件为且，即可确定答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解不等式组，得 ， 所以，等式成立的条件是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 3．（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题意，利用十字相乘因式分解． 【详解】解： ． 4．（22-23八年级上·上海静安·期中）计算： ． 【答案】 【分析】利用，结合二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 5．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，如果正方形的面积为6，正方形的面积为正方形的面积的2倍，则的面积是 ．    【答案】/ 【分析】根据题意易得正方形的面积为12，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：正方形的面积为12， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用及实数的混合运算，熟练掌握正方形的面积公式及实数的运算是解题的关键． 6．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】100 【分析】此题考查了积的乘方逆运算和二次根式的运算，解题的关键是理解积的乘方逆运算，熟练掌握二次根式的化简与平方差公式的应用．先用积的乘方逆运算进行变形，再根据二次根式的乘法结合平方差公式进行求解即可． 【详解】 . 故答案为：100． 7．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）设，，当t为 时，代数式． 【答案】2 【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可． 【详解】， ， ，解得（舍去），． 故答案为：2 【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键． 8．（2021·湖北黄冈·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则 ． 【答案】10 【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得． 【详解】解：， （为正整数）， ， ， ， ， 则， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键． 9．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）若等式成立，则x的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】 根据二次根式的性质和绝对值法则列不等式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质，绝对值法则，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件和绝对值的法则列不等式． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）． 【答案】． 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据法则计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则的应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 二、题型二：二次根式的除法 11．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键． 12．（22-23八年级上·上海·阶段练习） ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确运用二次根式的除法运算法则是解题关键． 13．（22-23八年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 14．（21-22八年级上·上海宝山·期中）使等式成立的条件时，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案. 【详解】解： 等式成立， 由①得： 由②得： 所以则的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握“”是解本题的关键. 15．（21-22八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先移项化为再把未知数的系数化“1”，可得答案. 【详解】解： 移项得： 即 而 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，二次根式的除法运算，易错点是不等式的两边都除以一个数时，不注意这个数是正数还是负数. 16．（20-21八年级上·湖南益阳·期末）下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可． 【详解】①时原式成立，否则不成立，如：，故不一定； ②一定成立，因为成立时，一定满足； ③当时，，故一定成立； ④当成立时，，则，故一定成立； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键． 17．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）当时，化简 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得． 【详解】由二次根式的定义得：， ， ， 又除法运算的除数不能为0， ， ， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 18．（22-23八年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先判断，化简，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确化简并熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 19．（21-22八年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式在实数范围因式分解，第二项先提出公因式，进而约分化简，再进行二次根式的加减运算即可 【详解】 【点睛】本题考查了因式分解，二次根式的加减，将分式的分子因式分解是解题的关键． 20．（20-21八年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 三、题型三：二次根式的乘除混合运算 21．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且，判断出x、y的关系代入求出算式的值是多少即可． 【详解】∵， ∴， 又，， ∴，， ∴，即， 当时， 原式 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 22．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 23．（23-24八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 24．（23-24八年级上·上海长宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简，将分母有理化，然后合并同类二次根式得到答案． 【详解】解： ． 25．（23-24八年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘法和除法运算，先将式子中二次根式中的分式化成分子分母分别含有二次根式的式子，然后利用乘除法进行计算，最后将结果化成最简二次根式即可. 【详解】解： 26．（23-24八年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ． 27．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 28．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则及性质“”计算即可． 【详解】原式 29．（23-24八年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵有意义，则， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 30．（22-23八年级上·上海静安·期中）计算： 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，进行化简，再计算． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除，熟练进行二次根式的化简和计算是解题的关键． 31．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）． 【答案】1 【分析】 根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法法则，掌握，是解题的关键． 32．（22-23八年级上·上海普陀·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先确定结果的符号，再把除法化为乘法，最后进行化简． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 33．（22-23七年级下·上海松江·期末）计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 34．（22-23八年级·上海·假期作业）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除法法则是解题的关键．注意法则的准确运用以及符号的判定． 35．（22-23八年级上·上海·单元测试）计算：． 【答案】 【分析】原式先化简各二次根式后再进行乘除运算即可． 【详解】解： = = 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确进行二次根式的化简是解答本题的关键． 36．（22-23八年级上·上海闵行·期中）化简：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计数法则是解题的关键． 37．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 38．（21-22八年级上·上海·阶段练习）已知非零实数a，b满足，求代数式的值． 【答案】3 【分析】利用因式分解将已知化为，得出，然后代入所求代数式即可得解． 【详解】解：非零实数a，b满足， 由题意可知， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、因式分解以及分式的性质是解答此题的关键． 39．（21-22八年级上·上海·阶段练习） 【答案】 【分析】先利用平方差公式把分子因式分解，然后约分后合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 40．（21-22八年级上·上海·阶段练习） 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可． 【详解】解原式 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简， 正确化简二次根式是解题关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$