专题03 全等三角形动点问题专项训练（30道）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 全等三角形动点问题专项训练（30道） 【经典例题 全等三角形动点问题（求t值）】 一、单选题 1．（23-24七年级下·四川雅安·期末）如图，厘米，，厘米，点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（秒）．设点Q的运动速度为v厘米/秒，如果与全等，那么v的值为（   ） A．2 B．3 C．2或 D．1或3 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，x的值是（   ） A．2 B．1或 C．2或 D．2或3 5．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2 6．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ）    A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 7．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，厘米，厘米，，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（    ）    A．1 B．1.5 C．1或1.5 D．1或2 9．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； 以上说法正确的选项为（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①③ 10．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（    ） A．3 B．4 C．4或6 D．2或3 二、填空题 11．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 12．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等． 13．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 14．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒． 15．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 16．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 17．（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，E是边上一点，，点D在边上以1个单位/s的速度由点B向点C运动，同时点F在边上以x个单位/s的速度由点C向点A运动，若运动过程中存在某一时刻与全等（其中与是一组对应角），则x的值为 ． 18．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    19．（2024·江苏盐城·三模）如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为 ． 20．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）在中，，直线l过点 C．，，如图，点B与点F关于直线l对称，连接．点M从A点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M，N作直线l于点D，直线l于点E，点M，N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当t是 秒时，与全等．      三、解答题 21．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 22．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． (1)若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 23．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25．（19-20八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，点F从点B出发，沿线段以的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段以的速度运动至点G．E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，与交于点D，设点E的运动时间为t（秒）．    (1)分别写出当和时线段的长度（用含t的代数式表示）． (2)在点F从点C返回点B过程中，当时，求t的值． (3)当时，直接写出所有满足条件的t值． 26．（23-24八年级上·吉林四平·期末）长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合) (1)请直接用含、的代数式，表示线段的长度； (2)当时，连接，若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围． 27．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 28．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 29．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 30．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形动点问题专项训练（30道） 【经典例题 全等三角形动点问题（求t值）】 一、单选题 1．（23-24七年级下·四川雅安·期末）如图，厘米，，厘米，点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（秒）．设点Q的运动速度为v厘米/秒，如果与全等，那么v的值为（   ） A．2 B．3 C．2或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，分情况讨论，当时，当时，，，再根据时间、路程、速度之间的关系即可求解． 【详解】解：分两种情况： 当时，可得：， ∵运动时间相同， ∴P，Q的运动速度也相同， ∴． 当时，，， ∴， ∴， ∴， 综上可知，v的值为2或， 故选C． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键. 【详解】假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则，， ∴， ∴； 若， 则 ，， ∴， ∴， 当时，即点在上， 若， 则，， ∴ ∴， 若， 则，， ∴， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述, 点的运动速度为：或或， 故选：． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：D． 4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，x的值是（   ） A．2 B．1或 C．2或 D．2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意分和两种情况，根据全等三角形的性质分别求出的长，进而求出运动时间，即可求出x的值，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当与全等时，x的值是2或3， 故选D． 5．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2 【答案】B 【分析】由题意知分时和时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴，， ∴． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∴， 解得：． 综上可知x的值是1或． 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键在于分情况求解． 6．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ）    A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 【答案】D 【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 【详解】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或70． 故选：D． 7．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，厘米，厘米，，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（    ）    A．1 B．1.5 C．1或1.5 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或1.5， 故选：C． 9．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； 以上说法正确的选项为（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，    当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不垂直，故③错误； 综上所述，正确的选项为①②． 故选：B． 【点睛】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． 10．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（    ） A．3 B．4 C．4或6 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分和两种情况时，分别依据全等三角形的对应边相等求得点Q的移动速度即可． 【详解】解：分两种情况： ①当时，， ∴点P运动的时间为秒， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； ②当时，， ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； 综上所述，当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 故选：C． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 11．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【答案】7或15 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：为边上的高， ， ，， ， ， 当时，， ， 或， 或， 即当或秒时，能使与以点、． 故答案为：或． 12．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点、的运动时间为，的运动速度为，则，，，再根据全等三角形的性质分当时，，和当时，，两种情况讨论即可，熟练掌握全等三角形的性质及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】，点为的中点， ， 设点、的运动时间为，的运动速度为，则，， ， ， ， 与全等共有两种情况： 当时，则有，， ，， ， ，故点的运动速度为； 当时，则有，， ，， ， ，故点的运动速度为， 综上所述：点的运动速度为或． 13．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 【答案】1或 【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ②当，时，， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等， 故答案为：1或 14．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 设运动时间为t秒，根据题意可得：，再进行分类讨论即可①当时， ②当时． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意可得：， ∵厘米，点E为中点， ∴厘米， ①当时， ， 解得：， ∴厘米， ∴厘米， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， ②当时， ， 解得：， 此时厘米， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， 故答案为：2或． 15．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【答案】或5 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 16．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上． 【详解】解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 17．（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，E是边上一点，，点D在边上以1个单位/s的速度由点B向点C运动，同时点F在边上以x个单位/s的速度由点C向点A运动，若运动过程中存在某一时刻与全等（其中与是一组对应角），则x的值为 ． 【答案】1或 【分析】此题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键，根据全等三角形对应边相等即可求出答案， 【详解】解：设D、F运动的时间是t秒， 当时， ∴，， ∴， ∵， ∴； 当时， ∴， ∵D和F同时出发，运动的路程相同， ∴D和F的速度相同， ∴， ∴x的值为1或． 故答案为：1或． 18．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    【答案】1秒，或3.5秒，或12秒 【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． 【详解】∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴， 解得： 当Q到达A点后，点P运动到上时，， ∴． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． 19．（2024·江苏盐城·三模）如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为 ． 【答案】2.25或3 【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，据此求解即可． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为3厘米秒， 点的运动时间为：秒， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为：2.25或3， 故答案为：2.25或3． 20．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）在中，，直线l过点 C．，，如图，点B与点F关于直线l对称，连接．点M从A点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M，N作直线l于点D，直线l于点E，点M，N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当t是 秒时，与全等．      【答案】或5或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】解：∵，直线l于点D，点B与点F关于直线l对称， ∴， ∴， ∵运动时间为t秒． ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， ， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， ， 解得，， 当点沿路径运动时， ， 解得，， 当点沿路径运动时，， ， 解得，， 综上所述，当或5或时，． 故答案为：或5或． 三、解答题 21．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点A出发，以秒的速度向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 当时，； （3）解：情况一：当，，时，， ，， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当当，，时， ，， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 22．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． (1)若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 【答案】(1)2s，理由见解答过程 (2)经过1s，点P的速度是9，则点Q的速度是12时，与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用； （1）根据等腰三角形的性质可得出，由点、同速同时出发可得出，结合全等三角形的判定定理可得出当时与全等，进而即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设点的速度为，则点的速度为，由、结合全等三角形的性质可得出、，进而即可得出关于、的方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点与点的速度都是， ， ，，， 要使与全等，则需， 即， ， 即经过的时间与全等； （2）解：设点的速度是，则点的速度是， ，， ， ，要使与全等，则需，， ， 解得：， 经过，点的速度是，则点的速度是时，与全等． 23．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的范围是且 (3)存在，的值是3或9 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出m、n的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； 即t的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点P，使，t的值是3或9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，注意进行分类讨论． 24．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 25．（19-20八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，点F从点B出发，沿线段以的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段以的速度运动至点G．E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，与交于点D，设点E的运动时间为t（秒）．    (1)分别写出当和时线段的长度（用含t的代数式表示）． (2)在点F从点C返回点B过程中，当时，求t的值． (3)当时，直接写出所有满足条件的t值． 【答案】(1)当时，，当时，； (2)； (3)或4 【分析】本题考查的是函数关系式的确定和全等三角形的性质的应用： （1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点F从点B运动至点C、从点C返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：由题意得，， 解得； （3）解：当时，， 则，即， 解得， 当时，， 则，即， 解得， 则或4时，． 26．（23-24八年级上·吉林四平·期末）长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合) (1)请直接用含、的代数式，表示线段的长度； (2)当时，连接，若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式；一元一次不等式的应用； （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）由题意得：，，，当时：当时分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，，故，得，可得①，②，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，，， ， 线段的长度为； （2）由题意得：，，， 当时： ， 解得： 此时； 当时：， 得， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）， ，， 由知：， 解得：， ，， ； 即①， ， ， ， 即②； 由①②解得：， 满足条件的取值范围为 27．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）用的长度减去的长度即可； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， ； 故答案为：； （2）解： 中，，，点为的中点，， ， ， 当时，， ，， 解得：，； 当时，， ，， 解得：，； 综上所述，或2． 28．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：6； （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 29．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 【答案】(1)， (2)当秒或秒或12秒时，与全等 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答； （1）根据题意的运动方式，列代数式即可；             （2）分为，，三种情况分别解答即可 【详解】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 30．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)或4 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$