第7章 平面直角坐标系 学案 2023--2024学年人教版七年级数学下册

课 题 第7章：平面直角坐标系 教学目标 1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标； 2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化； 3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想． 教学过程 【学生定位】 问题1有序数对 1．已知有序数对(2x-1，5-3y)表示出的点为(5，2)，则x＝________，y＝________． 【考点】有序数对要求两个数的位置不能随意交换 【解答】由2x-1=5，得x=3；由5-3y=2，得y=1．故答案为3，1； 问题2平面直角坐标系与点的坐标的概念 1．（1）写出图中点A、B、C、D、E、F的坐标． （2）在上图中描出下列各点：L（﹣5，﹣3），M（4，0），N（0，5），P（6，2）． 【考点】平面直角坐标系——写出点的坐标与描点 【解答】解：（1）A（﹣2，﹣2）、B（﹣5，4）、C（5，4）、D（0，﹣3）、E（2，5），F（﹣3，0）；（2）如图所示， 2.已知A（-1，0），B（5，0），C（-2，-4），求△ABC的面积. 【考点】平面直角坐标系——点的坐标几何意义 【解答】解：由图可知，AB＝5－（﹣1）＝6，高＝，所以△ABC的面积＝.答：△ABC的面积为12平方单位. 问题3. 坐标平面与点坐标的特征 1．若点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，且ab＞0，则点P坐标为　（1，2）或（﹣1，﹣2）　． 【考点】坐标几何意义与各象限内点的坐标的符号特征 【解答】解：∵点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，∴|a|=±1，|b|=±2， ∵ab＞0，∴a=1，b=2，或a=﹣1，b=﹣2， ∴点P的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2）．故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）． 2.已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 【考点】D5：坐标与图形性质——平行． 【解答】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴M′的纵坐标y=﹣2，∵“M′到y轴的距离等于4”，∴M′的横坐标为4或﹣4．所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选B． 问题4. 用坐标表示地理位置 1、请你给如图建立平面直角坐标系，使文化宫的坐标为（﹣3，1），超市的坐标为（2，﹣3）．（1）画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标； （2）直接写出由超市、文化馆、市场围成的三角形的面积． 【考点】D3：坐标确定位置． 【解答】解：（1）画坐标轴如图所示，火车站（0，0），体育场（﹣4，3），医院（﹣2，﹣2）；（2）三角形的面积=7×6﹣×5×4﹣×2×6﹣×2×7，=42﹣10﹣6﹣7，=42﹣23，=19． 问题5. 点坐标的平移 1、在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，△ABC中任意一点P（x0，y0）经过平移后对应点为P′（x0+7，y0+2），若A′的坐标为（5，3），则它的对应的点A的坐标为　（﹣2，1）　． 【考点】考查了坐标与图形变化﹣平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、左加右减是解题的关键． 【解答】解：根据题意，可得△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向上平移2个单位，∵A′的坐标为（5，3），∴它对应的点A的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）． 【问题考点】 问题1有序数对 对应知识点：（1）有序数对； 问题2平面直角坐标系与点的坐标的概念 对应知识点：（1）平面直角坐标系的认识；（2）点的坐标概念 问题3 坐标平面与点坐标的特征 对应知识点：（1）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律；（2）象限的角平分线上点坐标的特征；（3）关于坐标轴对称的点的坐标特征；（4）平行于坐标轴的直线上的点 问题4 用坐标表示地理位置 对应知识点：（1）用坐标表示位置 问题5 点坐标的平移 对应知识点：（1）平移中点的变化规律 【精准突破】 【精准突破1】有序数对 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 【要点解读】 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 【例题精讲】 【例题1-1】如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是 排 号. 【考点】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同． 【解答】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.故答案为10,13. 【精准突破2】平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 【要点解读】 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 【要点解读】 （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 【例题精讲】 【例题2-1】如图，写出点A、B、C、D各点的坐标. 【考点】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值． 【解答】由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标． 所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)． 【例题2-2】若点P（1，b）到x轴的距离为2，则P点坐标为　（1，2）或（1，﹣2）　． 【考点】坐标的几何意义．熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键 【解答】解：∵点P（1，b）到x轴的距离为2，∴|b|=2，解得b=±2， ∴P点坐标为（1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（1，2）或（1，﹣2）． 【精准突破3】坐标平面与点坐标的特征 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 【要点解读】 （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 3.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 【要点解读】 （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 4.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 5.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 6.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 【例题精讲】 【例题3-1】若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）位于第　二　象限． 【考点】考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 【解答】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，∴n=0，∴点B（n﹣1，n+1）为（﹣1，1）， ∴点B位于第二象限．故答案为：二． 【例题3-2】一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，3） C．（3，2） D．（2，3） 【考点】D5：坐标与图形性质． 【解答】解：过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（3，2），即为第四个顶点坐标．故选：C． 【例题3-3】若A（a，b）在第二、四象限的角平分线上，a与b的关系是　a=﹣b　． 【考点】D5：坐标与图形性质． 【解答】解：∵A（a，b）在第二、四象限的角平分线上，第二象限内点的坐标的符号特征是（﹣，+），第四象限内点的坐标的符号特征是（+，﹣），原点的坐标是（0，0）， 所以二、四象限角平分线上的点的横纵坐标的关系是a=﹣b．故填a=﹣b． 【精准突破4】用坐标表示地理位置 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向． （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度． （3）在坐标平面内画出这些点． （4）写出各点的坐标和各个地点的名称． 【例题精讲】 【例题4-1】如图所示是永州市几个主要景点示意图的一部分，如果用（0，1）表示九嶷山的中心位置点C，用（﹣2，0）表示盘王殿的中心位置点A，则千家峒的中心位置点B表示为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，﹣1） 【考点】D3：坐标确定位置． 【解答】解：根据题意建立坐标系，如图， 由坐标系可知，千家峒的中心位置点B表示为（﹣3，1）． 故选A． 【精准突破5】点坐标的平移 1. 在平面直角坐标系中，将点（x0，y0）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x0＋a，y0）或（x0－a，y0）；将点（x0，y0）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x0，y0＋b）或（x0，y0－b）． 2. 在平面直角坐标系内，如果把一个图形上各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把一个图形上各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移b个单位长度． 【例题精讲】 【例题5-1】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（﹣5，1），B（﹣2，3），平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（1，2），则点B的对应点B1的坐标为　（4，4）　． 【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【解答】解：∵A（﹣5，1）平移后对应点A1的坐标为（1，2），∴点A向右平移6个单位，向上平移1个单位，∴点B也向右平移6个单位，向上平移1个单位，∵B（﹣2，3）， ∴点B的对应点B1的坐标为（﹣2+6，3+1），即（4，4），故答案为：（4，4）． 【例题5-2】在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，△ABC中任意一点P（x0，y0）经过平移后对应点为P′（x0+7，y0+2），若A′的坐标为（5，3），则它的对应的点A的坐标为　（﹣2，1）　． 【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【解答】解：根据题意，可得△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向上平移2个单位，∵A′的坐标为（5，3），∴它对应的点A的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）． 【巩固练习】 【巩固一】有序数对 1．某地10:00时气温是6℃，表示为(10，6)，那么(3，-7)表示_______________． 【解答】3:00时该地气温是零下7℃． 【巩固二】平面直角坐标系与点的坐标的概念 1.在y轴上，位于原点的下方，且距离原点4个单位长度的点的坐标是　（0，﹣4）　． 【考点】D1：点的坐标． 【解答】解：∵点在y轴上，位于原点的下方，∴点在y轴负半轴， ∵距离原点4个单位长度，∴点的坐标是（0，﹣4）．故答案为：（0，﹣4）． 2.点P（2a﹣1，a+2）在x轴上，则点P的坐标为　（﹣5，0）　． 【考点】D1：点的坐标． 【解答】解：由题意，得a+2=0，解得a=﹣2，2a﹣1=﹣5，点P的坐标为（﹣5，0）， 故答案为：（﹣5，0）． 【巩固三】坐标平面与点坐标的特征 1、在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】D1：点的坐标． 【解答】解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，4﹣2m＜﹣2，所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，4﹣2m＞﹣2，点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，综上所述，点P不可能在第一象限．故选A． 2、在平面直角坐标系中，点A（a，3﹣2a）在第一象限． （1）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值； （2）若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围． 【考点】考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 【解答】解：（1）∵点A（a，3﹣2a）在第一象限，∴点A到y轴的距离为a、到x轴的距离为3﹣2a，∴a=3﹣2a，解得a=1； （2）∵点A到x轴的距离小于到y轴的距离，∴a＞3﹣2a，解得a＞1， ∵点A（a，3﹣2a）在第一象限，∴，即0＜a＜， ∴当1＜a＜时，点A到x轴的距离小于到y轴的距离． 3.已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=　﹣1或9　． 【考点】D5：坐标与图形性质． 【解答】解：∵AB平行于x轴，且A（4，﹣3），B（x，﹣3），线段AB的长为5， ∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）或（9，﹣3）．故x=﹣1或9．故答案为：﹣1或9． 【巩固四】用坐标表示地理位置 1.小李在平面直角坐标系中画了一张示意图，分别标出了学校、电影院、体育馆、超市的大致位置，如果张大妈从体育馆向南走150米，再向东走400米，再向南走250米，再向西走50米，最终到达的地点是（　　） A．学校 B．电影院 C．体育馆 D．超市 【考点】D3：坐标确定位置． 【解答】解：根据题意，张大妈从体育馆（﹣100，200）向南走150米到（﹣100，50）， 再向东走400米到达（300，50），再向南走250米到达（300，﹣200），再向西走50米到达（250，﹣200），∴最终到达的地点是超市，故选：D． 2. 某中学2017届新生入学军训时，小华、小军、小刚的位置如图所示，如果小军的位置用（0，0）表示，小刚的位置用（2，2）表示，那么小华的位置可表示为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（1，2） 【考点】D3：坐标确定位置． 【解答】解：∵小军的位置用（0，0）表示，小刚的位置用（2，2）表示，∴往左为负，往下为负，且每格代表一个单位长度，∴小华的位置用（﹣2，﹣1）表示．故选A． 【巩固五】点坐标的平移 1.将点P（﹣3，2）向右平移2个单位后，向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣5，5） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣5，﹣1） D．（﹣1，5） 【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【解答】解：∵点P（﹣3，2）向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点Q， ∴点Q的横坐标为﹣3+2=﹣1，纵坐标为2﹣3=﹣1，即点Q的坐标为：（﹣1，﹣1）．故选B． 2.线段AB两端点坐标分别为A（﹣1，4），B（4，﹣2），现将线段AB平移后点A的对应点坐标为（﹣4，2），则点B的对应点的坐标为（　　） A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣5） D．（1，0） 【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【解答】解：∵线段AB平移后点A（﹣1，4）的对应点坐标为（﹣4，2）， ∴各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标减2，∵B（4，﹣2）， ∴点B的对应点坐标为（4﹣3，﹣2﹣2），即（1，﹣4）．故选B． 【查缺补漏】 1.点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且在第四象限，则P点坐标是　（3，﹣2）　． 【考点】考查了各象限内点的坐标的符号特征． 【解答】解：由点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，得|y|=2，|x|=3． 由第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得点P的坐标是（3，﹣2），故答案为：（3，﹣2）． 2已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中． （1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值； （2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值． 【考点】D1：点的坐标． 【解答】解：（1）由题意，得4x=x﹣3，解得x=﹣1 ∴点P在第三象限的角平分线上时，x=﹣1． （2）由题意，得4x+[﹣（x﹣3）]=9，则3x=6，解得x=2，此时点P的坐标为（8，﹣1）， ∴当点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9时，x=2． 3.张宁在某旅游景点的动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图（如图），若以大门为坐标原点，其它四大景点大致用坐标表示肯定错误的是（　　） A．熊猫馆（1，4） B．猴山（6，1） C．百草园（5，﹣3） D．驼峰（5，﹣2） 【考点】D3：坐标确定位置． 【解答】解：如图所示，熊猫馆、猴山、百草园都在第一象限，横、纵坐标都为正数； 驼峰在第四象限，横坐标为正数，纵坐标为负数，故选：C． 4.△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)． (1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么? (2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? 【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【解答】解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)． (2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到． (3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到． 【举一反三】 1．已知坐标平面内点P（3﹣a，2a+9）到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【考点】考查了点到坐标轴的距离的表示，难点在于要分两种情况求解． 【解答】解：∵点P（3﹣a，2a+9）到两坐标轴的距离相等，∴3﹣a=2a+9或3﹣a+2a+9=0， 解得a=﹣2或a=﹣12，当a=﹣2时，3﹣a=3﹣（﹣2）=3+2=5， 此时，点P的坐标为（5，5），当a=﹣12时，3﹣a=3﹣（﹣12）=15， 此时，点P的坐标为（15，﹣15），综上所述，点P的坐标为（5，5）或（15，﹣15）． 2.每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中． （1）写出图中从原点O出发，按箭头所指方向先后经过的A、B、C、D、E这几个点点的坐标； （2）按图中所示规律，找到下一个点F的位置并写出它的坐标． 【考点】D2：规律型：点的坐标． 【解答】解：（1）A（1，0）、B（1，2）、C（﹣2，2）、D（﹣2，﹣2）、E（3，﹣2）； （2）F（3，4）； 3.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P’（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点． （1）当点A1的坐标为（2，1），则点A3的坐标为　（﹣4，﹣1）　，点A2016的坐标为　（﹣2，3）　； （2）若A2016的坐标为（﹣3，2），则设A1（x，y），求x+y的值； （3）设点A1的坐标为（a，b ），若A1，A2，A3，…An，点An均在y轴左侧，求a、b的取值范围． 【考点】D2：规律型：点的坐标．解题的关键是：（1）找出变化规律；（2）求出x、y值；（3）分别找出关于a、b的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 【解答】解：（1）观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，﹣3），A3（﹣4，﹣1），A4（﹣2，3），A5（2，1），…，∴A4n+1（2，1），A4n+2（0，﹣3），A4n+3（﹣4，﹣1），A4n+4（﹣2，3）（n为自然数）．∵2016=504×4，∴点A2016的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣4，﹣1）；（﹣2，3）． （2）∵A2016的坐标为（﹣3，2），∴A2017（1，2），A1（1，2），∴x+y=3． （3）∵A1（a，b），A2（b﹣1，﹣a﹣1），A3（﹣a﹣2，﹣b），A4（﹣b﹣1，a+1）， ∵A1，A2，A3，…An，点An均在y轴左侧，∴和， 解得：﹣2＜a＜0，﹣1＜b＜1． 【效果检验】 1．如果坐标平面内点A（a，b）在第二象限，那么点B（b，a）在第　四　象限． 【考点】考查了各象限内点的坐标的符号特征． 【解答】解：由题意，得a＜0，b＞0，点B（b，a）在第 四象限，故答案为：四． 2. 如果点P（x2﹣4，y+1）是坐标原点，求代数式2x+y的值． 【考点】考查了点的坐标，利用原点的横坐标、纵坐标为零得出方程是解题关键 【解答】解：由题意，得x2﹣4=0，y+1=0，解得x=2或x=﹣2，y=﹣1． 当x=2时，2x+y=2×2+（﹣1）=3，当x=﹣2时，2x+y=2×（﹣2）+（﹣1）=﹣5． 3. 已知三角形ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，0）、（1，﹣2），在下图的平面直角坐标系中表示出来，并根据图形回答下列问题． （1）点A到x轴的距离为　2　，点B到y轴的距离为　3　； （2）点C（1，﹣2）到x轴的距离为　2　，到y轴的距离为　1　； （3）若在该平面直角坐标系内有一点P（x，y），它到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，求点P的坐标． 【考点】D1：点的坐标． 【解答】解：（1）∵点A、B、的坐标分别是（0，2）、（﹣3，0），∴点A到x轴的距离为：2，点B到y轴的距离为：3．故答案为：2，3； （2）∵点C（1，﹣2），∴C点到x轴的距离为：2，到y轴的距离为：1．故答案为：2，1；（3）∵点P（x，y），它到x轴的距离为1，到y轴的距离为2， ∴点P的坐标为：（2，1），（﹣2，1），（2，﹣1），（﹣2，﹣1）． .4.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）． （1）在直角坐标系中画出三角形ABC； （2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点； （3）求出三角形A1B1C1的面积． 【考点】D1：点的坐标．平移 【解答】解：（1）如图1，（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）； （3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去， 即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25． ∴△A1B1C1的面积=3.25． 【课后作业】 1.如果点P（a﹣4，a）在y轴上，则点P的坐标是（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4） 【解答】解：由点P（a﹣4，a）在y轴上，得a﹣4=0，解得a=4，P的坐标为（0，4），故选：B． 2.点P（﹣4，5）到x轴的距离等于　5　． 【解答】解：P（﹣4，5）到x轴的距离等于5，故答案为：5． 3.在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）在第　四　象限． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）在第四象限．故答案为：四． 4．若点A（a+1，b﹣1）在第二象限，则点B（﹣1，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由点A（a+1，b﹣1）在第二象限，得b﹣1＞0，解得b＞1，点B（﹣1，b）在第二象限，故选：B． 5.若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为　（﹣1，﹣1）　． 【解答】解：点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，所以点B的坐标是（﹣1，﹣1），故答案为（﹣1，﹣1）． 6．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它渊远流长，趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，所在位置的坐标为（﹣3，1），所在位置的坐标为（2，﹣1），那么，所在位置的坐标为（　　） A．（0，1） B．（4，0） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1） 【解答】解：所在位置的坐标为：（0，﹣1）．故选：D． 7.课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小华对小刚说，如果我的位置用（﹣1，﹣2）表示，小军的位置用（1，﹣1）表示，那么你的位置可以表示成（　　） A．（4，3） B．（3，4） C．（3，1） D．（1，3） 【解答】解：如图所示：小刚的位置为：（3，1）．故选：C． 8.已知平面直角坐标系中的一点A（n+1，2n﹣5），当n为何值时，点A分别满足下列条件：（1）点A到x轴的距离为1？（2）点A到y轴的距离为2？ 【解答】解：（1）由A到x轴的距离为1，得2n﹣5=1，或2n﹣5=﹣1．解得n=3或n=2． 故当n=3或n=2时，点A到x轴的距离为1； （2）由A到y轴的距离为2，得n+1=2或n+1=﹣2．解得n=1或n=﹣3， 故当时n=1或n=﹣3，A到y轴的距离为2． 9. 计算：在直角坐标系中，标出下列各点的位置，并写出各点的坐标． （1）点A在x轴上，位于原点的左侧，距离坐标原点4个单位长度； （2）点B在y轴上，位于原点的上侧，距离坐标原点4个单位长度； （3）点C在y轴的左侧，在x轴的上侧，距离每个坐标轴都是4个单位长度． 【考点】点的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：A（﹣4，0）；（2）如图所示：B（0，4）； （3）如图所示：C（﹣4，4）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 第7章：平面直角坐标系 教学目标 1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标； 2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化； 3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想． 教学过程 【学生定位】 问题1有序数对 1．已知有序数对(2x-1，5-3y)表示出的点为(5，2)，则x＝________，y＝________． 问题2平面直角坐标系与点的坐标的概念 1．（1）写出图中点A、B、C、D、E、F的坐标． （2）在上图中描出下列各点：L（﹣5，﹣3），M（4，0），N（0，5），P（6，2）． 2.已知A（-1，0），B（5，0），C（-2，-4），求△ABC的面积. 问题3. 坐标平面与点坐标的特征 1．若点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，且ab＞0，则点P坐标为　 　． 2.已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 问题4. 用坐标表示地理位置 1、请你给如图建立平面直角坐标系，使文化宫的坐标为（﹣3，1），超市的坐标为（2，﹣3）．（1）画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标； （2）直接写出由超市、文化馆、市场围成的三角形的面积． 问题5. 点坐标的平移 1、在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，△ABC中任意一点P（x0，y0）经过平移后对应点为P′（x0+7，y0+2），若A′的坐标为（5，3），则它的对应的点A的坐标为　 　　． 【精准突破】 【精准突破1】有序数对 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 【要点解读】 有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 【例题精讲】 【例题1-1】如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是 排 号. 【精准突破2】平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 【要点解读】 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 【要点解读】 （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 【例题精讲】 【例题2-1】如图，写出点A、B、C、D各点的坐标. 【例题2-2】若点P（1，b）到x轴的距离为2，则P点坐标为　　 　　． 【精准突破3】坐标平面与点坐标的特征 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 【要点解读】 （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 3.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 【要点解读】 （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 4.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 5.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 6.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 【例题精讲】 【例题3-1】若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）位于第　 　象限． 【例题3-2】一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，3） C．（3，2） D．（2，3） 【例题3-3】若A（a，b）在第二、四象限的角平分线上，a与b的关系是　 　． 【精准突破4】用坐标表示地理位置 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向． （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度． （3）在坐标平面内画出这些点． （4）写出各点的坐标和各个地点的名称． 【例题精讲】 【例题4-1】如图所示是永州市几个主要景点示意图的一部分，如果用（0，1）表示九嶷山的中心位置点C，用（﹣2，0）表示盘王殿的中心位置点A，则千家峒的中心位置点B表示为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，﹣1） 【精准突破5】点坐标的平移 1. 在平面直角坐标系中，将点（x0，y0）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x0＋a，y0）或（x0－a，y0）；将点（x0，y0）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x0，y0＋b）或（x0，y0－b）． 2. 在平面直角坐标系内，如果把一个图形上各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把一个图形上各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移b个单位长度． 【例题精讲】 【例题5-1】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（﹣5，1），B（﹣2，3），平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（1，2），则点B的对应点B1的坐标为　 　． 【例题5-2】在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，△ABC中任意一点P（x0，y0）经过平移后对应点为P′（x0+7，y0+2），若A′的坐标为（5，3），则它的对应的点A的坐标为　　 　　． 【巩固练习】 【巩固一】有序数对 1．某地10:00时气温是6℃，表示为(10，6)，那么(3，-7)表示_______________． 【巩固二】平面直角坐标系与点的坐标的概念 1.在y轴上，位于原点的下方，且距离原点4个单位长度的点的坐标是　　 　　． 2.点P（2a﹣1，a+2）在x轴上，则点P的坐标为　　 　． 【巩固三】坐标平面与点坐标的特征 1、在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、在平面直角坐标系中，点A（a，3﹣2a）在第一象限． （1）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值； （2）若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围． 3.已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=　 　　． 【巩固四】用坐标表示地理位置 1.小李在平面直角坐标系中画了一张示意图，分别标出了学校、电影院、体育馆、超市的大致位置，如果张大妈从体育馆向南走150米，再向东走400米，再向南走250米，再向西走50米，最终到达的地点是（　　） A．学校 B．电影院 C．体育馆 D．超市 2. 某中学2017届新生入学军训时，小华、小军、小刚的位置如图所示，如果小军的位置用（0，0）表示，小刚的位置用（2，2）表示，那么小华的位置可表示为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（1，2） 【巩固五】点坐标的平移 1.将点P（﹣3，2）向右平移2个单位后，向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣5，5） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣5，﹣1） D．（﹣1，5） 2.线段AB两端点坐标分别为A（﹣1，4），B（4，﹣2），现将线段AB平移后点A的对应点坐标为（﹣4，2），则点B的对应点的坐标为（　　） A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣5） D．（1，0） 【查缺补漏】 1.点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且在第四象限，则P点坐标是　　 　． 2已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中． （1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值； （2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值． 3.张宁在某旅游景点的动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图（如图），若以大门为坐标原点，其它四大景点大致用坐标表示肯定错误的是（　　） A．熊猫馆（1，4） B．猴山（6，1） C．百草园（5，﹣3） D．驼峰（5，﹣2） 4.△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)． (1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么? (2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? 【举一反三】 1．已知坐标平面内点P（3﹣a，2a+9）到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 2.每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中． （1）写出图中从原点O出发，按箭头所指方向先后经过的A、B、C、D、E这几个点点的坐标； （2）按图中所示规律，找到下一个点F的位置并写出它的坐标． 3.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P’（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点． （1）当点A1的坐标为（2，1），则点A3的坐标为　　 　，点A2016的坐标为　　 　　； （2）若A2016的坐标为（﹣3，2），则设A1（x，y），求x+y的值； （3）设点A1的坐标为（a，b ），若A1，A2，A3，…An，点An均在y轴左侧，求a、b的取值范围． 【效果检验】 1．如果坐标平面内点A（a，b）在第二象限，那么点B（b，a）在第　 　象限． 2. 如果点P（x2﹣4，y+1）是坐标原点，求代数式2x+y的值． 3. 已知三角形ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，0）、（1，﹣2），在下图的平面直角坐标系中表示出来，并根据图形回答下列问题． （1）点A到x轴的距离为　　，点B到y轴的距离为　　； （2）点C（1，﹣2）到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　； （3）若在该平面直角坐标系内有一点P（x，y），它到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，求点P的坐标． .4.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）． （1）在直角坐标系中画出三角形ABC； （2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点； （3）求出三角形A1B1C1的面积． 【课后作业】 1.如果点P（a﹣4，a）在y轴上，则点P的坐标是（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4） 2.点P（﹣4，5）到x轴的距离等于　　． 3.在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）在第　　象限． 4．若点A（a+1，b﹣1）在第二象限，则点B（﹣1，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为　　 　　． 6．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它渊远流长，趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，所在位置的坐标为（﹣3，1），所在位置的坐标为（2，﹣1），那么，所在位置的坐标为（　　） A．（0，1） B．（4，0） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1） 7.课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小华对小刚说，如果我的位置用（﹣1，﹣2）表示，小军的位置用（1，﹣1）表示，那么你的位置可以表示成（　　） A．（4，3） B．（3，4） C．（3，1） D．（1，3） 8.已知平面直角坐标系中的一点A（n+1，2n﹣5），当n为何值时，点A分别满足下列条件：（1）点A到x轴的距离为1？（2）点A到y轴的距离为2？ 9. 计算：在直角坐标系中，标出下列各点的位置，并写出各点的坐标． （1）点A在x轴上，位于原点的左侧，距离坐标原点4个单位长度； （2）点B在y轴上，位于原点的上侧，距离坐标原点4个单位长度； （3）点C在y轴的左侧，在x轴的上侧，距离每个坐标轴都是4个单位长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$